Ministerul Educaţiei al Republicii Moldova Universitatea Tehnică a Moldovei Catedra: Automatica şi tehnologii informaţionale RAPORT Lucrare de laborato r Nr .3 la TPI realizată în Mathematica varianta ! A efectuat: st" gr" T#$%&% aranovici ' asile Ț A verificat: lect" asistent (isnic #nga Chişinău )%!
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Problema 8.2.1:Este dată seria de repartiţie a variabilei aleatoare discrete ξ:
ξ
*+%
*+%:
p p p p
x x x x
,e cere:%- să introducă .n ,istemul Mathematica v"a"d" ξ/- funcţia de repartiţie şi graficul ei/
+- probabilitatea ca ξ să primească valori din intervalul 0%/ *-/ *- speranţa matematică/&- dispersia/!- abaterea medie pătratică/1- momentele iniţiale de ordine p2nă la * inclusiv/3- momentele centrate de ordine p2nă la * inclusiv/4- asimetria/%)- e5cesul"'alorile parametrilor: &- x%67 x6+7 x+6*7 x*6&7 p%6)7*7 p6)77 p+6)7%7 p*6)7+/
Problema 8.2.2: resupunem că probabilitatea statistică ca un copil nou născut să fie in băiat este )7&%" ,e cere:%- să se determine seria de repartiţie a variabilei aleatoare ξ care repre8intă numărul de băieţi printre %))) de copii noinăscuţi/- să se calcule8e probabilitatea ca printre %))) de copii noi născuţi numărul băieţilor să fie cuprims .ntre +))G" şi &))G" 7unde " este numărul variantei" H6&Re8olvare:
%" 'ariabila aleatoare ξ poate primi valorile: )7 %7 7I7 %)))" robabilităţile acestor valori se calculea8ă conform
formulei Jernoulli" Feci variabila aleatoare ξ are seria de repartiţie%)))
%))) %)))> - > - >)7 &%- >)7 *4-" " "
" p P " P " $ ξ −= = = = 7 " 6 )7 %7 7I7 %)))"
" Calculăm probabilitatea cerută:
#n0%39:6 N [ ∑k =325
525
1000 !
25 !∗975!∗0.5125∗0.49
975]
=ut0%39:6 4.089×10−258
Problema 8.2.3: Kumărul ξ de particule alfa emise de un gram de o substanţă radioactivă .ntr$o secundă este o variabilăaleatoare discretă cu legea de repartiţie oisson cu parametrul a7 unde a este numărul mediu de particule alfa emise .ntr$osecundă şi se determină e5perimental pentru fiecare substanţă radioactivă"%- ,ă se determine seria de repartiţie a v"a"d" ξ"- ,ă se calcule8e probabilităţile evenimentelor:
% 6 {.ntr$o secundă vor fi emise nu mai mult de două particule alfa} şi & 6 {.ntr$o secundă vor fi emise cinci particule alfa}"$ 6 {.ntr$o secundă vor fi emise mai mult de 8ece particule alfa}"Care este numărul de particule alfa care corespunde celei mai mari probabilităţiL ,ă se considere că a6%G)7&n7 unde
neste numărul variantei" K6&Re8olvare:
%" ,ă se determine seria de repartiţie a v"a"d" ξ"
= −−−
"""M
"""M%M)
""""""%)%)
a
"
aae
"
ae
ae
a
"
ξ
#n ca8ul nostru a61"&
%
1"& 1"& 1"&
) % """ """
1"& 1"&""" """%M M
"
"
e e e"
ξ − − −
=
" ,ă se calcule8e probabilităţile evenimentelor % 6 {.ntr$o secundă vor fi emise nu mai mult de două particule alfa}
& 6 {.ntr$o secundă vor fi emise cinci particule alfa}"
#n0)9:6 P(B)=7.25
5
5 ! ∗2.7−7.25
=ut0)9:6 0.1245
$ 6 {.ntr$o secundă vor fi emise mai mult de 8ece particule alfa}#n0%9:6
N [7.25
1
0 ! ∗(e
−7.25)+(7.251)
1 ! ∗(e
−7.25)+7.25
2
2! ∗(e
−7.25)+(7.253)
3! ∗(e
−7.25)+7.25
4
4 ! ∗(e
−7.25)+(7.255)
5 ! ∗(e
−7.25)+7.25
6
6 ! ∗(e
−7.25)
=ut0%9:6 0.932
Problema 8.2.4,ă se scrie legea de repartiţie a variabilei aleatoare ξ care repre8intă numărul de aruncări nereuşite aleunui 8ar p2nă la prima apariţie a numărului *",ă se calcule8e probabilitatea ca .n timpul aruncărilor cu numerele de ordin de la &G" p2nă la %&G" numărul * nu vaapărea7 unde " este numărul variantei"H6&Re8olvare:
