-
TUGAS FISIKA KOMPUTASI
Metoda Euler, Euler-Cromer dan Verlet
Disusun oleh :
Nama : Wanda Suryadinata
NPM : 140310120051
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Padjadjaran
2015
Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor 45363
-
1. Latihan membuat coding untuk latihan 1 sampai 3 beserta
analisa grafik
yang diperoleh dan bandingkan solusi analitis
a. Peluruhan
Algoritma :
1. Memasukkan besaran fisis dan konstanta yang terdapat pada
persamaan
2. Menentukan banyaknya perulangan perhitungan dalam
persamaan
3. Membuat perulangan dari tahap awal sampai tahap ke-n, dimana
pada
matlab, perhitungan dimulai dari 1
4. Mencari nilai analitik
5. Plot grafik perbedaan nilai analitik dan numerik
clear clf y(1)=100; x(1)=0; tau=4.3e9; %konstanta peluruhan a=0;
%waktu awal b=double (24*3600*365*1000); %akhir peluruhan n=1000;
%banyak pias h=b/n; %lebar pias
for step = 1:n %pengulangan y(step+1) = y(step) -
(y(step)/tau)*h; x(step+1)=x(step)+h; end t=a:h:b;
analitik=y(1)*exp(-t/tau) %fungsi analitik plot (x,y,'r',x,
analitik,'b')
xlabel ('waktu (second)'), ylabel ('peluruhan(number of atom)')
title ('wanda tugas peluruhan') grid on
-
:: merah = solusi numerik, biru = solusi analitik
-
Analisa :
Terlihat pada grafik hasil perbandingan numerik dan analitik
dimana nilai
numerik lebih akurat dari pada numerik, hal ini dikarenakan pada
solusi analitik
hanya melakukan perhitungan yang tidak terlalu banyak seperti
perhitungan
numerik yang relatif banyak pengulangannya.
b. Hambatan Udara
Algoritma :
1. Memasukkan besaran fisis dan konstanta yang digunakan,
seperti nilai
daya 400 watt, ro 1,2, luas penampang 1,25 m2, massa sebesar 50
kg,
dan lebar pias sebesar 1000
2. Semua data akan berakumulasi pada perulangan perhitungan,
sesuai
dengan banyaknya perulangan yang dipakai, yaitu 1000
3. Memplot grafik hasil perhitungan numerik yang didapat
clear clf
y(1)=5; %kecepatan awal x(1)=0; %x(1)=a; a=0; %waktu mulai (s)
b=100 ; % waktu akhir (s) P=400; %daya C=0.5; ro=1.2; %massa jenis
udara 1,2 kg/m^3 A= 1.25 ; %luas permukaan m= 50 ; %massa n=100;
%lebar pias h=b/n; for step=1:n y(step+1)= y(step)+
h*((P/(m*y(step)))-
(C*ro*A*y(step)*y(step)/m)); x(step+1)= x(step)+h;
end t=a:h:b;
plot (x,y,'b') xlabel ('waktu (second)'), ylabel
('kecepatan(m/s)') title ('wanda tugas hambatan udara') grid on
-
Analisa :
Dari grafik hasil perhitungan numerik dari hambatan udara ini,
terlihat
kecepatan akan naik secara eksponensial sebelum kecepatannya
mencapai 8,1 m/s.
Hal ini dikarenakan daya yang digunakan masih dalam proses
mencapai 400 watt,
dan setelah kecepatan mencapai 8 m/s saat waktu 10 s, terlihat
kecepatan sepeda
lebih konstan dan telah mencapai daerah steady statenya.
c. Pendulum
Algotritma :
1. Memasukkan besaran fisis dan konstanta yang terdapat pada
persamaan
2. Menentukan banyaknya perulangan perhitungan dalam
persamaan
3. Membuat perulangan dari tahap awal sampai tahap ke-n, dimana
pada
matlab, perhitungan dimulai dari 1
4. Mencari nilai analitik dengan perhitungan
analitik=n*sin(sqrt(g/l)*t)
5. Plot grafik perbedaan nilai analitik dan numerik serta
menganalisanya
-
clear clf
n=100; theta= zeros(n,1); omega= zeros(n,1); t=zeros(n,1); theta
(1)=30; g=9.8; l=1; h=0.04; for step=1:n omega(step+1)= omega
(step) - ((g/l)*theta (step)*h) theta (step+1)=theta (step)+
omega(step)*h t(step+1)= t(step)+h
end analitik=n*sin(sqrt(g/l)*t) plot
(t,theta,'b',t,analitik,'r') xlabel ('waktu (second)'), ylabel
('theta(rad)') title ('wanda tugas pendulum') grid on
:: biru= numerik, merah = analitis
-
Analisa :
Terlihat bahwa solusi numerik pada metoda euler sedikit kurang
bagus
dibanding solusi yang diberikan oleh analitik, ini dikarenakan
pada kondisi
osilasi, metoda yang digunakan adalah metoda euler-cromer
6. Perbedaan metoda/algoritma euler dengan euler-cromer dan
verlet
a. Metoda Euler
Metode Euler merupakan metode numerik paling sederhana dan
diturunkan dari deret Taylor, bentuk persamaan pada metoda euler
adalah :
xyxfyy ),( iii1i
Kecepatan dalam perhitungan pada metoda ini cukup cepat,
tetapi
akurasi pada metoda euler limit atau terbatas dan solusi yang
dihasilkan
tidak stabil, atau kurang presisi.
b. Metoda euler-cromer
Metoda euler-cromer stabil untuk sistem yang berosilasi.
