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Les Raccordements rayons progressifs
en plan (projet, implantationexemple), en profil en long(projet, implantation)
I ) Les raccordements progressifs en plan
1.1) en projet
1.1.1) La pr oblmatique
Un vhicule se dplaant dans un virage, la vitesse V est
soumis:
- une force F' d'inertie centrifuge F'=-m., (dans lemouvement circulaire uniforme, reprsente le vecteuracclration dirig vers le centre du cercle et de module
gal v2
/R; R, rayon du cercle)- son poids P=m.g avec g l'acclration de la pesanteur,
- R la raction de la chausse donc R= -P
- une force F de frottement des roues de la voiture sur la
chausse (c'est pourquoi les contrles techniques et la
marchausse ne badinent pas avec l'usure des pneus).
Pour limiter les risques de drapage, on a eu l'ide de relever le virage de l'extrieur vers
l'intrieur; c'est le dvers. D'une manire idale, il devrait tre calcul afin que la chausse
releve soit perpendiculaire la force compose du poids et de la force centrifuge.
Ainsi on voit bien que le comportement du vhicule, qu'il soit train, mtro ou voiture, dpend
de la valeur de sa vitesse, de celle du rayon du cercle et de celle du dvers. C'est pourquoi une catgorie de route donne, sont associes valeurs de vitesse limite, rayon et dvers.
Catgorie R60 R80 T80 T100 L80 L100 L120 A80 A100 U60 U80
Rayon minimal d'un virage circulaire
Rm(m) 120 240 240 425 240 425 665 240 425 120 240
Rayon au niveau du dvers minimal
Rdm(m) 450 650 650 900 650 900 1500 300 600 200 400
Rayon minimal non dvers: rayon au dessus duquel le dversement n'est pas ncessaire
Rnd(m) 600 900 900 1300 900 1300 1800 400 800
Rayon au niveau du dvers maximal vers l'intrieur du virage
R=Rm 7% 7% 7% 7% 7% 7% 7% 5%
Dvers fonction de R vers l'intrieur du virage lorsque R est compris entre Rm et Rdm
Rm
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Deux problmes se
prsentent donc un
vhicule circulant en ligne
droite puis entrant dans une
courbe circulaire:
- il "passe" d'un rayon d'une valeurinfinie (la ligne droite) un
rayon de valeurfinie et ceci brusquement puisqu'au point de
tangence,
- tout aussi brusquement il passe d'un dvers d'une valeur thoriquement nulle (la ligne
droite) celle impose par le raccordement circulaire. Thoriquement, il devrait y avoir une
marche au point de tangence.
C'est pourquoi, on intercale, entre alignement droit et courbe circulaire, une courbe
progressive intermdiaire afin de supprimer les deux caractres brusques. La clothode s'est
impose mais il y en a d'autres.
1.1.2) la cl othode
1.1.2.1) justification
Si on appelle l'angle du dvers, alors tan()=(F'-F)/P. Sion admet qu'aucune force de frottement des pneus
intervient, alors tan()=(m.v2/R)/(m.g)=v2/(R.g) .Nous avons aussi sin()=h/l, l tant l'empattement duvhicule et h, la surlvation.
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Comme nous ne sommes pas au Parc Astrix, sur le Grand 8, l'angle n'est pas important. Onpeut donc assimiler sa tangente son sinus => tan()=sin() d'o v2/(R.g)=h/l d'o
h=l.v2/(R.g).En supposant v constant, ainsi que l et g (supposez qu'ils ne le soient pas......), on peut crire
que h=k/R, k tant une constante.
De plus si on suppose que h, la surlvation, varie d'une manire linaire, le long du
raccordement, on peut crire que h=k'.L, avec L la longueur de l'arc parcouru par le vhicule.
h=k/R=k'.L => R.L=k/k'
R.L=cte. La cl othodeest prsente sous la forme A2=R.L
A tant une constante appele paramtre de la clothode. Le produit du rayon par l'abscisse
curviligne est donc une constante.
