LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA · PDF fileBuktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n anggota bilangan asli ... Latihan Soal 1. Buktikan prinsip induksi matematika

Matematika15.wordpress.com

1 King’s Learning Be Smart Without Limits

LEMBAR AKTIVITAS SISWA – INDUKSI MATEMATIKA

Nama Siswa : ___________________

Kelas : ___________________

Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.4 Memahami prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam

membuktikan rumus jumlah deret persegi dan kubik

A. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dalam matematika ada beberapa bentuk pembuktian, yaitu: 1. Pembuktian langsung 2. Pembuktian tidak langsung 3. Pembuktian Induksi Matematika 1. Pembuktian Langsung Pembuktian kebenaran teorema yang berbentuk implikasi p → q, dengan asumsi p benar dan ditunjukkan q benar. Pembuktian langsung dalam matematika dapat dibuktikan secara langsung bentuk ruas kiri sama dengan ruas kanan atau sebaliknya. Contoh 1: Buktikan: sin

2 x + cos

2 x = 1.

Jawab: 2. Pembuktian Tak Langsung Bukti taklangsung adalah membuktikan kebenaran suatu implikasi p→ q melalui kontraposisi ~q → ~ p. Contoh 2:

Buktikan bahwa n

0= tidak terdefinisi.

Jawab:

3. Pembuktian induksi matematika Pembuktian secara induksi matematika, digunakan untuk pembuktian yang nilai variabelnya merupakan bilangan asli. Perhatikan penentuan formula jumlah dari n suku pertama bilangan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), dapat dimulai dengan menghitung suku demi suku seperti terlihat pada tabel di bawah ini:

Penentuan formula dari bentuk di atas menggunakan prinsip induksi matematika. B. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Prinsip induksi matematika:

Contoh 3: Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

2 + 5 + 8 + …. + (3n – 1) = 1

2 n (3n+1)

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

2 King’s Learning Be Smart Without Limits

Contoh 4: Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n anggota bilangan asli (5

2n + 3n – 1) habis dibagi 9.

Jawab: C. DERET KHUSUS 1. Deret Bilangan Asli

Deret: 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = 𝑖 𝑛𝑖=1

Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = 1

2 n (n+1)

Jawab:

2. Deret Kuadrat n Bilangan Asli (deret persegi)

Deret: 12 + 2

2 + 3

2 + 4

2 + …. + n

2 = 𝑖

2 𝑛

𝑖=1 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

12 + 2

2 + 3

2 + 4

2 + …. + n

2 =

n n+1 (2n+1)

6

Jawab: Contoh 5: Tentukan nilai dari: a. 1

2 + 2

2 + 3

2 + … + 20

2 = ….

Jawab:

b. 𝑖2 10𝑖=1 = …

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

3 King’s Learning Be Smart Without Limits

3. Deret Kubik n Bilangan Asli

Deret: 13 + 2

3 + 3

3 + 4

3 + …. + n

3 = 𝑖

3 𝑛

𝑖=1 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

13 + 2

3 + 3

3 + 4

3 + …. + n

3 =

n n+1

2

2

Jawab: Contoh 6: Tentukan nilai dari: a. 1

3 + 2

3 + 3

3 + … + 19

3 = ….

Jawab:

b. 𝑖3 9𝑖=1 = …

Jawab:

4. Deret Bilangan Persegi Panjang

Deret: 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n (n+1) = 𝑖(𝑖+ 1) 𝑛𝑖=1

Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n (n+1) = n n+1 (n+2)

3

Jawab: Contoh 7: Tentukan nilai dari: a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + 8.9 = …. Jawab:

b. 𝑖(𝑖 + 1) 5𝑖=1 = …

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

4 King’s Learning Be Smart Without Limits

Latihan Soal 1. Buktikan prinsip induksi matematika masing-masing

pernyataan berikut: a. 2 + 4 + 6 + … + 2n = n

2 + n

Jawab:

b. 22 + 4

2 + 6

2 + … + (2n)

2 =

2n n+1 (2n+1)

3

Jawab:

c. 12 + 3

2 + 5

2 + … + (2n – 1)

2 =

n 2n−1 (2n+1)

3

Jawab: d. 1

3 + 3

3 + 5

3 + … + (2n – 1)

3 = n

2 (2n

2 – 1)

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

5 King’s Learning Be Smart Without Limits

e. 23 + 4

3 + 6

3 + … + (2n)

3 = 2n

2 (n+1)

2

Jawab:

f. 1

2 -

1

4 -

1

8 - … -

1

2n =

1

2n

Jawab:

2. Hitunglah: a. 2

2 + 4

2 + 6

2 + … + 100

2 = …

Jawab: b. 1

2 + 3

2 + 5

2 + … + 99

2 = …

Jawab: c. 1

3 + 3

3 + 5

3 + … + 99

3 = …

Jawab: d. 2

3 + 4

3 + 6

3 + … + 100

3 = …

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

6 King’s Learning Be Smart Without Limits

e. 10𝑝=1 (2p – 1)

3

Jawab:

f. 𝑖(𝑖 + 1) 9𝑖=5 = ….

Jawab: 3. Buktikan bahwa setiap bilangan asli n, nilai 5

2n – 1 habis dibagi

3. Jawab:

4. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, nilai (32n

– 1) habis dibagi 8.

Jawab: 5. Buktikan bentuk notasi sigma: a. Jawab:

Matematika15.wordpress.com

7 King’s Learning Be Smart Without Limits

b. Jawab: c. Jawab:

d. Jawab: 6. untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2

n > n.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

8 King’s Learning Be Smart Without Limits

7. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa pernyataan berikut ini benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Jawab: