La Transformada Z Corregido

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La Transformada Z

Asignaturas: Anlisis de Sistemas y Seales Control Digital

M.I. Ricardo Garibay Jimnez

Mayo 1997

TEMA 8. TRANSFORMADA Z

8.1 DEFINICIN Y RELACIN CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO.

Como se ha mencionado en los temas anteriores, la transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representacin y anlisis de seales y sistemas discretos. Una generalizacin de ella es la transformada Z.

El motivo principal para tratar con la transformada Z consiste en que la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; lo que hace necesario plantear una transformacin que cubra una ms amplia gama de seales.

Adicionalmente, la transformada Z presenta la ventaja de que, en problemas analticos, el manejo de su notacin, expresiones y lgebra es con frecuencia ms conveniente.

El empleo de la transformada Z en seales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para seales continuas y cada una de ellas mantiene su relacin correspondiente con la transformada de Fourier.

Anteriormente se defini la transformada de Fourier de una secuencia x(k) como:x( ) X (e j ) x(k)e j k(8.1)

k

La transformada de la misma secuencia se define como:

X (z) x(k)z k(8.2)

k

La ec. 8.2 es un operador que transforma una secuencia en una funcin de la variable compleja continua z .

Genricamente:

Z x(k) X (z) x(k)z k(8.3)

k

La correspondencia entre una secuencia y su transformada se denota como:

x(k) X (z)

Es importante destacar que existe una relacin muy cercana entre la transformada de Fourier y la transformada Z; en particular, si se observa lasustitucin de la variable compleja e jpor la variable complejaz . Cuando

existe, la transformada de Fourier es simplemente X (z) con z e j .

La transformada de Fourier es la transformada Z tomandoZ 1 .

Si tomamos z re j , la ec. 8.2 resulta:

X (re j ) x(k)(re j ) k(8.4)

k

X (re j ) x(k)(r k )e j k(8.5)

k

La ecuacin 8.5 se interpreta como la transformada de Fourier del producto x(k) con la secuencia r k . Obviamente si r 1, la ecuacin 8.5 se reduce a la transformada de Fourier de x(k) .

La descripcin e interpretacin de la transformada en el plano complejo permite una ms amplia visualizacin de la relacin entre ambas transformadas.

Crculo unitarioIm

Z e j

1

Plano Z

Re

Figura 8.1

X (z)La regin del plano en donde z 1 corresponde a una circunferencia de

radio igual a uno, la circunferencia unitaria. La transformada

evaluada en los puntos de dicha circunferencia es la transformada de Fourier X (e j ) .

Iniciando la transformada de Fourier X (e j ) , en 0, z= 1, siguiendo por 2 , z= j, hasta , z= -1, se obtiene X (e j ) para 0 .

8.2 REGIN DE CONVERGENCIA.

Anteriormente se mencion que la transformada de Fourier no siempre converge para todas las secuencias; es decir, la sumatoria infinita puede no siempre resultar finita. Similarmente, la transformada Z no converge para todas las secuencias ni para todos los valores de z . Para una secuencia dada, el conjunto de valores en el cual la transformada converge es llamada

Regin de Convergencia.

La regin de convergencia de la transformada de Fourier requiere que la secuencia sea absolutamente sumable; lo cual, si se aplica a la ecuacin 8.5 se puede expresar como:

x(k)r kp (8.6)

k

De esta ltima expresin es claro que, debido al trmino r k , la transformada Z converge aun si la transformada de Fourier de la secuencia x(k) no lo hace. As, una secuencia escaln unitario x(k) s(k) no es absolutamente sumable, por lo que la transformada de Fourier no converge.

Sin embargo, r k s(k) es absolutamente sumable si r f1 . Esto significa que la transformada Z para un escaln unitario existe en una regin de convergencia z f1.

La convergencia de la transformada Z depende solamente dez. Es decir

que si:

X (z)p

entonces:

x(k)z k p (8.7)

k

La regin en donde se cumple la desigualdad 8.7 es la regin de convergencia. Si algn valor z1 est ubicado en dicha regin, entonces los

valores sobre la circunferencia definida como z z1 estn dentro de la regin de convergencia. La figura 8.2 ilustra lo anterior.

Im

Re

Figura 8.2

Si la regin de convergencia incluye la circunferencia unitaria, se tiene convergencia de la transformada Z para z 1, lo que equivale a que latransformada de Fourier tambin converge. Inversamente, si la regin de convergencia de la transformada Z no incluye la circunferencia unitaria, entonces la transformada de Fourier de la secuencia no converge.

La transformada Z es una funcin analtica en todos los puntos de la regin de convergencia; de aqu que la transformada Z y todas sus derivadas con respecto a w son funciones continuas en dicha regin. Por ltimo, si la regin de convergencia incluye la circunferencia unitaria, entonces la transformada de Fourier y todas sus derivadas con respecto a w deben ser funciones continuas de la misma variable.

