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Fuggi i precetti di quelli speculatori

che le loro ragioni non sono confermate

dalla isperienza.

Leonardo da Vinci, Manuscrito B 4v

Prácticas de Laboratorio (Óptica). Licenciatura en Física.

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Presentación.

La observación de los fenómenos luminosos en particular ofrece la posibilidad de

apreciar muy directamente algunas relaciones de causa y efecto que son de consecuente

impacto positivo para la formación del estudioso de la Física y la Ingeniería, de las Ondas

y, desde luego, de la Óptica. En esa clase de fenómenos, también es posible la introducción

de mediciones a fin de realizar un análisis cuantitativo de dependencias entre variables,

ilustrando así el ejercicio del método experimental. El análisis puede mantenerse en un

mínimo nivel introductorio, sin por ello caer en demasiadas simplificaciones. Las ventajas

obtenidas, además de ilustrar los fenómenos físicos esenciales constituyentes de los

contenidos programáticos tradicionales, incluyen el enlace con técnicas matemáticas

propias del nivel de enseñanza correspondiente, como es el caso de la Trigonometría y de la

Geometría Analítica.

Es con este espíritu que se proponen las siguientes prácticas de Óptica para el nivel

medio superior y superior. De acuerdo al énfasis presentado, se incluyen dos subtemas:

Óptica Geométrica (propagación de rayos) y

Óptica Física (propiedades de ondas)

Dentro del primer subtema, se incluyen prácticas relacionadas con la reflexión y la

refracción, con los espejos planos y esféricos, con lentes de focal positiva y negativa y

aspectos relacionados tales como amplificación e imágenes. Especial atención reciben las

imágenes y objetos virtuales. Se construyen los métodos de formación de imágenes

paraxiales basados en reflexión y refracción de rayos. Los trazos requeridos son los

mínimos, pero sin perder rigor en su manejo. En el caso del arco iris especialmente, se

sugiere el uso de trazo a lápiz de rayos realizados estratégicamente para la observación de

concentraciones de rayos (cáusticas). Dentro del segundo subtema, se propone trabajar con


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polarización lineal, con interferencia y con difracción, ilustrando finalmente la

espectroscopia con algunos espectros de fuentes luminosas, algunas de ellas empleadas en

prácticas previas.

Las metodologías de las prácticas incluyen algunas de las siguientes actividades:

simulaciones de rayos con trazos a lápiz sobre papel,

toma de datos y graficado de una variable dependiente (VD) como función

de otra variable independiente (VI),

procesamiento de los datos elemental para un hallazgo empírico de

relaciones matemáticas entre variables,

interpolaciones y extrapolaciones,

comparación cuantitativa entre teoría y experimento.

Cada práctica se plantea como una lista de objetivos conductuales a cumplir por el alumno.

Así, se sistematiza el trabajo; pero, con la discusión de conceptos, se busca que el educando

adquiera una rica experiencia relativa a los fenómenos ópticos esenciales. Las descripciones

en las prácticas están más bien dirigidas al maestro de grupo. Él podrá dosificar o

complementará la información por proporcionar a sus educandos de acuerdo a su criterio.

Sin embargo, el estudiante autodidacta también puede emplearlo siguiendo las actividades a

su propio ritmo.

La descripción de cada arreglo experimental no se describe con todo detalle. Su

planteamiento requiere de la adaptación de los recursos con que se cuente. La solución

específica puede alcanzarse de diversas formas, aunque es recomendable para muchas

prácticas el poder echar mano de rieles ópticos de 1 m a 1.50 m, equipados con sus

respectivos accesorios tales como carros soportes y vástagos. Esto, sobre todo para las


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prácticas de lentes, así como la de polarización. Las prácticas de espejos son menos

demandantes; aunque sí se requiere de espejos esféricos o parabólicos de radio de curvatura

de alrededor de 1 m (uno por equipo, claro está). Para las prácticas de interferómetros, los

interferómetros de enseñanza resultan muy convenientes. Muchos de ellos pueden

configurarse en modo Michelson o Fabry-Perot, por lo que son totalmente recomendables

para realizar las prácticas respectivas. Para el ejercicio práctico de espectroscopía, se

necesita un espectroscopio. Hay modelos a base de fibra óptica fácilmente adaptables a

ordenadores personales. En cuanto a las fuentes de luz, muchas veces, se requiere del

empleo de foquitos con filamento de tungsteno; los de lámparas manuales sirven muy bien.

Para los anillos de Newton, se requiere una lámpara espectral de mercurio con filtro verde.

Para interferencia múltiple, se requiere una lámpara espectral de sodio. Las lámparas

espectrales y láseres pueden usarse en la práctica de espectroscopía. Un láser es

imprescindible para la práctica de difracción.

Aunque las descripciones presentadas son de adquisiciones y procesamiento de

datos manualmente, pudieran adaptarse a un apoyo de ordenador personal en diferentes

grados. Para dedicar el mayor tiempo posible a la física de cada problema, se ha decidido

presentar estas prácticas sin trabajar con incertidumbres. Tampoco se usan las reglas

propias del manejo de cifras significativas. Una atención especial para los antecedentes

teóricos, sobre todo en los apéndices, intenta integrar conceptos geométricos y matemáticos

con el diseño experimental, con los métodos de medición y con la interpretación de

resultados. Sin embargo, las prácticas también pueden realizarse como experimentos de

tipo empíricos (sin antecedentes teóricos).

El trabajo en prácticas de laboratorio constituye una actividad integradora. Es

también una oportunidad para llevar a cabo sesiones de aprendizaje no centradas en el


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profesor. El contenido de prácticas aquí sugeridas usualmente se cubre en un curso de

laboratorio a lo largo de un semestre con dos sesiones semanales, cada una de tres horas.

El equipo requerido es de propósitos generales con contadas excepciones.

Si las prácticas propuestas para los educandos les proporcionaran ejemplos de un

orden en la Naturaleza que puede describirse matemáticamente de modo muy directo,

podría decirse que son de valor no sólo respecto a su contribución a un acervo cultural

importante, sino en relación a las construcciones que necesariamente promueven.

Se agradecen especialmente las enseñanzas sobre metodología de la

experimentación y sobre Óptica experimental impartidas por los profesores Claudio Guerra

Vera, Humberto Sotelo González, Juan Américo González Menéndez, Oswaldo Harris

Muñoz, Daniel Malacara Hernández, Alejandro Cornejo Rodríguez, Chandrasekhar

Roychoudhuri, Murty V. Mantravadi (M. V. R. K. Murty) y José de Jesús Francisco

Pedraza Contreras.

Así mismo, se reconoce la continua retroalimentación surgida de parte de

numerosos estudiantes partícipes de cursos de laboratorio basados en las presentes notas.

En especial, aquellos de la Universidad Veracruzana y de la Benemérita Universidad

Autónoma de Puebla.


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Lista de nombres de prácticas.

1. La Ley de Reflexión.

2. El espejo esférico.

3. La Ley de Snell.

4. La lente “convergente” I.

5. La lupa.

6. La lente “convergente” II.

7. La lente “divergente”.

8. La amplificación angular.

9. La interferencia.

10. El arco iris.

11. La Ley de Malus.

12. El interferómetro de Michelson.

13. La difracción de un cabello.

14. Bandas y líneas espectrales.

15. La interferencia con múltiples haces.

Referencias generales.

Physical Science Study Committee (PSSC), Física, Reverté (Barcelona) 1974.

R. Feyman, R. Leighton, M. Sands, Lectures on Physics, Addison-Wesley (London) 1977.

E. Hecht, Optics, Addison-Wesley (Menlo Park) 2003.

F. Jenkins, H. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill (New York) 1957.

J. A. González Menéndez, Relaciones empíricas, UNAM (México) 1976.


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Apéndices.

A. Derivaciones de las relaciones entre imágenes y objetos.

A.1. Espejo esférico

A.2. Lente convexa y lente cóncava

B. Procesamiento de datos experimentales: relaciones gráficas entre dos

variables.

B.1. Lineal . Ajuste visual.

B.2. Cambio de variable

En relación sinusoidal

En relación hiperbólica

C. Propiedades ondulatorias.

C.1. Interferencia de dos ondas

C.2. Anillos de Newton

C.3. Interferómetro de Michelson

C.4. Difracción de rendija

C.5. Espectroscopio

C.6. Interferómetro Fabry-Perot


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Práctica Nº 1. La Ley de Reflexión.

Tema:

_ Óptica Geométrica

Subtema:

_ Reflexión especular

Nombre:

_ El espejo plano

Objetivos:

_ Encontrar gráficamente la posición de la imagen producida por un espejo plano

cuando un objeto pequeño se coloca frente a él.

_ Empleando los trazos del objetivo anterior, localizar los segmentos de rayos

correspondientes partiendo del objeto y reflejándose en el espejo. Medir a continuación los

ángulos de incidencia y reflexión para obtener la relación matemática entre estas variables.

Material:

_ espejos planos de forma rectangular, de preferencia de primera superficie

_ una escuadra y un transportador

_ opcionalmente: un nivel y una plomada

_ una hoja de papel milimetrado

_ varios alfileres y lápiz

Antecedentes.

La Fig.1.1 muestra los parámetros de la reflexión especular, donde una fuente

puntual O origina rayos reflejados en una superficie plana de modo que el ángulo incidente

iguala en valor absoluto al ángulo de reflexión ' , medidos a ambos lados de la línea

normal N a la superficie. La prolongación de los rayos reflejados (línea discontinua) se


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intersectan en el punto I. Los rayos incidentes (trazados en línea continua a la izquierda de

N) y las prolongaciones de los reflejados forman triángulos semejantes de lados iguales, por

lo cual las distancias s y s’ deben ser iguales. El objeto puntual O es reproducido como si

fuera una fuente situada en I, por lo cual se conoce como imagen virtual. Con el

procedimiento de hallar la imagen puntual de un objeto puntual buscando igual separación

tras la superficie reflectora (espejo plano), se pueden hallar las imágenes de objetos

extendidos considerando algunos de sus puntos, como los extremos (recuadro). Los

tamaños de las imágenes son iguales a los de los objetos correspondientes (amplificación

lateral unitaria).

Fig.1.1. Rayos provenientes de una fuente puntual O reflejados en una superficie plana de

acuerdo a la ley de reflexión. Recuadro: imágenes de objetos no puntuales halladas según el

método encontrado para fuentes puntuales.


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Procedimiento sugerido.

Se coloca un espejo plano con su superficie reflectora perpendicular a la hoja de

trabajo. Se coloca un alfiler frente a él (O). Se determinan las líneas visuales de la imagen

observada (rayos provenientes de I) alineando a la imagen con dos alfileres adicionales

separados entre sí. Se registran sus posiciones y se busca otro ángulo (línea visual).

Resultados típicos.

La Fig.1.2 muestra 16 pares de marcas de alfileres encontradas al alinearlos con las

imágenes de un alfiler (objeto O) colocado en la posición fija marcada (X). La línea

horizontal indica la posición en que se colocó al espejo plano (de primera reflexión). Bajo

de ella, se encuentran las marcas usadas (sobre círculos prolongados tras el espejo). Cada

par de marcas se unió con un trazo a lápiz, prolongado hasta atrás del espejo para hallar una

región de intersección con los demás trazos. Ésta se halla a una distancia muy parecida a la

del objeto respecto a la posición del espejo.

Una vez hallados los rayos reflejados, pueden encontrarse los segmentos de rayo

incidentes en el espejo. Para determinar un segmento, se traza una línea recta uniendo la

posición del alfiler objeto con la intersección de un rayo reflejado con el espejo. A

continuación, se mide el ángulo entre el rayo incidente encontrado y la normal al espejo

en el punto de incidencia. El ángulo de reflexión es el formado por el segmento de rayo

reflejado y la misma normal. De ese modo pueden obtenerse diferentes pares de ángulos.

Los trazos no se muestran en la Fig.1.2. Algunos resultados se muestran en la Tabla 1.1,

mientras que su gráfica se ve en la Fig.1.3. Se observa un comportamiento lineal de

pendiente cercana a la unidad (0.987), con coordenada al origen de valor no muy grande

(0.165).


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Fig.1.2. Trazo de las líneas visuales registradas sobre papel. La convergencia es

aproximadamente a la misma distancia del objeto (X).

Tabla 1.1. Ley de reflexión

[°]

’ [°]

35.5 35.2

30 30

22 21

16 17

6.2 6

-6 -6

-11.9 -12

-18.5 -18


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-24.4 -23

-30.1 -30

Fig.1.3. Ángulo de reflexión ’ (vertical, VD) como función del ángulo de incidencia

(horizontal, VI).

Así, la relación obtenida es

165.0987.0' .

Recomendaciones.

Usar espejos planos con su primera cara como la superficie reflectora. Estos se usan

en algunos instrumentos como cámaras réflex (espejo abatible), los retroproyectores, o

algunos escáneres. Puede emplearse un espejo convencional que refleje en la segunda

superficie; pero la convergencia de los trazos será menos marcada. Puede usarse un vidrio


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plano a condición de identificar bien el reflejo de la primera cara. Observar la parte más

baja de los alfileres para reducir el error en su inclinación. Puede usarse un área de trabajo

previamente nivelada para determinar la posición de la superficie reflectora vertical con una

plomada para asegurar la perpendicularidad (además de usar una regla escuadra). Una hoja

de papel milimetrado o polar puede ser conveniente para el trazo y la lectura rápida de

posiciones.

Guía para discusión.

Establecer la relación entre la recta ajustada y la ley de reflexión. Encontrar

gráficamente las imágenes entre pares de espejos planos bajo las siguientes situaciones: un

espejo paralelamente frente al otro. Unidos por un vértice, formando 90° y 60°. Enumerar

las imágenes producidas, identificando la orientación de cada imagen. Un sistema de tres

espejos a 60° proporciona un caleidoscopio. Comparar los resultados previstos con los

observados. Discutir la repuesta a la pregunta ¿Un espejo plano invierte derecha e

izquierda? En la práctica se comprueba una consecuencia de la ley de reflexión más bien

que la ley misma. Discutir cómo verificar la ley de reflexión con un haz direccional (láser,

por ejemplo) directamente.


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Práctica Nº 2. El espejo esférico.

Tema:


Subtema:

_ Reflexión especular e imágenes

Nombre:

_ El espejo cóncavo

Objetivos:

_ Determinar la gráfica entre la posición del objeto y la posición de su imagen,

medidas ambas respecto al centro de un espejo cóncavo.

_ Determinar experimentalmente el radio de curvatura del espejo empleado.

