CAPITOLO 3 LE EQUAZIONI CIRCUITALI 3.1 Introduzione Il quadro della intera Teoria dei Circuiti è, a questo punto, completo. Essa è così costituita (per il momento, ci riferiremo a circuiti di soli bipoli): • Concetti fondamentali (“primitivi”, in una impostazione assiomatica): - corrente nel bipolo, - tensione ai morsetti del bipolo; • Leggi fondamentali (“assiomi”, in una impostazione assiomatica): - equazioni di Kirchhoff per le correnti, - equazioni di Kirchhoff per le tensioni; • Relazioni costitutive (“caratteristiche”, in una impostazione assiomatica; b è il numero di bipoli del circuito, ) k è una funzione per i bipoli statici e un “funzionale” per i bipoli dinamici): ) k v k (⋅ ),i k (⋅) { }=0 k =1,2,...,b. Tutto ciò che d'ora in avanti si dirà sarà stretta conseguenza di questo “quadro”. Quindi in una rete elettrica, o circuito elettrico, il funzionamento di ogni singolo elemento è, in ogni istante, determinato dalla interazione tra l'elemento stesso e il resto della rete. In altre parole, si può dire che esso è il frutto della interazione tra due diverse esigenze: che l'elemento si comporti in modo compatibile con la sua specifica natura e che tale comportamento sia a sua volta compatibile con quello di tutti gli altri elementi presenti nella rete. Le relazioni costitutive descrivono il funzionamento dei singoli elementi, e le leggi di Kirchhoff ne regolano l'interazione. Le equazioni che ne derivano sono le equazioni circuitali . Esse sono l’oggetto del nostro studio. Dal modo stesso in cui sono state enunciate le leggi fondamentali della Teoria dei Circuiti, discende che esse non fanno alcun riferimento alla struttura “interna” dei diversi componenti (basta pensare che le linee e le superfici cui le leggi si riferiscono non debbono “forare” o “tagliare” gli
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CAPITOLO 3
LE EQUAZIONI CIRCUITALI
3.1 Introduzione
Il quadro della intera Teoria dei Circuiti è, a questo punto, completo. Essa è così costituita (per il
momento, ci riferiremo a circuiti di soli bipoli):
• Concetti fondamentali (“primitivi”, in una impostazione assiomatica):
- corrente nel bipolo,
- tensione ai morsetti del bipolo;
• Leggi fondamentali (“assiomi”, in una impostazione assiomatica):
- equazioni di Kirchhoff per le correnti,
- equazioni di Kirchhoff per le tensioni;
• Relazioni costitutive (“caratteristiche”, in una impostazione assiomatica; b è il numero di
bipoli del circuito, )k è una funzione per i bipoli statici e un “funzionale” per i bipoli
dinamici):)k vk (⋅), ik (⋅){ }= 0 k =1,2, .. .,b.
Tutto ciò che d'ora in avanti si dirà sarà stretta conseguenza di questo “quadro”. Quindi in una rete
elettrica, o circuito elettrico, il funzionamento di ogni singolo elemento è, in ogni istante, determinato
dalla interazione tra l'elemento stesso e il resto della rete. In altre parole, si può dire che esso è il
frutto della interazione tra due diverse esigenze: che l'elemento si comporti in modo compatibile con
la sua specifica natura e che tale comportamento sia a sua volta compatibile con quello di tutti gli
altri elementi presenti nella rete. Le relazioni costitutive descrivono il funzionamento dei singoli
elementi, e le leggi di Kirchhoff ne regolano l'interazione. Le equazioni che ne derivano sono le
equazioni circuitali . Esse sono l’oggetto del nostro studio.
Dal modo stesso in cui sono state enunciate le leggi fondamentali della Teoria dei Circuiti,
discende che esse non fanno alcun riferimento alla struttura “interna” dei diversi componenti (basta
pensare che le linee e le superfici cui le leggi si riferiscono non debbono “forare” o “tagliare” gli
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“involucri” (le superfici limite) dei componenti: ne segue che le leggi di Kirchhoff non contengono,
di per sé, informazioni sulla natura degli elementi circuitali). Le equazioni che si ottengono
imponendo le leggi di Kirchhoff dipendono solo da come sono connessi gli elementi circuitali.
Da questa semplice constatazione deriva che, per scrivere le equazioni di Kirchhoff non occorre
fare riferimento specificamente al sistema fisico che costituisce il circuito, ma è sufficiente riferirsi a
una struttura astratta di tipo “geometrico” (vedremo poi, che non occorre neppure questa
caratteristica) che contenga soltanto i nodi (tutti) del circuito e i loro collegamenti realizzati dai
bipoli.
Con riferimento, ad esempio, alla figura 1, si consideri la rete di bipoli disegnata in figura 1a e il
corrispondente schema “geometrico” di figura 1b. Questo schema rappresenta un grafo1. Come si
vede, nel grafo i bipoli sono “scomparsi”, mentre tutti i nodi sono presenti: al posto dei bipoli
compaiono delle linee detti lati del grafo che collegano tra loro i nodi allo stesso modo che nel
circuito di partenza.
Ora, è immediato constatare che, se i bipoli di figura 1a vengono orientati per ciò che riguarda le
correnti in un modo qualsiasi (come, ad esempio, in figura 1c), e, allo stesso tempo, lo schema
corrispondente è orientato, lato per lato, allo stesso modo, (figura 1d), per scrivere le equazioni di
Kirchhoff per le correnti per ciascuno dei nodi del circuito è sufficiente riferirsi al grafo orientato,
piuttosto che al circuito di partenza.
È inoltre evidente che anche la scrittura delle equazioni esprimenti le leggi di Kirchhoff per le
tensioni può essere effettuata basandosi esclusivamente sul grafo orientato (senza bisogno di ricorrere
alla rete di partenza). La cosa è di per sé ovvia quando si stabilisca, una volta per tutte, di fare per
ogni bipolo del circuito, ad esempio, la convenzione dell'utilizzatore. Quando si faccia questa scelta,
non occorre orientare ulteriormente il grafo (per le tensioni): è sufficiente averlo orientato per le
correnti.
Figura 1 Circuito (a), grafo corrispondente (b); circuito orientato (c) e grafo orientato corrispondente(d).
Si noti che se, in luogo del grafo di figura 1b, se ne sceglie un altro che differisca dal primo per il
fatto che ciascuno dei lati sia stato deformato ad arbitrio (purché senza “lacerazione”), le equazioni di
Kirchhoff per le correnti e per le tensioni conservano ancora la stessa forma. Per questo motivo, si è
1 Eulero scrisse il primo lavoro sulla teoria dei grafi nel 1736; in questo lavoro Eulero trattò il problema del
ponte di Königsberg. Nel 1847 Kirchhoff ha fondato la teoria dei grafi, così come è nota oggi, nei suoi studi suicircuiti elettrici. La maggior parte delle proprietà topologiche dei circuiti elettrici sono state trovate da Kirchhoffe da Maxwell (1892). L'applicazione sistematica dei grafi allo studio dei circuiti elettrici è più recente (1957).
