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1MODELAMIENTO E IMPLEMENTACIONANALOGA DE SISTEMAS DINAMICOS
DE
PRIMER Y SEGUNDO ORDEN CONTROLADORPID
Practica 04Universidad Pedagogica y Tecnologica de Colombia.
Facultad seccional Sogamoso. Escuela Ingeniera Electronica
Laboratorio Electronica IIIDocente: Ing. Oscar Rodriguez
Monitor: Tenc. Dario Chaparro
I. OBJETIVO GENERAL
Modelar matematicamente, simular e implementar plantasanalogas
prototipo de Primer y Segundo Orden, utilizandolas herramientas y
aproximaciones matematicas para hallarfunciones de transferencia
con AMOPS, la simulacion yevaluacion de la respuesta de los modelos
con el uso deMATLAB, SIMULINK, ORCAD y su definitiva realizaciony
verificacion en forma experimental.
II. OBJETIVOS ESPECIFICOS
1 Establecer la respuesta de un sistema analogico anteestmulos
de entrada como Impulso Unitario, EscalonUnitario y rampa
unitaria.
2 Analizar la importancia de la funcion de transferencia deun
sistema dinamico.
3 Identificar las caractersticas de la respuesta transitoria
yestacionaria de sistemas de primer y segundo orden.
4 Determinar la funcion de transferencia de una planta apartir
de la funcion de transferencia.
5 Modelar y realizar el montaje de plantas prototipo deprimer y
segundo orden utilizando AMOPS.
6 Analizar y obtener las respuestas de acciones proporcio-nal,
integral y diferencial en los sistemas dinamicos detiempo
continuo.
7 Adquirir destreza en el manejo del software de simula-cion
MATLAB y ORCAD para el analisis de sistemasdinamicos.
III. FUNDAMENTACION TEORICA
III-A. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Los sistemas dinamicos analogos de Primer Orden tienenla
forma:
G(s) =K
S + 1=
K
S + 1(1)
Donde K es la ganancia estatica del sistema y la constantede
tiempo de respuesta del sistema en segundos, equivalente
al tiempo transcurrido a la salida del sistema desde cuandose le
ha aplicado un estimulo escalon unitario al sistemahasta cuando
este alcanza el 63 porciento de su valor final.Experimentalmente el
tiempo de establecimiento del sistemade primer orden (ts= 4).
A. Respuesta al Escalon Unitario de un Sistema de PrimerOrden
con MATLAB.Un sistema de control con funcion de transferencia:
G(s) =8
S + 2(2)
De la Ec. (1) se puede derivar que su ganancia es de K =4 y su (
= 0,5seg), para verificar esto mediante MATLABse tiene: num = [8]
den = [1 2] sys = tf(num,den) salida = step(sys)B. Respuesta al
Impulso Unitario del Sistema de Primer
Orden impulse(num,den)C. Respuesta a la Rampa Unitaria del
Sistema de Primer
Orden t = 0:0.1:4; u=t; lsim(sys,u,t)D. Sntesis de Circuitos
Sistemas de Primer Orden Analogos
El circuito de la fig 4 corresponde a una red
capacitivaresistiva pasiva en paralelo correspondiente a un sistema
deprimer orden:Donde la impedancia equivalente del circuito(ZT )es
el in-
verso de la admitancia (YT ):
YT =1ZC
+1ZR
=11
sC1
+1R1
(3)
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2Fig. 1RESPUESTA AL ESCALON DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN.
Fig. 2RESPUESTA AL IMPULSO DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN.
YT =R1sC1 + 1
R1
(4)
ZT =1YT
= R1R1sC1 + 1
(5)
Para montar sistemas de primer orden analogo no basta confiltrar
sino que es necesario imprimir ganancia por esta razonel circuito
activo de primer orden se implementa con AMOPS,como es el caso del
circuito de primer orden tpico mostradoen la Fig. 6 con entrada
inversora.Donde la funcion de transferencia del sistema esta
definida
por (6) y (7).
Gs =Vo
Vi
=ZFZI
(6)
Fig. 3RESPUESTA A LA RAMPA DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN.
Fig. 4RED CIRCUITAL RC EN PARALELO.
Fig. 5SISTEMA DE PRIMER ORDEN ACTIVO CON ENTRADA INVERSORA.