_ Determinar experimentalmente la longitud focal media del espejo empleado.

Material:

_ un espejo cóncavo ( 0.4 - 1.5 m de radio de curvatura)

_ un foco de filamento de tungsteno para lámpara de mano (6-9 V)

_ una pantalla (papel, cartón blanco)

_ baterías, o adaptador de alimentación para el foco

_ un banco óptico de 1 a 2 m

_ dos carros con soportes

_ un soporte para el espejo

_ una cinta métrica

_ una escuadra


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Antecedentes.

Como puede mostrarse con un espejo cóncavo, éste reproduce una distribución de

intensidades O, en determinado lugar frente al espejo (s), sobre una pantalla en otro lugar

distinto (s’). Se forma, en otras palabras, una imagen real I. A diferencia de la imagen

virtual producida por un espejo plano, la amplificación lateral de la imagen real no es

unitaria siempre. La imagen real tiene una inversión relativa al objeto que la produce.

Estando suficientemente cerca del espejo, también se observan imágenes virtuales de

amplificación lateral mayor que la unidad (amplificadas). Otros parámetros se describen en

el apéndice A.1.


Fijar un espejo cóncavo en un extremo del área de trabajo. Frente a él, preparar un

foquito de tungsteno con su fuente de alimentación (pilas, convertidor, fuente de poder) de

modo que, encendido, pueda desplazarse a diferentes posiciones longitudinalmente frente al

espejo. Encontrar una imagen real con el auxilio de una pantalla (de papel blanco o cartón

claro). Alinear foquito, imagen y centro del espejo, determinando la línea que los une y

usándola para, sobre de ella, realizar los desplazamientos posteriores. Las alturas de centro

de espejo, foquito e imagen (usualmente del filamento encendido) deben mantenerse a igual

altura del área de trabajo. La variable independiente (VI) es la posición de un punto elegido

del foquito respecto al centro del espejo (s). La variable dependiente (VD) es la posición de

la imagen del punto (o región) elegido del foquito (s’). Si el arreglo puede realizarse con un

riel óptico y carros de sujeción, los resultados serán más precisos y rápidos; pero las

mediciones pueden realizarse sobre una mesa larga o, si el radio de curvatura R del espejo

es larga (de 1 m o más), pueden tomarse sobre el piso.


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A. Datos experimentales.

Algunos resultados típicos se muestran en la tabla 2.1, mientras que su gráfica

correspondiente, en la Fig.2.1. Alrededor del punto (35.7, 41), las coordenadas son

semejantes, indicando cercanía con la condición s = R y s’ = R (centro de curvatura).

Tabla 2.1. Espejo esférico

s [cm]

s’ [cm]

23 105.8

24 94.7

25 80.7

27 64.9

30 52.2

32 47.1

33 45.5

34.9 42

35 42.1

35.7 41

40 35.5

42 34.2

44 33

46 31.9

48 30.9

50 30.1

52 29.2

54 28.5

56 27.9

La gráfica principal muestra los datos de posiciones objeto real e imagen real en un

rango convencional ajustado a los valores máximo y mínimo de cada variable (s [20,60],

s’ [20,115]). Se han unido los puntos experimentales con líneas rectas para ayudar a la

visualización de la curva resultante. Para enfatizar la conveniencia de un rango más amplio,


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los mismos datos se grafican en la gráfica del recuadro. Se ha incluido el origen (0,0) e

iguales límites superiores (110 cm). Por la distribución de los datos, se visualiza que éstos

no se distribuyeron simétricamente en torno a lo que podría considerarse como el centro de

la curva. También, se reconoce un comportamiento donde la curva parece tender a juntarse

con la recta paralela al eje vertical que cruza al eje horizontal por el punto s = 20 cm

(comportamiento asintótico).

Fig.2.1. Posición imagen s’ (vertical, VD) como función de la posición objeto s (horizontal,

VI).

B. Procesamiento de los datos experimentales.

Para tratar de hallar una relación aproximada entre las variables, se prueba el

cambio de variable sugerido por los trazos teóricos, que viene a resultar ser X=1/s y Y=1/s’.


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La gráfica correspondiente se muestra en la Fig.2.4, donde puede identificarse una

tendencia de parte de los datos procesados a conglomerarse según una línea recta. En

general, otro cambio de variable posible no mostraría una tendencia semejante. Se grafica

la línea recta que, por mínimos cuadrados, ajusta mejor a los datos procesados.

Fig.2.2. Cambio de variable. Y=1/s’ como función de X=1/s.

La línea recta ajustada pasa por los puntos X,Y de coordenadas (0, 0.054) y (0.052,0)

aproximadamente. Interpretando a la ordenada al origen como la inversa de una asíntota de

la curva (hipérbola), se tiene que su valor es 1/0.54 = 18.59 cm, que vendría a ser la

longitud focal aproximada. Entonces, el radio de curvatura R es del doble de eso mismo, R


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37.18 cm. Este resultado está de acuerdo con los valores de la región donde las

coordenadas son parecidas (Tabla 2.1). La relación obtenida es (para fs )

054.01

045.1'

1

ss.

Recomendaciones.

Observar algunas imágenes reales previamente a la práctica. Introducir una

definición operativa de imagen. Vigilar la alineación, midiendo las alturas de objeto e

imagen, que deben ser iguales en todo momento. Una vez identificado el rango de

posiciones objeto e imagen donde no difieren mucho, tratar de medir la posición de mínima

diferencia (la imagen coincide con el objeto) para tener una buena aproximación al valor

del radio de curvatura. Para obtener datos con objeto lejano (valores altos de s’) puede ser

necesario trasladar el arreglo al piso del laboratorio. Igual para datos relativamente

cercanos al centro de curvatura. Observar también las deformaciones de la imagen cuando

el objeto tiende ángulos grandes respecto al eje óptico (aberraciones de astigmatismo y

coma, p.e.). Observar las imágenes virtuales también formadas. Mencionar las situaciones

comunes en que estas últimas se usan (espejos amplificadores para observarse el rostro

aumentado).


Establecer la relación matemática implicada por los resultados del ajuste encontrado

después del cambio de variable. En particular, discutir los significados de la pendiente y de

la coordenada al origen. Establecer la compatibilidad de la relación hallada con las

relaciones con las fórmulas desarrolladas en el apéndice A.1. En especial, lo referente a la


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formación de las imágenes y la amplificación lateral. Definir lo que es una imagen real

(p.e., es la reproducción de una distribución de intensidades. La reproducción puede

proyectarse en otro lugar diferente en general del de la distribución original. La escala de la

copia puede ser también diferente). Diferencias y semejanzas entre imagen real y virtual

(p.e., la real se proyecta sobre una pantalla, mientras que la virtual se observa

directamente). Responder brevemente a la pregunta ¿Cómo analizar las imágenes de un

espejo convexo? Explicar cómo el espejo plano es caso particular del esférico (

1,', MssR ).


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Práctica Nº 3. La Ley de Snell.

Tema:


Subtema:

_ Refracción

Nombre:

_ La refracción en superficie plana

Objetivos:

_ Obtener la gráfica entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción cuando

un objeto pequeño se halla frente a una frontera plana que divide a dos medios

transparentes.

_ Realizar un cambio de variable trigonométrico para inferir la relación matemática

entre ambas variables.

Material:

_ un semicilindro transparente de vidrio o acrílico (sólido o hueco)

_ una hoja de papel milimetrado

_ varios alfileres y lápiz

Antecedentes.

Se observa que la dirección de la propagación de la luz sufre una desviación cuando

pasa de un medio transparente, a otro similar. La ley que establece la manera en que

sucede, se llama ley de refracción o ley de Snell.


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Utilizar una pieza transparente de vidrio o de acrílico (si es hueco, puede llenarse de

agua). Refiriéndose al esquema de la Fig.3.1, se coloca un objeto (alfiler) en alguna de las

posiciones tipo 1 (frente al lado plano del semicilindro), observando del lado curvo, en las

posiciones tipo 2. Marcar con lápiz o marcador fino el centro de la cara plana, que debe

corresponder con el centro de curvatura del lado curvo (así sea aproximadamente).

Fig.3.1. Puntos 1 (X rojas): posiciones de alfileres definiendo rayo incidente. Puntos

2 (X azules): posiciones de alfileres correspondientes halladas por coincidencia visual con

alfiler incidente y centro marcado de semicilindro (cruz café).


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Observando el alfiler del lado plano (alfiler objeto) por el lado curvo a cierto ángulo

elegido, buscar la alineación de su imagen con la marca realizada. Luego, alinear otro

alfiler con la marca (y con el alfiler objeto). Registrar la marca para trazar posteriormente

las líneas indicadas en la Fig.3.1, que son las representativas del rayo desviado. Repetir la

operación varias veces para tener los trayectos de varios rayos.



Un bloque de vidrio de ventana de ¾” de grosor se mandó cortar de forma circular,

resultando con un diámetro de 18.8 cm (después de suavizadas las aristas). Luego, se

mandó cortar a la mitad, puliendo las caras planas convenientemente.

Tabla 3.1. Ley de refracción

ángulo de incidencia

i [°]

ángulo de refracción

t [°]

80 42

71 39

62 36

54 32

45 26

36 22

27 16.5

18 10

10 6

-2 -3

-5 -4

-13 -10

-22 -15

-31 -20.5

-41 -26

-52 -32

-63 -36

-72 -39

-80 -41


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Se terminó con dos partes no exactamente iguales dado que a una de ellas se le

midió un radio de 9 cm, mientras que a la otra, de 9.4 cm. Se trabajó con la primera de ellas.

Los ángulos medidos respecto a la normal de la cara plana se muestran en la Fig.3.3. El

ángulo de incidencia (VI) es el ángulo tendido por la línea del punto 1 al centro (cruz) de

la cara incidente, medido respecto a NN’, mientras que el ángulo de refracción ' (VD), es

el formado por la línea del centro al punto 2, medido respecto a la misma línea NN’.

Fig.3.2. Ángulo de refracción t (vertical, VD) como función del ángulo de

incidencia i (horizontal, VI).

B. Procesamiento de los datos.

Se realizó un cambio de variable trigonométrico del tipo X = sen (i) y Y = sen (t),

mostrándose la gráfica en la Fig.3.3. Notar que hay puntos definiendo una pendiente de 2/3,

lo cual puede interpretarse como un índice de refracción relativo de 12n = 3/2 = 1.5


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aproximadamente. Un cálculo de pendiente más exacto empleando la recta visualmente

(apéndice B.1) ajustada arroja un valor de 12n = 1.511. De hecho, la relación obtenida por

ajuste de mínimos cuadrados es

310771.8)(sen662.0)(sen it .

Fig.3.3. Cambio de variable. Y=sen( t ) como función de X=sen( i ).

Recomendaciones.

Buscar ángulos lo más próximos a los 90° para empezar a notar la tendencia a

curvarse de parte de la curva asociada a los datos. Si la imagen observada se amplifica,

estimar la posición de su parte media.


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después del cambio de variable. Relacionarla con la Ley de Snell. Interpretar el significado

de la pendiente de la recta ajustada. Justificar la conveniencia de usar un semicilindro. ¿Qué

inconvenientes acarrearía el usar otra forma del vidrio, por ejemplo, una placa?


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Práctica Nº 4. La lente “convergente” I.

Tema:


Subtema:

_ Imágenes reales

Nombre:

_ Lentes de focal positiva (estudio introductorio)

Objetivos:

_ Obtener la gráfica entre la posición objeto y la posición imagen cuando un objeto

se halla frente a una lente doble o plano convexa dentro de un rango entre el foco e infinito.

_ Realizando un cambio de variable, proponer la relación matemática entre la

posición objeto y la posición imagen

_ Determinar experimentalmente el valor medio de la longitud focal de la lente

usada.

Material:

_ una lente doble convexa o plano convexa ( 10, 15 o 20 cm de longitud focal)


_ una pantalla

_ baterías o adaptador de alimentación para el foco


_ tres carros con soportes


_ una escuadra


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Antecedentes.

Una lente convexa forma imágenes reales semejantes a las de un espejo cóncavo

bajo muchas circunstancias. La Fig.4.1 esquematiza dos situaciones características de una

lente doble convexa y cómo pueden encontrarse dichas imágenes reales. A la izquierda, si

un objeto se encuentra muy lejano a la lente (el sol, por ejemplo), se origina una

concentración del otro lado (quizá de ahí el nombre de “lente convergente”). La región de

concentración se idealiza como un punto llamado foco (F) y su posición tiene una distancia

a la lente conocida como longitud focal (f). En la derecha, se esquematiza la formación de

una imagen real cuando el objeto está cerca del foco. Un rayo paralelo del objeto O, se hace

pasar por el foco F, mientras que uno pasando primero por el foco F, sale paralelo

(principio de reversibilidad, apéndice A.3). Al suponer que donde se crucen dos rayos, se

cruzan todos (al menos muy cerca de allí), se explican las imágenes observadas. El trazo

explica también la inversión observada.

Fig.4.1. Trazo de rayos para la formación de imágenes reales con objetos reales formadas

por una lente convexa.


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Fijar una lente convexa alrededor de la mitad del área de trabajo. Frente a élla,

preparar un foquito de tungsteno con su fuente de alimentación (pilas, convertidor, fuente

de poder) de modo que, encendido, pueda desplazarse a diferentes posiciones

longitudinalmente frente a la lente. Encontrar una imagen real del otro lado de ella,

buscándola con una pantalla. Alinear foquito, imagen y centro de la lente, determinando la

línea que los une y usándola para, sobre de ella, realizar los desplazamientos posteriores.

Las alturas de centro de la lente, foquito e imagen (usualmente del filamento encendido)

deben mantenerse a igual altura del área de trabajo. La variable independiente (VI) es la

posición de un punto elegido del foquito respecto a la mitad de la lente (s). Existirá cierta

incertidumbre en esta posición, por lo cual deberá estimarse sin exceder el error en su

posición en más de unos milímetros. Una vez determinado el punto medio, usarlo para

todas las subsecuentes mediciones. La variable dependiente (VD) es la posición de la

imagen del punto (o región) elegido del foquito (s’). Como en el caso del espejo cóncavo, si

el arreglo puede realizarse con un riel óptico y carros de sujeción, los resultados serán más

precisos y rápidos; pero las mediciones pueden realizarse también sobre una mesa larga o

pueden tomarse sobre el piso. De hecho, algunas mediciones deben realizarse así (objeto

muy cercano al foco, con imagen lejana de la lente algunos metros) si se desean datos en un

amplio rango de distancias.