1.1.2.2) Dfinir la clothode
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(Sur ce schma, le cercle de rayon R est raccord aux deux alignements droits par deux
clothodes n'ayant pas les mmes caractristiques)
Il ne faut pas oublier que, nous, topographes, avons, entre autres, l'objectif d'implanter les
raccordements. Ceux ci le seront la condition de localiser, en coordonnes rectangulairesplanes Est et Nord ainsi qu'en altitude H, les points caractristiques que sont:
- les points de tangence, alignement droit-clothode (O1 et O2)
- les points de tangence clothode-cercle (N1 et N2)
- centre du cercle (M)
- sommet des alignements droits (J)
- sommet cercle-alignement droit (K1 et K2)
ainsi que les points intermdiaires. Une transformation en coordonnes polaires permet un
piquetage sur le terrain.
Cette localisation peut se faire de deux manire:
- l'ancienne, l'aide de tables pr-calcules fournissant les paramtres ncessaires,- algbriquement l'aide de l'informatique
1.1.2.3) Utilisation des tables
Il en existe plusieurs, calcules par Messieurs Mller ou Klaus ou Schluck.
Vous trouverez, ci-contre, en l'agrandissant, un extrait de la table des
Ingnieurs suisses Krenz et Osterloh qui donne les paramtres pour 877
clothodes diffrentes. Comme toutes les cl othodessont homothtiques, lesparamtres sont calculs pour un rayon de 1m. Il suffit donc de les multiplier
par la valeur dsire du rayon du cercle raccorder pour obtenir les paramtres adapts au
cas de figure.
http://topogr.perso.neuf.fr/images/raccordements/clothoide15.gifhttp://topogr.perso.neuf.fr/images/raccordements/clothoide15.gif7/27/2019 Les Raccordements rayons progressifs
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Les donnesdu problmes sont souvent:- le rayonRdu cercle de raccordement, il est en fait impos par lacatgorie,- la longueur L (O1N1) curvilignede raccordement de la clothode, elle est aussi impose(voir tableau ci-dessous) par des soucis de confort visuel.
Catgories R et T Longueur L de raccordement Rayon R raccord
routes 2 voies L=inf(6.R0.4;67m) Rinf(Rnd;39/1.67;100/)
routes 3 voies L=inf(9.R0.4;100m) Rinf(Rnd;76.5/1.67;150/)
routes 2x2 voies L=inf(12.R0.4;133m) Rinf(Rnd;123.5/1.67;200/)
Catgories L, U et A L=sup(14.Abs(pM-pm);R/9)
en rdcorrespond au supplment de l'angle au sommet dfini par les deux alignementsdroits,
pM est la pente transversale maximale (dvers) dans la partie circulaire du virage,
pm est la pente transversale initiale (dvers) en alignement droit.
Comme la dnomination des lments dfinissant alignements droits, cercle
et clothode, ne sont pas les mmes, entre le croquis, ci-dessus, et la table de
Krenz et Osterloh, vous trouverez ci-contre, en l'agrandissant, le croquis
adapt la table. Exemple: le point de tangence alignement droit-clothode
est dnomm O1 ou KA1.
On voit, et il est important de le remarquer, que les lments caractristiques
se dfinissent tous par rapport au sommet J relatif aux deux alignements
droits. Il faut donc le situer au pralable. Ensuite, les paramtres L, A, R,
Xm, X, Y, TKet TL permettent de dterminer les points de tangence KA1, KA2, KE1, KE2 etle centre du cercle M.
Traitons un petit exemple:
les donnes:- les 2 alignements droits A,B et
E(G=173.5125gons) avec
A(525348.03,163211.09)
B(525403.86,163364.78) et
E(525362.47,162784.53)
- le rayon R=300.00m du cercle raccorder
- l'ordre de grandeur de la longueur
curviligne L~80m de raccordement des
deux clothodes (cas symtrique)
les rsultats:les lments caractristiques S, O, KA1,
KA2, KE1 et KE2.
http://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#Cat%C3%A9goriehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#Cat%C3%A9goriehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#Cat%C3%A9goriehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#clotho%C3%AFdehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#clotho%C3%AFdehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#clotho%C3%AFdehttp://topogr.perso.neuf.fr/images/raccordements/clothoide14.gifhttp://topogr.perso.neuf.fr/images/raccordements/clothoide14.gifhttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#clotho%C3%AFdehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#Cat%C3%A9gorie7/27/2019 Les Raccordements rayons progressifs
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le traitement:- le sommet S est obtenu par intersection des 2droites S(525269.5046,
162994.9245), ce qui correspond =48.6700gons- pour rentrer dans la table, calculer L/R, soit: 80/300=0.266667 ce qui
correspond, au mieux, au n414
- on lit le rapport A/R=0.5176471- en multipliant ce rapport par 300, la valeur de R, on obtient A=155.2
- il est d'usage d'utiliser des valeurs rondes de A/R proches de nos impratifs. Celle ci
(0.5200000) correspond au n415 et un rapport L/R=0.2704000 soit un L=81.120m et
A=156m.
- tous les autres paramtres s'obtiennent en multipliant la valeur du rapport par celle de R
R=0.003045x300=0.913500m, Xm=0.135118x300=40.5354m,X=0.269906x300=80.9718m, Y=0.012170x300=3.6510m,
TK=0.090291x300=27.0873 et TL=0.180439x300=54.1317m.
Quant , l'angle supplmentaire l'angle au sommet form par les tangentes alignementdroit-clothode-cercle, il faut garder la valeur inscrite puisque l'homothtie conserve la valeur
des angles. Donc =8.6071gons.- T, la distance de S KA1 ou KA2=t+Xm soit
T=tg(x(R+R)+Xm soitT=tg(48.67/2)x(300+0.9135)+40.5354=120.9755+40.5354=161.5109m
R s'appelle le ripagedu cercle- KA1 et KA2 s'obtiennent par PvR sur AS et ES
KA1(525334.7818, 162847.1926)
KA2(525324.6502, 163146.7296)
- les autres lments KE1, O, KE2 sont obtenus
par changement de base sur KA1-S et KA2-S
partir des lments X et Y pour KE et Xm etR+R pour O, le centre du cercle.
O(525593.6404, 163005.8882)
KE1(525300.4353, 163069.3772)
KE2(525305.3954, 162922.7320)
On peut contrler que O-KE1=O-KE2=300.00m
Pour rsoudre ce genre de problme, l'aide des tables, vous devez tre capable d'associer les
paramtres inscrits en entte de colonnes et leur reprsentation graphique sur le schma
http://topogr.perso.neuf.fr/images/raccordements/clothoide15.gifhttp://topogr.perso.neuf.fr/images/raccordements/clothoide15.gifhttp://topogr.perso.neuf.fr/images/raccordements/clothoide15.gif7/27/2019 Les Raccordements rayons progressifs
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associ. Il faut, aussi, bien sr, connatre les proprits du triangle rectangle ainsi que celle
de l'angle inscrit dans un cercle.
On peut rentrer dans la table de divers manires, entre autres:
- avec X/R quand on connat le point de tangence,
- avec , si l'on doit fractionner la clothode, etc...
1.1.2.4) solution algbrique
Cette solution, qui peut tre aisment programme, ds lors que les donnes sont connues,
ncessite une analyse.
Nous aborderons celle-ci dans l'hypothse d'une solution
dissymtrique.