Gs =R
sCR
R1
=RR1
1sCR+ 1
(7)
Que si se iguala con la Ec. (1) se tiene la ec (8) y (9):
K =RR1
(8)
= RC (9)
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3Para excluir el signo negativo de la ganancia del sistema
sepuede acoplar en cascada una etapa amplificadora inversoracon
ganancia unitaria.1. Ejemplo: Como ejemplo se disenara la planta
analoga
para un sistema de primer orden con las siguientes
caractersti-cas: K = 3 y = 0,01seg. Lo esencial es primero
seleccionarun valor de capacitor C en el orden de los F
(preferiblementeno electroltico) ya que sus rangos en el mercado
son maslimitados, y del tiempo de respuesta despejar el valor de
laresistencia R as:
0,01 = R 0,01uf (10)
R =0,01
0,01 106F = 1M (11)
Donde el valor de R es comercial, ahora se despeja el valorde R1
de la ecuacion de ganancia as:
3 =1MR1
(12)
R1 =1M
3= 333,33K (13)
Cuyo valor comercial mas cercano es una resistencia de330K o si
se prefiere un potenciometro de 500K ajustable aese valor.
Finalmente se acopla una red inversora de gananciaunitaria para
eliminar el efecto del signo negativo. La simula-cion del sistema
se relaciona en la figura 6 utilizando ORCAD.
Fig. 6SISTEMA DE PRIMER ORDEN ACTIVO CON K=3 Y=0.01S.
Los resultados de la simulacion ante la entrada de pulsos
pe-riodicos concuerda con el comportamiento teorico establecido,es
decir el valor final de la respuesta es de amplitud 3 y en el63%
del valor final es decir en una amplitud de 30,63 = 1,89, se
alcanza el tiempo de respuesta de 0.01seg:como se observaen la
figura 7La funcion de transferencia del sistema definitivo esta
definida en la ecuacion (14)y (15)
G(s) =K
s+ 1=
30,01 s+ 1 (14)
G(s) =K
s+ 1=
300s+ 100
(15)
Y simulado en MATLAB se observa la grafica 8
Fig. 7SIMULACION DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN DE LA FIG. 6
Fig. 8SIMULACION DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN DE LA FIG. 6 USANDO
LA
FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LA EC. (15) EN MATLAB.
E. Analisis Frecuencial de Sistemas de Primer Orden
Analo-gos.Utilizando la librera de Modelos de Bloques Analogos
de
ORCAD ABM, se puede analizar la respuesta en frecuenciadel
sistema dinamico de primer orden realizando un barridoAC,
realizando el montaje del circuito de la figura 9 para elmodelo de
la Ec. (15).Como el sistema tiene un tiempo de respuesta de
0.01seg,
la frecuencia del sistema es 1002pi = 15,92Hz que correspondea
la frecuencia de corte,como se observa en la figura 10.De la figura
10 se observa que en la frecuencia de corte se
alcanza el 70,7% del valor final de la respuesta en -3DB ytiene
una fase de -45 , ademas por ser un sistema de primerorden la
pendiente de ganancia decae a -20DB/Dec y su fasetiene una asntota
que termina en -90 . Utilizando MATLABse opera el comando bode del
sistema de primer orden y setiene la respuesta frecuencial que se
observa en la figura 11.En la figura 11 se muestra ademas que el MF
= 1090 y
su MG = Inf , asegurando ser un sistema estable.
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4Fig. 9ANALISIS FRECUENCIAL DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN DE LA
EC. 15
USANDO ORCAD
Fig. 10RESPUESTA EN AMPLITUD Y FASE DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN
DE
LA EC. 15 USANDO ORCAD
III-B. II. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Los sistemas dinamicos analogos de Segundo Orden tienenla forma
(16):
G(s) =Kn
2
s2 + 2ns+ n2(16)
Donde K es la ganancia del sistema y el coeficienteo factor de
amortiguamiento y n la frecuencia natural noamortiguada del sistema
en rad/seg, equivalente al inverso desu tiempo de respuesta. Las
races o polos de un sistema desegundo orden se pueden establecer de
la siguiente manera(19):
s1,2 =2n
42n2 4n22
(17)
Fig. 11RESPUESTA EN AMPLITUD Y FASE DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN
DE
LA EC. 15 USANDO MATLAB
s1,2 =2n 2n
2 1
2(18)
s1,2 = n n2 1 (19)
Pudiendo distinguirse los siguientes casos de acuerdo a
lavariacion de :
caso 1 Si > 1 2 races reales distintas en el SPI
(sobre-amortiguado).