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Algunos resultados típicos se muestran en la tabla 4.1, mientras que su gráfica

correspondiente, en la Fig.4.3. Entre los puntos (29.2, 40.8) y (56, 24.5), las coordenadas

son semejantes, indicando cercanía con la condición s = 2 f y s’ = 2 f.

Tabla 4.1. Lente “convergente”

s [cm]

s’ [cm]

20.4 94.6

20.7 89.3

21.1 83.9

21.5 78.5

21.9 73.1

22.5 67.5

23.3 61.7

24.7 55.3

26.3 48.7

29.2 40.8

56 24.5

57 24.7

59 24.3

61 24

64 23.8

66 23.3

La gráfica principal muestra los datos de posiciones objeto real e imagen real en un

rango convencional ajustado a los valores máximo y mínimo de cada variable (s [20,80],

s’ [20,95]). Se han unido los puntos experimentales con líneas rectas para ayudar a la

visualización de la curva resultante. Para enfatizar la conveniencia de un rango más amplio,

los mismos datos se grafican en la gráfica del recuadro. Se ha incluido el origen (0,0) e

iguales límites superiores (100 cm). Por la distribución de los datos, se visualiza que éstos


33

no se distribuyeron simétricamente en torno a lo que podría considerarse como el centro de

la curva. También, se reconoce un comportamiento donde la curva parece tender a juntarse

con la recta paralela al eje vertical que cruza al eje horizontal por el punto s = 20 cm

(comportamiento asintótico).


VI). Inserto: escalas iguales.

B. Procesamiento de los datos experimentales.

Para tratar de hallar una relación aproximada entre las variables, se prueba el

cambio de variable sugerido por los trazos teóricos, que viene a resultar ser X=1/s y Y=1/s’.

La gráfica correspondiente se muestra en la Fig.4.4, donde puede identificarse una

tendencia de parte de los datos procesados a conglomerarse según una línea recta. En


34

general, otro cambio de variable posible no mostraría una tendencia semejante. Se grafica

la línea recta resultante del ajuste por mínimos cuadrados de los datos procesados. Su

pendiente es de -0.96 con coordenada al origen (0, 0.05738).


La línea recta ajustada pasa por los puntos X,Y de coordenadas (0, 0.057) y

(0.0599,0) aproximadamente. La recta incluye a un punto cercano al de coordenadas (0.03,

0.03) por interpolación (cálculo de valores posible dentro del rango de datos obtenidos;

pero sin ser dato experimental). Interpretado como correspondiente al punto de posición

fs 2 , el inverso de la coordenada debe ser cercano a 2f, de donde 67.1606.0/1 f en

cm. Por otro lado, interpretando a la ordenada al origen como la inversa de una asíntota de


35

la curva (hipérbola), se tiene que su valor es 17.427 1/0.5738 f en cm, que vendría a

ser la longitud focal aproximada. Este procedimiento es un ejemplo de una extrapolación

(cálculo de valores fuera del rango de los datos obtenidos). Este resultado está de acuerdo

con los valores de la región donde las coordenadas son parecidas (Tabla 4.1) y se observa

que el valor de la primera estimación discrepa del obtenido con la recta (que es más

confiable) en 4.3%. En resumen, la relación obtenida por ajuste de mínimos cuadrados es

(para fs )

05738.01

951.0'

1

ss.

Recomendaciones.

Mantener la alineación de lámpara, imagen real y centro de espejo, verificando las

alturas por lo menos cada vez que se tome una medición. Verificar también que la

pendiente de la recta ajustada tenga un valor cercano a -1. Puede convenir reducir el

diámetro efectivo de la lente con un diafragma de cartón negro de diámetro menor. Con el

diafragma, se busca trabajar con imágenes paraxiales (formadas por rayos de poca

inclinación).



después del cambio de variable. ¿Cuáles son las diferencias y semejanzas con el

comportamiento del espejo esférico cóncavo? Una distancia objeto muy lejana la

proporciona el sol; la distancia es tan grande comparada con las dimensiones del

laboratorio, que resulta en un dato fuera de la gráfica usual. Sin embargo ¿cómo usar esta


36

distancia para obtener un dato o una conclusión útil y porqué? Discutir la manera en que

puede medirse la longitud focal con una sola medición y con una precisión razonable.

Relacionar los resultados con las cámaras fotográficas, los proyectores de películas

(cinematografía) y los retroproyectores. Relacionar los resultados con los del apéndice A.3,

en especial lo referente a la amplificación lateral.


37

Práctica Nº 5. La lupa.

Tema:


Subtema:

_ Imágenes virtuales

Nombre:

_ La lupa

Objetivos:


se halla frente a una lente doble o plano convexa dentro de un rango entre el foco y cero.

_ Estimar la amplificación angular lograda en las imágenes virtuales.

Material:

_ una lente doble convexa o plano convexa ( 10 cm de longitud focal)


_ una pantalla





_ dos hojas de papel milimetrado


38

Antecedentes.

Otro tipo de imágenes que se observan con el mismo tipo de lentes convexas son

imágenes virtuales. Un trazo de rayos paralelo y pasando por el foco F partiendo del objeto

O, describen esta situación (Fig.5.1). La imagen I aparece sin inversión y con amplificación

lateral mayor que la unidad. Pero la posición de la imagen, al ser ésta virtual, no puede

proyectarse en pantalla alguna. Una técnica de medición de esa posición consiste en

convertir la imagen virtual en otra real con ayuda de una lente auxiliar (lo cual, de hecho, es

la función realizada por nuestros ojos para detectarla). En esta región de posiciones s es que

se usa una lente convexa como lupa.

Fig.5.1. Trazo de rayos para la formación de imágenes virtuales con objeto real formadas

por una lente convexa.


39

Fig.5.2. Midiendo posiciones de imágenes virtuales formadas por la lente L usando una

lente auxiliar Laux .


40


El procedimiento se esquematiza en la Fig.5.2. Se forma primero una imagen real

(de un foquito) con una lente auxiliar Laux (arriba). Las posiciones pueden escogerse

arbitrariamente; pero la posición de la pantalla donde se forme la imagen se deberá

mantener fija. Luego (en medio), se introduce la lente de estudio L (entre foquito y Laux), lo

cual desenfoca a la imagen previa. Medir la distancia entre objeto y lente L (será s’, como

se aclarará más adelante). Por último (abajo), mover el objeto hasta que la imagen sobre la

pantalla vuelva a aparecer nítidamente (aunque con otra amplificación). La nueva posición

será s. En resumen, se usa una imagen virtual para formar una imagen real con Laux. Puede

ser deducida la posición de la virtual conociendo la posición de la real y la focal de Laux;

pero el error se propaga de modo inconveniente en los cálculos necesarios. En vez de eso,

con la variante propuesta no se requiere más que medir. Obtener varios pares de datos de

posiciones.


Realizando las mediciones según el método sugerido, se hallaron los datos de la

tabla 5.1. Sus gráficas a diferentes escalas se muestran en la Fig.5.3. Las posiciones de la

imagen se han escrito con signo negativo. Se puede identificar así que se corresponden con

una mitad del brazo de la hipérbola que no aparece en las prácticas previas. Esta mitad de

brazo es la que ocupa el cuadrante IV según lo expuesto en el apéndice B2 (caso c). De

acuerdo a la expresión para la amplificación lateral derivada en el apéndice A.3, puede

verificarse que ésta resulta siempre mayor que uno en valor absoluto para todos los datos

encontrados. Inclusive, el signo resultante del cociente viene a ser positivo, indicando

ausencia de inversión. En contraste, para los datos previos del otro brazo, el signo negativo

se puede asociar a la presencia de inversión en la imagen.


41

Tabla 5.1. Lupa

s [cm]

s’ [cm]

4.5 -5.7

5 -6.6

5.5 -7.3

6 -8.3

6.5 -9.3

7 -10.7

7.5 -12.3

8 -13.8

8.5 -15.1

9 -17.5

9.5 -20

10 -23

10.5 -25.4

11 -28.2

11.5 -32.2

12 -34.1

12.5 -37.6

Las amplificaciones laterales calculadas de los 17 datos presentados son las

siguientes: 1.267, 1.32, 1.327, 1.383, 1.431, 1.529, 1.64, 1.725, 1.776, 1.944, 2.105, 2.3,

2.419, 2.564, 2.8, 2.842, 3.008. Esta amplificación no necesariamente es percibida

directamente en la imagen porque también surge un cambio en su posición. De aquí se

puede motivar la necesidad de la definición de la amplificación angular (a verse en otra

práctica). Al interpretar a los datos como parte de la gráfica de una misma ecuación, se

emplea el mismo cambio de variable ya utilizado, para verificar su alineación. El resultado

se ha graficado en la Fig.5.4. La relación obtenida por ajuste de mínimos cuadrados es (para

fs 0 )


42

062.01

079.1'

1

ss.

Dado que primero se mide s’ y luego s, este procedimiento ejemplifica un cambio

conveniente en el carácter de las variables; aunque la gráfica no lo refleje.

Fig.5.3. Posición imagen s’ (vertical, VI) como función de la posición objeto s (horizontal,

VD). Inserto: escalas iguales.

El valor del inverso de la coordenada al origen de la gráfica de la Fig.5.4

(extrapolación) arroja un valor interpretable como la longitud focal del la lente empleada,

que en este caso resulta ser de f = 18.519 cm. Este valor es mayor en 1 cm

aproximadamente que el correspondiente de los resultados de la práctica 4 a pesar de ser de

la misma lente. La precisión en las mediciones de la región inspeccionada para la lupa es,


43

sin embargo, de menor precisión por usar otra lente y ser, así, menos directos. Esto se

observa también en una mayor separación de los datos alrededor de la recta ajustada (mayor

dispersión de datos).


Recomendaciones.

Usar la misma lente “convergente” que se empleó en la práctica 4, para así

comparar las gráficas y visualizar la curva de esta práctica como parte del segundo brazo de

la hipérbola. Puede graficarse todos los puntos en la misma gráfica y realizar un solo ajuste

con ellos. Procurar también trabajar con la misma orientación de la lente en ambos casos.


44


Con las prácticas 4 y 5 se han extraído datos experimentales de ¾ partes de la curva

hiperbólica de la lente: el brazo completo del I cuadrante y la mitad del otro brazo que

ocupa el IV cuadrante. La gráfica de una hipérbola se continuaría para valores de la

posición del objeto negativos (s < 0) ¿Tiene sentido físico este segmento? ¿Cómo obtener

puntos experimentales de él?


45

Práctica Nº 6. La lente “convergente” II.

Tema:


Subtema:

_ Imágenes reales de objetos virtuales

Nombre:

_ Lentes de focal positiva (estudio completo)

Objetivos:


se halla frente a una lente doble o plano convexo. Considerar objetos virtuales.




usada.

Material:

_ una lente doble convexa o plano convexa (15 cm de longitud focal)


_ una pantalla






46

Antecedentes.

Una lente convexa también puede tener objetos virtuales (s’ < 0). La Fig.6.1

esquematiza dos rayos que se dirigen a la punta del objeto O, pero que son interceptados

por una lente de focal positiva. La posición de O es s. El trazo segmentado indica la

dirección que seguirían de no estar presente la lente. Uno de los rayos es paralelo, por lo

que resulta desviado por la lente rumbo al foco F. El segundo rayo, cruza por F’ antes de

ser interceptado, por lo que resulta desviado paralelamente al eje de la lente. Los dos rayos

desviados se cruzan en lo que viene a ser la imagen I, a la distancia s’. Para tener un objeto

como el descrito, virtual, se requiere de una imagen real formada por algún elemento capaz

de formar una imagen real, ya que ésta se caracteriza por construirse por la convergencia de

rayos en el espacio. Esta imagen real se puede formar con una lente auxiliar.

Fig.6.1. Trazo de rayos para la formación de imágenes reales I formadas con objetos

virtuales O por una lente convexa.


47


Preparar un foquito de tungsteno con su fuente de alimentación (pilas, convertidor,

fuente de poder) y su imagen real formada por una lente de focal positiva auxiliar Laux

como se describió en la práctica anterior, pero de modo que deje cierto espacio para colocar

la lente de estudio L. Esta lente L se colocará en una posición que interrumpa la libre

formación de la imagen originada por la lente auxiliar Laux. La variable independiente (VI)

es la posición donde se formaba la imagen real respecto a la mitad de la lente (s) antes de

incorporar a la lente de estudio L. Este objeto se considera un objeto virtual y se le asigna

signo negativo. La variable dependiente (VD) es la posición de la imagen real (s’) formada

por la lente de estudio L. Como esta es una imagen real, se le asigna un signo positivo.

Note que puede fijar la posición del objeto virtual para varias posiciones de la lente de

estudio L, con lo que cambian tanto s < 0 como s’. Esto se debe a que las mediciones se

realizan respecto al centro de la lente L. La posición del foquito puede ser corta con el

propósito de que la lente auxiliar Laux forme una imagen a una distancia relativamente larga

dentro de la cual se pueda tener un amplio rango de posiciones para colocar a la lente de

estudio L.


Los resultados obtenidos con el procedimiento sugerido se muestran en la Tabla 6.1,

mientras que su correspondiente gráfica puede verse en la Fig.6.3. Los mismos puntos se

muestran en el II cuadrante de la gráfica de la Fig.6.4, pero junto con los datos de los

cuadrantes IV y I. Los datos del cuadrante IV son los mismos de la Tabla 5.1 porque

pertenecen a la misma lente. Así mismo, los datos del cuadrante I son los de la Tabla 4.


48

Fig.6.2. Midiendo posiciones de imágenes reales formadas por la lente L usando una lente

auxiliar Laux para obtener objetos virtuales (s < 0).


49

Tabla 6.1 Lente “convergente”

(objeto virtual, cuadrante II)

s [cm] s´ [cm]

-8 5.8

-9 6.1

-10 6.7

-11 7.0

-12 7.2

-13 7.9

-14 8.1

-15 8.4

-16 8.7

-17 8.9

-18 9.1

-19 9.7

-20 10.1

-21 10.2

-22 10.3

-23 10.3

-24 10.8

-25 11.1

Los resultados del cambio de variable =1/s y Y=1/s’ aplicado a todos los datos se

muestran en la Fig.6.5. La pendiente de la recta por ajuste de mínimos cuadrados resulta de

-1.004 y el corte en el eje vertical resulta de 0.05421. Con este último valor, la longitud

focal viene a ser de 18.446 cm. Este valor medio discrepa de los obtenidos en las prácticas

4 y 5. Sin embargo, debe considerarse que los datos más indirectamente obtenidos son de

mayor incertidumbre y, por tanto, sus valores medios menos confiables. Estos datos son los

del los cuadrantes II y IV, ya que requieren de lentes auxiliares para su obtención. Los más

directos, y por tanto los de menor incertidumbre, son los correspondientes al cuadrante I,

por lo que su valor medio puede resultar ser más confiable.

