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UNEFA – SEDE NAGÜANAGÜA

Laboratorio de Física – Ing. Civil

1

M

v

Guía de Laboratorio

Física

Errores

Objetivos: Desarrollar distintas actividades experimentales orientadas a aplicar y comprender los conceptos involucrados en el proceso de medición.

Introducción

edir es una tarea inherente al laboratorio, un laboratorio sin medición no

es un laboratorio. Las mediciones de los distintos observables físicos con la máxima precisión posible son de importancia capital para las distintas

ramas de la ciencias. El resultado de la medición de una magnitud depende del procedimiento de

medida, del instrumental empleado, del observador y de otros factores menores. Por lo tanto deducimos que no es posible medir una magnitud con “exactitud absoluta” y a lo que podemos aspirar es a determinar de la mejor manera posible el valor más probable o la mejor estimación

Luego podemos concluir que el error de una medición está asociado al concepto de incertidumbre en el resultado obtenido en la medición. Entonces lo que se procura además de obtener el resultado de una medición es conocer la cota o los limites de la exactitud en la medida

Como el error es inevitable, cuando se efectúa la medición de una magnitud cualquiera, la misma debe siempre estar acompañada del correspondiente error cometido en el proceso. Se puede medir con una mayor aproximación o con un error menor, de acuerdo a la mejor calidad del método o instrumento utilizado, pero no existe ni el instrumento ni el método que permita medir sin error. Por lo tanto una medida tiene sentido solo cuando se puede valorar de alguna manera el error que la afecta.

En base a lo expresado, se define entonces x , como el valor verdadero de

una medición tal que:

xv x x (1)

donde x es el valor medido y x es el error absoluto o incertidumbre absoluta de la medida. Podemos decir que x es el valor más representativo de la medición.

La ecuación (1) asegura que el valor verdadero de una magnitud esta comprendida en el intervalo:

x x x x x

Practica Nº 1. ERRORES



2

Pre

cis

ión

A este intervalo se le llama intervalo de inseguridad o de confianza de la medición

y se representa gráficamente de la siguiente manera:

x x x x x

Notamos que, en lugar de dar un único número, definimos un intervalo.

Características de los instrumentos de medida

Exactitud: es una medida de la calidad de la calibración de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. Es la cercanía del valor obtenido con el denominado valor “verdadero”.

Precisión del instrumento: Está relacionada con la repetibilidad que él proporciona en sus medidas, es decir que diferentes medidas de una misma cantidad bajo condiciones aproximadamente iguales conducen a resultados muy parecidos. A más parecidas las medidas, más preciso el instrumento.

Exactitud Figura 1. Ilustración de los conceptos de precisión y exactitud. a) es una determinación imprecisa e inexacta, mientras b) es más exacta pero imprecisa; c) es una determinación más precisa pero menos exacta que b) ; d) es la más precisa y exacta.

La exactitud y la precisión son dos conceptos de la Teoría de Errores que atañen a

los aparatos de medida y que a menudo se confunden uno con otro. Ejemplo: un cronómetro es capaz de determinar centésimas de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera con apreciación nominal de un



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segundo, no lo hace. En este caso decimos que el cronómetro es más preciso que

el reloj común, pero menos exacto.

En la Figura 1 se representan de modo esquemático estos dos conceptos. Imaginemos que hacemos una serie de lanzamientos de flechas sobre un blanco. Si se trata de un arco preciso, las flechas estarán agrupadas entre sí. Si además la mira está bien calibrada, se podrá hacer puntería y colocar el máximo número posible de flechas en el blanco. En los cuatro blancos de la figura podemos observar las diferentes situaciones.

Fidelidad: Cuando las características del instrumento no cambian apreciablemente en el tiempo.

Sensibilidad: Todo instrumento siempre tiene un valor mínimo capaz de medir o detectar. Esta cantidad mínima se denomina apreciación nominal del instrumento.

Clasificación de los errores

Existe en la bibliografía diversos criterios para clasificar los errores, en este texto adoptaremos el de ubicarlos en dos grandes grupos: errores azarosos o casuales y errores sistemáticos o causales.

A menudo en la literatura se menciona un tercer grupo que comprende a los errores que cometemos por equivocación o descuido: los errores ilegítimos o espurios. Para este tipo de “error” no hay tratamiento teórico posible y el modo de evitarlos consiste en poner mucha atención en el procedimiento de medida y durante el análisis de los resultados.

Errores azarosos o casuales

Son aquellos que se deben a causas fortuitas o imprevistas, como ser variaciones repentinas de las condiciones ambientes (temperatura, presión, humedad), o debidas al observador (cansancio, falta de concentración, etc.).

Sin embargo pese a esta aleatoriedad los errores casuales obedecen leyes de carácter estadístico y a ellos se refiere la teoría estadística de errores, que será abordada mas adelante.

Errores causales o sistemáticos

Son aquellos errores que responden a alguna causa en particular, que ocurren siempre en una misma dirección y que son factibles de minimizarse. Un ejemplo sencillo y cotidiano puede ilustrar esta clasificación. Si la aguja de la balanza del señor que nos vende verdura en el mercado está un poquito corrida

del cero, ya sea a la derecha o a la izquierda, el valor del peso de verdura que



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coloque en la balanza sufrirá sistemáticamente una incertidumbre por exceso o por defecto respectivamente.

Fuentes de Error

El origen del error proviene de distintas fuentes que pueden clasificarse de la siguiente manera:

a) Errores instrumentales

Son aquellos que provienen de una calibración inadecuada del instrumento

de medida, de imperfecciones en el aparato (las agujas indicadoras dañadas o en mal estado, la gradación en la escala del instrumento es deficiente, etc.) o deficiencias inherentes a la construcción del instrumento;

Estos errores afectan la medida y sobre ellos no puede hacerse una teoría general, pero si pueden reducirse los errores aplicando correcciones adecuadas en cada caso. Por ejemplo, en lo posible se debe controlar la calibración del instrumento con un instrumento patrón, verificar el “cero” del instrumento, evitar usar equipos en mal estado, etc.

Mencionamos previamente que el instrumento inevitablemente por su propio proceso de fabricación entrega las medidas con un dado error, el fabricante, en el manual de uso indica cual es el error propio del instrumento (generalmente viene expresado como la precisión del instrumento).

b) Errores metodológicos

Son aquellos que derivan de la aplicación de un método en particular independientemente si este es erróneo o no, el análisis del procedimiento empleado nos permitirá estimar el error. Por ejemplo podemos cometer este tipo de error cuando nos pesamos, es usual que siempre lo hagamos vestidos, estamos cometiendo un error sistemático en este caso con una incertidumbre por exceso debido al peso de la vestimenta.

c) Errores de apreciación

Las determinaciones experimentales, en última instancia, se reducen a la lectura sobre una escala graduada. La apreciación sobre esa escala dependerá de la mínima división de tal escala y de la capacidad del observador para precisar fracciones de esa división.

Por ejemplo, en una regla graduada en milímetros (esto quiere decir que la separación entre dos marcas consecutivas de la escala es de 1mm.), un observador puede mentalmente subdividir esa longitud en dos y apreciar de esa manera hasta

½ mm. Dicho de otra manera significa que la medida va a ser obtenida con una precisión de ½ mm. Un segundo observador, mas experimentado, podrá dividir en más partes ese milímetro de la escala, por ejemplo en 4 y entonces podrá apreciar hasta ¼ mm.



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Con este criterio podemos disminuir tanto como quisiéramos el error de apreciación. Pero dividir “a ojo” en más partes el milímetro de la escala en cuestión, para obtener un error de apreciación menor, sería por parte del observador por lo menos irresponsable, en consecuencia el límite en este proceso

de determinación del error de apreciación está dado por el criterio del observador.

Obviamente como se desprende de lo expuesto con cada lectura o medición se comete un error de apreciación que tiene que ver con el instrumento

y con el observador. La experiencia del observador no solo le permite conocer el orden del error de apreciación sino también la elección adecuada de los instrumentos a utilizar (rango, alcance, etc.).

Cabe agregar que frente a una experiencia cualquiera debemos tener en cuenta que la presencia de alguna clase de error no inhibe la presencia de los demás, por el contrario el error de una medición va a estar conformado por todos los errores, instrumentales, de apreciación y metodológicos.

Igualdad de Magnitudes

Para comparar dos cantidades en Matemáticas y decidir si son iguales o no

lo son, solo basta con comparar cifra a cifra hasta el orden que se quiera. En Física debido a que las magnitudes son el resultado de un proceso de medición y toda medida aparece afectada de un error se dice que: “dos magnitudes son

iguales dentro de los errores de experimentación cuando existe una zona en común a los dos intervalos de error dentro de la cual deberá estar la magnitud medida”.

x x

, analíticamente, la condición de

Si consideramos x1 x1 y x2 x2

coincidencia o igualdad física de las magnitudes esta dada por:

x1 y x2

x x x x (2) 1 2 1 2

Los errores pueden afectar por exceso o por defecto una medición, pero siempre contribuyen a incrementar el error total de la misma, dicho de otra manera los errores nunca se cancelan entre sí.

Tratamiento de errores

Hasta ahora hemos hablado de la clasificación de los errores, el paso siguiente es analizar el tratamiento matemático de los mismos. Cabe aclarar que dado el alcance de esta guía el tratamiento matemático de los errores sólo tendrá un carácter introductorio.



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Volviendo a la ecuación (1):

xv x x

El error absoluto x , está compuesto por todos los errores que hemos cometido y podido determinar en la medición de una magnitud x cualquiera, es decir x

contiene tanto el error sistemático, como el metodológico y el de apreciación cometidos en la medición.

Ahora bien supongamos que se determina una magnitud cualquiera con dos métodos distintos, o se repite varias veces una medida con el mismo método, y por ejemplo obtenemos:

x1 270 º C 1 º C y x2 34.0 º C 0.5 º C

Fácilmente se puede determinar que el error absoluto en la segunda medida es menor. Pero que ocurre si queremos averiguar cuál de las medidas es de mayor calidad o más precisa? o cómo haríamos para comparar dos magnitudes distintas , por ejemplo la medición de un volumen y la de una temperatura.

Ambos problemas se pueden solucionar definiendo al error relativo como:

x

x

(4)

es decir el cociente entre el error absoluto x y el valor x de la magnitud medida. Como puede observarse es un número adimensional y como números entre sí pueden compararse, puedo entonces comparar los errores. Definimos, directamente relacionado al error relativo, el error relativo porcentual % :

% x

100 x

(5)

Esta nueva definición no es caprichosa, nos da información sobre el peso que tiene el error en la medida obtenida. Con esta definición podemos ahora saber que

x .

la primer medida, x1 del ejemplo anterior, es más precisa que la medida de 2



7

1

2 1 1 2

Al realizar una medida tenemos que tener en cuenta el concepto de error relativo, ya que éste crece a medida que la lectura se aproxima al inicio de la escala del instrumento, debido a que el error absoluto es el mismo para toda la escala. Se recomienda entonces, medir siempre utilizando el sector cercano al fondo de escala.

Medidas indirectas

Lo expuesto en el párrafo anterior se refiere a medidas directas, la medición

de una temperatura con un termómetro, un volumen de líquido con una probeta, una longitud con una regla, etc. Pero muchas veces la magnitud a determinar está relacionada a través de una ley física con otras magnitudes medibles directamente,

omo puede ser la determinación de la superficie de una hoja rectangular de papel

a través del producto de sus lados

S L1 L2

o la aceleración de la gravedad determinada con un péndulo físico

4 2

g

T 2

En estos casos la valoración del error de estas magnitudes (S ó g) dependerá

del cálculo del error en las variables implicadas en la función. Por ejemplo el valor del error de la superficie depende del error cometido en la medida de los lados, es decir si S f (L1 , L2 ) entonces:

S f L1 , L2

En general y sin profundizar en la matemática de este proceso para la determinación del error en mediciones indirectas expondremos la expresión para el error absoluto de una función de tres variables. Si L f ( x, y, z) entonces:

L f

x f

x y y

f z

z (6)

donde f x indica el valor absoluto de la derivada parcial de la función respecto

de la variable x y así sucesivamente .Volviendo al ejemplo anterior,

aplicando la ecuación (6)

S L1 L2 y

S S

L L

S L

L 2

(6`)

1 2

S L L L L (6``)



8

Luego se puede obtener fácilmente la expresión para el error relativo

S L L 1 2

(6```)

S L L 1 2

Es pertinente comentar que en la ecuación (6) a los coeficientes

f x , f y y f z se les llama factores de propagación de los errores, esto nos

permite previsualizar la magnitud del error cometido en cada medida y por lo tanto la precisión con la cual debemos realizar tal medida así como la elección del instrumental apropiado. Para el caso particular en el que la función sea factorizable en potencias de x, y y z, ..., como por ejemplo:



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W k x

n y

m

z (7)

donde k es una constante, la expresión para el error relativo, luego de propagar el error, resulta:

W n

x m y

z (8) W x y z

El ejemplo anterior resulta ser una regla práctica muy útil para cálculos preliminares. Para otro caso de interés como sumas y restas, se obtiene el error

absoluto sumando los errores absolutos de cada magnitud, así por ejemplo para H h h o H h h obtenemos H h h

1 2 2 1 1 2

Orden de magnitud y cifras significativas El orden de magnitud es la potencia de diez más próxima al valor en cuestión. Así, por ejemplo

1150 km. Es del orden de 1000 km. = 103 km.

7650 km. Es del orden de 10000 km. = 104 km.

335 m. Es del orden de 100 m. = 102 m

850 m. Es del orden de 1000m = 103 m

0,25 cc. Es del orden de 0,01cc = 10-2 c.c.

0,2 cc. Es del orden de 0,1 cc = 10-1 cc. Así también notamos que podemos expresar los valores o cantidades de lo medido con varios dígitos.

i) 3,33 m supone que hemos medido con una regla hasta los cm . ii) 3,332 m supone que hemos medido con una regla hasta los mm. iii) 3,3 m supone que hemos medido con una regla hasta dm.

En caso i) decimos que hay 3 cifras significativas, en el caso ii) hay 4 cifras significativas, y en el tercer caso hay 2 cifras significativas. Por lo tanto, las cifras significativas, son la cantidad de dígitos que realmente se están midiendo con algún instrumento. No podemos expresar que una medida realizada con una cinta de sastre, tiene un valor de 1,589 m, puesto que lo informado es mayor que lo que realmente puede proveer este instrumento.

Así como por otro lado no podemos expresar que una medida tomada con una regla graduada en cm da como resultado un valor de 5,5 m puesto que se pierde información acerca de la precisión de la medición realizada. La expresión



10

i

E x

∑

correcta en este caso es 5,50 m. Tengamos en cuenta que el orden de magnitud de

la medida no determina la precisión de cifras de la misma.

¿Qué sucede cuando tenemos cantidades con ceros a la derecha de la coma. Por ejemplo 2,3 m tiene el mismo número de cifras significativas que 0,0023 km. Observamos que el número de cifras significativas es 2. Para resolver este tipo de problema podemos recurrir a la notación científica. Es decir:

2,3 m = 2,3 x102 cm. = 2,3 x 10-3 km.

Lo anterior resuelve también el problema de la conversión de unidades, puesto que se puede mantener inalterado el número de cifras significativas. Un ejemplo común erróneo viene dado por conversiones como

2,3 m = 230 cm.