caso 2 Si = 1 2 races reales iguales en el SPI
(limitesobre-sub), sistema crticamente amortiguado.
caso 3 Si 0 < < 1 races complejas conjugadas en el
SPI(subamortiguado).
caso 4 Si = 0 Respuesta oscilatoria. Sistema crticamenteestable.
Con races en eje imaginario.
caso 5 Si < 0 Sistema inestable, races en el SPD.Para el caso
de sistemas de segundo orden subamortiguados,
en donde el factor de amortiguamiento 0 < < 1 ; se
tieneque las races tiene una parte real y una imaginaria, y
estosdos elementos se definen como (20) :
s1,2 = n n2 1 (20)
s1,2 = n2 1 (21)
s1,2 = d (22)Es decir = n es el grado de estabilidad relativa
que
corresponde a la parte real de los polos del sistema y
lafrecuencia natural amortiguada d = n
2 1 es la parte
imaginaria de los polos del sistema. La salida del sistema
vienedada por la ecuacion (23):
-
5y(t) = K[1 nt1 2 sin(dt+ )] (23)
con (24):
= arctan
1 2
(24)
Los envolventes de la respuesta del sistema de segundoorden
estan dados por (25) y (26):
K[1 +nt1 2 ] (25)
K[1 nt1 2 ] (26)
Dados estos parametros es posible obtener una equivalenciaentre
los parametros frecuenciales y temporales de la
respuestatransitoria del sistema tales como el Tiempo de Retardo
td(Delay Time) que es el tiempo requerido por la respuestaalcance
la mitad del valor final por primera vez y permitesaber que tan
lento es el sistema. El Tiempo de Subida o deCrecimiento tr (Rise
Time), que es el tiempo requerido por elsistema para subir del 10
al 90, del 5 al95 y del 0al 100 segun el valor de .El Tiempo Pico
tp (Peak Time) es el tiempo en el que
se alcanza el primer pico de la respuesta. El Porcentaje
deSobrepaso o Sobrepico Maximo del sistema medido a partirdel valor
final. El Tiempo de Establecimiento ts (Setting Time)es el tiempo
requerido por la respuesta del sistema paraestablecerse cerca de un
rango porcentual absoluto del valorfinal (Error en Estado
Estacionario). Las ecuaciones dinamicasmas comunes se relacionan en
(27):
tr =1d
arctand
(27)
tp =pi
d(28)
%Mp = 100 pid % (29)
ts(1%) =4,6
(30)
ts(2%) =4
(31)
ts(5%) =3
(32)
A. Respuesta al Escalon Unitario de un Sistema de SegundoOrden
con MATLAB.Un sistema con funcion de transferencia (33):
G(s) =200
s2 + 14s+ 100(33)
De la Ec. (6) y (7) se puede derivar que su ganancia es deK = 2
y su = 0,7 siendo este un sistema subamortiguadoy frecuencia
natural del sistema de n = 10rad/seg , paraverificar esto mediante
MATLAB se tiene:
t = 0 : 0,01 : 1,5; Wn = 10;K = 2; e = 0,7; num = [K (Wn2)]; den
= [12 e WnWn2]; sys = tf(num, den) y = step(num, den, t);
%Envolvente ev1 = K (1 + ((exp(e Wn t)/(sqrt(1 e2))))); ev2 = K
1(((exp(e Wn t)/(sqrt(1 e2))))); holdon; plot(t, y, t, ev1, t,
ev2);se obtiene la figura 12.
Fig. 12RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO DEL SISTEMA DE SEGUNDO
ORDEN
B. Respuesta al Impulso Unitario de un Sistema de SegundoOrden
con MATLAB.
impulse(sys)se obtiene la figura 13.
Fig. 13RESPUESTA AL IMPULSO UNITARIO DEL SISTEMA DE SEGUNDO
ORDEN.
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6C. Respuesta a la Rampa Unitaria de un Sistema de SegundoOrden
con MATLAB.