La tendencia hiperbólica visual de la Fig.6.4 es confirmada por el cambio de


50


VD).

variable. La relación matemática promedio puede entonces escribirse en este caso (

s ) como:

05421.01

004.1'

1

ss.

Recomendaciones.

Usar la misma lente “convergente” que se empleó en la práctica 4 y 5, para así

comparar las gráficas y visualizar la curva de esta práctica como los dos brazos de una

misma hipérbola equilátera. De esta manera, se incorpora la idea de objeto virtual. Con

esto, no sólo se cubren todas las posibilidades posibles en cuanto a las posiciones de objeto


51

que pueden considerarse, sino que se dota de sentido físico a todos los puntos de la

hipérbola.


Identificar los datos experimentales en la gráfica de cambio de variable. Comparar

la relación matemática implicada por los resultados del ajuste encontrado después del

cambio de variable con la teórica paraxial encontrada en los apéndices A y B. ¿Cómo sería

el procedimiento de captura de datos para un espejo esférico cóncavo en el rango

s ? Para un espejo plano, ¿cómo sería la imagen de un objeto virtual?


VD). Se muestra la totalidad de datos obtenidos según procedimientos de captura previos.


52

Fig.6.5. Cambio de variable. Y=1/s’ como función de X=1/s. Se indican los valores

resultantes del ajuste lineal.


53

Práctica Nº 7. La lente “divergente”.

Tema:


Subtema:

_ Imágenes

Nombre:

_ Lentes de focal negativa

Objetivos:


se halla frente a una lente doble o plano cóncava.




usada.

Material:

_ una lente doble cóncava o plano cóncava ( -6, -10 o -15 cm de longitud focal)


_ una pantalla






54

Antecedentes.

Una lente cóncava forma imágenes virtuales en muchas circunstancias, aunque no

siempre. Estas imágenes aparecen empequeñecidas. La Fig.7.1 esquematiza dos situaciones

características de una lente doble cóncava y cómo pueden encontrarse dichas imágenes

virtuales, atendiendo a los trazos del apéndice A.4. A la izquierda, se esquematiza la

formación de una imagen virtual cuando el objeto está cerca del foco. Un rayo paralelo del

objeto O, parece emerger desde el foco F, mientras que uno dirigiéndose primero al foco

F’, sale paralelo (principio de reversibilidad, apéndice A.4). A la derecha, se muestra la

formación de una imagen real a partir de un objeto virtual O. El objeto virtual no es más

que una imagen real formada por una lente (o espejo) no mostrada, la cual no se llega a

formar porque sus rayos son interceptados por alguna lente, divergente en este caso. En

ambos casos, donde se cruzan las prolongaciones de los rayos emergentes se encuentran las

imágenes, se explican las imágenes pequeñas observadas. El trazo de la izquierda explica

también la ausencia de inversión observada. Como es poco usual presenciar el caso de la

derecha, estos lentes se conocen también como divergentes.

Fig.7.1. Trazo de rayos para la formación de imágenes virtuales (izquierda) y reales

(derecha) con lentes cóncavos.


55


Aunque puedan adaptarse las técnicas empleadas en la práctica de la lupa, se

propone estudiar la región donde se forman imágenes reales. Para ello, se utiliza una lente

auxiliar de focal positiva y se forma la imagen real de un foquito en cierto plano arbitrario

(I de la Fig.7.2). Se introduce a continuación la lente cóncava entre dicho plano y la lente

auxiliar (en el plano II), para buscar una imagen real en otro plano III, no sin antes haber

registrado la distancia del plano I al II (que es s). La distancia entre los planos III y II es s’.

Fig.7.2. Midiendo posiciones de imágenes reales y de objetos virtuales.


Siguiendo el procedimiento esbozado, se obtuvieron los resultados de la tabla 7.1,

que se han graficado en la Fig. 7.3 con los signos negativos para las distancias objeto por


56

Tabla 7.1. Lente “divergente”

s [cm] s´ [cm]

-3.7 4.5

-4.5 6

-5 6.6

-7 9.75

-8.5 13.3

-10.5 18.6

-12 23

-14 31.4

-15 38.3

-16 45

-17 53.6

-18 71.5

-19 85


VI). Inserto: escalas iguales.


57

ser virtuales. La conveniencia de esta convención se patentiza al comparar esta gráfica con

el caso d) del apéndice A.4, ya que se reconoce como la mitad del brazo de hipérbola

ocupando el II cuadrante. Los datos se pueden ajustar a una recta con el cambio de variable

ya empleado en espejos ecóncavos y en lentes de focal positiva (Fig.7.4). La relación

matemática puede entonces escribirse en este caso ( 0 sf ) como:

037.01

945.0'

1

ss.


En esa gráfica, el inverso de la coordenada al origen (extrapolación) proporciona el

valor de la longitud focal, que en este caso es negativo y de valor f = -27.26 cm.


58

Recomendaciones.

Puede llegar a ser necesario cambiar las distancias objeto e imagen de la lente

auxiliar para sacar pares de datos diferentes. Identificar la posición de la focal, relativa a la

lente, cambiando la distancia entre los planos I y II mientras se observa el haz emergente

de la lente cóncava. De tener imágenes reales para separaciones cortas, se pierden para una

cierta distancia y no se vuelven a encontrar. En la transición, puede observarse una región

iluminada cuyo tamaño no varía mucho aunque se cambie la posición de una pantalla de

observación. Es entonces cuando los rayos de la imagen auxiliar apuntan al foco. Una

distancia aún mayor que ésta, no produce imagen real alguna. Con este método,

prácticamente sólo se cuenta con un rango de trabajo para s, determinado por la condición

< .


Describir un método para medir longitudes focales de lentes cóncavas. ¿Cómo

obtener rayos paralelos saliendo de una lente de focal negativa? Explicar la razón por la

cual las rectas de ajuste en cambios de variable para los espejos y lentes deben de tener una

pendiente cercana a -1. Señalar entonces la diferencia entre los diversos casos: el corte con

el eje vertical (coordenada al origen). Discutir con suficiencia el caso de trabajar con

objetos virtuales y la conveniencia de asociarles un signo opuesto al de los objetos reales.

Usar la idea de objetos virtuales para complementar las discusiones de las curvas completas

para espejos esféricos y lentes.


59

Práctica Nº 8. La amplificación angular.

Tema:

_ Óptica Geométrica.

Subtema:

_ Instrumentos ópticos

Nombre:

_ La amplificación angular.

Objetivos:

_ Medir la amplificación angular con la técnica de comparación de tamaños

retinales.

_ Realizar un modelo de microscopio con dos lentes de focales positivas.

_ Realizar un modelo de telescopio con dos lentes de focales positivas.

Material:

_ de 8 a 10 lentes de focales positivas diferentes

_ papel milimetrado

_ cinta métrica

Antecedentes.

Con s’r la distancia de la imagen retiniana a la lente de entrada, de la Fig.8.1 se

verifica que la amplificación angular puede se determinada como sigue:

u

a

ru

ra

u

a

u

aan

h

h

sh

shA

'/

'/

)tan(

)tan(

,

de modo que el cociente de las imágenes retinianas formadas con ayuda de una lente (ha) y

sin ella (hu) es una buena aproximación a la amplificación angular Aan. El estándar se

refiere a una distancia sr = 25 cm.


60

Fig.8.1. Amplificación angular del ojo con instrumento (Lupa). Recuadro: estimación

experimental de la amplificación angular mediante comparación de la doble imagen. Se

ilustra una amplificación de 3:1 (3X, cuadros en azul, vistos con lupa; cuadros en negro,

vistos sin lupa).


Colocar dos objetos periódicos similares (hojas de papel milimetrado) frente al

observador. Uno de ellos, a 25 cm de un ojo. El segundo, visto por el otro ojo a través de

una lupa (recuadro en Fig.8.1). La lupa debe estar muy cercana al ojo. La posición del

segundo objeto se ajusta a modo de verlo de un tamaño máximo posible sin que se deforme

demasiado o se pierda completamente. Así, cada ojo observa dos imágenes similares; pero

de diferente tamaño. Las imágenes pueden percibirse simultáneamente, de modo que el

cociente de alturas puede estimarse por comparación (como sugiere el recuadro de la

Fig.8.1). El cociente se puede entonces igualar con la amplificación angular. Este tipo de

amplificación difiere de la amplificación lateral en cuanto a que considera el efecto visual


61

total de tener una imagen producida por un sistema óptico que no sólo es amplificada, sino

alterada en su posición. Puede aplicarse a otros instrumentos, como el microscopio o el

telescopio.


Se realizaron mediciones de amplificaciones angulares para diversos lentes de

focales positivas, obteniendo los datos enlistados en la tabla 8.1. Estos datos se grafican en

la Fig. 8.2, para después inspeccionar si el cambio de variable fX /1 y AanY

corrobora una relación de tipo inversa (relación potencial con potencia -1, asíntotas

coincidiendo con ejes coordenados, apéndice B, caso a). La Fig. 8.3 muestra el resultado y

la recta visualmente ajustada.

Tabla 8.1. Amplificación angular

Longitud focal

[cm]

Amplificación

Angular PA

[u.a.]

0.74 30

3.2 8

9.1 4

9.6 3.5

10 4

14.6 3.5

17.1 3.5

30 3

50 2.5

El ajuste indica entonces una relación dada por fKAan / , y se puede encontrar en

este caso que 7.20K cm, cantidad no muy lejana a la de la distancia de referencia, 25

cm.


62

Fig.8.2. Amplificación angular Aan (vertical, VD) como función de la longitud focal f

(horizontal, VI).

Recomendaciones.

Al igual que en el caso de una lupa, puede emplearse idéntico procedimiento para

un microscopio. Un modelo de microscopio puede realizarse con una lente de focal positiva

corta (objetivo de microscopio) cercana a una hoja milimetrada bien iluminada. Se forma

así una imagen real con amplificación lateral mayor que la unidad. Esta imagen puede

observarse con una amplificación adicional si se utiliza una lupa en una segunda etapa

(ocular de microscopio). Esta imagen es la correspondiente a la observación con el ojo

usando un instrumento. El otro ojo observaría una hoja del mismo tipo de papel a 25 cm

para realizar la comparación conducente. Para el telescopio, la estimación de la


63

Fig.8.3. Cambio de variable. Y=Aan como función de X=1/f. La pendiente de la recta visual

es de aproximadamente 20.7 cm.

amplificación angular debe realizarse con una variación debido a que los objetos a observar

son distantes. Sólo se elige un objeto periódico distante (pared de ladrillos expuestos,

escalera) y se observa, con un ojo a través del telescopio. Con el otro, se observa sin

telescopio, aunque no se halle a 25 cm. Un modelo de telescopio puede realizarse con una

lente de focal positiva larga (objetivo de telescopio) que formará una imagen real pequeña

de un objeto lejano. Un segundo lente de focal positiva corta se usa como lupa para obtener

amplificación angular (ocular de telescopio). Por lo anterior, en ambos instrumentos la

amplificación angular total es el producto de las amplificaciones angular de ocular y lateral

de objetivo. La referencia sigue siendo de 25 cm.


64


Identificar los objetivos y oculares en microscopios y telescopios (reales,

fotografías). Presentar al ojo humano como una lente de focal positiva que proyecta una

imagen real sobre la retina. Discutir cómo surgen la miopía (globo ocular demasiado largo)

y la hipermetropía (globo ocular demasiado corto). Mostrar cómo se corrigen estas

anomalías con lentes de focal negativa (para la miopía) o positiva (para la hipermetropía).

Puede hacerse a partir de un modelo experimental de dos lentes (una de focal positiva para

el ojo humano, y otras dos: de focal negativa y de focal positiva). Habiendo realizado las

prácticas 2 a 6, se posee la experiencia requerida para abordar una discusión básica sobre

los telescopios (en particular el Newtoniano con objetivo de espejo cóncavo y el Galileano,

con objetivo de lente de focal negativa y sin inversión, lo que es particularmente útil para

aplicaciones terrestres).


65

Práctica Nº 9. La interferencia.

Tema:

_ Óptica Física

Subtema:

_ Propiedades de ondas luminosas

Nombre:

_ Los anillos de Newton.

Objetivos:

_ Capturar digitalmente un patrón de interferencia circular producido al juntar dos

vidrios planos iluminados con una fuente suficientemente monocromática.

_ Estudiar la distribución en el espacio de los máximos y mínimos de la intensidad

registrada.

Material:

_ una fuente casi monocromática (fuente espectral de mercurio con filtro verde)

_ dos vidrios planos para ventana (espesor de ¾”)

_ una cámara digital CCD com software de captura

_ un paquete comercial de matemáticas avanzadas

Antecedentes.

La superposición de dos ondas de igual longitud de onda puede producir

interferencia constructiva y destructiva. Si las ondas son luminosas, el primer tipo

corresponde a máximos de irradiancia, mientras que el segundo, a mínimos. El conjunto

adopta forma de franjas, y se conoce como patrón de interferencia. Estas ondas pueden

producirse por reflexiones en una delgada capa de aire formada entre dos superficies

pulidas, como es el caso de las superficies de los porta-objetos de microscopio. Deben


66

también ser iluminadas por una fuente monocromática, como lo es una fuente espectral de

mercurio con filtro verde. En dependencia sobre todo de la forma específica de la capa de

aire (interferencia de Fizeau), los máximos y mínimos surgen mediados por una función

coseno, como se describe en el apéndice C.1.


Una vez producido un patrón de interferencia con vidrios planos, bajo iluminación

normal tomar una fotografía, de preferencia digital. Tras capturarla como un archivo

imagen, escoger una línea de inspección para exhibirla usando algún programa comercial.

Sobre la gráfica resultante, medir las posiciones de mínimos (cuyas posiciones son

medibles de manera más fiable) en escala arbitraria para mayor facilidad. También pueden

medirse las posiciones de los máximos. Graficar cada grupo de datos y tratar de encontrar

alguna relación, como una potencial, por ejemplo. Si las superficies de las muestras de

vidrio son secciones esféricas, la potencia será ½ aproximadamente. Ignorar las variaciones

de irradiancia de alta frecuencia. Alternativamente, puede obtenerse una fotografía

convencional del patrón y medir las posiciones de valores extremos sobre una copia en

papel fotográfico.