Acotación de errores para varias mediciones

Mencionamos previamente que los errores accidentales permiten un tratamiento estadístico, y podremos realizar un tratamiento de esta clase si disponemos de una gran cantidad de datos o valores medidos

a) El mejor valor

El primer problema que debemos enfrentar es determinar cuál es la mejor

medida. Para ello calculamos el valor promedio de los x valores obtenidos en N

mediciones realizadas: N

x i

x i 1

(9)

N

Debemos justificar porque proponemos al promedio como el mejor valor, esto surge que al considerar que los errores accidentales son azarosos, podemos afirmar que el error cometido en cada medición es

E x x (10) i i

y representa la desviación de cada medición respecto a x . Por lo que podemos suponer que las desviaciones por exceso o defecto se compensan, es decir:

N N

∑ i 0

i ∑ x i 0

i 0 (11)

de donde despejando x , resulta la expresión dada inicialmente en este apartado.



11

x

est

El valor medio, se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no siempre es posible realizar varias medidas; la teoría de estadística de errores indica

el número adecuado de medidas.

Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la

repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor obtenido en una sola medida, y no conseguimos nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida.

b) Error Cuadrático medio

Concluimos que la determinación del mejor valor para la magnitud que

estamos midiendo es el promedio matemático x PROM

ó x de las N medidas

realizadas. El siguiente problema a resolver es cómo informamos de las incertezas

o desviaciones cometidas en el proceso de medición. Por lo tanto hay que determinar el error del promedio y acotarlo en función de las mediciones realizadas.

Es razonable pensar que el error está relacionado con la dispersión de las mediciones alrededor del valor medio. Sin profundizar en los sustentos teóricos, podemos introducir el concepto de desviación estándar o desviación típica , partir de:

N

∑ i

x 2

2 i 1

N (12)

Observemos que hemos obtenido una expresión que nos informa del error promedio de cada medición, que aunque aumente el número de ellas, tanto el numerador como el denominador, están afectados proporcionalmente, por lo que resulta independiente del número de mediciones realizadas. Por otro lado, nos da idea de la calidad o precisión de la medición realizada, como consecuencia de la construcción de su expresión. Si su valor es grande, las mediciones efectuadas se desvían bastante del x , caso contrario sucede con un valor de más pequeño.

c) Error cuadrático medio del promedio

Podemos plantearnos ahora el problema de acotar el error del promedio,

para ello calculamos el error cuadrático medio del promedio: x

acuerdo a la teoría de errores de Gauss:

. Que lo definimos de

x est

N 1 (13)



12

x 2

est

N

∑ x i

x est

i 0

N ( N 1) (14)

Observemos que a medida que aumente N , disminuirá x , es decir podemos

acotar el mejor valor. Esta última expresión nos da un intervalo de incerteza de nuestra medición. Estamos en condiciones ahora de expresar el resultado del proceso de medición como x x

est seguido de la unidad de medida

La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de N medidas directas consecutivas, vale solamente en el caso que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, aquél error que viene definido por la resolución del aparato de medida.

Relación entre magnitudes medidas: Correlación

de valores

Los hechos de la Naturaleza a menudo se nos presentan como un gran interrogante. Los físicos, químicos, geólogos, biólogos, etc., pretenden explicar esos hechos y una de las herramientas a las que apelan para ello es medir magnitudes cuyas relaciones quieren descubrir. Esta postura acerca de cómo es el trabajo del científico, es una más entre otras que hoy en día son aceptadas por la Filosofía y Epistemología de la Ciencia.

Con este método de trabajo, después de recoger los datos, los mismos son ordenados en una tabla y luego graficados. Se puede indagar aquí cuál es la posible relación entre las mismas. Una vez detectada la posible relación matemática, puede enunciar la ley física y las condiciones bajo las cuales ésta se verifica. Se puede así encontrar alguna regularidad y predecir resultados con la nueva ley.

Reflexionar acerca de los valores medidos bajo la óptica que tales valores poseen errores propios del proceso de medición, nos brinda información acerca de la pertinencia o no de la ley encontrada.

Método de los cuadrados mínimos

Mínimos cuadrados es una técnica de optimización matemática que, dada una serie de mediciones, intenta encontrar una función que se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"). Intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas.