Une petite variation d de entrane une petite variation dL deL. Nous savons que l'arc dL=Rxd avec det exprims,videmment, en radian (c'est la dfinition du radian). L'quation
de chacune des clothodes est:
A12=R.L1 => L1=A12/R
A22=R.L2 => L2=A22/R
D'une manire gnrale, on a R=A2/L et R.d=dL. En associantles 2 galits => A2.d=L.dLC'est l 'quati on di ffrentiellede la clothode. On peut l'crire:
d=L.dL/A2. En intgrant, on obtient: =L2/(2.A2)+ct. Cetteconstante est nulle puisque et L sont nuls au point origine O de la clothode. Ainsi, pourchaque clothode utilise, on obtient:
rad=0.5(L1/A1)2=0.5(A1/R)2ougon=(100/).(L1/A1)2=(100/).(A1/R)2etL1=A1. rad)=(A1/10).gon) rad=0.5(L2/A2)2=0.5(A2/R)2ougon=(100/).(L2/A2)2=(100/).(A2/R)2etL2=A2. rad)=(A2/10).gon)Condition d'existence du raccordement circulaire
A l'examen du schmaci-dessuset en particulier de l'angle au centre et du supplment de
l'angle au sommet, on tablit la relation =++. est l'angle au centre correspondant aucercle. Ainsi si =0, alors le cercle n'existe plus et les deux clothodes se rejoignent. Onobtient ce qu'on appelle une clothode sommet ou clothode de transition. C'est une situation
limite qui implique que .Si on connat A1, par exemple, on doit avoir:
0.5(A2/R)2rad-0.5(A1/R)2 . Pour que la clothode 2 existe, il faut donc que rad-0.5(A1/R)2>0 => A1R.(2rad) ou A1(R/10).( .gon)On en dduit A2(R/10).(gon)ou A2(R2gon/100-A12)Si A2(R2gon-A12) alors on obtient une clothode sommet
http://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#clotho%C3%AFdehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#clotho%C3%AFdehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#clotho%C3%AFdehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#clotho%C3%AFde7/27/2019 Les Raccordements rayons progressifs
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Expression algbrique:
En rexaminant le dtail, ci-contre, on a immdiatement:
dx=cos.dL et dy=sin.dL. Par ailleurs, =L2/(2A2) =>
dx=cosL2/(2A2)dL
et dy=sin(L2/(2A2)).dL
A ce niveau, il faut rappeler (ou dois dire "faire dcouvrir"?) les
dveloppements limits.On dit qu'une fonction y=f(x), dfinie dans un intervalle (a,b), contenant 0, admet un
dveloppement limit d'ordre n, suivant les puissances croissantes de x, si x ]a,b on a:f(x)=a0+a1x+a2x
2+.......+anxn+xn, tendant vers 0 avec x.
Il est aussi utile de rappeler la formule de Mac-Laurin qui est une application particulire de
celle de Taylor:
avec 0
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longueur curviligne de L1 choisie:
En remplaant L1 et A1 par1 sachant que =L12/(2A1
2), on trouve, avec expr imen rd:
Deux lments d'une clothode suffisent la dterminer. Cependant, d'aprs les
caractristiques de la route projete, on connat gnralement, nous l'avons dj dit, la
longueur L de l'arc de clothode et le rayon R du cercle raccorder. On en dtermine le
paramtre A2=R.L. On peut ventuellement l'arrondir, comme nous l'avons fait dans l'exempleconsacr l'utilisation des tables ou le modifier en tenant compte des 2 conditionsd'existence, vuesci-dessus, ainsi que de la condition de confor t optiquequi impose que
AR/3. Le paramtre A, tant fix, on en dduit la ou les longueur(s) dfinitive(s) de L et lescalculs de tous les autres lments par les formules prcdentes pour situer un dtail
quelconque sur la clothode et les dtails caractristiques tels que points de tangence (voir
exemple li l'utilisation des tables).
d1=y1-R(1-cos1) d2=y2-R(1-cos2), d1 et d2 s'appellent le r ipage.x1M=x1-Rsin1 x2M=x1-Rsin1y1M=R+d1 y2M=-(R+d2)
t1=(R+d1)tg(/2) t2=(R+d2)tg(/2)1.1.2.5) Prise en compte des dvers.