Se capturó el patrón mostrado en la Fig.9.1, para luego ser leído en un paquete

comercial de matemáticas avanzadas. Se obtuvo una imagen de 499 X 860 pixeles y se

eligió una línea vertical conteniendo el centro del patrón. Se exhibe ésta en la Fig. 9.2,

trabajando con ella posteriormente sin filtrarla. Las posiciones r de máximos y mínimos se

muestran en las Figs.9.3 y 9.4 como función del orden de la posición (orden del mínimo o


67

máximo). Las posiciones son los números de cada píxel respectivo y son contados desde el

mismo mínimo central hasta el borde de la imagen. Se obtuvieron las posiciones de la mitad

izquierda de la figura.

Fig.9.1. Fotografía digital (422 X 316 pixeles) de un patrón de interferencia formado por la

capa de aire entre las caras de dos bloques de vidrio plano para ventana, uno arriba del otro.

Posteriormente, se obtuvo la proporción entre cm y pixeles con la imagen de una

regla situada en las mismas condiciones que el interferograma (no mostrada). Estos valores

de irradiancia extrema se distribuyen como una curva, que, como se señaló, puede ser

potencial. Se intentaron ajustes del tipo 2/1)( crAY . Los resultados de los parámetros

calculados se muestran en los recuadros de cada figura. Los coeficientes A resultan ser muy

parecidos y pueden interpretarse como eqRA si se estima que la posición de los


68

Fig.9.2. Valores registrados sobre una línea (pixel horizontal 250) del patrón capturado.

mínimo central hasta el borde de la imagen. Se obtuvieron las posiciones de la mitad

izquierda de la figura.

puntos extremos, r, cumple con 222 )( dRRr eqeq , donde eqR denota el radio de

curvatura de una superficie esférica equivalente formando el patrón con una superficie

plana. d es la separación entre las superficies y se considera que es suficientemente pequeña

como para despreciar su valor elevado al cuadrado frente al resto de parámetros (Apéndice

C.2).


69

Fig.9.3. Posiciones r de los valores mínimos sobre la línea rastreada en la Fig.9.2 (en

metros).

Recomendaciones.

Procurar obtener las franjas más circulares posibles. Debido a que el patrón de

interferencia proviene de superficies de forma casual, no siempre puede resultar una

distribución regular. Así que no es seguro que en este caso se presente una relación

potencial. Cuando las superficies de los vidrios sean esféricas (de radio de curvatura de

muy alto valor), las franjas son circulares y la potencia es 1/2 (anillos de Newton). La

cámara de captura debe colocarse en dirección normal al patrón para mantenerse dentro de

la aproximación de franjas de igual espesor y evitar también efectos de perspectiva. Para

ello, probablemente se requiera emplear un divisor de haz.


70

Fig.9.4. Posiciones r de los valores mínimos sobre la línea rastreada en la Fig.9.2 (en

metros).


Discutir la razón por la cual los valores de A resulten aproximadamente iguales en

los ajustes respectivos de máximos y mínimos. A partir del valor de A encontrado, puede

hallarse que mReq 200 . El valor medio de c, se relaciona con la mínima separación entre

las superficies, ya que dicha separación no es cero. Discutir el hecho de que la diferencia

entre los valores medios de c para mínimos y máximos, 0.39678, es cercano a ½.

Describir los patrones esperados bajo iluminación policromática. Identificar otros

fenómenos comunes de interferencia, como la coloración de las pompas de jabón, o el

aceite en agua, o el barniz aplicado en algunos utensilios de barro típicos (tazas u ollas

barnizadas).


71

Práctica Nº 10. El arco iris.

Tema:

_ Óptica Física

Subtema:

_ Dispersión

Nombre:

_ Arco iris

Objetivos:

_ Construir un cuadrante para medir el ángulo aproximado formado por un arco iris

observado en un aerosol de agua con la dirección del sol.

_ Realizar un modelo del trazo de algunos rayos en gotas esféricas con bolígrafos

de punta mediana o fina usando la ley de Snell.

Material:

_ una calculadora

_ un transportador

_ un compás

_ un pliego de papel blanco doble carta

_ manguera con agua corriente

_ una plomada pequeña

_ popotes

_ hilo

_ masking tape


72

Antecedentes.

El arco iris es un fenómeno meteorológico que se observa a determinados ángulos

respecto a la línea visual del sol. El fenómeno es producido por la refracción y reflexión

interna parcial de la luz del sol incidente en gotas de agua formando una cortina. Esta

distribución de gotas puede realizarse con una manguera, dirigiendo su chorro de agua en

dirección opuesta al sol. Los ángulos pueden medirse con instrumento conocido como

cuadrante.

Fig.10.1. Medición de ángulos sobre el punto A con un cuadrante fabricado con un

transportador, una plomada y un hilo (recuadro).


73


Como no es usual contar con uno, puede construirse a partir de un transportador, un

hilo, una pesita y un popote opcional. Las mediciones se describen en el esquema de la

Fig.10.1, realizadas en un punto A. Se toma una lectura de la posición del sol y las

correspondientes a los puntos alto y bajo del arco iris formado por un chorro de manguera

(B y C). La situación depende de la fecha, la hora y la latitud de A. El cuadrante propuesto

consta de una pequeña plomada unida al punto del cero del transportador. La visual se

tiende alineando los extremos de la parte plana del transportador con el objeto cuya altura

angular se desea medir. Para ello es que puede servir un popote pegado a la parte plana,

pero bien alineado con ella. Puede mostrarse que el ángulo entre la parte plana (visual) y la

horizontal resulta igual al formado entre la línea cero del transportador y la plomada

(ángulos señalados en rojo). De ese modo, la visual se mide leyendo la posición del hilo

sobre el transportador (flecha amarilla del recuadro en Fig.10.1).

Para adquirir una idea de las refracciones y reflexiones que se dan en una gota de

agua y que originan al arco iris, se propone el trazo manual de rayos en círculos, calculando

y dibujando los ángulos en cada superficie con la ley de refracción o de reflexión según lo

demande el caso. Se marcan cinco o diez puntos iniciales alineados (puntos 1) frente a un

círculo de unos 10 cm sobre una hoja adecuada (Fig.10.2). Se traza una línea recta

horizontal entre un punto y el círculo. Uno de esos puntos está sombreado y su línea

marcada. Los puntos sobre el círculo son los tipo 2. Midiendo el ángulo (ángulo incidente

i ) que forma con un radio del círculo prolongado (punteado) pasando por el punto tipo 2,

se calcula el seno de él. Luego, se calcula nsen i /)( , con n = 1.33 el índice de refracción

del agua. El ángulo de refracción t es el arco seno de la cantidad anterior y es el que tiende


74

el siguiente segmento de trazo recto, el cual termina en el punto al cual corta al círculo en

un punto tipo 3. Ahí, se mide el ángulo al cual incida respecto al radio prolongado que pase

por el mismo. Entonces, el rayo reflejado se traza como un segmento recto inclinado

respecto del radio anterior por el mismo ángulo recién medido y su trazo concluye al cortar

el círculo en un punto tipo 4. Llegado a este punto, se refracta de modo similar a la primera

refracción. Se traza entonces la línea hallada hasta la misma línea vertical de los puntos 1,

formándose así los puntos tipo 5.


Unas mediciones de las posiciones angulares del sol y de los puntos extremos de un

arco iris formado con un chorro de manguera se indican en el mismo esquema de la

Fig.10.1. Se puede ver que el ángulo registrado entre el punto más elevado del arco rojo

con la dirección

Tabla 10.1. Arco iris.

1in , 331.1tn , d = 10 cm, (*) ángulo crítico

Punto

cyan

incidente

Posición

[cm]

ángulo

incidente

i [°]

sen ( i )

sen ( t )= sen(

i )/ in

ángulo

refractado

t [°]

1 0.5 2.87 0.05 0.038 2.153

2 2 11.5 0.2 0.15 8.642

3 4 23.6 0.4 0.301 17.489

4 6 36.9 0.6 0.451 26.794

5 8 53.1 0.8 0.601 36.945

6 8.5 58.2 0.85 0.639 39.689

7 9 64.2 0.9 0.676 42.546

8 9.5 71.8 0.95 0.714 45.541

9 9.8 78.5 0.98 0.736 47.416

10 9.9 81.9 0.99 0.744 48.056

11 10 89.9 1.0 0.751 48.704 (*)


75

Fig.10.2. Trazo de rayos incidentes paralelamente a una gota representada como un círculo

sobre un pliego de papel.


76

del sol es de 43°. El ancho angular del arco iris observado fue de 4°. La tabla 10.1 muestra

los ángulos de refracción de la primera etapa (región 2) y el proceso para diez puntos se

muestra en la Fig. 10.2. Sólo una secuencia de rayos es la mostrada (la secuencia del cuarto

punto). Al hacerlo completamente, se comprueba una concentración de rayos (curva

cáustica) emergentes de la gota cerca de los 42° respecto de la horizontal del esquema.

Recomendaciones.

Realizar el arco iris en algún lugar bien iluminado por el sol; pero que tenga algunas

sombras que permitan observarlo con buen contraste. Puede convenir trabajar durante una

mañana y no a medio día. Los cálculos de los ángulos, las funciones seno y las funciones

seno inverso pueden irse efectuando con calculadora; debiendo recordar ajustarla en

radianes o grados apropiadamente. Conviene que la lectura en el cuadrante no la efectúe

quien lo alinee, sino otra persona. Esto se debe a que la graduación del transportador se

encuentra en un sitio poco accesible con confort para quien lo opere como se ha descrito.


Relacionar el trazo de rayos propuesto con las mediciones realizadas. Admitir que la

descomposición en colores indica ángulos diferentes para cada onda luminosa de diferente

color (dispersión). Destacar la existencia del arco iris secundario y de la banda de

Alejandro, indicando cómo estas características pueden ser explicadas en el mismo marco

del modelo usado. Visitar en internet páginas relacionadas. Hacer notar la aparición de

curvas cáusticas por reflejos luminosos en el interior de las paredes de tazas, por ejemplo,

de café. La conveniencia de tener una ayuda para la lectura del cuadrante, mencionada en la


77

sección anterior, puede motivar la discusión referente a justificar un diseño de cuadrante

más operativo, el cual incluya un espejo que dirija la lectura al mismo operario.


78


79

Práctica Nº 11. La Ley de Malus.

Tema:

_ Óptica Física

Subtema:

_ Polarización Lineal

Nombre:

_ La Ley de Malus

Objetivos:

_ Encontrar la relación matemática entre la irradiancia transmitida por un

polarizador lineal como función de la posición angular de su eje de transmisión cuando una

fuente luminosa usada emite luz linealmente polarizada a un ángulo fijo determinado.

Material:

_ dos filtros de polarización lineal (placas H)

_ un porta filtro con giro y graduación angular

_ una fuente luminosa de emisión continua o un láser linealmente polarizado

_ un radiómetro o fotómetro

_ soportes varios

Antecedentes.

Un polarizador lineal transmite una onda electromagnética con su campo eléctrico

vibrando en una dirección constante. Esta dirección se conoce como el eje de transmisión

del polarizador. Cuando el eje de un polarizador forma un ángulo con la horizontal

(Fig.11.1), el campo eléctrico emergente se encontrará inclinado respecto a la horizontal

por ese mismo ángulo. Un segundo polarizador (conocido como analizador) se coloca con

su eje de transmisión horizontal. Como éste sólo transmite el campo que vibre en esa


80

dirección, transmitirá la componente horizontal del campo incidente. Si este campo es de

amplitud 0E , se transmite la amplitud cos0E .

Fig.11.1. Campo transmitido por un analizador.

Si el detector que capta al campo emergente del analizador registrara un promedio temporal

(irradiancia), el registro sería proporcional a 22

0 cosE . Como la irradiancia incidente en el

analizador es proporcional a 2

0E ,. La transmitancia en irradiancia del analizador es 2cos

(Ley de Malus). No se han considerado otras pérdidas de luz.


Primero debe procurarse una fuente de luz con emisión continua y de una

polarización lineal fija. Se puede emplear una lámpara de tungsteno y un filtro polarizante


81

lineal de lámina polimérica. Esta fuente se colima con una lente de focal positiva antes de

que pase por una segunda lámina polarizante montada en un soporte giratorio graduado. La

luz que transmite el analizador, debe incidir en un radiómetro o fotómetro. La potencia

radiante incedente en un radiómetro se obtiene en unidades de Watt (W), pero si el área del

detector es de 1 cm2, se puede traducir a itrradiancia (W/cm

2), de ser una distribución

uniforme.


Los datos tabulados en la Tabla 11.1 y en la Tabla 11.2 se han graficados en la

Fig.11.2. Sugieren un ajuste sinusoidal de la forma

)cos()( 3210 PPPPIt ,

donde los parámetros iP pueden ajustarse con algún procedimiento no lineal. Nótese que

otra manera de escribir la irradiancia, con 23 P , es

)'2(cos2)( 2

2

110 PPPPIt ,

con 3' P . De la Tabla 11.1 se encuentran los parámetros de la Tabla 11.3 (columna

de ciclo completo), mientras que los de la Tabla 11.2 en la columna de medio ciclo.

Recomendaciones.

Alinear las componentes midiendo las alturas respecto a la superficie, nivelada de

preferencia. Evitar que cualquier luz no proveniente de la fuente pueda alcanzar al detector.


82

Tabla 11.1 Datos del ciclo completo

Ángulo [°] Irradiancia [W cm-2

]

0 0.197

10 0.205

20 0.217

30 0.234

40 0.252

50 0.270

60 0.285

70 0.294

80 0.3

90 0.296

100 0.288

110 0.277

120 0.271

130 0.243

140 0.227

150 0.211

160 0.200

170 0.195

180 0.196

190 0.203

200 0.217

210 0.234

220 0.250

230 0.272

240 0.286

250 0.297

260 0.302

270 0.300

280 0.292

290 0.280

300 0.263

310 0.247

320 0.230

330 0.214

340 0.203

350 0.197

360 0.198


83

Fig.11.2. Irradiancias transmitidas en función de ángulos del polarizador (analizador) para

dos situaciones diferentes. El recuadro insertado muestra sólo medio ciclo (otras

condiciones de medida, pero mayor densidad de datos).


84

Tabla 11.3. Parámetros de ajustes no lineales.

