A. PENDAHULUAN1. Latar BelakangPersamaan diferensial parsial
khusus digunakan untuk menggambarkan kelakuan dari medium kontinu
seperti fluida dan medan elektromagnetik. Medan listrik E untuk
distribusi densitas muatan statis (x,y,z) biasanya ditentukan oleh
Hukum Gauss:
Dimana adalah konstanta permitivitas. Sebuah medan listrik
statis dapat diperoleh dari potensial skalar
Yang menurut persamaan Poisson:
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode multigrid. Metode
multigrid pertama kali diperkenalkan oleh Brandt, dan secara
independen oleh Hackbusch, pada tahun 1970. Mereka dapat memecahkan
persamaan diferensial parsial berbentuk elips pada sebuah kisi-kisi
(pola-pola geometris dari molekul-molekul) dengan N poin dalam
operasi O(N). Metode ini pada dasarnya merupakan metode iterasi
yang jarak grid disesuaikan dengan setiap langkah, sebagai contoh
yaitu peningkatan dan penurunan bilangan dari poin-poin dalam
setiap dimensi oleh sebuah faktor dari 2. Ada beberapa metode
iterasi yang dapat digunakan, yaitu metode Jacobi, metode
Gauss-seidel dan metode Relaksasi.
2. Rumusan MasalahRumusan masalah dari tulisan ini adalah
bagaimana menyelesaikan persamaan Poison dengan metode iterasi
Jacobi, Gauss-Seidel dan Relaksasi?3. Tujuan1. Tujuan penulisan ini
adalah untuk menyelesaikan persamaan Poison dengan metode iterasi
Jacobi, Gauss-Seidel, dan Relaksasi.2. Melihat tampilan program
pada octave.
B. TINJAUAN PUSTAKA1. Metode JacobiMetode Iterasi Jacobi
merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai
dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah
satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran
penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam
tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini
digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan
proporsi koefisien nolnya besar. Metode ini ditemukan oleh
matematikawan yang berasal dari Jerman,Carl Gustav Jakob Jacobi.
Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.Sistem persamaan
linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel x1, x2, ...,
xn dinyatakan dengan
Persamaan ke-i dalam sistem persamaan (1.1) dinyatakan
sebagai
Persamaan (4.1) dapat diekspresikan sebagai
Dari (4.2) dapat diperoleh penyelesaian persamaan ke-i yaitu
Dengan demikian, algoritma metode Jacobi diekspresikan
sebagai
Untuk menyelesikan sistem persamaan linear dengan metode Jacobi
(maupunmetode Gauss-Seidel) diperlukan suatu nilai pendekatan awal
yaitu x(0). Nilaix(0) biasanya tidak diketahui dan dipilih x(0) =
0.
2. Metode Gauss-SeidelMetode Iterasi Gauss-Seidel merupakan
modifikasi dari metode Iterasi Jacobi. Modifikasi tersebut terletak
pada rumus berikut:
dimana i=1,2,3,...,n.Untuk lebih jelasnya, marilah kita
perhatikan contoh berikut, diketahui sistem persamaan linear Ax = b
yaitu
Lalu, sistem persamaan tersebut diubah susunannya menjadi
seperti ini
Misalnya kita tentukan nilai-nilai awal x(0) sebagai berikut
dan Atau dinyatakan seperti ini x(0) = (0; 0; 0; 0)t. Maka pada
k = 1 kita akan memperoleh nilai-nilai x(1) sebagai berikut:
Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu
seterusnya proses ini diulang-ulang lagi untuk nilai-nilai k
berikutnya sampai x(k) mendekati solusi yang sesungguhnya,yaitu
3. Metode RelaksasiMetode Iterasi Relaksasi (Relaxation method )
dinyatakan dengan rumus berikut:
dimana i=1,2,3,...,n.
Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan contoh berikut,
diketahui sistem persamaan linear Ax = b yaitu:
memiliki solusi (3, 4,5)t. Metode Gauss-Seidel dan Relaksasi
dengan = 1, 25 akan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear di atas dengan x(0)= (1, 1, 1)t. Untuk setiap nilai k = 1,
2, 3, ..., persamaan Gauss-Seidelnya adalah
Sedangkan persamaan untuk metode Relaksasi dengan = 1, 25
adalah
Tabel berikut ini menampilkan perhitungan dari masing-masing
metode hingga iterasi ke-7. Dari kasus ini, bisa kita simpulkan
bahwa iterasi Relaksasi memerlukan proses iterasi yang lebih
singkat dibandingkan iterasi Gauss-Seidel. Jadi, pada kasus ini
(dan juga secaraumum), Relaksasi lebih efektif dibandingkan
Gauss-Seidel. Pertanyaannya sekarang,bagaimana menentukan nilai
yang optimum? Metode Relaksasi dengan pilihan nilai yang berkisar
antara 0 dan 1 disebut metode under-relaxation, dimana metode ini
berguna agar sistem persamaan linear mencapai kondisi konvergen
walaupun sistem tersebut sulit mencapai kondisi konvergen dengan
metode Gauss-Seidel. Sementara bila nilainya lebih besar dari angka
1, maka disebut metode successive over-relaxation (SOR), yang mana
metode ini berguna untuk mengakselerasi atau mempercepat kondisi
konvergen dibandingkan dengan Gauss-Seidel. Metode SOR ini juga
sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang
muncul dari persamaan diferensial-parsial tertentu.
C. HASIL DAN PEMBAHASANProgram ini disusun untuk menyelesaikan
persamaan Poison dalam menentukn nilai potensial dengan tiga metode
iterasi, yaitu metode Jacobian, metode Gauss-Seidel, metode
relaksasi. Berikut adalah listing program untuk mennyelesaikan
persamaan Poison tiga dimensi dengan metode iterasi Jacobi,
Gauss-Seidel, dan Relaksasi.
Dan berikut ini adalah hasil dari program di atas.
Dari ketiga metode tersebut diperoleh hasil yang berberda-beda
dengan akkurasi yang sama yaitu 0.005. Pada metode Jacobian
diperoleh nilai CPU time 0,063 sec, metode Gauss-Seidel 0,078 sec,
dan metode relaksasi 0,109 sec. Untuk metode relaksasi nilai omega
yang diberikan adalah 5. Nilai ini lebih dari satu sehingga disebut
metode successive over-relaxation (SOR), yang mana metode ini
berguna untuk mengakselerasi atau mempercepat kondisi konvergen
dibandingkan dengan Gauss-Seidel. Metode SOR ini juga sangat
berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang muncul
dari persamaan diferensial-parsial tertentu.
Program pada Octave
octave-3.2.0.exe:1:C:\Octave\3.2.0_gcc-4.3.0\bin> cd
d:octave-3.2.0.exe:2:d:\>
data=load('poison.data');octave-3.2.0.exe:4:d:\>
x=data(:,1);octave-3.2.0.exe:5:d:\>
y=data(:,2);octave-3.2.0.exe:6:d:\>
z=data(:,3);octave-3.2.0.exe:7:d:\>
plot(x,y,z)octave-3.2.0.exe:8:d:\tampilan pada octave
Kalau kita melihat dari tampilan kita dapat lihat bahwa hasil
dari program ini adalah gelombang sinusoidal yang sangat kecil dan
terliahat berimpit hal ini di karenakan data yang diperoleh sangat
banyak yakni 10400 data.
D. PENUTUPKesimpulan Dari ketiga metode tersebut diperoleh hasil
yang berberda-beda dengan akkurasi yang sama. Tampialn pada octave
membentuk gelombang sinusoidal yang sangat kecil dan terlihat
sangat berimpit karena datanya mencapai 10400.
E. DAFTAR PUSTAKA
Nugroho,susilo.penyelesaian system persamaan linear dengan
metode iterasi.(http://www.asimtot.files.wordpress.com) di unggah
januari 2012Supryanto.metode iterasi gauss-seiddel dalam sistem
persamaan linier(http:// www.infometrik.com) di unggah januari
2012Supriyanto.metode iterasi relaksasi dalam system persamaan
linear.( http:// www.infometrik.com) di unggah januari 2012
PROJECT FISIKA KOMPUTASIMENYELESAIKAN PERSAMAAN POISSON DENGAN
METODE ITERASI JACOBI, GAUSS-SEIDDEL DAN RELAKSASIOLEHKELOMPOK
5ZAHID RAMDHAN (GIB 009 053)MALJAUSSALFI IYOEGA (G1B 009
048)MAESARAH (G1B 009 022)SITI FITRI JALILAH (G1B 008 014)JUMRATUL
WUSTHA (G1B 009 001)
PROGRAM STUDI FISIKAFAKULTAS MIPAUNIVERSITAS MATARAM2012
lampiran//project fisika komputer
#include#include#include#include#include#define N 102
using namespace std;
int L=100;double psi [N][N][N];float rho [N][N][N];
double h;double psiNew [N][N][N];int steps;double
accuracy;double omega;
void initialize(){for (int i=0; i