8.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

Frecuentemente se han empleado mtodos de transformacin para simplificar el anlisis y sntesis de sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales o en diferencias. La transformada Z es una regla por la cual una secuencia de nmeros son convertidos a una funcin de la variable compleja z . Debido a su estructura bsica, la transformada Z posee propiedades que facilitan la solucin de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones algebraicas.

PROPIEDADES MS IMPORTANTES

a) SUPERPOSICIN

Se compone de las caractersticas de:

1.Homogeneidad:

f (k) F (z)

af (k) aF (z)

2.Aditividad:

f1 (k) F1 (z)

f2 (k) F2 (z)

entonces:

f1 (k) f2 (k) F1 (z) F2 (z)

Por lo tanto, la propiedad de superposicin establece que si:

f (k) af1 (k) bf2 (k)

la transformada Z correspondiente es:

Z f (k) Z af1 (k) bf2 (k) Z af1 (k) Z bf2 (k)

F (z) aF1 (z) bF2 (z)(8.8)

b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO)

Suponga que la seal f (k) , la cual es idntica a cero para un tiempo negativo, es aplicada a la entrada de un sistema cuya salida es igual a la entrada pero retrasada m unidades de tiempo discreto.

La respuesta del sistema se define entonces por:

y(k) f (k m) k 0

La transformada de la salida y(k) se define a su vez como:

Y (z) y(k)z k

k 0

Y (z) f (k m)z k

k 0

Recordando que la secuencia negativo, tenemos:

f (k) fue especificado en cero para k

Y (z) f (0)z m f (1)z m 1 f (2)z m 2

z m f (0) f (1)z 1 f (2)z 2 ...

La sumatoria dentro de los corchetes se reconoce como la transformada de f (k) , por lo que:

Y (z) z m F (z)para

Z fk m z m F (z)para

zR(8.9)

zR

La representacin en diagrama de bloques para la propiedad de corrimiento a la derecha se muestra en la figura 8.3.

f (k)Z -mf (k - m)

F (Z )Z -m F (Z )

Figura 8.3

c) PROPIEDAD DE CONVOLUCIN

1. Para el sistema representado en la figura 8.4 se tiene como entrada la funcin f (k) para k 0 , cuya transformada es F (z)

f (k)h(k)y(k) h(i) f (k - i)

i 0

F (Z )H (Z )Y (Z ) H (Z )F (Z )

Figura 8.4

Su salida y(k) Y (z) se define como una suma de convolucin:

y(k) h(0) f (k) h(1) f (k 1) .... h(k 1) f (1) h(k) f (0)

2. Por otra parte, por definicin, la transformada de y(k) es:

Y (z) y(0) y(1)z 1 y(2)z 2 y(3)z 3 .... y(k)z k y(k)z k

K 0

sustituyendo y(k) por su equivalente de suma de convolucin:

Y (z) h(0) f (k) h(1) f (k 1) h(2) f (k 2) ... h(k) f (0) z k

k 0

factorizando los trminos h(i), i 0, 1,2, 3, ... , n.

Y (z) h(0)f (k)z k h(1)f (k 1)z k h(2) f (k 2)z k ... h(k) f (0)z k

k 0k 0k 0k 0

3. Recordando la propiedad de retraso:

Z f (k m) f (k m)z k z m F (z)

k 0

la transformada en cuestin resulta:

Y (z) h(0)F (z) h(1)z 1F (z) h(2)z 2 F (z) .... h(k)z k F (z)

Factorizando F (z) :

Y (z) h(0) h(1)z 1 h(2)z 2 .... h(k)z k F (z)

Y (z) H (z)F (z)

4. En conclusin se tiene que:

y(k) h(i) f (k i)

i 0

Y (z) H (z)F (z)(8.10)

La transformada de la salida es igual al producto de la transformada de la seal de entrada por la transformada de la respuesta a impulso del sistema. Esta propiedad ser de gran utilidad como base del procedimiento de analizar y sintetizar sistemas lineales discretos.

OTRAS PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA TRANSFORMADA Z.

D) PROPIEDAD DE SUMACIN

Sean las secuencias f (k) F (z) y g(k) G(z) .

si entre ellas es posible establecer la relacin:

g(k) k f (i)parak 0, 1, 2,3, ... , n.

i 0

La transformada G(z)puede definirse en trminos de F (z) , de la siguiente

forma:

G(z) 1F (z) zF (z)parazf max (1, R)(8.11)

1z 1z 1

Como demostracin considrese que la secuencia g(k) es la suma de los

k 1 primeros trminos de la secuencia f (k) ; tal que f (k) g(k) g(k 1) ,

para k 0, 1, 2, ... , n ; y que g( 1) 0 . Entonces, la transformada F (z)

puede expresarse como:

F (z) f (k)z kz R

i

F (z) g(k)z k g(k 1)z k

k 0k 0

G(z) z 1G(z) (1 z 1 )G(z)

G(z) 1F (z) zF (z)z max (1,R)(8.12)

1z 1z 1

E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIN POR ak

Sean las secuencias f (k) y g(k) definidas para k 0, 1, 2, 3, ... , n.