)cos()( 3210 PPPPIt

Parámetros

Ciclo completo

Medio ciclo (recuadro)

0P 0.248 [W cm-2

] 68.222 [mW cm-2

]

1P 0.053 [W cm-2

] 10.452 [mW cm-2

]

2P 1.994 [rad-1

] 1.95 [rad-1

]

3P -2.889 [rad] -7.342 [rad]

Guía para la discusión.

Note en la Tabla 11.2 que 22 P en ambos casos reportados. El valor del ángulo de

partida, respecto a la perpendicular al eje de transmisión del analizador, se encuentra a

partir de 3P . Las contribuciones principales a la iradiancia constante son tanto la luz de

fondo como la luz transmitida por el analizador en su posición mínima (extinción). Se

empleó un medidor de potencia Newport NRC modelo 815 con fotodiodo de área 1 cm2. La

luz de fondo puede convenir para colocar los valores de variación dentro del rango

dinámico del detector.


85

Práctica Nº 12. El interferómetro de Michelson.

Tema:

_ Óptica Física

Subtema:

_ Interferencia

Nombre:

_ El interferómetro de Michelson

Objetivos:

_ Encontrar la razón de conversión de desplazamiento de un tornillo milimétrico al

corrimiento efectivo de un espejo en el brazo móvil de un interferómetro de Michelson.

Material:

_ un interferómetro de Michelson

_ una fuente espectral de longitud de onda conocida

_ una fuente de luz policromática (blanca)

_ un par de cubreobjetos y un par de portaobjetos

_ un filtro de banda estrecha y otro de celofán

_ un par de polarizadores lineales poliméricos (placas H)

Antecedentes.

Un interferómetro de Michelson permite la observación de un patrón de

interferencia formado por la superposición de dos haces según el esquema de la Fig.12.1.En

esta figura, se ha supuesto una reflexión en el divisor de haz (DH) primordialmente en sólo

una de sus caras. Los espejos M1 y M2 reflejan los rayos emergentes de DH por los

mismos trayectos de retorno al mismo divisor. Se indica también un compensador C, de

vidrio y dimensiones idénticos a las del divisor.


86

Fig.12.1. Esquema de un interferómetro Michelson con compensador (C). Espejos (M1, M2)

y divisor de haz (DH). El rayo mostrado sale de la fuente al ángulo 0 .

La diferencia de caminos ópticos entrerayos viajando por cada brazo del

interfeerómetro es (apéndice C.3)

cos2dDCO ,

por lo cual, al superponerse en el plano focal del sistema observador, interferirán de

acuerdo a dicho valor particular. denota el ángulo formado un rayo de la fuente, el cual

genera dos rayos atravesando a lo largo de cada brazo, pero emergiendo paralelos al mismo

ángulo.


87


Colocar una fuente espectral como iluminante del interferómetro. Una lámpara de

mercurio con filtro verde es la usual para estos casos. Para ir ajustando un interferómetro a

mínima diferencia de caminos ópticos, igualar las distancias de los espejos respecto de la

cara reflectora del divisor DH, primeramente ayudados con una regla graduada. La cara

reflectora se identifica porque de su mismo lado se encuentra el compensador C. Después,

ajustar la inclinación de los espejos usando una retícula o alfiler colocado justo frente a la

fuente, a la entrada del interferómetro. Se van modificando las posiciones de los tornillos de

giro hasta hacer coincidir las imágenes formadas por cada espejo de la reticula o alfiler.

Una vez obtenidas franjas circulares, se puede ir modificando la distancia d mediante el

tornillo milimétrico que translada al espejo móvil. Debe buscarse un reducido número de

franjas circulares en el campo visual. Para mantener el centro de las franjas, será necesario

reajustar la inclinación de los espejos.

Elegir como posición inicial un centro oscuro y localizar la lectura 0l

correspondiente sobre el tornillo milimétrico. Fijándose en el centro ( 0 ), contar el

número de veces tras las cuales pasan varias franjas oscuras mientras se translada el tornillo

desde 0l hasta una nueva posición l . Regrese a 0l y vea si se reproduce su lectura. Para

varias series de lecturas, unas cinco, use un valor de N= 20 o 30 cambios. Como en cada

cambio, se tiene DCO , la distancia 2/d de acuerdo a la relación hallada para

0 . Si se tiene un número N de cambios para procurarse de una longitud medida con

buena precisión, la distancia recorrida efectiva será de 2/Nd . Con la línea verde de

mercurio, nm550 aproximadamente; con la cual puede calcularse d. A partir de sus

datos, encuentre la proporción entre movimiento de tornillo 0lll y el desplazamiento


88

real calculado del espejo 2/Nd . La constante así resultante, K, caracteriza el

rendimiento de la palanca de disminución que conecta al tornillo con el espejo desplazable.

Una vez determinada, puede emplearse similar procedimiento para calcular longitudes de

onda desconocidas.


Para un interferómetro tipo Michelson de enseñanza, se encuentra que el tornillo se

traslada un tramo de ml 410875.6 para N=50 bajo iluminación con longitud de onda

tomada como de 550 nm. El valor de la constante resulta de K=50. Usando este valor,

cambiando la fuente de mercurio por un láser HeNe emitiendo en rojo, se encuentra

ml 41091.7 , lo cual proporciona una longitud de onda dada por 6.328 nm.

Como un ejercicio adicional, puede demostrarse la formación de franjas con luz

policromática. Para conseguirlo, primero, con una fuente espectral, obtenga un campo de

interferencia lo más uniformemente oscuro posible. Después, sustituir la fuente por una de

luz blanca (policromática), añadiendo a la entrada del interferómetro una placa esparsora (o

un papel albanene puede servir). La fuente de luz policromática puede ser una lámpara de

halógeno como las empleadas en proyectores. Introduciendo un filtro de banda estrecha

(filtro de interferencia) entre fuente y placa esparsora, buscar la posición del tornillo

milimétrico capaz de formar franjas de interferencia en estas condiciones de iluminación.

Al encontrar las franjas, situar el tornillo en la posición donde se observe el mejor contraste

de franjas. Quitando ahora el filtro de interferencia, observar si con sólo luz blanca ya se

obtienen franjas. En caso contrario, repetir la operación con el filtro de interferencia y,

después de encontrar las franjas, intentarlo ahora con un filtro de banda ancha (filtro de


89

celofán) que sustituya al de interferencia. Al hallar franjas con este últio tipo de filtro, se

estará muy cerca del ajuste requerido para la observación de franjas interferenciales

cromáticas.

Cuando el interferómetro es estable mecánicamente y su compensador tiene la

posición correcta con precisión, puede prescindirse de los filtros de bandas ancha y angosta.

Tras conseguir una franja uniforme con luz espectral, recorriendo con atención en su

vecindad la posición del tornillo después de sustituír la fuente con luz blanca, se pasa por

un punto donde las franjas cromáticas se forman (Fig.12.2).

Fig.12.2. Interferómetro tipo Michelson de enseñanza mostrando franjas cromáticas bajo

iluminación proveniente del sol. Un papel se apoya en la entrada del instrumento para

difundir la luz para captar las franjas con una cámara.


90

Recomendaciones.

Identificar las componentes del interferómetro, en particular al divisor de haz, al

compensador y al espejo móvil. Inspeccionar el tornillo que desplaza a este último y

asegurarse de que se sabe leer todas las cifras que ofrezca, ya sea milimétrico o

micrométrico. Trabajar sobre una superficie lo más libre de vibraciones posible. Al intentar

la interferencia con luz policromática, asegurarse de que la posición del compensador está

convenientemente ajustada.


Colocar un filtro polarizante lineal en cada brazo del interferómetro. Inspeccionar el

contraste de las franjas cuando uno de los filtros de polarización se hace girar mientras el

otro permanece fijo. Verificar la formación de franjas también en la dirección rumbo a la

fuente. Comparar los contrastes de los patrones de interferencia para decidir si existe un

cambio de fase por reflexión interna. Esto es particularmente notable con patrones de luz

policromática. Para buscar franjas con luz blanca es imprescindible usar el compensador en

su precisa posición. Sin compensador, bajo iluminación monocromática se producen franjas

elípticas (llamadas no compensadas). Su observación resulta una medida de la corrección

en la posición del compensador. Si, a pesar de su presencia, se reconocen. En algunos

modelos, puede sustituirse el tornillo milimétrico por uno micrométrico, para obtener

mediciones de mayor precisión.


91

Práctica Nº 13. La difracción de un cabello.

Tema:

_ Óptica Física

Subtema:

_ Difracción de campo lejano

Nombre:

_ Aberturas y obstáculos rectangulares

Objetivos:

_ Encontrar la relación matemática entre las posiciones de las irradiancias mínimas

pertenecientes a un patrón de difracción originado por un cabello colocado frente a un haz

láser y el orden de difracción de cada mínimo.

_ Encontrar la relación matemática entre el orden de difracción y las posiciones de

las irradiancias mínimas pertenecientes a un patrón de difracción originado por un cabello

colocado frente a un haz láser y la distancia de observación.

Material:

_ un apuntador láser

_ un cabello

_ papel milimetrado

_ cinta métrica

Antecedentes.

Cuando una onda resulta parcialmente obstaculizada por algún objeto, el campo

luminoso después del mismo puede mostrar franjas máximas y mínimas sin relación directa

con los contornos del objeto que obstaculizan. Esta distribución se conoce como patrón de

difracción. Cuando el patrón de difracción se observa a distancias relativamente grandes del


92

objeto, se habla del campo lejano. Para la luz, una distancia mayor que los 50 cm puede

bastar para incluirse en dicha región. Cuando el objeto es un cabello interpuesto a un haz

láser, el patrón de difracción en campo lejano consta de manchitas separadas por mínimos

de irradiancia, que llegan a ser de cero irradiancia prácticamente, aparentemente de igual

espaciamiento. Distinguiendo un centro natural del patrón (la manchita más brillante), se

asigna un orden de difracción N a cada mínimo, positivo a la derecha y negativo a la

izquierda. Sus posiciones cambian con la separación del plano de observación al cabello.


Disponer del laser como se esquematiza en la Fig.13.1. El cabello puede estar sujeto

a la abertura del láser con maskin tape o diurex (punteado en el dibujo), lo que no debe

obstaculizar al haz adicionalmente al cabello. Una hoja de papel milimetrado se coloca a la

Fig.13.1. Posición del cabello relativa al láser y a la pantalla de observación. El cabello

puede sujetarse al láser directamente.


93

distancia D del cabello, sobre la cual se proyecta el patrón de difracción respectivo. Esta

hoja se acomoda de manera que el centro del patrón coincida con el centro de la hoja y una

línea, gruesa de preferencia, se alinee con el patrón (que en este caso resulta en una

distribución lineal). La distancia D puede elegirse de modo que sea fácil la lectura en las

posiciones de los mínimos.


La Fig.13.2 muestra las posiciones de mínimos en función del orden de difracción para

cinco distintas distancias D. Se constata un comportamiento lineal.

Fig.13.2. Posiciones de los mínimos x (VD) como función de su orden N (VI) para

diferentes distancias D medidas del cabello al patrón de difracción.


94

La gráfica de las pendientes como función de la distancia D se muestra en la

Fig.13.3. La tendencia lineal sugiere la relación BDNAx , con el valor de A

indicado en la gráfica. De interpretar a la pendiente A como en el apéndice C.4, a2 vendría

a ser el diámetro del cabello, siendo de 0.083 mm aproximadamente con los datos

apuntados.

Fig.13.3. Pendientes m de rectas ajustadas de las posiciones de mínimos como función de

las distancias D del cabello al patrón de difracción.


95

Recomendaciones.

Elegir las distancias D que proporcionen posiciones de mínimos fácilmente

registrables sobre el papel milimetrado. Pueden convenir distancias largas (entre 60 cm y 2

m), aunque depende de la potencia del láser empleado.


Justificar la razón por la cual el análisis de una rendija puede aplicarse a su

contrario, que sería la sección del cabello. Discutir las diferencias y semejanzas entre

patrones de aberturas y obstáculos contrarios (la Mancha de Arago y el Principio de

Babinet).


96


97

Práctica Nº 14. Bandas y líneas espectrales.

Tema:

_ Óptica Física

Subtema:

_ Espectroscopia

Nombre:

_ Bandas y líneas espectrales

Objetivos:

_ Encontrar las bandas o líneas espectrales de diversas fuentes.

Material:

_ un espectrómetro

_ una fuente halógena o una de sólo tungsteno (con varios niveles de intensidad)

_ apuntadores láser o láseres de gas (HeNe, Ar)

_ soportes varios

Antecedentes.

Un espectroscopio consta de un elemento que separa un haz luminoso incidente en

sus componentes de una sóla frecuencia o longitud de onda. Puede formarse con un prisma

de vidrio con dispersión (diferente velocidad según el valor de la longitud de onda,

logrando la separación por la ley de Snell, ya que el índice de refracción resulta )(nn ),

pero también se puede con una rejilla (por difracción, usando la dependencia con la

longitud de onda mostrada en el apéndice C.5). Una vez conseguida la separación, no sólo

se puede observar el contenido de componentes del campo inspeccionado (o espectro), sino


98

que se puede usar un radiómetro o fotómetro para medir la irradiancia de cada componente

(espectrómetro o espectroradiómetro).


Simplemente se provee de diversas fuentes para obtener las gráficas de sus

espectros. Puede usarse luz de sol, lámpara de halógeno, lámparas fosforescentes, lámparas

espectrales y láseres varios (de gas, HeNe, Ar+; de estado sólido, YAG, o apuntadores láser

rojos o verdes).


De las varias opciones no muy caras de espectrómetros acoplables a PC, se empleó

un

Fig.14.1. Espectro obtenidos de luz solar capturado a las 14:30 hrs..


99

Espectroradiómetro Spectra Scan 640 de Photo Research, que tiene una resolución en

longitud de onda de 4 nm. La Fig. 14.1 muestra el resultado de hacer incidir luz solar típica

directamente en el instrumento. El espectro tiene un máximo en 532 nm y un amplio ancho

de banda (fuente policromática). La Fig.14.2 muestra tres espectros emitidos por una

misma lámpara de halógeno cuando un selector de corriente de ajusta en diferente posición.

Cada posición corresponde a distinta corriente promedio cruzando el elemento resistivo.

Constituye un ejemplo de emisión térmica (tipo Cuerpo Negro). Se nota un corrimiento del

máximo hacia el violeta a medida que se incrementa la temperatura.

Fig.14.2. Espectros obtenidos con una misma lámpara halógena en tres diferentes niveles

de corriente (tres temperaturas seleccionables).