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Ejercicios

E1) Verifique en el siguiente listado cuales pares de medidas son iguales.

a) (1,58 0,1)cm. (1,57 0,02) cm. SI NO

b) (1,60 0,01) cm. (1,59 0,2) cm. SI NO

c) (1,597 0,005) cm. (1,588 0,001) cm. SI NO

E2) ¿Cuánto cree que sería la menor división que podríamos estimar en los siguientes instrumentos?:

a) En una regla milimetrada, b) En la balanza del verdulero c) En tu reloj d) En la cinta de un sastre e) En el odómetro (contador de kilómetros) de un auto f) En el velocímetro de un auto

E3) Indique en el siguiente listado cuales medidas están expresadas correctamente, cuales incorrectamente y por qué

medida unidades error unidades

135,3 cm. 0,05 cm.

144 cm. 0,01 m.

3,68 Cal 0.1 cal

37,3 ºC 0,02 ºC

37,30 ºC 0,02 ºC

205 cc 0,5 cc

205,0 cc 0,5 cc

205,10 cc 0,5 cc

E4) Calcule el error relativo, el error relativo porcentual y ordene las medidas desde la más a la menos precisa:

a) T = 270 ºC 1ºC

b) V = 16,3 m /s 0,1 m/seg.

c) L = 112,9 m 0,3 m.

d) V = 0,8 cc ± 0,1 cc

E5) Busque la expresión del error relativo en la ecuación que determina el valor

de g usando un péndulo ( g 4 2 T 2 ) considere a como una variable y

determine con cuantos decimales debe tomarlo para tener un error relativo

porcentual del mismo orden que el período, asuma que se mide con una regla

milimetrada y T con un cronómetro digital con precisión de décimas de

segundos.



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Actividades

A1) Cada comisión tiene un cilindro de dimensiones desconocidas. Complete la siguiente tabla:

Instrumento d d h h V V

Regla

Calibre

A2) Determine ahora el volumen del mismo cilindro de la actividad anterior pero con otro método, por ejemplo por desplazamiento de líquido

a) Elija la probeta adecuada, justifique la elección, calcule los errores involucrados en el proceso.

b) Compare ambos métodos y justifique la elección del más preciso. c) Ahora calcule la densidad ρ del cilindro. (ρ = M/ vol.)y su correspondiente

error

A3) Debemos conocer la densidad de una hoja de papel A4.

a) Proponga un método y los instrumentos para hacerlo con una precisión aceptable.

b) Exprese el resultado con su correspondiente error. c) Proponga un método para disminuir el error en las medición del volumen

de la hoja, utilizando los mismos instrumentos que en el primer apartado. Explique utilizando ecuaciones.

A4) Una balanza comercial tiene una precisión de 100 grs. y una capacidad máxima de 15 kg. Determine la precisión de las siguientes pesadas, 1,2 kg. ; 7,5 kg. Y 14,8 kg. ¿Qué conclusiones se pueden obtener de estos resultados?

APÉNDICE Y EJEMPLOS

Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y

disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de

segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 seg. De acuerdo a lo dicho

anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:

t

El error cuadrático será:

6.3 6.2 6.4 6.2

4

6.275 seg.

(A.1)

(6.3 6.275)2 (6.2 6.275)2 (6.4 6.275)2 (6.2 6.275)2

t 0.04787 seg. (A.2) 12



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Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), t 0.05 seg. . Pero

el error cuadrático es menor que el error instrumental, que es 0.1 seg., por lo que debemos tomar este último como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida es:

t 6.3 seg. 0.1 seg. (A.3)

Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es 5.975, y el error cuadrático 0.2286737. El error cuadrático es en este caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error

de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo número de decimales), expresamos la medida finalmente como:

t 6.0 seg. 0.2 seg. (A.4)

Medidas indirectas

Justificación matemática de las expresiones usadas en la

propagación de errores

En muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente.