Nous avons fait une remarque importanteci-dessus, savoir que la clothode permet de
rsoudre deux problmes:
- le passage en douceur entre deux valeurs de rayon diffrentes. Celui-ci est rsolu, nous
venons de le traiter.
- puis le passage en douceur entre le ou les dvers de l'alignement droit et celui duraccordement circulaire. Il reste le rsoudre.
Dtaillons le un peu plus travers un exemple. Soit un dvers
double de +2.5% et -2.5% pour l'alignement droit (vacuation
des eaux) et un dvers de +6% pour le raccordement circulaire
de rayon R=350m. Si le virage est gauche, alors:
la voie intrieure passe de +2.5% +6% soit +3.5% de plus,
la voie extrieure passe de -2.5% +6% soit +8.5% de plus. La
plus forte variation sera subit par la voie extrieur. On adoptera
donc pour la valeur de PM-pm, 8.5.
http://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#existehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#existehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#existehttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#probl%C3%A8meshttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#probl%C3%A8meshttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#probl%C3%A8meshttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#probl%C3%A8meshttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm#existe7/27/2019 Les Raccordements rayons progressifs
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Catgories R et T Longueur L de raccordement Rayon R raccord
routes 2 voies L=inf(6.R0.4;67m) Rinf(Rnd;39/1.67;100/)
routes 3 voies L=inf(9.R.
;100m) Rinf(Rnd;76.5/1.67
;150/)routes 2x2 voies L=inf(12.R . ;133m) Rinf(Rnd;123.5/1.67;200/)
Catgories L, U et A L=sup(14.Abs(pM-pm);R/9)
L=sup(14.Abs(pM-pm);R/9) =sup(14x8.5;350/9)=sup(119;39)=119m
La longueur pour une variation de dvers de 1% sera donc de 119m/8.5=14.0m. Le
raccordement se fait ainsi:
1.1.3) les diffrents raccordements progressif s
1.1.3.1) courbes de transition symtriques
1.1.3.2) courbes de transition dissymtriques
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1.1.3.3) courbes sommet symtriques ou clothode sommet
1.1.3.4) courbes sommet dissymtriques
1.1.3.5) courbes en S ou courbes inflexion
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1.1.3.6) courbes en ove tangente commune
1.1.3.7) courbes en ove avec cercle auxiliaire
1.1.3.8) courbes en ove entre deux cercles intrieurs
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1.1.3.9) courbes en anse de panier
1.1.3.10) autres courbes de raccordement
D'autres courbes courbure progressives, de calcul plus facile que la clothode, s'utilisent
sous certaines conditions:
a) la parabole cubique
Son quation est de la forme: Y=X3/(6A 2). On l'utilise tant que LR/4 ou8gons. Dans cesconditions l'abscisse xi se confond avec L.
b) la parabole cubique amliore de Matthews
Son quation est de la forme: . On l'utilise tant que LR/3 ou11gons. Comme ci-dessus, xi Li.1.2) en implantation
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On a ainsi un excellent moyen de localiser autant de points que l'on veut sur la clothode entre
les deux points de tangence ds lors que l'on choisisse un unitaire. Si on veut par exemple 5points intermdiaires entre les points de tangence O1 et N1 alors on divise la longueur
curviligne O1N1=L par 6, ce qui donne L1. On devra donc implanter chaque point la
distance curviligne L1, 2L1, 3L1,.....5L1, L de O1. A chacune de ces distances curvilignes, il
faut calculer le correspondant l'aide de =L2/(2A2). En injectant chacune de ces valeursdans les quations de x1 et y1, on localise chaque dtail implanter dans les repres locauxO1xy pour la clothode 1 ou O2xy pour la 2.