%" <olosim formula repartitiei geometrice plus unu:
7 " 6 %7 7I
#n09:6 N [ p 4=1/6∗(5/6)25]
=ut09:6 0.001747
" #n0+9:6>+)B5B*)-6 N [∑k =30
40
(1
6∗(
5
6)
k −1
)]
=ut0+9:6 0.00437
Problema 8.2.5:'ariabila aleatoare continue ξ este definită de densitatea sa de repartiţie ' > x-" ,ă se determine:%- repre8entarea v"a"c" ξ .n ,istemul Mathematica/- linia de repartiţie7
+- funcţia de repartiţie F > x- şi graficul ei7*- speranţa matematică7&-dispersia7!- abaterea medie pătratică71- coeficientul de variaţie73- momentele iniţiale de ordinele p2nă la * inclusiv74- momentele centrale de ordinele p2nă la * inclusiv7%)- asimetria7%%- e5cesul7%- probabilitatea ca ξ să primească valori din prima ?umătate a intervalului de valori posibile"<uncţia ' > x- este dată pe variante"
3" Momentele iniţiale de ordinele p2nă la * inclusiv: Momentul iniţial α% coincide cu speranţa matematică şi deci α%0ξ9 6 mξ 6 &" ăsim celelalte momente iniţiale conform
formulei
∫ ∞
∞−=ξα dx x ' x ->90
77 6 %7 7"""
#n0++9:6 a1= N [∫0
10
x2f ( x) xⅆ ]
=ut0++9:6 2500. f
#n0+*9:6 a2= N [∫0
10
x3f ( x ) xⅆ ]
=ut0+*9:6 20000. f
#n0+&9:6 a3= N [∫0
10
x4f ( x) xⅆ ]
=ut0+&9:6 166667. f
4" Momentele centrale de ordinele p2nă la * inclusiv:Momentul centrat de ordinul % este egal cu 8ero pentru orice variabilă aleatoare: µ% 6 )" Momentul centrat de ordinul doi
coincide cu dispersia şi deci µ 6 Dξ 6
1
2 " Calculăm momenteleµ+ şi µ* folosind formulele∫
∞
∞− ξ−=ξµ dx x ' m x
->->90
7 6 %7 7"""
#n0+!9:6 μ3= N [∫0
10
( x−mζ )3 f ( x ) xⅆ ]
=ut0+!9:6 13450. f
#n0+19:6 μ4= N [∫0
10
( x−m ζ )4 f ( x) xⅆ ]
=ut0+19:6 100383. f
%)" Asimetria:
#n0+39:6
=ut0+39:6 368. f
%%" E5cesul:<olosim formula de calcul al e5cesului #x0ξ9 6 µ*σ*−+"
#n0+49:6
=ut0+49:6 826.612
%" robabilitatea ca ξ să primească valori din prima ?umătate a intervalului de valori posibile se calculea8a dupa
formula∫ =≤≤
b
adx x ' ba P ->-> ξ
#n0*)9:6 ∫0
10
(10− x )/50ⅆ x
=ut0*)9:6 1
Problema 8.2.6 'ariabila aleatoare ξ are repartiţie normală cu speranţa matematică m şi cu abaterea medie pătratică σ"
%- să se instale8e pachetul de programe Statistics`NormalDistribtion ̀/- să se definească >introducă- v"a"c" dată /+- să se definească >determine- densitatea de repartiţie /*- să se construiască linia de repartiţie /&- să se definească >determine- funcţia de repartiţie /!- să se construiască graficul funcţiei de repartiţie /1- să se construiască pe acelaşi desen graficele densităţii de repartiţie şi al funcţiei de repartiţie /3- să se construiască pe acelaşi desen gfaficele densităţii de repartiţie şi al funcţiei de repartiţie astfel7 ca grosimeagraficului densităţii de repartiţie să fie egală cu )7& din grosimea standardă7 iar grosimea graficului funcţiei de repartiţie să
fie egală cu )74 din grosimea standardă/4- ,ă se calcule8e probabilitatea ca ξsă primească valori din intervalul 0α7 β9"
'alorile lui m7 σ7 α şi β sunt date pe variante: m67 σ67 α6%7 β6+ .
Re8olvare:%" ,ă se instale8e pachetul de programe Statistics`NormalDistribtion ̀:
#n0%9:6BB,tatisticsQKormalFistributionQ" ,ă se definească >introducă- v"a"c" dată :
Fefinim v"a"c" dată ξ de repartiţie normală şi .i dăm numele rn"#n09:6 rn6KormalFistribution079=ut09:6 KormalFistribution079
+" ,ă se definească >determine- densitatea de repartitie:Fefinim densitatea de repartiţie şi .i năm numele drn.