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 83
soliti dire che il grafo di una rete non ha significato geometrico (il che implicherebbe la
conservazione di distanze e angoli rispetto al circuito di partenza), bensì soltanto significato
“topologico” (il che implica soltanto la conservazione dei collegamenti fra i diversi nodi).
3.2 Elementi di teoria dei grafi
Come abbiamo appena visto le connessioni di un circuito possono essere rappresentate tramite un
oggetto astratto, il grafo del circuito. In questo paragrafo daremo quegli elementi della Teoria dei
Grafi che possono essere di aiuto nello studio delle proprietà delle equazioni che si ottengono
applicando le leggi di Kirchhoff.
Definizioni: grafo, grafo orientato, sottografo
→ Un grafo G(N,L) è l'insieme di nodi N={“1”,“2”,...,“n”}, di lati L={1,2,...,b} e la relazione
(relazione di incidenza) che a ogni lato fa corrispondere la coppia di nodi a cui il lato è
connesso.
→ Se ogni lato del grafo è orientato (ad esempio, tramite una freccia), il grafo si dice orientato.
→ Si consideri un grafo G(N,L). Il grafo G1(N1,L1) si dice sottografo di G, se N1 è un
sottoinsieme di N, L1 è sottoinsieme di L e la relazione di incidenza tra i nodi di N1 e i lati di
L1 è la stessa del grafo G.
In figura 2a è illustrato un grafo non orientato, e in figura 2b è illustrato lo stesso grafo ma
orientato. L'orientazione del grafo di un circuito può essere fatta, ad esempio, concordemente ai versi
di riferimento per le correnti. La relazione di incidenza è assegnata graficamente attraverso elementi
geometrici (punti e archi di linee).
Figura 2 Grafo G={N,L} (a); una possibile orientazione di G (b).
In figura 3 è illustrato un grafo orientato, insieme con tre suoi sottografi. Un sottografo è una parte
di un grafo, e quindi corrisponde a una parte del circuito.
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Figura 3 Grafo e sottografi (orientati).
Un concetto fondamentale nella teoria dei grafi è quello di grafo connesso.
Definizione: grafo connesso
→Un grafo si dice connesso se ogni nodo è collegato a qualsiasi altro nodo attraverso uno o più lati.
In figura 4a è illustrato un grafo connesso e in figura 4b è illustrato un esempio di grafo non
connesso: non esiste nessun collegamento tra i due sottografi.
Figura 4
I circuiti di bipoli di interesse nelle applicazioni sono tutti “connessi”, e quindi considereremo solo
grafi connessi. Un grafo connesso può contenere sottografi non connessi (si consideri, ad esempio, il
grafo G illustrato in figura 3 e il sottografo G3).
Il concetto di maglia che è stato introdotto nel Capitolo 1, è un concetto fondamentale della teoria
dei grafi. Riprendiamo di nuovo questo concetto utilizzando i concetti propri dei grafi.
Definizione: maglia
→ Sia dato un grafo connesso G. Una maglia di G è un sottografo connesso in cui in ciascun nodo
incidono due e solo due lati.
Osserviamo che ogni maglia forma un cammino chiuso, proprio perché essa deve essere un
sottografo connesso in cui a ogni nodo sono collegati due e due soli lati. Questa è la proprietà
fondamentale di ogni maglia. In generale in un grafo ci sono più maglie. In figura 5 è illustrato un
grafo G insieme a due possibili maglie, G1 e G2; i sottografi G3 e G4 non sono maglie perché nel
nodo “1” di G3 incidono quattro lati e nei nodi “1” e “4” di G4 incidono tre lati e un lato,
rispettivamente.
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Figura 5 Grafo G e due possibili maglie di G; (G1 e G2); G3 e G4 non sono maglie.
Oltre alle maglie, ci sono altri sottografi che hanno proprietà interessanti e che vengono utilizzati
nella teoria dei circuiti: essi sono gli alberi e i coalberi di un grafo.
Definizione: albero e coalbero
→ Sia dato un grafo connesso G. Un albero A di G è un suo sottografo connesso costituito da tutti
i nodi del grafo e che non contiene maglie.
→ Il coalbero CA di G, corrispondente all'albero A, è l'insieme dei lati complementare all'albero:
l'unione dei lati dell'albero e del coalbero coincide con l'insieme di tutti i lati di G.
In generale un grafo possiede più di un albero. Due possibili alberi A1 e A2, e i relativi coalberi
CA1 e CA2 del grafo illustrato in figura 5, sono illustrati in figura 6; il sottografo G1 non è un albero
perché contiene una maglia, e il sottografo G2 non è un albero perché non è connesso.
Proprietà fondamentali dell'albero e del coalbero
La proprietà fondamentale dell'albero è che esso è costituito da n-1 lati, se n è il numero di nodi del
grafo, indipendentemente dal numero di lati e dalla relazione di incidenza.
La dimostrazione di questa proprietà è semplice. Si parta da un qualsiasi nodo dell'albero. È
possibile raggiungere, camminando lungo l'albero, qualsiasi altro nodo. Ogni volta che si raggiunge
un altro nodo si percorre un nuovo lato; pertanto il numero totale di lati distinti che bisogna
percorrere per raggiungere tutti i nodi è n-1, cioè è uguale al numero di nodi meno uno (quello di
partenza).
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La proprietà fondamentale del coalbero è che esso è costituito sempre da b-(n-1) lati se b sono i lati
del grafo. Essa deriva direttamente dal fatto che il coalbero è il complemento all'albero, cioè la
somma dei lati dell'albero e del coalbero deve essere uguale al numero dei lati del grafo.
Figura 6 Esempi di alberi A1 e A2 e coalberi CA1 e CA2 del grafo G illustrato in figura 5; G1 e G2non sono alberi.
Un altro concetto importante nello studio delle proprietà delle equazioni ottenute applicando le
leggi di Kirchhoff per le tensioni è quello di maglia fondamentale.
Definizione: maglia fondamentale
Si consideri il sottografo che si ottiene aggiungendo all'albero di un grafo un qualsiasi lato di
coalbero: esso contiene una e una sola maglia (essa si ottiene eliminando tutti i lati “appesi”, cioè
tutti quei lati che non appartengono al cammino chiuso). Una maglia ottenuta in questo modo prende
il nome di maglia fondamentale.
È evidente, allora, che aggiungendo volta per volta tutti i lati di coalbero è possibile costruire b-(n-
1) maglie fondamentali distinte. Questo insieme prende il nome di insieme delle maglie fondamentali
del grafo. La proprietà di questo insieme è che ogni lato di coalbero appartiene a una e una sola
maglia fondamentale, e quindi ogni maglia dell'insieme delle maglie fondamentali ha almeno un lato
in esclusiva. A seconda dell'albero che si sceglie si avrà un diverso insieme di maglie fondamentali.
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 87
Figura 7 Grafo G e un albero A ; un insieme di maglie fondamentali {MF1, MF2} del grafo G; la
maglia M (“unione” delle maglie MF1, MF2) non è fondamentale.
