Lernbereich 8: Deterministisches Chaoshome.uni-leipzig.de/physikdidaktik/PDF/Lernbereich 8.pdf · Fadenpendel mit beliebiger Auslenkung (Stabpendel) Fadenpendel mit geringer Auslenkung

Lernbereich 8: Deterministisches Chaos Experimente, Simulationen und Begriffsbildungen

Inhaltsangebote

• Lernbereich Deterministisches Chaos• Einführender Überblicksvortag • Wir bauen …• EXPERIMENTIERPHASE 1• Modellierung und Moebius• Populationsdynamik • Theoretische Hintergründe für Beispiele aus Mechanik

und Elektrik• EXPERIMENTIERPHASE 2• Wege ins Chaos• Herzrhythmus und Physik

Fadenpendel mit beliebiger Auslenkung (Stabpendel)

Fadenpendel mit geringer Auslenkung

Kugelschale mit MuldenParabelförmige Kugelmulde

Magnetpendel, Doppelpendel, …

Elektrischer Schwingkreis mit nichtlinearem Blindelement

Elektrischer Schwingkreis

Drehpendel mit UnwuchtDrehpendel

Ebenes FederpendelLinearer Federschwinger

0=⋅+⋅••

xkxm 0),(),(

0),(),(

=⋅+⋅

=⋅+⋅

••

••

yxFyxl

yym

yxFyxl

xxm

Feder

Feder

02 =⋅⋅⋅+⋅⋅••

ϕϕ lgmlm 0sin2 =⋅⋅⋅+⋅⋅••

ϕϕ lgmlm

1. Lineare und nichtlineare Systeme

2. Nichtlineare SystemeDissipative Systeme

(Energiedurchströmung)

Lorenzmodell

Getriebenes Drehpendel mit Unwucht und Wirbelstromdämpfung

Getriebener nichtlinearer elektrischer Schwingkreis mit ohmschem Widerstand

Getriebenes Einfachpendel mit Reibung

Begriffe: Bifurkation

Intermittenz

Seltsamer Attraktor

Konservative Systeme

(Energieerhaltung)

Einfach- und Doppelpendel

Magnetpendel (ohne Dämpfung)

Planetensystem (Dreikörperproblem)

3. Nichtlineare Rückkopplung

3.1. Logistische Abbildung

3.2. Pohlsches Drehpendel

3.3. Elektrischer Schwingkreis

21 )1( nnnnn xrxrxxrx ⋅−⋅=−⋅⋅=+

PopulationsmodellNa aktuelle Tierzahl

Nn= c*Na nächste Generation

c : Reproduktionsfaktorc > 1 => Überbevölkerungc < 1 => Aussterben

Dämpfungsfaktor (Nmax – Na)/Nmax=(1- Na/Nmax)

Nmax – maximal „ernährbare“ Tierzahl

mit Na/Nmax = xa 0<xa<1Nn/Nmax = xn 0<xn<1c = r*(1-xa)

folgt die Gleichung für die logistische Abbildung

3.1. Logistische Abbildung

xn = r*xa*(1-xa) oder xn+1 = r*xn*(1-xn)

Iteration und Nichtlinearität

21 )1( nnnnn xrxrxxrx ⋅−⋅=−⋅⋅=+

nichtlineare Rückkopplung

0,30 ≤< r 0,40,3 ≤< r

„gewöhnliches Verhalten“ „überraschendes Verhalten“

Iteration und Feigenbaum-Diagramm

Iteration

Feigenbaum-Diagramm

x

x x x

r

8,2=r 2,3=r 0,4=r

3.2. Pohlsches Drehpendel

Drehschwingermit Zusatzmasse

Feder

Antrieb Wirbelstrom-dämpfung

Energiezufuhr Energieabgabe

Nichtlinearität

Energie strömt durch ein nichtlineares System(nichtlineares dissipatives System)

3.2.1. Drehpendel ohne Zusatzmasse�

030

6090

120

150

30

6090

120

150

lineareSpiralfeder

Exzenter

Wirbelstrombremse

Energiezufuhr Energieabgabe

harmonische Anregung

harmonische Reaktion

tMDJ 000 sin ωϕδϕϕ ⋅+⋅−⋅−=⋅•••

Energiezufuhr durch Exzenter

Energieabgabedurch Wirbelstrombremse

Linearität durch Spiralfeder

Diagramme des linearen Drehpendels

t

�

�

�

�

harmonische Anregung

harmonische Reaktion

Zeitdiagramm

Phasendiagramm

3.2.2. Drehpendel mit Zusatzmasse

tMrgmDJ Z 00 sinsin ωϕδϕϕϕ ⋅+⋅−⋅⋅⋅+⋅−=⋅•••

Energiezufuhr durch Exzenter

Energieabgabedurch Wirbelstrombremse

Nichtlinearität durch Zusatzmasse

�

030

6090

120

150

30

6090

120

150

lineareSpiralfeder

Exzenter

Wirbelstrombremse

Nichtlinearitätdurch Zusatzmasse ( )m

Energiezufuhr Energieabgabe

harmonische Anregung

nichtharmonische Reaktion

Diagramme des nichtlinearen Drehpendels

harmonische Anregung

nichtharmonische Reaktion

t

�

�

�

�

Phasendiagramm

Zeitdiagramm

Zweite Bifurkation

3.3. Elektrischer Schwingkreis

Energie strömt durch ein nichtlineares System(nichtlineares dissipatives System)

Generator

Diode als nichtlineare Kapazität

Ohmscher Widerstand mit Joulescher Abwärme

Energiezufuhr

EnergieabgabeNichtlinearität

3.3.1. Linearer elektrischer Schwingkreis

harmonische Anregung

harmonische Reaktion

G

Energiezufuhr Energieabgabe

lineare Kapazität

R L C30kHz

UA

UC

ACRL uuuu =++

)sin(1 tUQC

QRQL ⋅⋅=⋅+⋅+⋅∧•••

ω

Energiezufuhr durch Generator

Energieabgabe durch Joulesche Wärme

Linearität durch konstante Kapazität (und konstante Induktivität)

t

UA

UC

UC

UA

Diagramme des linearen elektrischen Schwingkreises

harmonische Anregung

harmonische Reaktion

Phasendiagramm

Zeitdiagramm

3.3.2. Nichtlinearer elektrischer Schwingkreis

G

Energiezufuhr Energieabgabe nichlineare Kapazität

R L CD( )U30kHz

UA

UD

ADRL uuuu =++

harmonische Anregung

nichtharmonische Reaktion

)sin()1)(exp(0 tUUC

QUQRQLoo

⋅⋅=−⋅

⋅+⋅+⋅∧•••

ω

Energiezufuhr durch Generator

Energieabgabe durch Joulesche Wärme

Nichtlinearität durch spannungsabhängige Kapazität

t

UA

UD

UD

UA

Diagramme des nichtlinearen elektrischen Schwingkreises

Phasendiagramm

Zeitdiagramm

harmonische Anregung

nichtharmonische Reaktion

4. Wettervorhersage und Sensitivität

J/°C

t/d

Min. Temperatur Max. TemperaturMedian 90% Band