Funciones de una sola variable. Si se desea calcular el índice de refracción n de un vidrio midiendo el ángulo crítico θ, tenemos que n=1/senθ. Si medimos el ángulo θ es fácil calcular el índice de refracción n. Pero si conocemos

el error de la medida del ángulo, necesitamos conocer el error del índice de refracción.

Sea una función y=y(x). Como se aprecia en la figura, si el error ∆x es pequeño. El error ∆y se calcula del siguiente modo

∆y=tanθ·∆x



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producto entre la

precisión del

Pero tanθ es la pendiente de la recta tangente a al curva en el punto de abscisa x

Como la pendiente puede ser positiva, si la función es creciente o negativa si la función es decreciente, en general tendremos que

Por ejemplo si la función es: y=cos x, entonces para x=20 º ±3 º obtenemos y=0.94±0.02.

El Calibre

El calibre es un aparato empleado para la medida de espesores y diámetros interiores y exteriores. Consta de una regla provista de un nonio. El nonio es un aparato destinado a la medida precisa de longitudes o de ángulos. El empleado para la medida de longitudes consta de una regla dividida en partes iguales, sobre

la que desliza una reglilla graduada (nonio) de tal forma que n-1 divisiones de la regla se dividen en n partes iguales del nonio.

Si D es la longitud de una de las divisiones de la regla, la longitud de una división de nonio es d=D(n-1)/n. Se llama precisión p a la diferencia entre las longitudes de una división de la regla y otra del nonio, se puede demostrar que está dada por:

p D

. n

Así, si cada división de la regla tiene por longitud un milímetro, y se han dividido nueve divisiones de ella en diez del nonio, la precisión es de 1/10 de mm.

En la figura, se muestra la imagen de un calibre (con una precisión de 1/20) durante el proceso de medición.

El valor de la medida realizada con el calibre se obtiene de sumar a la parte entera de la medida el resultado del

instrumento (1/20) y el número de división del nonio



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que coincide exactamente con una división de la escala de la regla, en nuestro caso

es la división n=14 ( ver dibujo), luego. Parte entera: 24 mm, Precisión 1mm/20 = 0,05 mm, n = 14 entonces:

X LECTURA

24 mm n 0.05 mm 24.70 mm

Micrómetro (instrumento)

El micrómetro (del griego micros, pequeño, y metros, medición), también llamado Tornillo de Palmer, es un instrumento de medición cuyo funcionamiento está basado en el tornillo micrométrico y que sirve para medir las dimensiones de un objeto con alta precisión, del orden de centésimas de milímetros (0,01 mm) y de milésimas de milímetros (0,001mm=micra). Para ello cuenta con 2 puntas que se aproximan entre sí mediante un tornillo de rosca fina, el cual tiene grabado en su contorno una escala. La escala puede incluir un nonio.

Principios de funcionamiento

Todos los tornillos micrométricos empleados en el sistema métrico decimal tienen una longitud de 25 mm, con un paso de rosca de 0,5 mm, de modo que girando el tambor una vuelta completa el palpador avanza o retrocede 0,5 mm.

El micrómetro tiene una escala longitudinal, línea longitudinal que sirve de fiel, que en su parte superior presenta las divisiones de milímetros enteros y en la inferior las de los medios milímetros, cuando el tambor gira deja

ver estas divisiones. En la superficie del tambor tiene grabado en toda su circunferencia 50 divisiones iguales, indicando la fracción de vuelta que ha realizado, una división equivale a

0,01 mm. Para realizar una lectura, nos fijamos en la escala longitudinal, sabiendo así la medida con una apreciación de 0,5 mm, el exceso sobre esta medida se ve en la escala del tambor con una precisión de 0,01 mm. En la fotografía se ve un micrómetro

donde en la parte superior de la escala longitudinal se ve la división de 5 mm, en la parte inferior de esta escala se aprecia la división del medio milímetro. En la escala del tambor la división 31 coincide con la línea central de la escala longitudinal, luego la medida realizada por el micrómetro es: 5 + 0,5 +(31*0.01) = 5,81 mm.

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