Si consideri ora un insieme di maglie fondamentali. Si può verificare che una qualsiasi altra maglia
del grafo può essere rappresentata tramite l'“unione” di maglie fondamentali, se la regola dell'unione
prevede che i lati comuni siano eliminati. Si osservi che dall'unione di due maglie fondamentali è
possibile costruire un'altra maglia del grafo se e solo se le due maglie hanno almeno un lato in
comune. In figura 7 è illustrato un grafo e un possibile insieme di maglie fondamentali: MF3 è la
maglia fondamentale ottenuta aggiungendo all'albero A il lato 3 e MF4 è quella ottenuta aggiungendo
il lato 4; la maglia M è ottenuta “unendo” MF3 a MF4.
I circuiti che vengono considerati in queste lezioni per esemplificare proprietà, metodi e
applicazioni hanno grafi che possono essere rappresentati sul piano senza che nessuna coppia di lati si
intersechi. In generale ciò non è sempre verificato.
Definizione: grafo planare
→ Un grafo si dice planare se può essere tracciato su di un piano senza che nessuna coppia di lati
si intersechi in un punto che non sia un nodo.
Tra tutte le possibili maglie di un grafo planare, rivestono particolare interesse quelle che nel grafo
non contengono nessun lato al loro interno (solo per i grafi planari ogni maglia partiziona il piano in
due parti, quella interna al cammino chiuso e quella esterna).
Definizione: anello
→ Un anello è una maglia di un grafo planare che non contiene nessun lato al suo interno.
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È possibile dimostrare che un grafo planare connesso con b lati e n nodi ha b-(n-1) anelli distinti,
cioè anelli che hanno almeno un lato diverso. L'insieme di tutti gli anelli di un grafo planare ha la
stessa proprietà dell'insieme di maglie fondamentali, cioè qualsiasi altra maglia del grafo planare può
essere ottenuta dall'unione di due o più anelli, dove l'unione è realizzata con la stessa regola (cioè i
lati in comune devono essere eliminati). Si noti che, in generale, l'insieme degli anelli di un circuito
non coincide con nessun insieme di maglie fondamentali.
In figura 8a è illustrato un grafo planare e i suoi tre anelli, mentre in figura 8b è illustrato un
esempio di grafo non planare. Se si prova a distenderlo su di un piano, il lato α che congiunge il nodo
“3” al nodo “8” necessariamente interseca almeno un altro lato in un punto diverso dai nodi.
Figura 8 Grafo planare e anelli corrispondenti (a); un esempio di grafo non planare (b).
3.3 Equazioni di Kirchhoff per gli insiemi di taglio
Un altro importante concetto della teoria dei circuiti è l'insieme di taglio. La legge di Kirchhoff per
le correnti, per come è stata formulata, impone un legame alle correnti dei lati incidenti in uno stesso
nodo. È possibile formularla anche per le correnti dei lati di un insieme diverso da quelli che incidono
nei nodi.
Definizione: insieme di taglio
→ Si consideri un grafo connesso G(N,L). Un sottoinsieme T dei lati L del grafo, si dice insieme
di taglio se: (a) la rimozione dal grafo di tutti i lati dell'insieme di taglio conduce a un grafo
non connesso; (b) la rimozione di tutti i lati dell'insieme di taglio, eccetto uno arbitrario, lascia
connesso il grafo G. Se il grafo è orientato, l'insieme di taglio si dice orientato.
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 89
In figura 9 si considera un grafo e vengono illustrati i possibili insiemi di taglio (T1, T2, T3 e T4).
I lati di T2 sono tutti quelli che incidono nel nodo “2” e i lati di T3 sono tutti quelli che incidono nel
nodo “3”; invece i lati degli insiemi T1 e T4 non incidono in uno stesso nodo.
L'insieme di taglio crea una partizione dell'insieme dei nodi del grafo G in due sottoinsiemi, ilsottoinsieme N+ e il sottoinsieme N−. Ciascun insieme di taglio può essere orientato scegliendo
arbitrariamente un verso, ad esempio quello che va dal sottoinsieme di nodi N+ al sottoinsieme N−.
Figura 9 Grafo G e possibili insiemi di taglio.
A questo punto possiamo formulare la legge per le correnti di un insieme di taglio.
Legge di Kirchhoff per gli insiemi di taglio
La somma algebrica delle correnti di un qualsiasi insieme di taglio è uguale a zero in
ogni istante.
Nella legge di Kirchhoff per l'insieme di taglio intervengono con lo stesso segno le correnti il cui
riferimento per il verso è concorde con l'orientazione dell'insieme di taglio (scelta in modo del tutto
arbitraria), e con il segno contrario le correnti con riferimento opposto. Ad esempio, la corrente ik
deve essere sommata con il segno + se il suo riferimento per il verso va dal sottoinsieme di nodi N+al sottoinsieme N− e con il segno − se va al contrario.
La dimostrazione di questa nuova formulazione della legge di Kirchhoff per le correnti è semplice.Ogni insieme di taglio partiziona l'insieme di nodi nei due sottoinsiemi N+ e N−. Scrivendo le
equazioni di Kirchhoff per le correnti per ciascun nodo del sottoinsieme N+ e sommandole membro a
membro si ottiene l'equazione dell'insieme di taglio. Nella somma si eliminano tutte le correntirelative ai lati che collegano i nodi del sottoinsieme N+ e restano solo le correnti relative ai lati che
collegano i nodi di N+ ai nodi di N−. Tutte le correnti i cui riferimenti per i versi vanno dal
sottoinsieme N+ al sottoinsieme N− intervengono nella somma con lo stesso segno e con il segno
90 Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
contrario le correnti con riferimento opposto. (Si noti che quando N+ contiene un solo nodo, e ciò
accade quando i lati dell'insieme di taglio incidono tutti in un solo nodo, l'equazione per l'insieme di
taglio si riduce a quella per il nodo).
Si determinino le equazioni degli insiemi di taglio illustrati in figura 9.
insieme di taglio T1 i2 + i4 − i5 = 0, insieme di taglio T2 i2 − i3 = 0;
insieme di taglio T3 i3 + i4 − i5 = 0, insieme di taglio T4 i1 − i3 + i5 = 0.
3.4 Matrice di incidenza e matrice di maglia
Fino a questo momento la relazione di incidenza di un grafo orientato (la relazione che associa i
lati ai nodi) è stata rappresentata graficamente attraverso elementi geometrici. È possibile assegnare
la relazione di incidenza, e quindi definire un grafo, utilizzando una tabella ordinata costituita da n
righe (quanto sono i nodi) e b colonne (quanti sono i lati). Questa tabella può essere rappresentata da
una matrice rettangolare n∞b (in un circuito è sempre b•n); a essa si dà il nome di matrice di
incidenza del grafo ed è indicata con Aa.
Si ordinino i nodi e i lati del grafo orientato associando a ciascuno di essi un numero naturale. La i-
esima riga della matrice di incidenza corrisponda al i-esimo nodo del grafo e lo j-esimo elemento diquesta riga corrisponda al j-esimo lato del grafo. Sia a ij l'elemento di Aa appartenente alla riga “i” e
alla colonna “j”. La matrice di incidenza Aa è così definita:
a ij =+1 se il lato j esce dal nodo “i”,
−1 se il lato j entra nel nodo “i”,
0 se il lato non tocca il nodo “i”,
i =1,2, ... , n
j = 1,2, .. ., b (1)
La i-esima riga di Aa indica quali sono i lati che incidono nell’ i-esimo nodo del grafo e la j-esima
colonna indica quali sono i due nodi (sono solo due) ai quali il lato “j” è collegato.
