UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTAD DE INGENIERAESCUELA
PROFESIONAL DE INGENIERA ELECTRNICA
CONTROL AUTOMTICOLABORATORIO N 3
Transformada inversa de LaplaceDesarrollo en programa Matlab
Docente:Ing. Luis VARGAS DAZ
Alumna:Est. Luca ESAINE LEN
VI CICLO
Trujillo 7 de Septiembre del 2014
GUIA DE LABORATORIO
LABORATORIO 03
TEMA: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
I. Objetivos
Comprender la forma de operar la transformada inversa de Laplace
en Matlab. Identificar las diferentes funciones utilizadas para el
clculo de la transformada inversa.
II. Materiales y Equipos
Computador con software Matlab.
III. Procedimiento
1. Hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes
funciones:
a) F(s)=
Desarrollo en Matlab:
>> syms t s>> f=1/(s+5);>> ilaplace(f) ans
=
exp(-5*t)
>> simplify(ans) ans =
exp(-5*t) >> pretty(ans) exp(-5 t)
Resultado:
b)
Funcin en Matlab: F(s) = s/((s+3)^2+12)
Desarrollo en Matlab:>> syms t s >>
f=s/((s+3)^2+12);>> ilaplace(f) ans =
exp(-3*t)*(cos(2*3^(1/2)*t) - (3^(1/2)*sin(2*3^(1/2)*t))/2)
>> simplify(ans) ans = exp(-3*t)*(cos(2*3^(1/2)*t) -
(3^(1/2)*sin(2*3^(1/2)*t))/2) >> pretty(ans) / 1/2 1/2 \ |
1/2 3 sin(2 3 t) | exp(-3 t) | cos(2 3 t) - ------------------ | \
2 /
Resultado:
Haciendo uso de las relaciones trigonomtricas:
Con:
Se puede decir que:
c)
Funcin en Matlab: F(s) = (s+8)/(s^2+3*s+5)
Desarrollo en Matlab:>> syms t s>>
f=(s+8)/(s^2+3*s+5);>> ilaplace(f) ans =
exp(-(3*t)/2)*(cos((11^(1/2)*t)/2) +
(13*11^(1/2)*sin((11^(1/2)*t)/2))/11) >> simplify(ans) ans =
exp(-(3*t)/2)*(cos((11^(1/2)*t)/2) +
(13*11^(1/2)*sin((11^(1/2)*t)/2))/11) >> pretty(ans)
/ | | / 1/2 \ / 3 t \ | | 11 t | exp| - --- | | cos| ------- | +
\ 2 / \ \ 2 / / 1/2 \ \ 1/2 | 11 t | | 13 11 sin| ------- | | \ 2 /
| ----------------------- | 11 /
Resultado:
d) Funcin en Matlab: F(s)= (s-5)/(s*(s+2)^2);Desarrollo en
Matlab:>> syms t s>> f=(s-5)/(s*(s+2)^2);>>
ilaplace(f) ans = (5*exp(-2*t))/4 + (7*t*exp(-2*t))/2 - 5/4
>> simplify(ans) ans = (5*exp(-2*t))/4 + (7*t*exp(-2*t))/2 -
5/4 >> pretty(ans) 5 exp(-2 t) 7 t exp(-2 t) ----------- +
------------- - 5/4 4 2
Resultado:
e)
Funcin en Matlab: f(t)= f=(s+4)/(s^2+9*s+3);
Desarrollo en Matlab:>> syms t s>>
f=(s+4)/(s^2+9*s+3);>> ilaplace(f) ans =
exp(-(9*t)/2)*(cosh((69^(1/2)*t)/2) -
(69^(1/2)*sinh((69^(1/2)*t)/2))/69) >> simplify(ans) ans =
exp(-(9*t)/2)*(cosh((69^(1/2)*t)/2) -
(69^(1/2)*sinh((69^(1/2)*t)/2))/69) >> pretty(ans) / | | /
1/2 \ / 9 t \ | | 69 t | exp| - --- | | cosh| ------- | - \ 2 / \ \
2 / / 1/2 \ \ 1/2 | 69 t | | 69 sinh| ------- | | \ 2 / |
--------------------- | 69 /
Resultado:
IV. CUESTIONARIO
1. Describa la funcin ilaplace.
a) Ilaplace:
El comando ilaplace, determina la transformada inversa de
Laplace de una funcin de la forma F(s), es decir en funcin de la
variable s, que posteriormente ser convertida de nuevo en funcin
del tiempo f(t). Por ejemplo:
F= F(s) f=f(t)
Programa en Matlab:
Para la funcin: , hallar:
>> syms t s>> f=(1/s^2);>> ilaplace(f) ans =
t
Resultado:
Primero, se definen las variables a utilizar; luego, se ingresa
la funcin; y por ltimo se inserta el comando ilaplace (de la funcin
ingresada).
Se concluye que la transformada inversa de Laplace est
representada por: .
2. De qu otra manera se puede obtener la transformada inversa de
Laplace?
Aparte del comando ilaplace ya descrito anteriormente, podemos
obtener la transformada inversa de Laplace de la siguiente
manera:
a) Simplificamos el polinomio F(s) desarrollndolo en fracciones
parciales.b) Conocer las propiedades, tales como: Ejemplo: Para la
funcin:
Hallar:
a) Programa en Matlab:
>> numerador =[2 5 3 6];>> denominador =[1 6 11
6];>> [a,b,c]=residue(numerador,denominador)
a =
-6.0000 -4.0000 3.0000
b =
-3.0000 -2.0000 -1.0000
c =
2
Determina los residuos (a) , polos (b) y la constante (c).
b) Dando forma a la funcin:
Por propiedad:
Entonces:
Con el comando ilaplace:>> syms t
sf=((2*s^3+5*s^2+3*s+6)/(s^3+6*s^2+11*s+6));ilaplace(f)ans =
3*exp(-t) - 4*exp(-2*t) - 6*exp(-3*t) + 2*dirac(t)
3. Qu ventajas presenta el uso de la transformada de Laplace
para el anlisis de ecuaciones con integrales y derivadas?
Hace ms sencillo el desarrollo de ecuaciones diferenciales y
ecuaciones con integrales, ya que transforma las ecuaciones
diferenciales lineales e integrales en ecuaciones algebraicas,
donde la integracin y derivacin se transforman en divisin y
multiplicacin respectivamente, todo esto mediante el uso de
condiciones iniciales.
Como sabemos, las ecuaciones algebraicas son ms fciles de
resolver y por lo tanto, se podr llegar a un resultado
inmediato.
Transformada de una derivada:
Transformada de una integral:
V. Referencias Bibliogrficas
Matlab - help Herman Garca R., Apuntes del Taller Funcin de
Transferencia. Santiago. Enero 2011.
Pginas Web:
http://www.uhu.es/dario.garcia/proregaut1-08.pdf