Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan

Tahun Ajaran 2013/2014

Induksi MatematikaMatematika Diskret (TKE132107)

Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>

Ingat proposisi?

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Sebuah proposisi mempunyai nilai.


Benar atau salah.


Perlu dibuktikan.


Metode pembuktian yang sahih.


Pembuktian proposisi himpunan.


Pembuktian proposisi bilangan bulat.

Buktikan pernyataan “hasil penjumlahan n buah bilangan bulat positif pertama adalah n(n+1)/2”!


Metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat disebut dengan Induksi

Matematika.


Teknik pembuktian yangbaku di dalam matematika.


Dalam pembuktian, kita ingin mencari mana teknik yang paling efisien/sangkil.

(dan tentu saja efektif/mangkus)


Dengan induksi matematika kita dapat melakukan pengurangan langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran melalui sejumlah langkah terbatas.


Postulat Peano.(aksioma: proposisi yang diasumsikan benar)

Proposisi PerihalBilangan Bulat


Banyak hal terkait dengan bilangan bulat.


p(n)


p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

fungsi proposisi

p(n) adalah proposisi yang menyatakan “hasil penjumlahan bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2”.

Buktikan bahwa p(n) benar!


Coba subtitusikan nilai n!

Apakah cara tersebut dapat membuktikan bahwa

p(n) benar?


Subtitusi langsung p(n) dengan n yang “dicoba-coba” tidak dapat disebut sebagai

pembuktian bahwa p(n) benar untuk seluruh n.

Temukan rumus hasil penjumlahan dari n buah bilangan ganjil

positif pertama!


Coba subtitusikan nilai n dan simpulkan!


Dugaan.

Apakah cara tersebut dapat membuktikan bahwa rumus

tersebut benar?


Contoh-contoh lainnya dapatdibaca pada buku referensi.

Prinsip InduksiSederhana


p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat positif, dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Prinsip Induksi Sederhana

1. p(1) benar, basis induksi;

2. Jika p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ 1, langkah induksi;

sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Hipotesis Induksi


Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar jika n

diganti dengan elemen terkecil.(bilangan bulat positif terkecil)


Kita harus memperlihatkan bahwaimplikasi p(n) → p(n+1) benar untuk

setiap bilangan bulat positif.

Bagaimana cara membuktikanimplikasi tersebut?


Tunjukkan bahwa:jika p(n) benar, p(n+1) benar.


Tidak ada asumsi p(n) benaruntuk semua bilangan positif.


Kita hanya memperlihatkan bahwa jika diasumsikan p(n) benar, maka p(n+1)

benar untuk setiap n positif.

Soham Banerjee, CC BY, http://flic.kr/p/tkDMw

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2, untuk n ≥ 1!


p(n) menyatakan proposisi tersebut.bahwa jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah n(n+1)/2,

untuk n ≥ 1, yaitu 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2


Gunakan 2 langkah pembuktianprinsip induksi sederhana.


1) basis induksi: p(1) benar, dengan n=1.


2) langkah induksi:jika p(n) benar, p(n+1) juga benar.(hipotesis induksi)


1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1)/2

Prinsip Induksiyang Dirampatkan


Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benaruntuk semua bilangan bulat yang

tidak dimulai dari 1 saja.


≥ n0


p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar

untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.


Prinsip Induksi yang Dirampatkan

1. p(n0) benar;

2. Jika p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ n0;

sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.

Buktikan dengan induksi matematikabahwa 3n < n!, untuk n bilangan bulat

positif yang lebih besar dari 6.


p(n) menyatakan proposisi tersebut.


1) basis induksi: p(7); 37 < 7!.


2) langkah induksi:jika p(n) benar, p(n+1) juga benar.


3(n+1) < (n+1)!

Prinsip Induksi Kuat

Induksi kuat?


p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar

untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.


Prinsip Induksi Kuat

1. p(n0) benar;

2. Jika p(n0), p(n0+1), …, p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ n0;

sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.

Hipotesis yang lebih banyak

Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu atau lebih bilangan prima!

Bilangan bulat positif disebut prima, jika dan hanya jika, bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri.

Bentuk InduksiSecara Umum


Umum.

Generik?


Dapat diterapkan dalamhimpunan obyek secara umum.

(tidak hanya pada proposisi himpunan bilangan bulat positif)


Syarat: (1) himpunan obyek punya keterurutan,(2) mempunyai elemen terkecil.


Baca Definisi 4.1 pada buku referensi.


X terurut dengan baik oleh “<” dan p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin

membuktikan bahwa p(x) benar untuksemua x ∈ X.


Prinsip Induksi secara Umum

1. p(x0) benar;

2. Jika p(y) benar untuk y < x, p(x) juga benar untuk setiap x > x0 di dalam X;

sehingga p(x) benar untuk semua x ∈ X.

x0 adalah elemen terkecil di dalam X


Daftar Bacaan

● Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.

Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan

Documents