Si consideri il grafo orientato illustrato in figura 10 e si costruisca la matrice di incidenza. Inquesto caso Aa ha 4 righe (i nodi sono quattro) e 5 colonne (i lati sono cinque),
Aa =
1 1 0 0 −1
−1 0 0 1 0
0 0 −1 −1 1
0 −1 1 0 0
(⇐ nodo “1”)
(⇐ nodo “2”)
(⇐ nodo “3”)
(⇐ nodo “4”)
. (2)
C'è una corrispondenza biunivoca tra il “disegno” illustrato in figura 10 e la matrice di incidenza (2):
essi sono solo una diversa rappresentazione di uno stesso oggetto.
Siccome ogni lato incide in soli due nodi, solo due elementi di ciascuna colonna sono diversi da
zero: uno di essi vale +1 (corrispondente al nodo da cui il lato esce) e l'altro vale −1 (corrispondente
al nodo in cui il lato entra). Dunque in ogni colonna della matrice di incidenza abbiamo un solo +1,
un solo −1 e gli altri elementi sono tutti nulli. Ne consegue che la somma di tutte le righe della
matrice di incidenza è sempre una riga identicamente nulla (cioè una riga con tutti zeri) e quindi le
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 91
righe di Aa sono linearmente dipendenti 2 : quindi il rango di Aa è minore di n. Ad esempio, l'ultima
riga della matrice (2) può essere ottenuta (senza ispezionare il grafo) a partire dalle altre tre righe,
imponendo che la somma di tutte e quattro le righe dia una riga nulla.
Figura 10 Circuito di bipoli orientato (a) e grafo orientato corrispondente (b).
La matrice di incidenza è un modo molto efficace per rappresentare in maniera sintetica la
relazione di incidenza di un grafo e quindi il modo in cui i bipoli di un circuito sono collegati tra loro.
La metà degli elementi della matrice (2) sono nulli. In generale il numero di elementi diversi da zero
è uguale a 2b, mentre il totale degli elementi è n∞b, quindi il numero degli elementi uguali a zero è
(n-2)∞b. Se n>>1, la maggior parte degli elementi della matrice sono nulli, e quindi sono in un certo
senso “ridondanti”. In questi casi si dice che la matrice è sparsa. Operare con matrici sparse è
vantaggioso dal punto di vista computazionale: memorizzando solo gli elementi diversi da zero si
possono ottenere notevoli risparmi di memoria e di operazioni.
La matrice di incidenza ha una proprietà molto interessante che enunceremo ma non
dimostreremo. I lati corrispondenti a n−1 colonne di Aa linearmente indipendenti formano un albero.
Questa proprietà è utilizzata per realizzare procedure automatiche per la costruzione degli alberi di un
grafo.La matrice di maglia Ba è una tabella ordinata che ha tante righe quante sono le maglie distinte del
grafo e tante colonne quanti sono i lati; si indichi con m il numero di maglie distinte (sarà sempre
m<b), le si ordinino associando a ciascuna di esse un numero naturale e le si orientino assegnando (in
maniera arbitraria) un verso di percorrenza (orario o antiorario). La i-esima riga della matrice di
maglia corrisponda alla i-esima maglia e la j-esima colonna corrisponda al j-esimo lato. Il genericoelemento b ij di Ba è così definito:
bij =+1 lato j appartiene alla maglia “i” e i riferimenti sono concordi;
−1 lato j appartiene alla maglia “i” e i riferimenti sono discordi;
0 se il lato j non appartiene alla maglia “i”.
i = 1,2, ...,m
j = 1,2, .. .,b (3)
2 Le righe di una matrice sono linearmente dipendenti se almeno una riga della matrice può essere espressa
come combinazione lineare delle altre. Il rango di una matrice A è il massimo numero di colonne di Alinearmente indipendenti; il massimo numero di colonne indipendenti di A è uguale al massimo numero di righelinearmente indipendenti.
92 Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Si consideri di nuovo il grafo illustrato in figura 10 e si costruisca la matrice di maglia. Prima di
tutto bisogna individuare le maglie. In questo grafo le maglie distinte sono tre e sono illustrate infigura 11. La matrice Ba ha 3 righe (quante sono le maglie) e 5 colonne (quanti sono i lati),
Ba =−1 1 1 −1 0
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
maglia M1
maglia M2
maglia M3
. (4)
C'è una corrispondenza biunivoca tra i sottografi illustrati in figura 11 e la matrice di maglia (4).
Figura 11 Maglie del grafo illustrato in figura 10.
Scriviamo ora le equazioni di Kirchhoff per il circuito di figura 10. Faremo vedere come esse
possono essere riscritte utilizzando le matrici che abbiamo appena introdotto. Per le correnti si ha
l'insieme di equazioni
nodo “1”
nodo “2”
nodo “3”
nodo “4”
i1 + i2 + 0 ⋅ i3 + 0 ⋅ i4 + (−1)⋅ i5 = 0,
− i1 + 0 ⋅ i2 + 0 ⋅ i3 + i4 + 0 ⋅ i5 = 0,
0 ⋅ i1 + 0 ⋅ i2 + (−1) ⋅ i3 + (−1) ⋅ i4 + i5 = 0,
0 ⋅ i1 + (−1) ⋅ i2 + i3 + 0 ⋅ i4 + 0 ⋅ i5 = 0,
(5)
e per le tensioni si ha l’insieme delle equazioni
maglia M1
maglia M2
maglia M3
(−1) ⋅v1 + v2 + v3 + (−1) ⋅v4 + 0 ⋅v5 = 0,
v1 + 0 ⋅v2 + 0 ⋅ v3 + v4 + v5 = 0,
0 ⋅v1 + v2 + v3 + 0 ⋅v4 + v5 = 0.
(6)
Si introduca, ora, il vettore colonna rappresentativo delle correnti i = ( i1, i2 , i3, i4 , i5 )T . La prima
equazione del sistema (5) può essere ottenuta moltiplicando la prima riga della matrice di incidenza
(2) per il vettore colonna i e imponendo, poi, che tale prodotto sia zero; la seconda equazione può
essere ottenuta moltiplicando la seconda riga della matrice di incidenza per il vettore colonna i e
imponendo ancora che il prodotto sia zero, e così via. Quindi il sistema (5) può essere ottenuto
moltiplicando la matrice di incidenza Aa data dalla (2) per il vettore colonna i e imponendo che il
prodotto sia il vettore nullo (con cinque elementi).