>> t = 0 : 0,1 : 4; >> u = t; >> lsim(sys, u,
t)
se obtiene la figura 14.
Fig. 14RESPUESTA A LA RAMPA UNITARIA DEL SISTEMA DE SEGUNDO
ORDEN.
D. Sntesis de Circuitos Sistemas de Segundo Orden Analo-gos.Las
figuras 15 y 16 muestran el arreglo corresponde a
celulas de filtrado analogico de segundo orden estandar,
quepermiten disenar los filtros de forma rapida y mecanica. Lasmas
usadas son las Celulas de Sallen-Key y las Celulas deRauch.
Disenando de forma adecuada las impedancias de estascelulas se
obtienen LPF, HPF y BPF:
Fig. 15CELULA DE SALLEN-KEY DE SEGUNDO ORDEN.
En el sistema de la Fig. 15 correspondiente a la celulade Sallen
Key, el bloque de ganancia K esta definida por laconfiguracion no
inversora de las resistencias RA y RB de lasiguiente manera
ecuacion (34):
Fig. 16CELULA DE RAUCH DE SEGUNDO ORDEN.
K =VoV+
= 1 +RARB
(34)
Y la funcion de transferencia del sistema se deriva en fun-cion
de las admitancias (impedancias) haciendo inicialmenteun balance de
corrientes en el nodo VA ecuacion (35):
(Vi VA) 1Z1
= (VA Vo) 1Z2
+ (VA V+) 1Z3
(35)
Agrupando coeficientes resulta que ecuacion(36):
Vi1Z1
= VA(1Z1
+1Z2
+1Z3
) V+ 1Z3
Vo 1Z2
(36)
Por otra parte la corriente que circula por Z3 es igual a
lacorriente que circula por Z4 (impedancia de entrada infinitadel
AMOP). De aqu se obtiene la relacion entre las tensionesde los dos
nodos auxiliares ecuacion(37):
VA1Z3
= V+(1Z3
+1Z4
) (37)
Por ultimo, a partir de la expresion de la ganancia K, seobtiene
ecuacion (38):
KV+ = Vo (38)
Y al multiplicar la Ec. (36) por K/Z3, se tiene
ecuacion(39):
Vi1Z1
K1Z3
= K[1Z3
VA](1Z1
+1Z2
+1Z3
)[KV+] 1Z23K 1
Z3Vo
1Z2
(39)Los terminos en prentesis angular de la ecuacion (39 se
sustituyen por la Ec. (37) y (38) respectivamente para obtenerla
relacion entrada salida del circuito, agrupando coeficientesde VO y
Vi ecuacion (40):
Vi1Z1
K1Z3
= [KV+](1Z3
+1Z4
)(1Z1
+1Z2
+1Z3
)[KV+] 1Z23K 1
Z3Vo
1Z2
(40)
-
7ViK1
Z1Z3= Vo[(
1Z1Z3
+1
Z2Z3+
1Z23
+1
Z1Z4+
1Z2Z4
+1
Z3Z4) 1
Z23K 1
Z2Z3]
(41)
ViK1
Z1Z3= Vo[
1Z1Z3
+1
Z1Z4+
1Z2Z4
+1
Z3Z4+(1K) 1
Z2Z3]
(42)
G(s) =VoVi
=K 1Z1Z3
1Z4
( 1Z1 +1Z2
+ 1Z3 ) +1Z3
( 1Z1 + (1K) 1Z2 )(43)
Para obtener el modelo del sistema de segundo orden tpicose
consideran Z1 y Z3 como resistores R y Z2 y Z4 comocapacitores C
como se observa en la figura 17:
Fig. 17PLANTA ANALOGICA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN.