100

Fig.14.3. Espectros obtenidos con dos lámparas de mercurio (Hg A y Hg B).

La figura 14.3 muestra los espectros de lámparas de descarga (espectrales)

conteniendo mercurio. El espectro de la lámpara Hg A sin filtro tiene emisión en varios

máximos específicos relativamente estrechos (líneas espectrales). Sobresalen cuatro

máximos como discontinuidades: uno en la región violeta (410 nm), otro en la azul (440

nm), otro en la verde (550 nm) y otro en la amarilla (585 nm). Los valores en nm anteriores

son aproximados, leídos de la escala de la curva. Se observa importante emisión violeta.

Cuando se emplea un filtro verde para la misma lámpara, se selecciona una línea en 550

nm. Se observa que el filtro permite el paso de la línea naranja cercana a los 580 nm y algo

de rojo. Para una lámpara común de mercurio recubierta por dentro con polvo fosforescente


101

(Hg B) se obtiene una gráfica con menos violeta y más “blanca” o “plana”. La

fosforescencia inducida notablemente por las componentes violetas y ultra-violetas (que no

se ven en la gráfica) contribuye a la componente espectral continua, como puede verificarse

en el espectro de una lámpara del mismo elemento, pero sin polvo. Los máximos de las

curvas coinciden en los tres casos. Una lámpara como la Hg A se utilizó para el patrón de

interferencia de la práctica 9 y para la práctica 12. Algunos valores de irradiancia fueron

multiplicados arbitrariamente por un factor de 10 para mejor comparación.

Tres láseres distintos se dirigieron al espectroradiómetro simultáneamente: dos

apuntadores de estado sólido (verde y rojo) y un láser de gas. El resultado se muestra en la

Fig.14.4. Espectros obtenidos con tres distintos láseres (apuntador verde, HeNe y apuntador

rojo).


102

Fig.14.4, con máximos estrechos y aislados centrados en 532 nm (verde), 633 nm (HeNe) y

652 nm (estado sólido, rojo) respectivamente.

Un láser de ión argón se ajustó para emitir en multilínea, resultando la medición en

un espectro mostrado en la Fig.14.5. Los máximos conspicuos a la corriente ajustada son

514, 488, 476 nm. El instrumento empleado no permite detectar claramente otras líneas que

pueden observarse mediante rejillas de difracción ( 2000 líneas/mm). Tampoco se puede

concluír con el mismo, algo respecto a la capacidad para producir franjas de interferencia

de cada fuente, aunque, en general, será más fácil producirlas con espectros estrechos.

Fig.14.5. Espectro obtenidos con un láser de ión Ar+ emitiendo en régimen de multilínea.


103

Recomendaciones.

No exponer la vista a las fuentes luminosas en general, ni directamente, ni durante

demasiado tiempo. En particular, tener debidas precauciones con la lámpara mercurial sin

filtro porque la radiación ultra-violeta puede causar conjuntivitis. Cuidar la exposición en el

detector del instrumento de acuerdo a la radiancia de la fuente empleada.


Revisar espectroradiómetros para PC ofertados en el mercado recientes, los cuales

pueden ser accesibles y muy compactos. Revisar en la literatura los valores medidos de las

líneas espectrales halladas. Relacionar las fuentes con experimentos anteriores. Encontrar

las clasificaciones de fuentes (térmicas y no térmicas, emisiones espontánea y estimulada,

niveles de energía, coherencia en incoherencia y coherencia parcial en fuentes). Discuta la

posible dependencia del espectro de emisión solar con la hora del día.


104


105

Práctica Nº 15. La interferencia con múltiples haces.

Tema:

_ Óptica Física

Subtema:

_ Interferometria en espectroscopía

Nombre:

_ El interferómetro Fabry-Perot.

Objetivos:

_ Estimar la separación de las líneas que forman el doblete del sodio observando las

coincidencias de un patrón de interferencia múltiple formado por una lámpara de sodio..

Material:

_ una fuente espectral de sodio

_ un interferómetro tipo Fabry-Perot

_ un diafragma de iris

_ una placa difusora (vidrio esmerilado o papel albanene)

Antecedentes.

Las llamadas líneas espectrales no son de espesor cero, sino que poseen cierta

anchura. Medida ésta en términos de frecuencia, se habla del “ancho de banda”. Entonces,

la intensidad emitida a cierta frecuencia, o a cierta longitud de onda, puede ir acompañada

de otras intensidades emitidas a longitudes de onda de valores próximos. Estos valores de

longitudes de onda ocupan un determinado rango. Para valores de longitudes de onda fuera

de este rango, las intensidades emitidas correspondientes son nulas. En algunos casos, dos

líneas pueden estar mutuamente muy cercanas. El par de líneas espectrales cercanas se

conoce como “doblete espectral”. Puede aparecer bajo condiciones usuales (como la luz


106

amarilla del sodio) o bajo condiciones impuestas (la línea verde del mercurio puede

separarse en dos líneas distintas de valores de longitudes de onda muy próximos y en

dependencia de un campo magnético aplicado, lo que se conoce como efecto Zeeman). Las

dos componentes de un doblete son difíciles de distinguir mediante un espectroscopio de

rejilla o de prisma.

Pero la interferometría ofrece una alternativa para observar líneas muy cercanas

entre sí. En un interferómetro, cada línea produce un patrón de interferencia de escala

distinta. Esto se debe a que el período de un patrón interferencial formado por dos haces

depende de la longitud de onda de éstos. Por esa razón, los patrones con distintas

longitudes de onda no coinciden en lo general. Sin embargo, es posible que existan regiones

en donde coincida un máximo de un patrón con un máximo del otro patrón. También, habrá

otras regiones donde coincida un mínimo de un patrón con el máximo del otro. En el primer

caso, el patrón se distinguirá bastante bien; pero, en el segundo, se observará una tendencia

a que un patrón oculte al otro. Midiendo la distancia entre dos regiones de los dos casos

extremos descritos, es posible deducir la diferencia de las dos longitudes de onda

involucradas.

Pero un interferómetro como el de Michelson muestra bandas de interferencia de

igual ancho en máximos y mínimos de patrones en el plano de observación. Se debe a que

el patrón de interferencia de dos haces es cosinusoidal. La interferencia de múltiples haces,

en contraste, puede mostrar máximos muy estrechos en comparación con el ancho de sus

mínimos. La razón es que la presencia de múltiples haces introduce armónicos sobre el

patrón fundamental, apartándose entonces de ser cosinusoidal y adquiriendo bordes más

definidos. Esta propiedad mejora la capacidad para distinguir dos patrones distintos que

provengan de emisiones de distintas longitudes de onda.


107

Puede analizarse partiendo de la coincidencia de dos líneas, lo cual sucede en la posición

del espejo dada por 1 . Luego, buscando la posición próxima en donde se repita la

coincidencia de un orden, se varía la distancia del espejo hasta alcanzar la posición 2 .

Fig.15.1. Despliegue de sistemas de franjas de interferencia de dos longitudes de onda

distintas 1 y 2, mostrando dos coincidencias de franjas adyacentes

Cada situación de coincidencia determina las siguientes condiciones:

22122

21111

)1(2

)(2

nmm

nmm,

donde las longitudes de onda iluminando al sistema son 1 y 2 , con n un valor entero

desconocido. El factor 2 se debe al doble camino recorrido por los haces al reflejarse en un

espejo (como en el interferómetro Michelson). El término unitario proviene de que, en la

coincidencia siguiente, una periodicidad ha avanzado en un orden de una unidad mayor que

la otra.

Con la formulación anterior, puede mostrarse que

21

21122

,


108

expresión que, tras simplificarse con 21 y 21 , conduce al siguiente

resultado

12

2

2

.


Se ajusta la distancia entre espejos en un valor aproximado de 1 mm cuando el

tornillo de desplazamiento se encuentre en posición de retracción máxima. Esto asegura

que el tornillo desplazará un espejo hasta distancias mayores de 1 mm. Encontrar un patrón

de interferencia ajustando los tornillos de inclinación.

Observando el patrón, desplazar uno de los espejos hasta encontrar líneas dobles

(Fig.15.2). Continuar hasta lograr que se confundan los patrones y no se distingan las líneas

dobles. Anotar la lectura del tornillo como P1 porque esta será la posición inicial. Continuar

ahora desplazando el espejo en el mismo sentido. Se separarán las franjas gradualmente,

duplicándose otra vez como en la Fig.15.3. Continuar con el desplazamiento hasta volver a

hacer confundir las líneas como en la posición inicial. Apuntar la nueva posición como P2.

Se puede uno regresar para verificar la reproducibilidad de la medición en P1. Repetir el

procedimiento para obtener varios valores de posición P.


La Fig.15.2 muestra un patrón de interferencia usando luz proveniente de una

lámpara de sodio. Se pueden notar algunos anillos dobles. Ello es indicio de tener dos

patrones debidos a dos longitudes de onda distintas.


109

Fig.15.2. Fotografía de un patrón de interferencia formado por reflexión múltiple entre los

espejos de un interferómetro Fabry-Perot al ser iluminado con una lámpara de sodio

mostrando líneas dobles.

Puesto que ofrecen indistinguible aspecto cromático, los valores de sus respectivas

longitudes de onda deben ser muy cercanos entre sí.

Una vez obtenido un patrón semejante, se inicia una medición ajustando el tornillo

de desplazamiento de modo que dos franjas, originalmente dobles, coincidan en una sola.

Se apunta la posición del tornillo. Esa es la primera lectura. Luego, se desplaza el espejo

móvil con el tornillo de desplazamiento, separando entonces a las franjas. Se continúa en la

misma dirección hasta hacerlas coincidir nuevamente en otra posición. Se efectúa la lectura

de la nueva posición alcanzada.

La diferencia de lecturas se convierte en unidades reales utilizando la constante del

interferómetro que previamente debe medirse.


110

Fig.15.3. Fotografía de los patrones de interferencia formados por reflexión múltiple entre

los espejos de un interferómetro Fabry-Perot cuando se cambia la separación entre las

placas con el tornillo milimétrico. Se nota el desdoblamiento de franjas durante la

transición entre dos configuraciones de coincidencia de franjas.

Algunas mediciones típicas se enlistan en la siguientes cuatro tablas:

Primera Medición

µm (Ida) µm (Retorno)

155.10 473.10

188.00 454.90

185.60 461.00

191.10 471.00

183.60 453.90

Segunda Medición


156.80 450.10

184.90 472.50

178.80 480.90

198.50 470.00

191.10 472.10

83.90 472.00

Tercera Medición


175.00 457.80

205.00 461.00

193.10 463.90

201.00 483.00

205.00 479.90

201.20 490.10

Cuarta Medición


175.00 472.80

200.40 475.00

175.50 474.10

206.10 472.20

198.80 480.30

201.60 460.80


111

Los promedios resultan ser de los siguientes valores

µm µm µm µm

1.806x10-4

4.627x10-4

1.808x10-4

4.696x10-4

µm µm µm µm

1.967x10-4

4.726x10-4

1.929x10-4

4.725x10-4

Y, aplicando la fórmula para calcular la longitud de onda promedio, )(2 12

2

dd

con = 589 nm,se obtiene para cada grupo de mediciones una ,

λ1= 6.14x10-10

m

λ2= 6.0x10-10

m

λ3= 6.28x10-10

m

λ4= 6.2x10-10

m,

haciendo un promedio de λ = 6.15x10-10

m. Este valor es la separación estimada entre las

líneas del doblete de sodio.

Recomendaciones.

Procurar obtener las franjas más circulares posibles. Debido a que el patrón de interferencia

proviene de superficies de forma casual, no siempre puede resultar una distribución regular.

Así que no es seguro que en este caso se presente una relación potencial. Cuando las

superficies de los vidrios sean esféricas (de radio de curvatura de muy alto valor), las

franjas son circulares (anillos de Newton). La cámara de captura debe colocarse en

dirección normal al patrón para mantenerse dentro de la aproximación de franjas de igual

espesor y evitar también efectos de perspectiva. Para ello, probablemente se requiera

emplear un divisor de haz.

De no contar con el valor de la constante referida, puede obtenerse con unas

mediciones preliminares. Tal como se describió en la práctica del interferómetro de

Michelson, para obtenerla puede uno fijarse en el centro del patrón que origine la lámpara


112

de sodio y puede uno contar un número de máximos N (30 o 50) que pasen por dicho punto

central. Leyendo la diferencia de posiciones inicial y final (tramo recorrido por el tornillo),

puede igualarse dicha lectura con 2/NK , siendo el valor admitido para el promedio

de la longitud de onda del sodio: 589.26 nm. La constante K se encuentra con el

procedimiento descrito para el interferómetro de Michelson.


Discutir la formulación presentada. Identificar métodos alternativos de medición

buscando en la literatura y analizar sus diferencias con el sugerido. Reporte si se

observaron otras líneas además de las amarillas con las que se trabajó. Reportar si se

observan otras franjas además de las producidas por el doblete.

Describir los resultados esperados bajo iluminación policromática. Encontrar en la

literatura el rango de distancias dentro del cual pueden observarse franjas de interferencia

con luz blanca.


113

Apéndices.

A. Derivaciones de las relaciones entre imágenes y objetos (paraxial).

A.1. Espejo esférico

Un espejo esférico es una sección de esfera reflectora con parámetros: centro de curvatura

(cc), vértice (V), radio de curvatura (R) y eje óptico (horizontal). Mostrando el caso

cóncavo, un punto del extremo de un objeto (O) emite rayos en todas direcciones. Hay uno

que justamente pasa por el centro de curvatura (tipo 1). Al reflejarse en el espejo, incide en

él normalmente, por lo que se refleja sobre el mismo trayecto. Otro rayo, incide en V, por lo

que debe reflejarse al mismo ángulo. Consecuentemente, pasa debajo de O a la misma


114

distancia del eje de la que salió. En el lugar de cruce de estos dos rayos, es donde se supone

se concentran todos aproximadamente (imagen I). Las alturas de O (h) y de I (h’) forman

triángulos de iguales ángulos con el eje óptico y las bases, aunque de sentidos opuestos.

Entonces, con M la amplificación lateral, se tienen las relaciones siguientes

Rs

Rs

Rs

sR

h

hM

sR

h

Rs

h

'''

'

'

s

s

h

hM

s

h

s

h ''

'

'

por lo cual, las relaciones paraxiales entre posiciones objeto (s) e imagen (s’) son

Rsss

Rs

s

Rs

s

s

Rs

Rs 2

'

11

'

''´

A.2. Interfaz esférica

Una interfaz esférica es una sección de esfera dividiendo dos medios de índices de

refracción n y n’ con parámetros: centro de curvatura (cc), vértice (V), radio de curvatura

(R) y eje óptico (horizontal). Un punto objeto (O) sobre el eje óptico emite rayos en todas

direcciones. Hay uno que incide al ángulo en el punto A, de altura y. Al refractarse, lo

hace al ángulo ' según la ley de Snell. Cruza por el eje en el punto I, imagen de O.