Persamaan pada metoda euler cromer :
Solusi dari metoda euler cromer ini menghemat energi untuk
masalah osilasi, tidak seperti metoda euler yang meningkat
energi osilator
dengan bertambahnya waktu. Sehingga metoda euler cromer sangat
stabil
pada sistemnya berosilasi.
c. Metoda Verlet
Metoda ini digunakan dalam simulasi partikel. Sehingga,
dengan
menggunkan metoda ini dalam mensimulasikan partikel dapat
dikerjakan
dengan cepat dengan presisi yang tinggi. Pendekatan matematika
yang
mendekati algoritma asli verlet :
-
Berdasarkan perbedaan dari ketiga metoda tadi, dapat
dianalisa
dalam bentuk grafik berikut :
Dapat dilihat bahwa, dengan menggunakan metoda euler,
perhitungan yang dilakukannya cukup tinggi tetapi tingkat
kestabilannya
tidak bagus, tetapi dengan metoda euler-cromer, hasilnya cukup
stabil
dibanding dengan menggunakan metoda euler. Sedangkan metoda
verlet,
terlihat sangat presisi. Sehingga metoda ini sering digunakan
untuk
mensimulasikan partikel.
7. Membuat program dari contoh 1-3 degan menggunakan algoritma
soal no
2
a. Metoda Euler Cromer
Algoritma :
Memasukkan besaran fisis yang diperlukan dalam perhitungan
yang
terdapat pada bandul fisis
Persamaan fisis yang digunakan dalam perhitungan :
(percepatan)
-
Dimana untuk fungsi awal dari theta :
Nilai cos dan sin dapat disesuaikan di dalam listing program
Dalam algoritma numericalnya, terdapat persamaan :
Perulangan pada euler cr0mer :
Setelah perhitungan, tinggal plot grafik dari perhitungan
yang
diperoleh
clear clf
n=100; theta= zeros(n,1); omega= zeros(n,1); t=zeros(n,1); theta
(1)=30; g=9.8; l=1; h=0.04; for step=1:n omega(step+1)= omega
(step) - ((g/l)*theta (step)*h) theta (step+1)=theta (step)+
omega(step+1)*h t(step+1)= t(step)+h
end analitik=30*sin(sqrt(g/l)*t) plot
(t,theta,'b',t,analitik,'r') xlabel ('waktu (second)'), ylabel
('theta(rad)') title ('wanda tugas pendulum') grid on
-
b. Metoda Verlet
Algoritma :
Memasukkan besaran fisis yang diperlukan dalam perhitungan
yang
terdapat pada bandul fisis
Persamaan fisis yang digunakan dalam perhitungan :
(percepatan)
Dimana untuk fungsi awal dari theta :
Nilai cos dan sin dapat disesuaikan di dalam listing program
Dalam algoritma numericalnya, terdapat persamaan :
x(j) = 2*x(j-1) - x(j-2) + Deltat*Deltat*(-1.0*l/m)*x(j-1);
v(j-1) = (x(j) - x(j-2))/ (2*Deltat);
Setelah perhitungan, tinggal plot grafik dari perhitungan
yang
diperoleh
-
clear all clc close
x(1) = 0.0; % posisi awal v(1) = 2.0; % kecepatan awal Deltat =
0.5; x(2) = x(1) + v(1)*Deltat; %posisi akhir l = 1; % panjang
kawat m = 1.0; % kilograms Tfinal = 100; % waktu akhir t =
1:Deltat:Tfinal; % array waktu dimulai dari 1 N =length (t); %
panjang elemen array for j=3:N; x(j) = 2*x(j-1) - x(j-2) +
Deltat*Deltat*(-1.0*l/m)*x(j-1); v(j-1) = (x(j) - x(j-2))/
(2*Deltat); end v(N) = (x(N)-x(N-1))/Deltat; plot(t, x, 'b');
xlabel('waktu(sec)'); ylabel('x(meters)'); title ('pendulum
dengan metoda verlet')
-
Analisa:
Dari perhitungan numerik dan analitis yang sudah dikerjakan,
terdapat
perbedaan saat plot grafik. Ini berdasarkan perumusan dan
perhitungan yang
dilakukan. Dimana pada solusi analitis hanya melihat gambaran
secara umum dan
perhitungan numerik melihat dari setiap komponen dan elemen.
Sehingga, dalam
perhitungan numerik hasil yang diperoleh sedikit lebih baik dari
analitis. Tetapi
dari berbagai metoda, terdapat beberapa metoda yang tidak sesuai
dengan contoh
kasus. Misalnya pada pendulum. Pada pendulum, lebih cocok
menggunakan euler
cromer dari pada menggunakan metoda euler, dikarenakan tingkat
kestabilan nilai
dari kedua metoda ini berbeda. Terlihat, pada metoda euler
cromer memiliki
akurasi dan presisi nilai yang sangat tinggi. Pada metoda
verlet, lebih sering
digunakan untuk menghitung jumlah partikel, karena keakuratannya
yang sangat
tinggi.