Les équations différentielles en mathématiques et en physique Etude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des.

Les équations différentielles en Les équations différentielles en mathématiques et en physiquemathématiques et en physique

Etude des conditions de leur enseignement et Etude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des caractérisation des rapports personnels des

étudiants de première année de l’université à cet étudiants de première année de l’université à cet objet de savoirobjet de savoir

Ayse SAGLAM-ARSLAN Laboratoire Lidset

29 Octobre 2004

2

Plan de exposé Plan de exposé

☛ProblématiqueProblématique☛Étude des choix didactiques de Étude des choix didactiques de

l’enseignement du concept équation l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en différentielle en mathématiques et en physique physique

☛Étude des conséquences de ces choix sur Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université de la première année de l’université

☛Perspectives Perspectives

3

Mathématiques…Mathématiques…Physique…Physique…

F(x, y(x)), y'(x), F(x, y(x)), y'(x), …,y…,y(n)(n)(x)=0(x)=0

1.1. Problématique

4

Statut du concept d’équation différentielle Statut du concept d’équation différentielle dans les deux disciplinesdans les deux disciplines

Objet d’étude

MathématiqMathématiques ues ?

Physique Physique

1.2. Problématique

5

Les équations différentielles en physiqueLes équations différentielles en physique

t=? Exemple: 3 Exemple: 3

q'(t)+(1/q'(t)+(1/RC)q(t)=0RC)q(t)=0

i(t) C R

E

Question/ problème

Réponse/ validation

Système réel

Modèle

Étape 1: Définition du système à étudier Étape 2: Construction d’un modèle et travail dans le modèle construit Étape 3: Retour au système

Démarche théorique Démarche expérimentale

6

Et l’apprenant?Et l’apprenant?

Que représente, pour Que représente, pour l’étudiant, l’objet équation l’étudiant, l’objet équation

différentielle?différentielle?

Comment un apprenant Comment un apprenant perçoit-il les différents statuts perçoit-il les différents statuts

de l’objet équation de l’objet équation différentielle?différentielle?

1.4. Problématique

7

Reformulation de l’objet d’étude dans le Reformulation de l’objet d’étude dans le cadre de la théorie anthropologique de la cadre de la théorie anthropologique de la

didactique didactique L’ensemble des rapports

institutionnels aux équations différentielles (de l’étudiant)

L’institution de l’enseignement des

mathématiques

L’institution de l’enseignement de la

physique

D’autres institutions

Rapport personnel de l’étudiant à l’objet

équation différentielle

1.5. Problématique

8

Questions de rechercheQuestions de recherche

Effets de ces choix sur l’apprentissage de ce concept.

Choix didactiques de l’enseignement des ED en mathématiques.

Q1

Rôle joué par les équations différentielles, pour les étudiants: modèle ou outil?

Caractéristiques du processus de modélisation à l’aide des ED.

Q2

1.6. Problématique

Rapport Rapport institutionnel institutionnel

Rapport personnel Rapport personnel

9

Dans l’exposé…Dans l’exposé…



10

Rapport institutionnel à l’objet équation Rapport institutionnel à l’objet équation différentielle différentielle

Décrire le rapport Décrire le rapport institutionnel de l’étudiant à institutionnel de l’étudiant à un objet de savoir c’est…un objet de savoir c’est…

……déterminer ce que cet déterminer ce que cet étudiant doit connaître à étudiant doit connaître à propos de cet objet de propos de cet objet de savoir.savoir.

2.1. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle

11

Comment caractériser le rapport Comment caractériser le rapport institutionnel ?institutionnel ?

2.

Approche praxéologique

Approche écologique

Outil pour l’analyse de l’accès au rapport institutionnel


Caractériser les rapports institutionnels par les matériaux scolaires 1.

En Terminale S: Manuels scolaires

En 1ère année de DEUG :-polycopiés des cours -feuilles de travaux dirigés-notes d’observation des classes

Mathématiques

Physique

12

Ce qui est attendu de l’étudiant… Ce qui est attendu de l’étudiant… enen mathématiques mathématiques

Terminale

DEUG


Changement de

registre (3%)

Modélisation (13%)

Résolution algébrique

(84%)

Recherche ED (5%)

Changement de

registre (9%)

Modélisation (7%)

Généralité (linéarité, ordre

…) (8%)


(71%)


(84%)


(71%)

13

Choix didactiques de l’enseignement des ED en mathématiques

Q1

L’enseignement des équations différentielles est caractérisé par la prédominance des méthodes algébriques.

14

Ce qui est attendu de l’étudiant…Ce qui est attendu de l’étudiant… en physique en physique

Terminale

DEUG


Étape 2

Construction du modèle

« différentiel » (21%)

Travail dans le modèle (79%)

Étape 2


« différentiel » (33%)


Étape 2


« différentiel »(21%)


Étape 3

Retour au réel

(0%)

Étape 1

Définition du

système

(0%)

Étape 2


« différentiel »(33%)


Étape 3

Retour au réel

(0%)

Étape 1

Définition du

système

(0%)

15

Caractéristiques du processus de modélisation à l’aide des ED?

Q2

Le processus de modélisation à l’aide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique.