Si consideri ora un generico circuito con b lati e n nodi e si introduca il vettore i = ( i1, i2 , ..., ib )T
rappresentativo di tutte le correnti. Il prodotto tra la riga i-esima della matrice Aa e il vettore i è
uguale alla somma algebrica delle correnti nel nodo “i” (i=1, 2, ..., n). Quindi applicando la legge di
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 93
Kirchhoff per le correnti a ogni nodo si ottiene l’equazione matriciale (il prodotto è da intendersi
come il prodotto riga per colonna)
Aai = 0 . (7)
Dunque la conoscenza della matrice di incidenza consente di scrivere immediatamente tutte le
equazioni di Kirchhoff per le correnti.
Si consideri ora l'insieme delle equazioni (6) ottenute applicando la legge di Kirchhoff per le
tensioni e si introduca il vettore colonna rappresentativo delle tensioni Y = �v1�v2 �v3�v4 �v5 �T . La
prima equazione del sistema (6) può essere ottenuta moltiplicando la prima riga della matrice di
maglia (4) per il vettore colonna v e imponendo, poi, che tale prodotto sia zero; la seconda equazione
può essere ottenuta moltiplicando la seconda riga della matrice di maglia per il vettore colonna v e
imponendo ancora che il prodotto sia zero, e così via. Quindi il sistema (6) può essere ottenuto
moltiplicando la matrice di maglia Ba data dalla (4) per il vettore colonna v e imponendo che il
prodotto sia il vettore nullo (con tre elementi).
Si consideri ora un generico circuito con b lati e m maglie e si introduca il vettore
Y = �v1�v2 ���� �vb �T rappresentativo di tutte le tensioni. Il prodotto tra la riga i-esima della matrice Ba
e il vettore v è uguale alla somma algebrica delle tensioni nella maglia “i” (i=1,2, ..., m). Quindi
applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni a ogni maglia si ottiene l'equazione matriciale (il
prodotto è da intendersi sempre come il prodotto riga per colonna)
%aY = � . (8)
Dunque la matrice di maglia consente di rappresentare sinteticamente tutte le equazioni di Kirchhoff
per le tensioni.
A differenza della matrice di incidenza, la costruzione della matrice di maglia è in generale molto
onerosa dal punto di vista “computazionale” perché bisogna individuare tutte le maglie del grafo.
Un insieme di maglie fondamentali può essere descritto tramite una matrice rettangolare con
(b−n+1) righe (ogni riga corrisponde a una maglia fondamentale) e b colonne (ogni colonna
corrisponde a un lato). Questa matrice prende il nome di matrice di maglia fondamentale e la si indica
con B; la matrice B è una sottomatrice della matrice di maglia Ba.
Se si numerano i lati in modo tale che i primi (b−n+1) siano quelli di coalbero e si orientano le
maglie fondamentali concordemente con le orientazioni dei lati di coalbero, allora la matrice di
maglia fondamentale ha una particolare struttura. Si consideri, ad esempio, il grafo di figura 10. Un
possibile albero è quello costituito dai lati 3, 4 e 5, e quindi i lati di coalbero sono 1 e 2. Si
considerino le due maglie fondamentali corrispondenti. La matrice di maglia fondamentale è
B =1 0 0 1 1
0 1 1 0 1. (9)
La matrice B è costituita dalla sottomatrice matrice identità di ordine 2 (quanti sono i lati di coalbero)
Il =1 0
0 1, (10)
e dalla sottomatrice rettangolare 2 ∞ 3 (3 sono i lati di albero)
94 Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Bt =0 1 1
1 0 1. (11)
La sottomatrice Il rappresenta i lati di coalbero e la sottomatrice Bt rappresenta i lati di albero.
In generale qualsiasi matrice di maglia fondamentale B può essere rappresentata nella forma
B = Il Bt , (12)
dove Il è la matrice identità di dimensione (b−n+1) e Bt è una matrice (b−n+1)∞(n−1), costituita da
+1, −1 e 0. La presenza della matrice di identità Il è dovuta al fatto che ciascuna maglia
fondamentale contiene uno ed un solo lato di coalbero e i riferimenti di questi sono concordi con le
orientazioni delle maglie fondamentali. Da queste considerazioni segue che le righe di una matrice di
maglia fondamentale sono indipendenti e quindi il suo rango è uguale a (b−n+1). Siccome B è una
parte della matrice di maglia Ba, la matrice di maglia Ba ha almeno (b−n+1) righe indipendenti e
quindi il suo rango è maggiore o al più uguale a (b−n+1).
3.5 Equazioni di Kirchhoff indipendenti
I sistemi di equazioni (7) e (8) insieme alle relazioni costitutive dei bipoli costituiscono il modello
circuitale. Le equazioni di Kirchhoff sono lineari, algebriche e omogenee, mentre le equazioni
caratteristiche sono, in generale, non lineari, di tipo algebrico-differenziale e non omogenee. Il
sistema così ottenuto è ben posto?
Un sistema di equazioni si dice ben posto se ammette una e una sola soluzione, comunque siano i
termini noti (e le eventuali condizioni iniziali). Condizione necessaria, affinché un sistema sia ben
posto, è che le equazioni indipendenti 3 siano tante quante sono le incognite del problema, né di più e
né di meno. Inoltre non deve mai accadere che due o più equazioni siano tra loro incompatibili
((x + y) = 1 e (−x −y)=0 sono un esempio di due equazioni incompatibili). Se il sistema è costituito
da un numero di equazioni indipendenti più grande del numero di incognite o da equazioni
incompatibili, il problema in generale non ammette soluzioni. Invece se il sistema ha un numero di
equazioni indipendenti (tra loro compatibili) più piccolo del numero di incognite, in generale
ammette infinite soluzioni.
L'insieme delle equazioni costitutive sono certamente indipendenti e compatibili tra loro (ogni
equazione caratteristica ha due incognite in esclusiva). L'insieme delle equazioni ottenute applicando
le leggi di Kirchhoff sono indipendenti? Sono tra loro compatibili?
Dapprima si considerino le equazioni di Kirchhoff per le correnti.
Ad esempio, è immediato verificare che le equazioni (5), ottenute applicando la legge di Kirchhoff
per le correnti al circuito rappresentato in figura 10, non sono tra loro linearmente indipendenti 4. Ad
3 Le equazioni (algebriche, differenziali, integrali, ...) di un sistema sono dipendenti se almeno una di esse può
essere ottenuta combinando le altre (o almeno una parte). Si dice che le equazioni del sistema sono indipendentise e solo se le equazioni non sono dipendenti.
4 L'equazione f (x1, x2 , . . . ,x n ) = 0 si dice lineare se f (x1, x2 , . . . ,x n ) è una funzione lineare nelle variabili
x1 ,x 2 , . .. , xn . Si consideri l'insieme delle m equazioni lineari e omogenee
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 95
esempio, la quarta equazione può essere ottenuta sommando membro a membro le altre tre, cioè la
quarta equazione è una combinazione lineare delle prime tre (tutte le “informazioni” contenute
nell'ultima equazione sono già presenti nelle precedenti). È ovvio, a questo punto, che una qualsiasi
delle (5) può essere eliminata, senza che il sistema ne risenta in alcun modo.