Attentionx1 et y1 sont positifs (clothode gauche), x2 est positif et y2 est ngatif (clothode droite). En fonction de cette remarque, vous pouvez toujours faire un changement de base
pour obtenir les coordonnes des dtails
implanter dans votre systme de rfrencegnral.
Vous pouvez aussi, si vous le dsirez,
implanter tout dtail quelconque, tel que I,
de la clothode, par ses coordonnespolaires cI et I de O. Il faut toutsimplement observer que:
I = arctg(yI /xI ) et cI =
1.4) exemple
les donnes:
- V=100km/h, la vitesse de rfrence- R=700m, le rayon du cercle raccorder
- pm=2.5%, la pente transversale en alignement droit et
- = 164.3586 gons, l'angle des tangentes.
les rsul tats obteni r:- les lments caractristiques
- un dtail tous les 30m d'arc, la partie circulaire tant implante partir de la tangente
droite la clothode de paramtre A1.
Le traitement:ce qui sui t peut servir de document de synthse quant la dmarche
- dtermination du dvers de l'arc de cerclep, le dvers maximal = 5% (voir letableauen A100)
- calcul de = 200-=35.6414gons- choix des paramtres et calcul des arcs de raccordement
* On veut A R/3 (condition optique) => A 700/3 => A 233.333m.* Il faut aussi (c'est la condition d'existence) que A1
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A2=400.
Voici, en tableau, les lments caractristiques:
Formules clothode 1: A1 = 280 clothode 2: A2 = 400
L=A /R 112.000m 228.571 m
=100/(A/R)2 5.0930 gons 10.3938 gons
x=L(1-L /(40A )) 111.928 m 227.962 m
y=(L /2A )(1-L /(56A )) 2.985 m -12.416 m
d=y-R(1-cos) 0.746 m 3.107 m
xM=x-Rsin 55.987 m 114.183 m
t=(R+d)tg(/2) 201.447 m 202.126 m
h=(d1-d2)/sin -4.446 m -4.446 m
T=xM + t h 261.880 m 311.863 mTL = x y / tg 74.695 m 152.591 m
TC = y / sin 37.352 m 76.387 m
= - - 20.1546 gons
DC = ( R) / 200 221.611 m
DT = L1 + DC + L2 562.182 m
Voici, aussi en tableau, les dtails intermdiaires calculs pour un arc de 30.00m pris en
considrant l'origine en O1 pour la clothode 1 et le cercle et l'origine en O2 pour la clothode
2.
clothode 1: A1 = 280
origine O1
clothode 2: A2 = 400
origine O2
cercle R = 700 m avec
= (200x30) / ( x 700)= 2.72837 gons
origine O2
Li (m) xi (m) yi (m) Li (m) xi (m) yi (m) DCi xi yi
0 0.000 0.000 0 0.000 0.000 0 111.928 2.985
30 30.000 0.057 30 30.000 - 0.028 30 141.771 6.022
60 59.997 0.459 60 59.999 - 0.225 60 171.457 10.336
90 89.976 1.549 90 89.994 - 0.759 90 200.931 15.917
112.00 111.928 2.985 120 119.976 - 1.800 120 230.139 22.756
150 149.926 - 3.514 150 259.027 30.839
180 179.815 - 6.071 180 287.542 40.154
210 209.601 - 9.634 210 315.632 50.681
228.571 227.962 - 12.416 221.611 326.379 55.077
I I ) Les raccordements progressif s en profi l en long
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2.1) en projet
La problmatique est la mme, videmment, que celle expose dans lesraccordements
circulaires des pentes (sens 0). Il est plus commode en pratique de
remplacer chaque arc de cercle par un arc de parabole. Les contraintes de raccordement sont
rappeles ci-dessous.