16





17

Rapports personnels des étudiants à l’objet Rapports personnels des étudiants à l’objet équation différentielle- équation différentielle- Dispositif Dispositif

expérimentalexpérimental

En mathématiques

En physique

Deux tests

-Étude sur les généralités des ED

-Étude qualitative

-Étude d’un circuit électrique modélisé par une ED

-Étude expérimentale

-Étude théorique

3.1. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle

18

Conceptions des étudiants Conceptions des étudiants


0')( 2/1 yy

tdt

xd

dt

dxcos

2

2

0)'(cos xx

05)sin1('2 xyxyx

0)(' xf

0)'( te

Exercice proposé

47 étudiants 13 étudiants ont des conceptions

correctes 34 étudiants

5 étudiants exigent forcément une fonction et l’une de ses dérivées

dans une ED

21 étudiants réduisent toutes les ED aux

linéaires

3 étudiants associent le

signe de dérivation aux ED

19

Viabilité d’une autre approche Viabilité d’une autre approche

Etudier le comportement de la fonction solution y(x) quand x tend vers + pour l’équation différentielle : y' (x)=-y(x)+g(x) satisfaisant y(2)=4.Technique Technique

qualitative qualitative Technique Technique algébrique algébrique

Tracer le graphique de la fonction g(x) définie par g(x)=3 si 0 x 1 et g(x)=2e1-

x + 1 si x 1.


20

Zone I

Zone II

- Définir le - Définir le signe de la première fonction signe de la première fonction dérivéedérivée de y(x) de y(x) : : y'(x)= -y(x) y'(x)= -y(x) ++2e2e1-x1-x+1+1

- C- Construire un tableau de variation onstruire un tableau de variation 2e2e1-x1-x+1+1

y'(xy'(x))y(x)y(x)

+ -

Zone II Zone I

21

Implications de la prédominance de la Implications de la prédominance de la résolution algébrique résolution algébrique

Technique Technique qualitativequalitative

(aucun étudiant) (aucun étudiant)

Technique algébrique Technique algébrique (45 étudiants)(45 étudiants)


Groupe 1Groupe 115 étudiants15 étudiants

Groupe 2Groupe 213 étudiants13 étudiants

Groupe 3Groupe 317 étudiants 17 étudiants

10 réponses10 réponses correctescorrectes

22

Implications de la "modélisation Implications de la "modélisation algorithmisée"algorithmisée"

t(ms) (t0)

(t0 ; (u(t0))

u(volt)

1

i(t) L,r R

Rg

E

Etablir l’équation différentielle décrivant la courbe ci-dessus sachant que le paramètre est constant (l’équation de la tangente à une courbe quelconque en un point donné, par exemple t0 est donnée par :f(t)-f(t0)=f‘(t0)(t-t0)).

Etablir l’équation différentielle qui représente le circuit ci-dessus à l’instant t à partir des lois de l’électrocinétique. Justifier chaque étape de votre raisonnement.


a

"Trouver la courbe WW telle qu’en traçant la tangente WC jusqu’à l’axe x, XC soit toujours égale à un même segment constant a. » (Debeaune 1638)

23

Réponses obtenuesRéponses obtenues

Démarche expérimentale

(24 étudiants)

Démarche théorique (49

étudiants)2 réponses correctes

f’(t)+(1/)f(t)=022 réponses erronées

f’(t0)+(1/)f(t0)=0

f’(t0)+(1/)f(t0)=y

9 réponses erronées

40 réponses correctes

L.i'(t)+(R+r)i(t)=0


Démarche théorique (10 étudiants)

24

Le concept d’équation différentielle Le concept d’équation différentielle a-t-il du sens pour l’étudiant en physique?a-t-il du sens pour l’étudiant en physique?

f(t)=t.et est-elle la solution de l’équation différentielle traduisant le fonctionnement d’un circuit électrique RL? (u’(t)+(1/)u(t)=0 /f’(t)+(1/)f(t)=0))

La tension existante aux bornes de la résistance d’un circuit RL peut-elle s’annuler en un temps fini ? Pourquoi ?

76%

Etudiant: "Pour que la tension soit nulle à la résistance il faut que i(t) soit nul. Pour cela il faut que e-((r+R)t)/L

soit nul; ce qui n’est possible que

pour t=. Donc la tension ne peut pas être nulle en un temps fini, mais elle sera très proche de 0" .

70%


Maths ou Physique

25

Choix institutionnels… Choix institutionnels… et l’étudiant…et l’étudiant…

Le processus de modélisation à l’aide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique.

L’enseignement des équations différentielles est caractérisé par l’application des méthodes algébriques.

Difficultés à comprendre et à connaître « le concept d’équation différentielle »,

Cloisonnement entre les deux disciplines: Difficultés à mobiliser et à intégrer les connaissances relatives à l’objet équations différentielles,

Limitation aux systèmes familiers

Difficultés à donner du sens physique aux équations du sens physique aux équations différentielles. différentielles.

26





☛Perspectives Perspectives

27

Perspectives pour une ingénierie Perspectives pour une ingénierie

4. Perspectives

Systèmes dynamiques


Équation différentielle

Résolution mathématique

Interprétation

Démarche expérimentale Résolutio

n Qualitative et/ou numérique

Résultat mathématique

28

Merci… Merci…

29

Théorie

Modèle Champ expérimental de référence

Validation

Point de vue du physicien

A. Tiberghien, 1994

Principes, lois…

Formalisme: relations entre quantités physiques…

Mesures, dispositifs expérimentales…

Les équations différentielles en mathématiques et en physique Etude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des.

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