Si entre ellas se establece la siguiente relacin:

g(k) ak f (k)parak 0, 1, 2, 3, ... , n.

entonces la transformada G(z) se determina como sigue:

f (k) F (z)parazR

Zg(k) Z akf (k)ak f (k)z k

k 0

f (k) a 1z k

k 0

Z ak f (k) F (a 1z)paraza; a R(8.13)

F (a 1z) denota la operacin de reemplazo de a 1zen donde aparezca F (z).

F) PROPIEDAD DE DERIVACIN

Las derivadas de cualquier orden de F(z) convergen en la regin de convergencia. Esto nos da una herramienta para determinar nuevos pares de transformacin. Derivando la ecuacin (8.2) con respecto a z , se obtiene:

dX (z)kx(k)z k 1parazf R

dzk 0

Multiplicando por z , la expresin anterior, resulta la propiedad:kf (k)z k z dF (z)

k 0dz

Z kf (k) Z dF (z)zf R(8.14)

dz

F (z)

f (0).G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL

Es posible determinar el trmino inicial,f (0) , de una secuencia f (k) , a

partir de la transformada correspondiente. Si se tiene F (z) de la forma:

F (z) f (0) f (1)z 1 f (2)z 2 ....

se observa que conforme la variable z 1 tiende a cero, todos los trminos

del lado derecho de la igualdad tienden a cero exceptoEsto es

equivalente a:

f (0) limF (z)(8.15)

z

H) TEOREMA DEL VALOR FINAL

Para determinar el comportamiento de una secuencia f (k) en estado esttico, esto es f (k) con k tendiendo a infinito, es posible recurrir directamente a la transformada de la funcin. La condicin para realizar

esto es queno tenga polos fuera del crculo unitario, lo cual determina

que f (k) sea una funcin acotada, y por lo tanto finita, cuando k tiende a infinito. Por lo anterior, el teorema del valor final podr ser aplicado sloen los casos en los que (z 1)F (z) sea analtica para z 1.

En tales casos el teorema se enuncia de la siguiente forma:

f ( ) lim(z 1)F (z)(8.16)

z 1

8.4 TRANSFORMADAS COMUNES:

1) Impulso unitario (delta de Kronecker).

Definiendo la secuencia impulso unitario (k) 1 para k 0 , su transformada se determina de la siguiente forma:

(z) Z (k) (k)z k (0) (1)z 1 (2)z 2 .....

k 0

(8.17)

(z) 1

2) Definiendo un impulso retrasado m unidades de tiempo discreto y retomando la propiedad de corrimiento hacia la derecha, se obtiene el siguiente par de transformacin:

f (k) (k m)

F (z) Z (k m) z m(8.18)

3) Escaln unitario

Definido por la siguiente expresin:

u(k) 1kk 0,1, 2, 3, ... , n.(8.19)

La transformada se obtiene de acuerdo con el siguiente desarrollo:

U (z) u(k)z k u(0) u(1)z 1 u(2)z 2 ... u(k)z k ...

k 0

N 1N 1 N

U (z) lim z k lim (z 1 )k lim1 z 1

N k 0N k 0N 1 z

U (z) 1 1z 1

en la regin z f1

z f1 es la regin de convergencia de la transformada enuncia normalmente como:

U (z) z

z 1

U (z) , la cual se

(8.20)

4) Serie geomtrica f (k) akk 0, 1, 2, 3, ... , n.

De acuerdo con la definicin anterior, la transformada F (z) se determina segn el siguiente procedimiento, considerando la propiedad de multiplicacin por ak .

kz

1

z 1

empleando la propiedad mencionada:

Z akf (k) F (a 1z)

entonces:a 1z

f (k) ak

a 1z 1

Multiplicando y dividiendo por aseobtienela transformadade una

secuencia geomtrica.

F (z) zzfa(8.21)

z a

za

Si se trabaja enla regindentro delplano complejoz , la

transformada F (z)de la secuencia geomtrica converge.

Cuando la serie infinita F (z) converge en una regin del plano z , es posible usar el mtodo de la transformada para resolver problemas de sistemas en el tiempo discreto.