Y por lo tanto a funcion de transferencia de la planta
esecuacion (44):
G(s) =K 1R2
11sC
( 1R +11sC
+ 1R ) +1R (
1R + (1K) 11
sC
)(44)
G(s) =K 1R2
sC(sC + 2R ) +1R (
1R + (1K)sC)
(45)
G(s) =K 1R2
sC( sRC+2R ) +1R2 +
(1K)sCR
(46)
G(s) =K
s2R2C2 + (3K)sRC + 1 (47)
G(s) =K
(RC)2
s2 + (3K)RC s+1
(RC)2
(48)
Con K=1+(RA/RB) de donde se pueden despejar losparametros
caractersticos del sistema de segundo orden igua-lando la Ec. (16)
con la Ec. (49) as, ecuacion (50):
K = 1 +RARB
(49)
n =1RC
=1
(50)
=3K
2(51)
2. Ejemplo: Como ejemplo se disenara la planta analogapara un
sistema de segundo orden con las siguientes carac-tersticas: = 0,7
y n = 10000, es decir = 2pin = 0,0628seg.Lo esencial es primero
seleccionar un valor de capacitor C enel orden de los F
(preferiblemente no electroltico) ya quesus rangos en el mercado
son mas limitados, y de la frecuencianatural del sistema despejar
el valor de la resistencia Ras ecuacion (53) :
10000 =1
R0,01F(52)
R =1
10000 0,01 106F = 10K (53)
Donde el valor de R es comercial, ahora se despeja el valorde K
a partir del factor de amortiguamiento y se calculan losvalores de
las resistencias del bloque de ganancia ecuacion(54):
K = 3 1,4 = 1,6 (54)Haciendo RB = 10K y despejando RA se tiene
ecuacion
(55):
1,6 1 = RA10K
(55)
El valor de RA no es comercial pero se puede ajustar
unpotenciometro de 10K para su implementacion. La simulaciondel
sistema se relaciona en la figura 18 utilizando ORCAD.
Fig. 18SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN ACTIVO CON = 0,7 Y n = 100
Los resultados de la simulacion ante la entrada de
pulsosperiodicos concuerda con el comportamiento teorico
estable-cido, es decir el valor final de la respuesta es de
amplitud 1.6y segun las ecuaciones (27) son ecuacion (56):
-
8tr =1
10000
1 0,72 arctan10000
1 0,72
10000 0,7 = 0,111ms(56)
tp =pi
10000
1 0,72 = 0,493ms (57)
%Mp = 100 0,710000pi10000
10,72 % = 4,59% (58)
ts(1%) =4,6
0,7 10000 = 0,657ms (59)
Donde el valor de sobrepaso es de 1,6 0,046 = 0,0736 esdecir el
valor del pico mas alto es de 1.6736 en un tiempode 0.439
milisegundos despues de la aplicacion del escalonde entrada. El
tiempo de subida es de 0.111 milisegundosdespues de la aplicacion
del escalon de entrada y el tiempode establecimiento es de 0.657
milisegundos despues de laaplicacion del escalon de entrada figura
19:
Fig. 19SIMULACION DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DE LA FIG. 18
La funcion de transferencia del sistema definitivo es ecua-cion
(60):
G(s) =K2n
s2 + 2ns+ 2n(60)
G(s) =1,6 100002
s2 + 2 0,7 10000s+ 100002 (61)
G(s) =1,6 108
s2 + 1,4 104s+ 1 108 (62)
Y simulado en MATLAB figura 20:E. Analisis Frecuencial de
Sistemas de Segundo Orden
Analogos.Utilizando la librera de Modelos de Bloques Analogos
de
ORCAD ABM, se puede analizar la respuesta en frecuenciadel
sistema dinamico de segundo orden realizando un barridoAC,
realizando el montaje del circuito de la figura 21 para elmodelo de
la Ec. 62. Como el sistema tiene una frecuencia
Fig. 20SIMULACION DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DE LA FIG. 18
USANDO
LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LA EC. (62) EN MATLAB.
Fig. 21ANALISIS FRECUENCIAL DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DE LA
EC.
62 USANDO ORCAD) EN MATLAB.
natural no amortiguada de 10000/2pi = 1,592 KHz quecorresponde a
la frecuencia de corte.En la figura 22 se observa que en la
frecuencia de corte se
alcanza el 70,7% del valor final de la respuesta en -3DB ytiene
una fase de -90, ademas por ser un sistema de segundoorden la
pendiente de ganancia decae a 40DB/Dec y su fasetiene una asntota
que termina en -180 .Utilizando MATLAB se opera el comando bode del
sistema
de segundo orden y se tiene la respuesta frecuencial de lafigura
23:En la figura 23 se muestra ademas que el MF=80 y su
MG=Inf, asegurando ser un sistema estable.