Catgories R T L U A
60 80 80 100 80 100 120 60 80 80 100
Rayon minimal lors d'un raccordement en angle saillant
Rvm (km) 1.5 3.0 3.0 6.0 3.0 6.0 10.0 2.5 6.0 6.0 10.0
Rayon minimal lors d'un raccordement en angle rentrant
R'vm (km) 1.5 2.2 2.2 3.0 2.2 3.0 4.2 1.5 3.0 3.0 6.0
Dclivit maxi
(rampe) 7% 6% 6% 5% 6% 5% 4% 6% 6% 6% 5%Dclivit maxi
(pente) 7% 6% 6% 5% 6% 6% 5% 7% 7% 7% 7%
2.1.1) gnral i ts sur le raccordement par abolique
- A est le point d'intersection de la rampe et de la pente raccorder
- p1 et p2, les pentes de ces deux droites
- T1 et T2, les deux points de tangence
- D/2 la projection de chaque tangente AT1 et AT2 sur l'axe des x
- D, la distance horizontale T1T2
- s, l'abaissement AA'
- P, un profil quelconque
On appelle R, le rayon que l'on donnerait au raccordement s'il tait circulaire. C'est cettevaleur qui est issue du tableau des contraintes lies aux diffrentes catgories.
http://topogr.perso.neuf.fr/raccircu.htm#jethttp://topogr.perso.neuf.fr/raccircu.htm#jethttp://topogr.perso.neuf.fr/raccircu.htm#jethttp://topogr.perso.neuf.fr/raccircu.htm#jet7/27/2019 Les Raccordements rayons progressifs
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L'quation de la parabole devient . avec R > 0 si la concavit est tourne vers les y
positifs (vers le haut), et R < 0 si la concavit est tourne vers les y ngatifs (vers le bas, c'est
le cas de l'exemple ci-dessus). Cette quation est valable en rapportant la parabole son axe
(axe des y) et sa tangente (axe des x) au sommet S
Le point de tangence T1 a donc pour ordonne: . De plus, vous vous rappelez
tous que la drived'une fonction, en un point donn, vous donne le coeff icient directeurdela tangente la courbe en ce point. C'est . Mais au point de tangence T1, voire aussi T2, les
pentes sont connues puisqu'imposes p1 et p2. La drive de la fonction par rapport x
donne: y'=x/R. En T1, cela donne: p1=xT1/R. Ce qui fixe les coordonnes de T1:
et ,
et celles de T2: et .
Sachant qu'une parabole a pour proprit l'galit sur l'axe des x de la projection de deux
tangentes quelconques AT1 et AT2, on a: xT1+xT2=D soit D/2=(xT1+xT2)/2 =>
D/2=Abs((p2-p1)R/2).
Tous les points doivent tre calculs dans le systme de coordonnes gnral (X, Y) du profil
en long. Il suffit de procder au changement d'axes (x,y) par translation.
2.1.2) les calcul s
On dsigne par C et C' la cote de chaque point par rapport
l'axe des X, l'axe des Y tant l'origine des distances.
L'quation de chaque droite tant: Y=pX+C, on obtient le
systme suivant:
YA=p1XA+C1.
YA=p2XA+C2. avec XA=(C1-C2)/(p2-p1). On a aussi: X'A=(C'1-C'2)/(p2-p1) et XA=X'A+d, d'o:
YA=p1X'A+C'1. et YA=p2X'A+C'2.
On a directement: XT1=XA-D/2, YT1=p1XT1+C1 et XT2=XA+D/2, YT2=p2XT2+C2
Les coordonnes du sommet S deviennent:
XS=XT1-xT1 => XS=XT1-p1Rou XS=XT2-xT2 => XS=XT2-p2R,
ensuite
YS=YT1-yT1 => YS=YT1-p12R/2 ou YS=YT2-yT2 => YS=YT2-p2
2R/2 ,
Soit un point P quelconque sur la parabole entre T1 et T2. On a yP=xP2/2R et YP=xP
2/2R+YS
avec xP=XP-XS. D'o YP=YS+(XP-XS)2/2R. XP est une quantit que l'on se fixe, elle
correspond en gnral une distance cumule d'un profil.