In generale le n (n è il numero di nodi) equazioni di Kirchhoff per le correnti (7) sono linearmente
dipendenti, comunque sia il grafo del circuito. Ciò può essere dimostrato ricordando che la somma di
tutte le righe della matrice di incidenza è la riga nulla. Da questa proprietà segue immediatamente
che, se si sommano membro a membro le n equazioni del sistema (7), si ottiene l'identità 0=0 (e non
più un'equazione) 5. Questo risultato è in accordo con il fatto che il rango della matrice di incidenza
Aa è minore di n.
Quante e quali sono le equazioni di Kirchhoff alle correnti linearmente indipendenti?
Proprietà di indipendenza delle equazioni di Kirchhoff per le correnti
Per un circuito con grafo connesso e con n nodi, le equazioni di Kirchhoff per le correnti
relative a n−1 nodi (scelti in maniera arbitraria tra gli n possibili) sono linearmente
indipendenti.
Ad esempio, si consideri di nuovo l’insieme delle equazioni di Kirchhoff (5) per le correnti del
circuito di figura 10. L'insieme costituito dalle prime tre equazioni è un insieme di equazioni
linearmente indipendenti. Infatti le prime due equazioni non possono essere dipendenti perché, adesempio, i5 compare solo nella prima e non nella seconda. (Condizione sufficiente, affinché una
equazione di un certo insieme sia indipendente dalle altre, è che nell'equazione vi sia almeno una
incognita in esclusiva). Ciò può essere dedotto sia ispezionando le due equazioni, sia osservando che,
se si considera l'insieme dei nodi “1” e “2” e l'insieme dei restanti nodi (cioè “3” e “4”), il lato 5
collega un nodo del primo insieme a un nodo del secondo (il grafo è connesso) e quindi la corrente in
quel lato comparirà soltanto in una sola delle prime due equazioni e quindi non può essere eliminata.
Lo stesso ragionamento vale per l'insieme costituito dalla prima e dalla terza equazione e per
l'insieme costituito dalla seconda e dalla terza equazione. Ora bisogna mostrare che la prima
equazione è indipendente dalle altre due (la seconda e la terza). Il lato 2 connette il nodo “1”
appartenente all'insieme dei nodi “1”, “2” e “3”, al nodo “4” e quindi la corrente di quel lato
comparirà soltanto in una sola delle prime tre equazioni.
Dimostrazione. La proprietà di indipendenza può essere dimostrata in generale procedendo in questo
modo: si parte negando la tesi e si dimostra che ciò da luogo a risultati che contraddicono le ipotesi.
Questa è la classica dimostrazione per assurdo.
f j (x1 ,x2 ,...,xn )=α1x1 +α 2 x2 +...+αn x n =0 j=1,2,...,m . Le equazioni di questo insieme si dicono linearmente
dipendenti se e solo se esiste un insieme k1 ,k2 ,...,km di costanti (almeno due di esse devono essere diverse da
zero) tali che: k jf j (x1 ,x2 ,...,xn )j=1m∑ = 0 per ogni x1 , x2 , . . . ,x n . L’equazioni di questo insieme si dicono si dicono
linearmente indipendenti se e solo se non sono linearmente dipendenti.5 L’uguaglianza f (x1, x2 , . . . ,x n ) = 0 è una identità se essa verificata per qualsiasi ennupla x1 ,x 2 , . .. , xn ; invece,
se è verificata solo per alcuni valori di x1 ,x 2 , . .. , xn (l'insieme di questi valori può essere finito oppure infinito),allora essa è un'equazione.
96 Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Si considerino solo (n−1) equazioni delle n equazioni ottenute applicando la legge di Kirchhoff per
le correnti e si assuma, senza perdere di generalità, che un sottoinsieme di h equazioni delle (n−1)
f 1(i1 , i2 , ..., ib ) = 0,
f 2 ( i1, i2 , ..., ib ) = 0,
......... ........... ...
f h (i1, i2 ,..., ib ) = 0,
(13)
siano linearmente dipendenti. Quindi esistono h costanti k1, k2,. .., kh , tutte diverse da zero, tali che
k if i (i1, i2 , ... , ib ) = 0 per ogni i =1h∑ i1, i2 ,. .., ib . (14)
Si partizioni l'insieme dei nodi del grafo in due parti, quella corrispondente alle h equazioni, Nh, e
l'altra relativa ai restanti nodi, Nn-h. Poiché il grafo è connesso, esiste almeno un lato che collega un
nodo dell'insieme Nh a un nodo dell'insieme Nn-h. Pertanto la corrente di quel lato compare in una e
una sola equazione dell'insieme (13), per cui non può essere eliminata nella somma dell'identità (14).
Ciò è vero per ogni sottoinsieme di h equazioni delle (n−1) equazioni considerate con h•n−1. Tale
contraddizione mostra che per h•n−1 non è possibile avere un insieme di equazioni linearmente
dipendenti. Quindi, le n−1 equazioni considerate sono linearmente indipendenti.
Se si elimina dalla matrice di incidenza Aa la riga corrispondente all'equazione che non viene
utilizzata, si ottiene una matrice detta matrice di incidenza ridotta, A: essa ha n−1 righe e b lati.
Allora le n−1 equazioni indipendenti per le correnti possono essere espresse come
Ai = 0 . (15)
Il rango di A è n−1, cioè essa è una matrice a rango massimo.
Si considerino, ora, le equazioni di Kirchhoff per le tensioni. Ad esempio, è immediato verificare
che le equazioni (6), ottenute applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni al circuito rappresentato
in figura 10, non sono tra loro linearmente indipendenti. Ad esempio, la terza equazione può essere
ottenuta sommando membro a membro le altre due, cioè la terza equazione è una combinazione
lineare delle prime due (tutte le “informazioni” contenute nell'ultima equazione sono già presenti
nelle precedenti). È ovvio, a questo punto, che una qualsiasi delle (6) può essere eliminata, senza che
il sistema ne risenta in alcun modo.
In generale le m (m è il numero di maglie) equazioni di Kirchhoff per le tensioni (8) sono
linearmente dipendenti. Quante e quali sono le equazioni di Kirchhoff alle tensioni linearmente
indipendenti?
Proprietà di indipendenza delle equazioni di Kirchhoff per le tensioni
Per un circuito con grafo connesso con n nodi e b lati, le b−(n−1) equazioni di Kirchhoff per le
tensioni, relative a un qualsiasi insieme di maglie fondamentali, sono linearmente indipendenti.
Ad esempio, si consideri l’insieme (6) delle equazioni di Kirchhoff per le tensioni relativo al
circuito di figura 10. L'insieme costituito dalle prime due equazioni è un insieme di equazioni
linearmente indipendenti. Infatti le due maglie M1 e M2 è un insieme di maglie fondamentali:
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 97
ognuna di esse ha almeno un lato in esclusiva, e quindi le relative equazioni per le tensioni hanno
almeno una tensione incognita in esclusiva. Lo stesso ragionamento vale per gli altri insiemi
fondamentali.
Dimostrazione. La proprietà di indipendenza può essere dimostrata in generale e semplicemente
ricordando che ogni maglia di un insieme di maglie fondamentali ha almeno un lato in esclusiva e
quindi l'equazione di Kirchhoff corrispondente ha almeno una tensione (incognita) in esclusiva (il
rango di una qualsiasi matrice di maglia fondamentale è uguale a b−(n−1)).