De acuerdo con el valor de a en la serie geomtrica, se observa que se presentan los siguientes casos:

Sia 1se tiene una serie divergente yza

Sia 1se tiene una magnitud unitaria yz1

Sia 1se tiene una serie convergente a cero yza

5) Rampa discreta unitaria

f (k) kk 0, 1, 2, 3, ... , n.

A continuacin se desarrolla brevemente la obtencin de la transformada de una rampa discreta.

Multiplicando la ecuacin anterior por z y considerando a 1 , se obtiene finalmente la expresin de la transformada de una rampa:

kz k zzf1

(z 1)2

k 0

F (z) kz k

k 0

Para una secuencia geomtrica se tiene:

ak z k z

z a

k 0

Derivando con respecto a z :

d ak z k d z(z a) 2 z a

dz z a(z a)2

dz k 0(z a)

As pues:

kak z k 1 a(8.22)

(z a)2

k 0

8.4 REPRESENTACIN GRFICA DE LOS SISTEMAS DISCRETOS LINEALES.

Una representacin en diagramas de bloques de los sistemas lineales discreto permite la interpretacin visual de las caractersticas dinmicas del sistema. Dicha representacin emplea tres elementos bsicos:

1) Unidad de retraso. 2) Unidad multiplicadora. 3) Unidad de suma.

Interconectando dichas unidades es posible representar cualquier sistema lineal discreto.

1) UNIDAD DE RETRASO

Es un dispositivo cuya seal de salida es idntica a la seal de entrada excepto que es retrasada una unidad para tiempo discreto.

La relacin caracterstica para esta unidad es y(k) u(k 1)

u(k)Z 1y(k) u(k 1)

Figura 8.5

Al conectar dos unidades de retraso en cascada (la seal de salida para la primera unidad de retraso sirve de seal de entrada para la segunda unidad de retraso). As, es posible la obtencin de un retraso de dos unidades de tiempo discreto, segn se muestra en la figura 8.6

u(k)Z 1u(k 1)Z 1y(k) u(k 2)

Figura 8.6

Similarmente, se podr obtener un sistema que retrasa la entrada u(k) ' p ' unidades de tiempo discreto, si se conectan ' p ' unidades de retraso en cascada. Esta funcin se designa por un slo bloque con la notacin z p .

2) UNIDAD MULTIPLICADORA

La unidad multiplicadora genera una secuencia (seal de salida) idntica a la secuencia de entrada multiplicada por algn escalar fijo ' a '. Entonces, si u(k) es una entrada, la salida del multiplicador es y(k) a u(k)

u(k)ay(k) a u(k)

Figura 8.7

3) UNIDAD DE SUMA

La unidad de suma es un dispositivo al cual llegan dos o ms seales discretas que se suma algebraicamente para generar la seal de salida discreta. Por ejemplo, si las seales u1 (k) y u2 (k) son aplicadas a un

sumador, la salida estar dada por: y(k) u1 (k) u2 (k)

Las figuras 8.8 y 8.9 muestran la representacin de las operaciones de suma y resta de dos seales discretas

u1 (k)y(k) u1(k) u2(k)

u2 (k)

Figura 8.8

u1 (k)

y(k) u1 (k) u2 (k)

u2 (k)

Figura 8.9

F (z)8.5 OBTENCIN DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DISCRETO MEDIANTE TRANSFORMADA Z: LA ANTITRANSFORMADA Z.

8.5.1 MTODO DE EXPANSIN EN FRACCIONES PARCIALES.

A continuacin se presenta el mtodo de antitransformacin por expansin en fracciones parciales. Este no es el nico mtodo de antitransformacin que existe; sin embargo, es el ms conocido y algebraicamente muy accesible. Consiste en descomponer una funcin F (z) , que se expresa como una relacin de polinomios, en un grupo de trminos ms sencillos cuyas antitransformadas pueden ser obtenidas en tablas; es decir que, mediante dicha expansin, se deben obtener expresiones que correspondan a pares de transformacin comunes.

Considrese una funcinexpresada como una relacin de polinomios

de orden m en el numerador y orden n en el denominador. Se asume que n es mayor o igual que m .

F (z) q(z)b zm b zm 1 .......... bz b(8.23)

01m 1m

p(z)a zn a zn 1 ........... an 1z an

01

Para obtener las fraccionesparcialesde F (z) ,previamentedebe

factorizarse el polinomio denominador para encontrar sus races o polos p1, p2 , p3..........pn . En este procedimiento no se requiere hacer referencia al

tipo de races que resultan; stas pueden ser reales, imaginarias o complejas, y en todo caso el procedimiento es el mismo. La nica particularizacin que se hace est condicionada a la presencia de races mltiples (polos repetidos). La ecuacin (8.24) muestra la estructura de la funcin F (z) factorizada.