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L'abaissement, s, est la quantit AA'. Pour la calculer, il "suffit" de faire la diffrence des
ordonnes YA et YA'. avec YA'=xA'2/2R=xA
2/2R=(xT1+D/2)2/2R et YA=YT1+p1D/2. D'o
finalement s=Abs((p2-p1)2R/8)
2.2) en implantation
Exemple rsolu: en prenant un rayon de raccordement de 1500m et les donnes inscrites dansle profil en long suivant, vous trouverez, en tableau, la justification des valeurs trouves en
rsultats qui apparaissent aussi dans ce mme profil en long.
Donnes Calculs Rsultats
pentes p1 et p2 p1=(503.86-506.45)/(60.0-0)p2=(504.48-503.50)/(149.85-105.00) p1=-4.3167% et p2=+2.1851%
Coordonnes de AXA=(C1-C2)/(p2-p1)
YA=p1XA+C1c2=504.48-149.85.p2
vrification avec YA=p2XA+C2C1=506.45 C2=501.21
XA = 80.59 et YA = 502.97
Coordonnes T1, T2D/2=Abs((p2-p1)R/2)
XT1=XA-D/2, YT1=p1XT1+C1 et XT2=XA+D/2,YT2=p2XT2+C2
R = +1500mD/2 = 48.76 D = 97.52XT1=31.83 YT1=505.08
XT2=129.35 YT2=504.04
Coordonnes de SXS=XT1-p1R YS=YT1-p1
2R/2vrification avec XS=XT2-p2R et
YS=YT2-p22R/2 XS=96.58 YS=503.68
Abaissement ss=Abs((p2-p1)
2R/8) s=0.79
Profils intermdiaires PYP=YS+(XP-XS)
2/2R
n profils P XP YP
T1S
T2
345
31.8396.58129.35
60.0085.00105.00
505.08503.68504.04
504.13503.72503.70
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6 120.00 503.86Autres profils PY2=Y1+p1.Dist Y2=506.45+p1.25,00 Y2=505.37
Exemple fair e:
la gomtrie du projet est dfinie sur ce profil en long, joint, ou de sa versionenregistreen
dwg (R14). Par contre, seules les coordonnes rectangulaires des points CL13 et CL14 sont
connues et indiques ci-dessous.
dtails E N
CL13 6368.390 1320.474
CL14 6378.775 1297.063
Calculez les coordonnes rectangulaires des dtails gomtriques: 350, CL1, CL22 et J2.
Pour dfinir l'altimtrie de ce mme projet, on impose:- au point 350, une altitude projet de 169.15m et au dtail CL1 une altitude projet de 169.84m.
La rampe, ainsi dfinie, sera prolonge jusqu'au point de rupture PH1.
A partir de PH1, on respectera une rampe rgulire qui devra passer par les points CL22 et J2.
On se propose d'implanter entre CL1 et CL22 un raccordement parabolique de pentes
admettant comme paramtre, le plus grand rayon possible, multiple entier de 500m.
Vous complterez ensuite le profil en long en portant les points mtriques et les altitudes des
points caractristiques du projet, ainsi que des profils PT1 PT7, implants tous les 20m.
I I I ) Conclusion
http://topogr.perso.neuf.fr/_private/profilenlong_ES2.dwghttp://topogr.perso.neuf.fr/_private/profilenlong_ES2.dwghttp://topogr.perso.neuf.fr/_private/profilenlong_ES2.dwghttp://topogr.perso.neuf.fr/_private/profilenlong_ES2.dwg7/27/2019 Les Raccordements rayons progressifs
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J'espre que le contenu exposant les raccordements progressifs aura t assez clair pour aider
un certain nombre d'entre vous, qui n'en ont pas l'usage quotidien, passer le BTS ainsi que le
DPLG.
http://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htmhttp://topogr.perso.neuf.fr/surfaces01.htmhttp://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htmhttp://topogr.perso.neuf.fr/surfaces01.htm