L'insieme delle equazioni per le tensioni ottenute applicando la legge di Kirchhoff a un insieme di
maglie fondamentali è il più grande insieme di equazioni linearmente indipendenti per le tensioni
(cioè un sottoinsieme massimale e linearmente indipendente delle equazioni (4))?
La risposta è sì. Tali equazioni corrispondono a un “insieme minimo” di maglie che contengono
tutte le informazioni concernenti le equazioni di Kirchhoff per le tensioni del intero circuito. Infatti se
si considera una maglia M non fondamentale, essa può essere sempre ottenuta attraverso “l'unione” di
almeno due maglie fondamentali (nell'esempio di figura 7 la maglia non fondamentale M può essere
ottenuta dall'unione di MF1 e MF2). Pertanto l'equazione per M si ottiene combinando linearmente le
equazioni relative alle maglie fondamentali di cui M è l'unione (si noti che le tensioni relative ai lati
in comune alle maglie fondamentali vengono eliminate).
Se si eliminano dalla matrice di maglia Ba tutte le righe corrispondenti a maglie superflue (restano
solo le righe relative alle maglie dell'insieme fondamentale scelto) si ottiene la matrice di maglia
fondamentale B; essa ha b−(n−1) righe e b lati. Allora le b−(n−1) equazioni indipendenti per le
tensioni possono essere espresse come
Bv = 0 . (16)
Il rango di B è b−(n−1), cioè essa è una matrice a rango massimo.
Nel caso in cui il grafo è planare, un sottoinsieme massimale di equazioni indipendenti per le
tensioni può essere ottenuto applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni agli anelli del grafo. Gli
anelli in un grafo planare con n nodi e b lati sono b−(n−1) e ogni anello ha almeno un lato in
esclusiva; inoltre qualsiasi altra maglia che non sia un anello, può essere ottenuta “unendo” opportuni
anelli.
3.6 Equazioni circuitali
Si consideri un circuito connesso con n nodi e b bipoli. Le equazioni circuitali sono costituite da
(n−1) equazioni indipendenti alle correnti ottenute applicando la legge di Kirchhoff per le correnti a
(n−1) qualsiasi nodi del circuito, (b−n+1) equazioni indipendenti alle tensioni ottenute applicando la
legge di Kirchhoff per le tensioni a (b−n+1) maglie fondamentali del circuito (agli anelli se il grafo
del circuito è planare) e b equazioni costitutive:Ai = 0,
Bv = 0,
(17)
98 Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
F1 v1(⋅),i1(⋅){ }= 0,
F2 v2 (⋅),i2 (⋅){ }= 0,
..... ... .. ... ... .. ..
Fb vb(⋅), ib(⋅){ }= 0.
(18)
Alle b equazioni dell’insieme (17) diamo il nome di equazioni di interconnessione perché
dipendono solo da come gli elementi circuitali sono tra loro collegati. Esse sono lineari e omogenee;
inoltre sono tutte linearmente indipendenti perché nell'insieme di equazioni indipendenti Ai = 0
compaiono solo le correnti e nell'insieme di equazioni indipendenti Bv = 0 compaiono solo le
tensioni (e quindi sono anche compatibili).
Le equazioni costitutive possono essere sia di tipo algebrico che di tipo differenziale, a seconda
della natura del bipolo. Se il circuito è costituito da soli bipoli di tipo resistivo, le equazioni circuitali
sono di tipo algebrico. Se nel circuito ci sono anche bipoli di tipo dinamico, allora le equazioni
circuitali sono di tipo algebrico-differenziale.
L'insieme delle equazioni di interconnessione e delle equazioni costitutive è un sistema di 2b
equazioni nelle 2b incognite i = (i1, i2 ,. .., ib )T e v = (v1,v2, ... ,vb )T. Esso è un insieme di
equazioni indipendenti? 6 Le equazioni circuitali sono tutte compatibili tra loro? Nella maggior parte
dei casi e in quelli più significativi le equazioni circuitali sono tutte indipendenti e compatibili.
Tuttavia esistono casi in cui le 2b equazioni non sono indipendenti e anche casi in cui non sono
compatibili. Possono esistere anche casi in cui la soluzione non è unica o addirittura non esiste.
Torneremo brevemente su queste questioni negli esempi che ora svolgeremo.
Ora vengono esaminati quattro circuiti, ognuno dei quali esemplifica una classe di circuiti di
particolare rilievo teorico e applicativo. Gli obiettivi di queste esemplificazioni sono molteplici.
Innanzitutto cominciare a familiarizzare con la soluzione delle equazioni di un circuito, partendo da
un caso semplice e poi, man mano, proseguendo con circuiti sempre più difficili da risolvere. In
questo modo faremo una prima rassegna delle difficoltà intrinseche nel modello circuitale e dei
metodi matematici che si utilizzano per la soluzione delle equazioni circuitali. Coglieremo
l'occasione per illustrare anche i principi dei metodi di soluzione numerica su cui si basano simulatori
circuitali, come, ad esempio, PSpice.
3.6.1 Esempio: circuito di resistori lineari e generatori indipendenti.
Si consideri il circuito illustrato in figura 12. Esso è costituito dai resistori lineari con resistenze
R1 =1, R2 = 2, R3 = 2 e da due generatori indipendenti uno di tensione, con tensione
e( t) = sin( 2π1000t) e uno di corrente, con corrente j(t) = 1. Si determinino tutte le correnti e le
tensioni.
Il circuito è costituito da 5 bipoli. Si fissino i riferimenti per i versi delle correnti come è indicato
in figura 12b e si assuma per ciascun bipolo la convenzione dell'utilizzatore (la prima operazione che
6 Siano E1 ed E2 due insiemi di equazioni, ciascuno dei quali costituito da sole equazioni indipendenti. In
generale, le equazioni ottenute dall’unione di E1 con E2 non sono indipendenti.
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 99
bisogna fare quando si imposta la soluzione di un circuito è assegnare i riferimenti per i versi delle
correnti e delle tensioni). Le incognite del problema sono le 5 correnti i1 , i2 , . .., i 5 e le 5 tensioni
v1, v2 , .. ., v5 (in realtà la tensione del generatore di tensione e la corrente del generatore di corrente
non sono delle vere incognite, anche se formalmente e per il momento conviene considerarle come
tali).
Ora bisogna scrivere le equazioni circuitali. Si considerino prima le equazioni di interconnessione.
A tale scopo è utile riferirsi al grafo orientato riportato in figura 12c.
Figura 12 Circuito resistivo lineare (a), circuito orientato (b) e grafo orientato corrispondente (c).