F (z) b zmb zm 1 .......... bz bq(z)

01m 1m(8.24)

(z p1 )(z p2 )..........(z pn )n

(z pi )

i 1

Cuando todos los polos de F (z) expansin en fracciones parciales

en la ecuacin (8.24) son diferentes la tiene la siguiente forma:

F (z) b zmb zm 1 .......... bz b(8.25)

01m 1m

(z p1 )(z p2 )...........(z pn )

d0 d1z dnz......... dnz

z pz p2z pn

1

El clculo de los coeficientes di es como sigue:

d0F (z)z 0 bm(8.26)

( p1 )( p2 )..........( pn )

z pi

diF (z)z ppara i 0, 1, 2, 3, ... , n.

z

i

dnb zm b zm 1 ... bz b(8.27)

01m 1m

z( pi p1 ) ( pi p2 ) ... ( pi pn )

Al realizar la expansin, la funcinF (z)podr expresarse como indica la

ecuacin (8.25), lo cual se toma como base para obtener la secuencia f (k) . Debido a la linealidad de la transformada y a los pares de transformacin

comunes, la secuenciaf (k) resulta:

f (k) Z 1 F (z) d0 (k) d1 p1k d2 p2k ....... dn pnk(8.28)

para

k 0, 1, 2, 3, ... , n.

En caso de que resulten polos mltiples en la factorizacin, la ecuacin (8.25) puede tomar la forma siguiente:

F (z) b zm b zm 1 .......... bz b(8.29)

01m 1m

(z p )n1 (z p2)n2 ..........(z pn)n1

i

donde:n1 n2 .......... n1 n

En este planteamiento resulta al menos uno de los exponentes ni mayor o igual a la unidad.

La expansin de F (z) , en este caso, tiene la forma:

F (z) d0 d1zd2z2..... dn1zn1

z p(z p )2(z p )n1

111

e1ze2z2..... en2zn2

z p2(z p2)2(z p )n2

2

.....

r1zr2z2..... rn1zn1

z p(z p )2(z p )n1(8.30)

111

Es indispensableincluirlos nitrminoscorrespondientes a cada polo

mltiple pi .

Una vez que se ha realizado la expansin, se observa un tipo de trminos que no tienen un par de transformacin comn; por lo cual deben considerarse las transformadas complementarias indicadas en la tabla 8.II. La aplicacin de los pares de transformacin comunes y los enunciados para los casos de polos mltiples normalmente resuelven las tareas de antitranformacin de la mayora de las funciones ms frecuentes.

TABLA 8.II

PARES DE TRANSFORMADAS Z PARA RACES MLTIPLES

F (z)f (k)para k 0

zak

z a

z2(k 1)ak

(z a)2

z3(k 1)(k 2) ak

(z a)32!

z4(k 1)(k 2)(k 3) ak

(z a)43!

..

..

..

8.6 FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS

De acuerdo con el planteamiento bsico de la transformada Z y sus propiedades, principalmente la de Convolucin, es posible establecer diversos procedimientos de anlisis de sistemas discretos empleando el concepto de funcin de transferencia H (z) ; la cual se define como la relacin de la transformada Z de la salida, Y (z) , de un sistema entre la transformada Z de su entrada, U (z) .

H (z) Y (z)(8.31)

U (z)

Esta definicin se muestra en la figura 8.4, lo mismo que la relacin matemtica entre las variables involucradas: mientras que en el dominio de k , la salida se determina por medio de una suma de convolucin, de la entrada y la respuesta a impulso; en el dominio de z , la salida es el producto de las transformadas de las mismas variables. Por esta razn, la funcin de transferencia H (z) debe ser tomada como la transformada Z de la respuesta a impulso h(k) del sistema en cuestin.

La funcin de transferencia tiene una trascendencia muy grande en el anlisis de sistemas basado en el modelo de entrada-salida. A partir de ella se han desarrollado diversos mtodos de interpretacin, anlisis y diseo de sistemas discretos. Incluso los importantes conceptos de estabilidad y respuesta en frecuencia han sido abordados tradicionalmente desde esta base.

La expresin general aplicable a la funcin de transferencia es:

H (z) q(z)b zmb zm 1... bz b

01m 1m

p(z)a zna zn 1... an 1z an

01

(z c1 ) (z c2 ) ... (z cm )m (z cj )(8.32)

j 1

(z p1 ) (z p2 ) ... (z pn )n

(z pi )

i 1

De la ecuacin (8.32) se destaca que la factorizacin de los polinomios de la funcin de transferencia da lugar a las races genricamentedenominadas polos ( pi ) y ceros (cj ) . Estas races, principalmente los polos,

son determinantes en el anlisis del comportamiento de los sistemas; lo mismo que de su respuesta en frecuencia y estabilidad.

Previamente a abordar estos temas, conviene revisar el planteamiento de algunos conceptos asociados.