III-C. ACCION DE CONTROL PROPORCIONAL, INTE-GRAL y
DIFERENCIAL
Analizando un sistema de control, a la relacion entre la senalde
salida del controlador u(t) (Senal de Control) y la senal deentrada
al controlador e(t) (Senal de error) se le conoce comola accion de
control como se observa en la figura 24:A. Accion Proporcional
-
9Fig. 22RESPUESTA EN AMPLITUD Y FASE DEL SISTEMA DE SEGUNDO
ORDEN DE
LA EC. 62 USANDO ORCAD
Fig. 23RESPUESTA EN AMPLITUD Y FASE DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
DE
LA EC. 62 USANDO MATLAB
Fig. 24ACCION DE CONTROL
Cuando la relacion entre la salida del controlador u(t) y
lasenal de error e(t) es un factor de escala ecuacion (63):
U(t) = Kpe(t) (63)
Cuya transformada de Laplace y funcion de transferenciaes
ecuacion(64) y (65):
U(s) = KpE(s) (64)
Gc(s) =U(s)E(s)
= Kp (65)
Al termino Kp se le denomina Constante de GananciaProporcional.
Los controladores proporcionales ofrecen laventaja de tener un solo
parametro ajustable. Sin embargo,sufren una desventaja: la variable
controlada opera con undesplazamiento. El desplazamiento puede ser
descrito comouna desviacion en estado estacionario de la variable
controladacon respecto a su valor de referencia deseado (error
enestado estacionario). La accion de control proporcional puedeser
implementada analogicamente utilizando un AMOP enconfiguracion
inversora como se muestra a en la figura 25:
Fig. 25IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UN CONTROL PROPORCIONAL.
Donde la relacion entrada salida es ecuacion (66):
VoVi
= ZfZ
= RfR
= Kp (66)
Se puede apreciar que la relacion entrada salida tienepolaridad
inversa. Para corregir la polaridad se debe emplearotro
amplificador inversor con ganancia unitaria, en cascada.Lo mas
conveniente es asumir a R en e l orden de los Kporejemplo 1K de tal
manera que con un potenciometro ubicadoen RF = 100K es posible
obtener ganancias en un rango de0 < Kp < 100.B. Accion
IntegralCuando la salida del controlador u(t) es la integral del
error
e(t) ecuacion (67):
-
10
U(t) = Ki
e(t)dt (67)
Donde Ki es la Constante de Ganancia Integral que esajustable.
La funcion de transferencia del controlador integrales
(68),(69):
U(s) =KisE(s) (68)
G(s) =UsE(s)
=Kis
(69)
En ocasiones la accion de control integral recibe el nombrede
control de reposicion, restablecimiento o de acumulacion.La accion
de control integral puede ser implementada analogi-camente
utilizando un AMOP en configuracion integradorinversor como se
muestra en la figura 26:
Fig. 26IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UN CONTROL INTEGRAL.
Donde la relacion entrada salida es ecuacion (70):
VoVi
= ZfZ
= Rf
sRfCf+1
R= Rf
R
1sRfCf + 1
(70)
VoVi
= RfR
1RfCf
s+ 1RfCf= 1
RCf
1s+ 1RfCf
(71)
VoVi
= Ki 1s+ 1RfCf
(72)
Se puede apreciar que la relacion entrada salida tienepolaridad
inversa. Para corregir la polaridad se debe emplearotro
amplificador inversor con ganancia unitaria, en cascada.Lo mas
conveniente es asumir a RF > 10R en el orden delos M por ejemplo
RF = 10M , asegurando que el polosea muy pequeno y que con un
potenciometro ubicado enR = 1M se ajuste la ganancia Ki.C. Accion
Diferencial
Cuando la salida del controlador u(t) es la derivada del
errore(t)ecuacion (73):
U(t) = Kdde(t)dt
(73)
Donde Kd es la Constante de Ganancia Diferencial que
esajustable. La funcion de transferencia del controlador
diferen-cial es ecuacion (74):
U(s) = KdsE(s) (74)
Gc(s) =U(s)E(s)
= Kds (75)
La accion de control diferencial tiene la ventaja de
antici-parse al error, sus desventajas son que amplifica las
senalesde ruido y produce un efecto de saturacion en el