Inspeccionando los triángulos formados (OAcc y AccI) se comprueba que los ángulos

marcados cumplen con las relaciones siguientes:

',


115

y cada uno puede aproximarse según las relaciones siguientes:

R

y

s

y

s

y tan,

'tantan ,

habiendo usado la aproximación de ángulo pequeño (paraxial). En congruencia, la ley de

Snell se reduce a '' nn y las relaciones anteriores conducen a

s

yn

R

ynnnn

'''''''s

yn

R

ynnnn

Rnn

s

n

s

n 1)'(

'

'

La última relación es semejante a la del espejo esférico.


116

A.3. Lente convexa

Una lente incluye un volumen definido por dos interfaces esféricas de centros de curvatura

cc1 y cc2, radios de curvatura R1 y R2 y separación entre vértices denotada por d.

Aplicando a la primera superficie la ecuación obtenida para una interfaz, se obtiene que

1

'

11 ' RRnnnn 111

1)'(

'

'

Rnn

s

n

s

n

mientras que para la segunda, análogamente,

2

'

22 ' RRnnnn 222

1)'(

'

'

Rnn

s

n

s

n

usando que dss '

12 y para el caso de lente delgada caracterizado por la condición

0d , se encuentra que


117

)11

)('('

11

21 RRnn

ss

siendo la relación de posiciones objeto e imagen para lentes simples delgadas, donde la

longitud focal f cumple con la fórmula del constructor de lentes, a saber,

)11

)('(1

21 RRnn

f .

Los radios de curvatura de las lentes biconvexas ( 0,0 21 RR ), de plano convexas (

21 ,0 RR ) o de meniscos positivos ( 210 RR ) definen lentes de focal positiva.

A.4. Lente cóncava

Las lentes bicóncavas ( 0,0 21 RR ), las plano cóncavas ( 21 ,0 RR ) o los meniscos

negativos ( 120 RR ) definen focales negativas. Un haz de rayos paralelos diverge de un

punto virtual (foco virtual en esquema adjunto). Por el principio de reversibilidad, la


118

situación formada invirtiendo la dirección de los rayos es también físicamente posible

(recuadro).

B. Procesamiento de datos experimentales: relaciones gráficas entre dos variables.

B.1. Cambio de Variable. Conversión a Relación Lineal y Ajuste Visual.

Considérense los datos de la tabla B.1. Su correspondiente gráfica a la derecha no denota

comportamiento lineal alguno, sino que sugiere una relación potencial tipo BAxy 2,

con 0B .

x y

0 0.2

1 3.87

2 15.4

3 19.2

4 32

5 47

6 75

7 101.5

8 125

9 161

Realizando el cambio de variable 2' xx , al graficarlos se halla la gráfica siguiente, donde

se ha logrado con ello alinear los datos así modificados. La línea recta segmentada fue

Tabla B.1


119

trazada visualmente bajo dos criterios básicos. 1. La línea debe tener aproximadamente

igual número de puntos en ambos lados. 2. Midiendo a las distancias de cada punto a la

recta normalmente a ella, la suma de distancias de los puntos que quedaron de un lado debe

igualar a la correspondiente suma de los puntos del otro lado.

La gráfica trazada propuesta muestra un punto de ella pasando muy cerca de las

coordenadas (40,80), por lo cual permite estimar el valor de A como de 2 con buena

aproximación. En la práctica de refracción, el cambio de variable realizado para alinear a

los puntos no se tomó como potencial. En vez de eso, se usaron los cambios )'(seny y

)(senx .


120

B.2. La relación hiperbólica

(a) Hipérbola equilátera con asíntotas coincidiendo con ejes x e y. (b) Hipérbola

equilátera con asíntotas paralelas a los ejes x e y debido a una translación al punto (1,1).

Hipérbola equilátera con asíntotas paralelas a los ejes x e y debido a una translación al

punto (f,f) y coordenadas escaladas a:f: (c) f > 0 y (d) f < 0.

Los datos experimentales de posiciones objeto e imagen correspondientes a espejos

esféricos y a las lentes simples delgados tanto de focal positiva como negativa se

comportan aproximadamente como estas hipérbolas. Los datos del espejo esférico de la

práctica 2 y los de la práctica 4, corresponden al primer brazo del caso (c), en el I

cuadrante. Los de la práctica 5, a una mitad del segundo brazo del caso (c), en el IV

cuadrante. Los de la práctica 6, a la mitad del primer brazo contenida en el II cuadrante.


121

C. Propiedades ondulatorias.

C.1. Interferencia con dos ondas

Supónganse dos campos eléctricos oscilantes con frecuencias angulares 2 , con

T/1 y T el periodo de cada oscilación. Si tienen las formas

),cos( 111 tAE ),cos( 222 tAE

su superposición, detectada como el promedio temporal de la potencia por unidad de

área de los campos (o irradiancia I), viene a ser proporcional a

,)cos()cos(2)(cos)(cos

)cos()cos(

212

2

1

22

2

2211

ttttA

tAtAI

habiendo supuesto el caso de amplitudes iguales AAA 21 . Usando la propiedad

trigonométrica )cos()cos(2)cos()cos( , se obtiene

.)cos(1

)cos(1

)cos()2cos(2

1

2

1

)cos()2cos()(cos)(cos

21

2

21

2

2121

2

21212

2

1

22

A

A

tA

tttAI

Se ha considerado que 2

1)(cos2 t y 0)2cos( t . La I resultante se conoce

como patrón de interferencia y proporciona valores máximos o mínimos según el valor de

la diferencia 21 sea de un múltiplo entero de 2 o múltiplo impar de 2/ .


122

C.2. Anillos de Newton

Suponiendo una superficie esférica de radio de curvatura R descansando sobre otra

superficie plana, la separación d entre ellas variará con la posición radial r. Estos

parámetros se relacionan mediante 222 )( dRrR , lo cual indica que, si Rd ,

entonces se tendrá que RddRddRRr 22)( 2222 . Así, puede esperarse la

relación RDr . Tomando en consideración el cambio de fase de en reflexión interna

contra la reflexión externa, la condición de máximos resulta ser 2/1])2/1[( mRr ,

mientras que, para los mínimos, 2/1)( mRr . En la práctica, estas relaciones pueden verse

transladadas por efecto de alguna separación adicional en el punto de separación entre

superficies más corto, el cual puede no ser cero. Si las dos superficies fueran esféricas de

radios R1 y R2, se tendría un radio equivalente 11

2

1

1 )( RRRR eq .

C.3. Interferómetro de Michelson

Un interferómetro de Michelson puede considerarse en lo fundamental como un sistema

con sus componentes alineadas a lo largo de la línea visual de observación, como se tiene

en la figura siguiente.


123

Una fuente extendida S puede pensarse como compuesta de un agregado de fuentes

puntuales. El esquema muestra a un rayo particular emergiendo de una fuente puntual

particular al ángulo respecto al eje de una lente de observación L. Este eje coincide con

las normales a los espejos M1 y M’2., que son los espejos vistos desde la región de

observación, por lo cual, la representada por M’2 es la imagen formada por el divisor DH

del espejo real M2. La diferencia de distancias d respecto a DH se traduce aquí como la

separación entre M1 y M’2 . Cada uno de los espejos forma correspondientes imágenes de

la fuente S1 y S2 , de modo que la fuente puntual inicialmente considerada tiene dos

imágenes a la misma altura, desde las cuales emergen dos rayos al mismo ángulo . Son

los indicados por los números 1 y 2.


124

La distancia entre las imágenes S1 y S2 es dss 222 21 , donde se han empleado las

posiciones conocidas de objeto e imagen para espejos planos. La diferencia de caminos

ópticos, DCO, entre los rayos 1 y 2 es, por consideraciones geométricas de la figura,

cos2dDCO .

En consecuencia, los rayos, al superponerse en el plano focal de la lente de observación L,

interferirán de acuerdo al valor particular del DCO. Cuando se considere una reflexión

interna en interfaz dieléctrica, deberá agregarse a la diferencia de fase DCOk , una fase de

. Las franjas resultantes forman un patrón de interferencia de igual inclinación, por lo que

idealmente, este patrón se compone de círculos de igual irradiancia. Cualquier otro punto

de la fuente contribuye a la irradiancia con otro patrón idéntico en escala y posición al

discutido; por lo cual incrementa la irradiancia de mismo, haciéndolo más visible.

C.4. Difracción de una rendija

El esquema muestra una rendija de ancho 2a. Siendo x la posición de un punto sobre el

plano donde se observa un patrón de difracción (distante de la rendija por la posición D),

para ángulos subtendidos suficientemente pequeños se puede emplear la simplificación

senD

xtan

y entonces, si se observa un mínimo de orden N impar,

).12(42

)12(2 pDa

xpD

xa

La diferencia de posiciones de los mínimos adyacentes x es una longitud constante dada

por

.2

)3212(4

Da

ppDa

x


125

C.5. Espectroscopio y espectrómetro.

Un espectroscopio es un instrumento que permite la observación del contenido de ondas

monocromáticas de un haz policromático. Se basa en un elemento dispersivo, como puede

ser un prisma de vidrio. El vidrio presenta un índice de refracción distinto para cada

longitud de onda. Entonces, los ángulos de desviación de un haz de distinta longitud de

onda, son distintos también según la ley de Snell. Así, las distintas componentes de un haz

seguirán trayectorias distintas según su longitud de onda. Por extensión, puede usarse la

dependencia angular con la longitud de onda característica de una rejilla de difracción. La

dispersión de una rejilla puede basarse en los resultados del apéndice anterior. Se ha

propuesto el uso de un compact disk (CD) y una caja de cartón para construir un

espectroscopio.

Un espectrómetro es un espectroscopio que permite medir la radiancia o la irradiancia por

longitud de onda gracias a un detector que recibe cada haz desviado por el elemento

dispersor. Si el detector se calibra en unidades MKS, el espectrómetro es un espectro-


126

radiómetro. Si calibrado en unidades fotométricas, es espectro-fotómetro. Un espectro

viene a ser el contenido energético de una fuente luminosa (expresado en irradiancia

[Watt/m2] por ejemplo) por longitud de onda. Para mayor velocidad de captura, se puede

usar un arreglo de detectores (p.e., 128), como se esquematiza en la figura.

C.6. Interferómetro Fabry-Perot.

Un interferómetro tipo Fabry-Perot es un interferómetro compuesto por dos placas planas

enfrentadas altamente reflejantes; pero parcialmente transmisoras. Cuando un haz incide en

una placa, se refleja en la cara de la segunda placa en un porcentaje relativamente alto, pero

también se transmite parcialmente en ella. El haz primero reflejado experimenta un

segundo reflejo en la cara de la primera placa y se dirige a la cara de la segunda placa. Ahí


127

se transmite parcialmente, aunque otro porcentaje se refleja de retorno a la primera placa.

En dependencia de la reflectividad de las caras (que puede ser del 90% o mayor), el proceso

continúa hasta generarse múltiples haces transmitidos por la segunda placa. Éstas se

superponen produciendo una irradiancia total, que es la observada. Una superposición

similar se produce hacia la fuente por la superposición de los haces transmitidos por la

primera placa. Esta irradiancia no se considerará directamente en el ejercicio experimental

propuesto. El esquema adjunto puede proporcionar una idea del proceso descrito.

En la figura, una lente colimadora Lc dirige los rayos provenientes de la fuente hacia el par

de placas (etalón) montadas en un mecanismo deslizable. El tornillo Ta ajusta al

espaciamiento d entre las caras internas caracterizadas por un coeficiente de Fresnel de


128

reflexión r. Otros dos tornillos (no mostrados), ajustan dos ángulos de una placa en ejes

perpendiculares. La lente Lo envía a su plano focal P los rayos de igual inclinación

(aproximación paraxial). Estos arriban a P con una diferencia de fase entre rayos

contiguos. Esta fase depende del ángulo de incidencia en el espaciamiento de las placas,

de la separación d y del índice de refracción de ahí mismo. La superposición de las

amplitudes emergentes forma una serie geométrica con base . Puede mostrarse que,

en el límite de un número de rayos N tendiendo a y sin absorción en las placas, la

irradiancia total correspondiente puede expresarse como:

con la irradiancia total incidente. Cuatro gráficas del cociente como

función de se muestran a continuación, permitiendo notar la diferencia de anchos entre

máximos y mínimos. Los distintos valores de r son, de arriba hacia abajo, 0.1, 0.4, 0.8 y

0.95. La diferencia de anchos es mayor, en particular, para valores de r mayores a 0.8.

El patrón es similar al descrito para el interferómetro tipo Michelson en cuanto a ser de

igual inclinación, por lo cual resulta circular en la aproximación paraxial. Así mismo,

diferentes puntos de la fuente proporcionan iguales patrones en escala y posición en la

misma aproximación. Las franjas brillantes son más estrechas que las oscuras para valores

de r suficientemente altos.


129

Un interferómetro de este tipo para enseñanza se muestra en las dos fotografías siguientes.

En la foto izquierda, se ve una fuente de sodio al lado del interferómetro, el cual consta de

un par de placas montadas en un sistema mecánico translacional con dos tornillos de ajuste

5 0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

Diferencia de fase [rads]

Coci

ente

Irr

adia

nci

as

1

0

I 0.1( )

I 0.4( )

I 0.8( )

I 0.95( )

15.7083.142


130

de inclinación (centro) y una pantalla de observación. En la foto derecha, el mismo sistema

con la fuente al fondo (amarillo), seguida del par de placas (el etalón) y la pantalla de

observación.

El tornillo de desplazamiento de la placa móvil se encuentra en contacto con ella mediante

una palanca que disminuye su recorrido en cierto factor. Éste es el que debe determinarse

como se describe en relación al interferómetro de Michelson. En la foto de la izquierda, el

tornillo puede verse en el ángulo inferior derecho. No está en alineado con el

desplazamiento debido a la palanca, que está oculta dentro de la base del interferómetro.

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Leonardo da Vinci, Manuscrito B 4v - fcfm.buap.mx · PDF filePrácticas de Laboratorio (Óptica). Licenciatura en Física. 4 polarización lineal, con interferencia y con...

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