H1 (z)1. Sistema en cascada

La funcin de transferencia de un sistema compuesto por dos bloques

conectados en cascada; los cuales tienen funciones de transferenciay

H2 (z) , respectivamente, es el producto de los dos trminos componentes. La figura 8.10 ilustra este concepto.

u1(k)h1(k)y1 (k) u2(k)h2(k)y2 (k)

En el domino de Z:

u(z)H (z) H1(z) H2(z)y2 (z)

Figura 8.10

2. Sistema inverso

A un sistema con funcin de transferenciaH1 (z) , puede corresponder un

sistema inverso H2 (z) .

u(z)H1(Z )H2(Z )Y (Z )

Figura 8.11

Si las funciones H1 y H2 son inversas, entonces:

Y (z) U (z)

H1 (z) H21(z)

H (z) H1 (z)H2 (z) 1

Por lo tanto, en k , la representacin del sistema es como se muestra en la figura 8.12

u(k)y(k)

h(k) (k)

Figura 8.12

Adems, la convolucin en este caso resulta:

y(k) h(i) (k i) (i) (k i) (k)

i 0i 0

La convolucin de una funcin f (k) con una delta de Kronecker da como resultado siempre la misma funcin f (k) .

3. Sistema realimentado

Un campo de aplicacin tpico de la realimentacin es en la teora de control; donde un sistema H1 (z) cuya variable de salida y(k) debe ser controlada. El sistema podr ser controlado, aun bajo condiciones dinmicas indeseables o incluso siendo inestable, si se considera la configuracin mostrada en la figura 8.13. En ella, para hacer que la respuesta se comporte de la forma deseada, se presenta la estructura de retroalimentacin tpica, y se considera la seleccin apropiada del sistema H2 (z) ; para generar un comportamiento dinmico controlado entre las

seales u(k) e y(k) .

y(k)

u(k)

h1 (k)

h2 (k)

Figura 8.13

Y (z) H1(z)(8.33)

1H1 (z)H2 (z)

8.7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS

Condicin necesaria y suficiente para la estabilidad de un sistema discreto:

Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al aplicrsele una entrada acotada. Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos se ubican en el plano complejo z , dentro de un crculo centrado en el origen de radio unitario; es decir que, todos sus polos tienen magnitudes menores a la unidad.

En el desarrollo de sistemas discretos se tendr como objetivo, normalmente, el diseo de sistemas estables que satisfagan algunos objetivos previamente especificados. Un sistema estable implica un sistema que tiende a mantener una condicin de equilibrio.

H (z)8.7.1 POLOS DE H(z) Y RESPUESTA TRANSITORIA

La localizacin de los polos deen el plano z permite caracterizar

efectivamente las propiedades de la respuesta para un sistema discreto lineal.

Se pueden considerar diversos casos respecto a la funcin de transferencia y las ubicaciones de polos ms representativas.

A.- Polo real en z a .

Funcin de transferencia con un polo simple.

La respuesta caracterstica es de la forma dada por la ecuacin (8.34).

Ark cos (k )parak 0, 1, 2, 3, ... , n.(8.34)

Donde A y son constantes obtenidasdela expansin enfracciones

parciales y:

1 b

r a2 b2 tan

a

Im z

(2)

(4)

(1)

xxxxxxRe z

(6)(5)

(3)

Figura 8.14

Casos:

1. - a2 b2 1 . Los polos se ubican fuera del circulo unitario (sistema inestable). La respuesta a impulso es una oscilacin creciente en magnitud.

2. - a2 b2 1 . Los polos estn localizados sobre el crculo unitario (sistema inestable). La respuesta es una oscilacin parecida a un senoide con magnitud constante.

3. a2 b2 1. Los polos estn localizados dentro del crculo unitario

(sistema estable). El resultado es una oscilacin parecida a una senoide decreciente en magnitud.

La figura 8.15 ilustra los patrones de respuesta a impulso de los casos de segundo orden enunciados.

Im z

(1)

(2)

(2)x (1)

x

x (3)

x (3)Re z

(2)x (1)

(3)

Figura 8.15

8.7.2. POLOS DONIMANTES.

Como se ha mencionado, en el diseo de sistemas discretos, el enfoque ms frecuente es respecto a los sistemas estables. Debido a que los trminos de la respuesta transitoria, generados por los polos de la funcin de transferencia que estn cerca del crculo unitario, son de un grado de lentitud o retraso mucho mayor que aquellos generados por los polos que estn ms cerca del origen; tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta transitoria. En muchos casos reales se asume que la funcin de transferencia se caracteriza por tener algunos de sus polos muy cerca del crculo unitario, mismos que se consideran los polos dominantes del sistema.