#n0+9:6 drn6F<0rn759
=ut0+9:6 ⅇ
−1
8(−2+ x)2
2√ 2 π
*" ,ă se construiască linia de repartiţie :Construim graficul densităţii de repartiţie drn folosind funcţia lot:#n0*9:6lot0drn757$!7%%;9
=ut0*9:6 D raphics
&" ,ă se definească >determine- funcţia de repartiţie :Fefinim funcţia de repartiţie şi .i dăm numele !rn"#n0&9:6 frn6CF<0rn759
=ut0&9:61
2 Erfc [
2− x
2√ 2]
!" ,ă se construiască graficul funcţiei de repartiţie :#n0!9:6lot0frn757$7+;9
=ut0!9:6 Draphics D D D D D D D D,ă se construiască pe acelaşi desen graficele densităţii de repartiţie şi al funcţiei de repartiţie :
#n019:6 lot0drn7frn;757$7+;9
=ut019:6 Draphics D D D D D D D D,ă se construiască pe acelaşi desen gfaficele densităţii de repartiţie şi al funcţiei de repartiţie astfel7 ca grosimea
graficului densităţii de repartiţie să fie egală cu )7& din grosimea standardă7 iar grosimea graficului funcţiei de repartiţie săfie egală cu )74 din grosimea standardă:#n039:6 lot0drn7frn;757)7!;7lot,tSleue0)"&97ue0)"49;9
=ut039:6 Draphicse ecran apare graficul densităţii de repartiţie de culoare albastră şi graficul funcţiei de repartiţie de culoate roşie"4" ,ă se calcule8e probabilitatea ca ξsă primească valori din intervalul 0%7+9"
Re8olvarea e5erciţiului s$a terminat"Rămine să scoatem valorile parametrilor"Clear"rn#drn#!rn$"∆
Problema 8.2.%nălţimea unui bărbat matur este o variabilă aleatoare cu repartiţie normală" resupunem că aceastărepartiţie are parametrii m6%1& cm şi σ6! cm" ,ă se fome8e programul de conficţionate a costumelor bărbăteşti pentru ofabrică de confecţii care se referă la asigurarea cu costume a bărbaţilor7 .nălţimile cărora aparţin intervalelor: 0%&)7 %&&-70%&&7 %!)-7 0%!)7 %!&-7 0%!&7 %1)-7 0%1)7 %1&-7 0%1&7 %3)-7 0%3)7 %3&-7 0%3&7 %4)-7 0%4)7 %4&-7 0%4&7 ))9"&e'ol(are:
entru problema in cau8ă vom avea următoarea formula pentru calculul densitaţii de repartiţie a v"a"c"
robabilitatea că un individ se va afla .ntr$un anumit interval va fi partea fracţionară din numărul total de costume" Fee5emplu7 dacă probabilitatea pentru intervalul 0%&)7%&&- este )")*7 atunci *V din toate costumele trebuie să corespundăacestei .nălţimi"
Aplicam sistemul Mathematica:
#n0%)9:6=ut0%)9:6)")))*+%133
#n0%%9:6=ut0%%9:6)"))&4+!+
#n0%9:6=ut0%9:6)")*%+!*
#n0%+9:6=ut0%+9:6)"%&&4&
#n0%*9:6=ut0%*9:6)"4133+
#n0%&9:6=ut0%&9:6)"4133+
#n0%!9:6=ut0%!9:6)"%&&4&
#n0%19:6=ut0%19:6)")*%+!*
#n0%39:6=ut0%39:6)"))&4+!+
#n0%49:6
=ut0%49:6)")))**33%Aşadar7 programul trebuie să fie următorul:entru bărbaţii de .nălţimea %&)$%&& cm: )")*+V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %&&$%!) cm: )"&4V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %!)$%!& cm: *"%V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %!&$%1) cm: %&"&V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %1)$%1& cm: 4"13V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %1&$%3) cm: 4"13V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %3)$%3& cm: %&"&V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %3&$%4) cm: *"%V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %4)$%4& cm: )"&4V din producţia fabricii/entru bărbaţii de .nălţimea %4&$)) cm: )")**V din producţia fabricii"
Problema 8.2.8 resupunem că o conversaţie telefonică durea8ă .n mediu & minute şi este o variabilă aleatoare ξ derepartiţie e5ponenţială"%- ,ă se introducă .n ,istemul Mathematica densitatea de repartiţie a"v"a"c" ξ"