Il grafo del circuito in questione ha tre nodi (i nodi "1”, “2” e “3”), quindi è possibile scrivere solo
due equazioni di Kirchhoff per le correnti linearmente indipendenti (si scelgano le equazioni relative
ai nodi “1” e “2”)
nodo “1” i1 − i5 = 0,
nodo “2” i1 − i2 − i3 + i4 = 0.(19)
Ora bisogna scrivere le equazioni di Kirchhoff per le tensioni. A tale scopo si costruisca un insieme
di maglie fondamentali. In figura 13 è illustrato un albero del grafo di figura 12c, insieme ai lati del
coalbero e alle tre maglie fondamentali (relative all'albero che è stato scelto). Applicando la legge di
Kirchhoff per le tensioni alle maglie fondamentali M1, M2 e M3 si ottiene l'insieme di equazioni
linearmente indipendenti
maglia M1 v1 + v2 + v5 = 0,
maglia M2 − v2 + v3 = 0,
maglia M3 − v2 − v4 = 0.
(20)
Utilizzando le equazioni costitutive si ottiene un altro insieme di equazioni linearmente indipendenti,
costituito dalle 5 equazioni
resistore “1” v1 − R1i1 = 0,
resistore “2” v2 − R2i2 = 0,
resistore “3” v3 − R3i3 = 0,
geneneratore corrente i 4 = j,
generatore tensione v5 = −e.
(21)
100 Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Figura 13 Un albero del grafo di figura 12c,, coalbero e insieme di maglie fondamentali.
Unendo gli insiemi (19), (20) e (21), si ottiene il sistema completo delle equazioni circuitali relative
al circuito in esame. Esso è costituito da 10 equazioni e da 10 incognite ed è
i1 − i5 = 0,
i1 − i2 − i3 + i4 = 0.
v1 + v2 + v5 = 0,
−v2 + v3 = 0,
−v2 − v4 = 0.
v1 − i1 = 0,
v2 − 2i2 = 0,
v3 − 2i3 = 0,
i 4 = 1,
v5 = − sin(2π1000t).
(22)
Si introduca il vettore x così definito, x = (i1 , i2 ,. .., i5 ,v1 ,v2 ,..., v5 )T ; allora il sistema (22) può
essere rappresentato sinteticamente attraverso l'equazione vettoriale lineare
Lx = d , (23)
dove L è una matrice quadrata 10∞10 e d è un vettore noto di dimensione 10 dipendente solo dalle
sorgenti. La maggior parte degli elementi della matrice L sono nulli, e quindi è sparsa.
Le equazioni di un qualsiasi circuito, costituito da soli resistori lineari e generatori indipendenti (e
più in generale da elementi lineari di tipo resistivo), possono essere sempre poste nella forma (23): L
è una matrice quadrata 2b∞2b (b sono i bipoli del circuito), x e d sono due vettori di dimensione 2b.
Pertanto il modello matematico di un circuito resistivo lineare (con questa espressione intendiamo un
circuito di resistori lineari e generatori indipendenti) è costituito da un sistema di equazioni
algebriche lineari.
Il sistema (23) ha una e una sola soluzione se e solo se il sistema omogeneo associato
Lx = 0 , (24)
che descrive il funzionamento del circuito quando i generatori sono spenti, ha solo la soluzione x=0.
Questa condizione è verificata se e solo se le equazioni del sistema omogeneo associato sono
linearmente indipendenti, cioè se il rango della matrice L è uguale a 2b. Ciò accade se e solo se le
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 101
equazioni del sistema completo (23) sono indipendenti e compatibili tra loro. Nel caso in esame
questa condizione è verificata (anche se non è immediato provarlo).
I metodi di soluzione per i sistemi algebrici lineari vengono, usualmente, divisi in due
raggruppamenti. I metodi diretti sono i metodi che in assenza di errori di arrotondamento danno la
soluzione esatta in un numero finito di operazioni. I metodi iterativi sono metodi in cui la soluzione
è ottenuta come limite di una successione di soluzioni di problemi più semplici. Nel seguito faremo
un breve accenno ai soli metodi diretti.
I metodi diretti classici sono: la regola di Cramer, mediante la quale le soluzioni vengono espresse
come quozienti di determinanti di ordine 2b (2b è l'ordine del sistema), e il metodo di eliminazione di
Gauss 7 (o metodo della riduzione per sostituzione).
Per valutare il costo computazionale richiesto dai due metodi si considera il numero di
moltiplicazioni coinvolte nei rispettivi algoritmi. Naturalmente, vi sono anche altri tipi di operazioni,
come le addizioni, ma solitamente ci si riferisce alle moltiplicazioni, in quanto in generale più
onerose computazionalmente. Il numero di moltiplicazioni necessarie per risolvere il sistema
attraverso la regola di Cramer è (2b+1)(2b-1)(2b)!, mentre nel metodo di Gauss il numero di
moltiplicazioni è dell'ordine di 8b3. Per b=5 (l'ordine del sistema (22) è 10) il metodo di Gauss
richiede all'incirca mille moltiplicazioni, mentre la regola di Cramer ha bisogno all'incirca di 3.6 106
moltiplicazioni; per b=10 il metodo di Gauss ha bisogno di circa 8000 moltiplicazioni mentre la
regola di Cramer richiede all'incirca 2.4 1018 moltiplicazioni. Usando un calcolatore in grado di
realizzare 108 moltiplicazioni al secondo (che utilizza, ad esempio, un processore RISC o ALPHA)
si hanno i seguenti tempi di calcolo:
Regola di Cramer • 3 105 anni,
Metodo di Gauss • 8 10-5 secondi.
Anche per sistemi di modeste dimensioni il metodo di Cramer si rivela, quindi, impraticabile. Al
contrario, il metodo di Gauss permette di risolvere in tempi ragionevoli sistemi di grosse dimensioni.
Sfruttando la natura particolare delle matrici, quali ad esempio la sparsità e la simmetria, è possibile
ridurre ulteriormente sia la quantità di memoria richiesta, sia il numero di operazioni.
Il sistema (22) sarà risolto utilizzando il metodo di Gauss. L'idea centrale del metodo di Gauss è la
riduzione della dimensione del sistema, cioè del numero di equazioni, per eliminazione. Essa consiste
nel ricavare da una fissata delle 2b equazioni una particolare incognita e nella sua sostituzione nelle
equazioni rimanenti (eliminazione in avanti). La sostituzione fa così diminuire di pari passo sia il
numero di equazioni che il numero di incognite e quindi diminuisce la dimensione del problema:
2b∅2b−1. Iterando il procedimento, si riduce il problema originario a un problema a una sola
equazione in una sola incognita. Determinata tale incognita, le altre incognite sono successivamente
ottenute mediante una procedura di sostituzione all'indietro.
Operando in questo modo, dopo l'eliminazione in avanti, il sistema (22) è trasformato nel sistema
7 Questo metodo è attribuito comunemente a Gauss, anche se nel libro di Valeriano Comincioli, Analisi
Numerica edito dalla McGraw-Hill (1990), si accenna a un esempio 3∞3 contenuto in un manoscritto cinesedatato più di 2000 anni.
102 Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
i4 = 1,
v5 = − sin(2π1000t),
v1 = i1,
v2 = 2i2 ,
v3 = 2i3 ,
i5 = i1,
i3 = i2 ,
2i2 = sin(2π1000t) − i1,
2i1 = sin(2π1000t) − 1.
(25)
La soluzione del circuito si ottiene dalle (25) attraverso l'eliminazione all'indietro. Così facendo si