actuador.Debido a que el control derivativo actua sobre el ritmo
devariacion del error y no sobre el error en s, este modo nunca
seutiliza solo, siempre en combinacion con la accion de
controlproporcional o proporcional - integral. La accion de
controldiferencial puede ser implementada analogicamente
utilizandoun AMOP en configuracion diferenciador inversor como
semuestra en la figura 27:
Fig. 27IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UN CONTROL DIFERENCIAL
Donde la relacion entrada salida es acuacion (76) :
VoVi
= ZfZ
= RfRCs+1Cs
= RfCsRCs+ 1
(76)
VoVi
= RfR
s
s+ 1RC= Kd s
s+ 1RC(77)
Se puede apreciar que la relacion entrada salida tienepolaridad
inversa. Para corregir la polaridad se debe emplearotro
amplificador inversor con ganancia unitaria, en cascada.Lo mas
conveniente es asumir a RfyR con valores pequenosasegurando que el
polo sea muy grande y que con un poten-ciometro ubicado en R = 1M
se ajuste la ganancia Ki.D. Accion de control PID
-
11
Esta accion de control tiene las ventajas de cada una delas tres
acciones de control individuales. La ecuacion de estaaccion de
control es ecuacion (78):
U(t) = Kpe(t) +Ki
e(t)dt+Kdde(t)dt
(78)
U(t) = Kpe(t) +KpTi
e(t)dt+KpTd
de(t)dt
(79)
Y su funcion de transferencia es ecuacion (80):
U(s) = KpE(s) +KisE(s) +KdsE(s) (80)
Gc(s) =UsEs
=Kds
2 +Kps+Kis
(81)
La accion de control PID puede ser implementada analogi-camente
como la suma de las tres acciones de control pre-viamente
explicadas, utilizando un arreglo de 4 AMOPs, tresde los cuales
corresponden a los tres montajes obtenidos enlas Figs. 25, 26 y 27
y haciendolos pasar por un sumadorinversor que corrige la polaridad
negativa de las etapas previas.Adicionalmente en la figura 28.
Implemente el circuito delcontrolador PID incluyendo el bloque
comparador y sumadorde la Fig. 28 y realice el sistema de lazo
cerrado como lomuestra el diagrama siguiente para la planta de
primer ordendel numeral del procedimiento 1: se muestra la
configuracionde un amplificador comparador en configuracion
restador queproporciona la senal del error hacia el
controlador:
Fig. 28IIMPLEMENTACION ANALOGICA DE UN CONTROL PID
El bloque comparador en configuracion restador, resta dela senal
de referencia, consigna o deseada r(t), la senal
proveniente de la medicion de la variable de salida que
entregael sensor b(t) para entregar la senal de error e(t) que
ingresaal controlador. La funcion de transferencia del comparador
esecuacion (83):
e(t) = (r(t) b(t))R2R1
(82)
El bloque sumador en configuracion sumador inversor, tienela
tarea de sumar las senales provenientes de las acciones decontrol
proporcional vop(t), integral voi(t) y diferencial
vod,imprimiendoles polaridad negativa para corregir el signo delas
ganancias negativas previas y as proporcionar la senal decontrol
u(t) al proceso o planta a controlar, para acondicionaren forma
apropiada las senales los resistores Rs(t) se asumende igual valor.
La funcion de transferencia del sumador esecuacion (??):
u(t) = (vop(t) + voi(t) + vod)RuRs
(83)
IV. MATERIALES Y EQUIPO UTILIZADO
Computador. Software de Simulacion MATLAB, ORCAD. Fuentes de
alimentacion (Dual +/- 15 voltios). Multmetro. Condensadores y
Resistores. Potenciometros: 10K, 100K, 1M, 10M, 100M.
Amplificadores Operacionales preferiblemente LF353. Osciloscopio.
Generador de Senales.
V. PROCEDIMIENTO
V-A. PLANTA DE PRIMER ORDEN
- Disene un sistema analogo a un proceso que presente unacurva
de reaccion similar a un sistema de primer orden, conun tiempo
caracterstico de 0.00XX segundos como la figura29.
XX es los dos numeros finales del codigo del primeroen la
lista.