- ,ă se determine funcţia de repartiţie şi să se construiască graficul ei"+- Facă vă apropriaţi de o cabină telefonică imediat după ce o persoană a .ntrat .n ea atunci care este probabilitatea că o săaşteptaţi nu mai mult de Gn( + minute7 unde n este numărul varianteiLn6&&e'ol(are:
%" ,ă se introducă .n ,istemul Mathematica densitatea de repartiţie a"v"a"ca- (a repartiţia e5ponenţială e5istă o proprietate: valoarea medie a ei este egală cu %λ"
Aşadar7 mξ6& 6Pλ6%&"
Fensitatea de repartiţie este7 prin urmare7 următoarea:
<
>≥⋅=
−
)7)
)/)7
-> x
xe
x '
x λ λ λ
Aplicăm sistemul Mathematica:#n0)9:6 f05@9:6)"We$)"W5/5)/f05@9:6)/5B);
Problema 8.2.): Un autobus circulă regulat cu intervalul +) minute"%- ,ă se scrie .n ,istemul Mathematica densitatea de repartiţie a v"a"c" ξcare repre8intă durata aşteptării autobusului decătre un pasager care vine la staţie .ntr$un moment aleator de timp"- ,ă se construiască linia de repartiţie"+- ,ă se determine funcţia de repartiţie şi să se construiască graficul ei"*- Care este probabilitatea că7 sosind la staţie7 pasagerul va aştepta autobusul nu mai mult de %)Gn minute7 undenumărul n coincide cu numărul variantei"&e'ol(are:
%" ,ă se scrie .n ,istemul Mathematica densitatea de repartiţie a v"a"c" ξ care repre8intă durata
aşteptării autobusului de către un pasager care vine la staţie .ntr$un moment aleator de timp"Fensitatea de repartiţie a variabilei aleatoare ξ7 care repre8intă durata aşteptării autobusului7este :
∉∈
=9"+)/)07)
97+)/)07+)A%->
x
x x '
Aplicăm ,istemul Mathematica:*n"24$:+f05@9:6%+)/)5+)/f05@9:6)/)B5P+)/<losind functia lot construim graficul:*n"24$:+lot0f059757)7+%;9
=ut09:6raphics+"Feterminam funcţia de repartiţie şi graficul ei" Aplicăm ,istemul Mathematica:*n"25$:+<05@9:6)/5B)/<05@9:65+):)5+)/<05@9:6%/5P+)/*n"26$:+lot0<059757$7+;9
,t"26$+raphics D robabilitatea că pasagerul nu va aştepta mai mult de minute şi +) secunde o putem calcula conform formulei:
Problema 8.2.1- Cantitatea anuală de precipitaţii atmosferice are repartiţie normală"resupunem că cantitatea anuală de precipitaţii .ntr$o careva regiune este o variabilă aleatoare de repartiţie normală de parametrii m 6 &)) >mm- şi σ 6 %&)"Care este probabilitatea că la anul viitor cantitatea de precipitaţii va fi cuprinsă .ntre *))G&n şi &))G&n7 unde n estenumărul variantei" Facă considerăm că un an este secetos c2nd cantitatea de precipitaţii nu depăşeşte +)) mm7 atunci careeste probabilitatea că doi din viitorii 8ece ani vor fi secetoşiLn6&"&e'ol(are:
Considerăm că cantitatea de precipitaţii va fi cuprinsă .ntre && şi !& este evenimentul A7 atunci densitatea de repartiţie
este
-%&)>
-&))>
%&)
%->
−−
= x
e x ' π
<olosim formula:
∫ =≤ξ≤b
adx x ' ba P ->->
"
#n039:6 N [∫525
625
1
150√ 2∗π ⅇ
−( x−500)2
(2∗100)2ⅆ x ]
=ut039:6 0.2276
>A-6 0.2276
Acum folosim schema Jernoulli pentru a calcula care este probabilitatea că din %) ani 7 vor fi secetoşi
"-> 3
%)%) ) p$ P =
robabilitatea ca un an poate fi secetos o putem calcula astfel:
#n049:6=ut049:6 )")4)13Facă p6)")4)3 atunci Z6%$p6)"4)4" Aplicăm sistemul Mathematica pentru a calcula probabilitate că din urmatorii %) ani vor fi secetoşi:
#n0+)9:6=ut0+)9:6)"%1+)*
Concl'ie:
(a această lucrare de laborator am .nsu itș să lucre8 cu variabile aleatoare discrete7
cu reparti ii discrete7 am .nvă at să construiesc func ii de reparti ie i graficele deț ț ț ț ș