En la figura 8.16 se representa esta concepcin, en donde los polos dominantes p1 y p2 son complejos conjugados.

m z

x p

p3x1

p4xRe z

xp2

Figura 8.16

Para un valor suficientemente de k , el patrn del transitorio se asemeja ms al que corresponde a los polos dominantes exclusivamente. En este caso una senoide discreta del tipo dado por la ecuacin (8.34), con

r p1 y = p1 .

H (z)8.8 RESPUESTA SENOIDAL PERMANENTE DE SISTEMAS LINEALES (FILTROS DIGITALES)

Este concepto tiene su equivalente en el planteamiento que se hizo en el tema 6 y corresponde a la transformada de Fourier de una funcin discreta:

X ( ) X (e j ) x(k)e j k

k

La figura 8.17 representa la forma en que puede concebirse la respuesta en frecuencia

de sistemas discretos. En dicha figura se asume que la entrada a un sistemaes unaseal senoidal pura.

u(t)u(k)Sistema discreto

Y (k)

Tlineal H(z)

Figura 8.17

u(t) sen 1T

u(t) sen k 1T k 0, 1, 2, 3, ... , n.

u(z) 2sen 1T

(z e j 1T ) (z e j 1T )

H(z) b zm b zm 1... bp1 1

01m

(z p1 ) (z p2 ) ... (z pn )

Si consideramos que todos los polos H (z) son distintos entre s, la solucin del sistema esta determinada por el desarrollo siguiente:

Y (z) H (z)H (z)Y (z) azz... z aze j bze j

p2 z pn z nz e j 1Tz e j 1T

01 z 2

1

Los ltimos dos trminos de la expresin anterior corresponden a la respuesta forzada, dependiente de la entrada senoidal. Los coeficientes a y b estn dados por:

a 1H (e j 1T )

2 j

b 1H (e j 1T )

2 j

Por definicin de transformada zy tomando z e j, se tiene:

H (z) h(k)z k

k 0

1)H (e j 1T ) h(k)e j 1Tk

k 0

H (e j 1T ) h(k) cosk T j senkT

11

k 0

h(k)cos k 1T j h(k)sen k 1T

k 0k 0

2) H (e j 1T ) h(k)e j 1Tk

k 0

h(k)cos k 1T j h(k)sen k 1T

k 0k 0

de donde se observa que los coeficientes son complejos conjugados. A la funcin H (e j 1T ) se le conoce como funcin de respuesta en frecuencia evaluada en 1 . Por ser compleja, pueden hacerse las definiciones siguientes:

H (e j 1T ) H (e j 1T ) H (e j 1T )H (e j 1T ) H (e j 1T ) H (e j 1T )

de donde puede definirse:

M H ( 1 ) H (e j 1T ) H (e j 1T )

y:

( 1 ) H (e j 1T )(1)H(ej1T)

Por tanto, la respuesta del sistema se determina de acuerdo con el desarrollo mostrado abajo. La respuesta incluye a los elementos transitorios generados por la propia dinmica del sistema, y la respuesta senoidal permanente dependiente de la entrada.

Y (z) 0 1z2z... nzM ()ze jze j

2 j 1

z pz p2z nz e j 1Tz e j 1T

1

Antitransformando:

y(k) (k) 1( p )k2( p2)k... n( pn)kM ( 1 ) e( j1T )e ( j 1T )

012 j

y(k) (k) 1( p )k2( p2)k.... n( pn)kM (1) senT (1)

011

Por lo anterior, se puede concluir que la respuesta en estado estable de un sistema discreto H (z) , para una entrada senoidal de velocidad angular 1 , se define como:

y(k) M ( 1 )sen k 1T ( 1 ),para una k grande

en donde:

M ( 1 ) H (e j 1T )(8.35)

( 1 ) H (e j 1T )

Una comparacin de la seal de respuesta en estado estable con la seal de entrada revelan que ambas son de forma senoidal y frecuencia en radianes 1 . La transmisin de la entrada senoidal a travs del sistema crea uncambio en la magnitud y en la fase.

Si en alguna ocasin fuera requerido un filtro que suprimiera la frecuencia 1 , entonces se tendra que disear un sistema discreto que cumpliera con:H (e j 1T ) 0

Por otra parte, haciendo que un sistema cumpliera con la siguiente caracterstica, se podra amplificar una senoide de la misma frecuencia:H (e jw1T )H (e jw1T ) 1.

El trminoes conocido como factor de ganancia del sistema a la

frecuencia 1 y definela efectividadcon quesetransmite laentrada

senoidal. Similarmente,el factor dengulofase H (e jw1T )mide el

defasamiento que es causado por la operacin del sistema con una entrada senoidal.

Evidentemente, el valor de dichos factores es dependiente del valor de la frecuencia de la seal senoidal de entrada. Genricamente, son funciones continuas de la frecuencia M ( ) y ( ) .