- Realizar la toma de datos para el sistema y obtener lafuncion
de transferencia para el modelo a trabajar.- Comparar los
resultados teoricos y los obtenidos segun
la curva de reaccion. - realice una variacion del
tiempocaracterstico del 10% verifique el funcionamiento.
Concluya.INPLEMENTACION DEL CONTROLADOR PID
ANALOGICOEl diagrama de bloques para el sistema de control de
un
proceso de primer orden se observa en la figura 30. Dondecada
uno de los componentes del diagrama de bloques para unsistema de
primer orden esta conformado por amplificadoresoperacionales.- P:
Primero realizar pruebas con el control proporcional
unicamente generando ganancias desde 1,2,5 y 10. Concluya.
-
12
Fig. 29IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UNA PLANTA DE PRIMER
ORDEN
Fig. 30EL DIAGRAMA DE BLOQUES PARA EL SISTEMA DE CONTROL DE
UN
PROCESO DE PRIMER ORDEN
- P-I :con el control P en 1 y variaciones en el controlintegral
hasta donde crea necesario. Concluya.
- P-I-D :Con el control proporcional e integral en 1
realicevariaciones s en el control derivativo, concluya.
- Verificar el funcionamiento en el osciloscopio.
- Comparar el funcionamiento real con simulaciones enORCAD y
MATLAB.
PLANTA DE SEGUNDO ORDEN- Disene un sistema analogo a un proceso
que presente
una curva de reaccion similar a un sistema de segundo
ordensubamortiguado (0 < < 0,2), como el de la figura 31
contiempo pico Tp = 0,0XX .- Verificar la respuesta del sistema en
simulacion.
- Realizar el montaje en protoboard, visualizar la respuestadel
sistema en el osciloscopio, teniendo en cuenta que tipo
deosciloscopio esta trabajando, digital o analogico.- Realizar la
toma de datos para el sistema y obtener la funcionde transferencia
para el modelo a trabajar.- Comparar los resultados teoricos y los
obtenidos segun lacurva de reaccion.2.1 Simule en MATLAB la
respuesta al escalon, impulso
y rampa unitaria. Concluya.2.2 Obtenga la planta analoga
equivalente como la mostrada
Fig. 31IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UNA PLANTA DE SEGUNDO
ORDEN
en la Fig. 18. Simule su comportamiento temporal yfrecuencial
identificando los parametros que lo caracterizany comparelos con
los valores teoricos obtenidos utilizandoORCAD y MATLAB.2.3
Implemente el sistema electronico disenado y aplique a laentrada
del sistema un tren de pulsos a frecuencia apropiaday amplitud
unitaria. Visualizar la respuesta del sistema en elosciloscopio.2.4
Realizar la toma de datos para el sistema, obtener lafuncion de
transferencia del sistema real y comparela con ladisenada y
simulada previamente, concluya.
VI. PREGUNTAS
4.1 Que tipo de dificultades se presentaron en la obtencionde la
funcion de transferencia.4.2 Cree que las senales de control segun
su sintonizacion sonmuy exigentes, explique.4.3 Si el controlador
para el sistema de primer orden fuerasolo proporcional mejorara el
tiempo de respuesta?4.4 Si cambia de amplificadores operacionales
Que cree quesucedera? 4.5 Como garantizara que el controlador no
afecteel funcionamiento de la planta prototipo.4.6 Que diferencias
presento el montaje real, con respecto aldisenado y simulado?
VII. PARA INVESTIGAR
5.1 Modelo de la funcion de transferencia de la Celula
deRauch.5.2 Disposicion de Impedancias en la celula de Sallen-Key
yRauch para Filtros LPF, HPF y BPF2.5.3 Topologas circuitales con
AMOPs de PIDs industriales.
REFERENCIAS[1] S. Haykin, Senales y Sistemas. Mexico: Limusa
Wiley, 2003.
OBJETIVO GENERALOBJETIVOS ESPECIFICOS FUNDAMENTACIN TEORICA
SISTEMAS DE PRIMER ORDENII. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENACCION DE
CONTROL PROPORCIONAL, INTEGRAL y DIFERENCIAL
MATERIALES Y EQUIPO UTILIZADOPROCEDIMIENTOPLANTA DE PRIMER
ORDEN
PREGUNTASPARA INVESTIGARReferencias