8.8.1 PERIODICIDAD DE H (e jwT )

Una caracterstica particular en los sistemas discretos, es que los factores de ganancia y ngulo son peridicos en relacin con la frecuencia. Es decir,

hay un perodo Esto es porque :

2con respecto al cual el valor de los factores se repiten.

T

e j ( 2) e j T

T

Sin embargo, el enfoque principal que se tiene en sistemas discretos con respecto a la funcin peridica H ( j T ) es solamente en el intervalo

0 T . Esto es porque para valores mayores de frecuencia no se cumple con el teorema de muestreo s T . La figura 8.18 ilustra lo anterior.e j TForma

Im zPolar

0e j 010

ej/4145

34 T

2T

4Te j /2190

2 T

4 T

3 1

j 3 / 4

T4 Te135

Re z1180

e j

T

5 e j5/ 41225

4 T

Zc e( j )T 0ej T3 e j3/ 21270

2 T

2 e j 2 1360

T

Figura 8.18

Segn el teorema del muestreo, si se muestrea con perodo T , la velocidad angula de muestreo es:

s2T

Bajo tal condicin, la velocidad angular de la seal senoidal de entrada (seal muestreada) tiene la siguiente restriccin por el teorema de

muestreo:2 1 21. Este es el valor mximo de velocidad

TT

angular (frecuencia) que puede tener una seal senoidal que se muestra con perodo T .

8.8.2 INTRODUCCIN A FILTROS DISCRETOS.

Un filtro pasa bajas es un dispositivo que permite el paso de seales de tipo senoidal, cuya frecuencia en radianes se encuentra en un rango 0 1 y rechaza seales cuya frecuencia cae fuera de ese rango. La caracterstica de ganancia de un filtro paso bajas ideal se muestra en la figura 8.19.

H (e j T )

1

1

Figura 8.19

2.- Filtro pasa altas:

Un filtro pasa altas es un dispositivo que permite el paso de seales de tipo senoidal cuya frecuencia en radianes se encuentra en el rango: 2 T .

La caracterstica de ganancia de un filtro paso altas ideal se muestra en la figura 8.20.

H (e j T )

1

2

Figura 8.20

3.- Filtro pasa banda:

Un filtro pasa banda es un dispositivo que permite el paso de seales de tipo senoidal cuya frecuencia en radianes se encuentra en el rango:

1 2 , donde 2 T . La caracterstica de ganancia de un filtro paso banda ideal se muestra en la figura 8.21.

H (e j T )

112

Figura 8.21

Conceptos bsicos de la teora de filtros paso bajas.

El objetivo es establecer la ecuacin en diferencias que determine el tipo de comportamiento de un filtro paso bajas. Inicialmente se puede proponer un prototipo muy simple de filtro pasa bajas. Por ejemplo, el sistema caracterizado por la ecuacin en diferencias y funcin de transferencia que se indican a continuacin.

y(k) u(k) y(k 1)

para que la magnitud sea unitaria: 1

As pues, la funcin de transferencia resulta:H (z) (1 )z

z

u(k)H (e j T )y(k)

Figura 8.22

Sustituyendo z por e jwT , se desarrolla lo siguiente:

u(k) sen k T

y(k) H (e jwT ) sen(k T )

H (e jwT )

Para el sistema propuesto, la funcin de respuesta en frecuencia tiene la siguiente expresin:

H (e j T ) (1 )e j T(8.36)

e j T

(1 )(cos T jsen T )

(cos T ) jsen T

De donde resultan las expresiones para los factores de ganancia y fase segn se indica.

H (e j T )(1 )

cos2 T 2cos T 2 sen2 T

(1 )(8.37)

2 1 2cos T

T tan 1sen T

(cos T )

Las ecuaciones 8.37 definen matemticamente la respuesta en frecuencia del filtro; la figura 8.23 muestra el diagrama del factor de ganancia contra la frecuencia para distintos valores del parmetro .

El ancho de banda wc de un filtro pasa bajas se define como el rango de valores de frecuencia dentro del cual se cumple que:

H (e j T )1(8.38)

2

O bien, si el filtro no esta normalizado:

H (e jwT )Max(8.39)

2

Donde Max es el mximo valor que asume la funcin de magnitud. Para este tipo de filtros se establece la relacin de con c de la siguiente forma:

H (e j )1

c2

(1 )1

1 2 2 cos cT2

De donde se despeja la relacin buscada,cuidando ademsque 1

(sistema estable).

(8.40)

2 cos cT (3 cos cT )(1 cos cT )

La ecuacin (8.40) muestra que para una aplicacin especfica, con T definido, debe establecerse el valor de ancho de banda wc y a partir de este valor se debe seleccionar el valor de requerido.