La Transformada de Lapplace

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental

Edgar Jamanca Antonio - Control e Instrumentación de procesos Página 1

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE – EJERCICIOS

Ejercicio Nº 01:

Análisis de señales; señales digitales:

Discretas:

a) Señal Escalón:

𝑓(𝑡) {0; 𝑡 < 0𝐴; 𝑡 ≥ 0

La transformada de Laplace será:

𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐿{𝐴} = 𝐴 𝐿{1(𝑡)}

Entonces:

𝐹(𝑠) = 𝐴.1

𝑠

Donde: A= constante.

Dando Valores; donde A=2:

s F(s)

-10,5 -0,0952381

-9,5 -0,10526316

-8,5 -0,11764706

-7,5 -0,13333333

-6,5 -0,15384615

-5,5 -0,18181818

-4,5 -0,22222222

-3,5 -0,28571429

-2,5 -0,4

-1,5 -0,66666667

-0,5 -2

0,5 2

1,5 0,66666667

2,5 0,4

3,5 0,28571429

4,5 0,22222222

5,5 0,18181818

6,5 0,15384615



7,5 0,13333333

8,5 0,11764706

9,5 0,10526316

9,5 0,10526316

10,5 0,0952381

Grafica Nº 01:

Ejercicio Nº 02

Análisis de señales, Señales Analógicas:

a) Rampa:

Sea la función:

𝑓(𝑡) {0; 𝑡 ≤ 0

𝐴𝑡; 𝑡 > 0


𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐴 𝐿{𝑡}

𝐹(𝑠) = 𝐴.1

𝑠2

Dando valores arbitrarios:

s F(s)

-10,5 0,00907029

-10 0,01

-9,5 0,01108033

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-10 -5 0 5 10

Series1

Serie 2



-9 0,01234568

-8,5 0,01384083

-8 0,015625

-7,5 0,01777778

-7 0,02040816

-6,5 0,02366864

-6 0,02777778

-5,5 0,03305785

-5 0,04

-4,5 0,04938272

-4 0,0625

-3,5 0,08163265

-3 0,11111111

-2,5 0,16

-2 0,25

-1,5 0,44444444

-1 1

-0,5 4

0,5 4

1 1

1,5 0,44444444

2 0,25

2,5 0,16

3 0,11111111

3,5 0,08163265

4 0,0625

4,5 0,04938272

5 0,04

5,5 0,03305785

6 0,02777778

6,5 0,02366864

7 0,02040816

7,5 0,01777778

8 0,015625

8,5 0,01384083

9 0,01234568

9,5 0,01108033

10 0,01

10,5 0,00907029

Grafica Nº 02:



b) Senoidal.

Sea la función:

𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡


𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡}

𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡 𝑑𝑡+∞

0

Integrando por partes:

𝐹(𝑠) = 𝑒−𝑠𝑡 (𝑠. 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡 + 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡

𝑠2 + 𝐴2)

0

+∞

Resolviendo:

𝐹(𝑠) = 𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡} =𝑎

𝑠2 + 𝑎; 𝑠𝑖 𝑠 > 0


-10,5 0,01750547

-10 0,01923077

-9,5 0,02122016

-9 0,02352941

-8,5 0,02622951

-8 0,02941176

-7,5 0,03319502

-7 0,03773585

-6,5 0,04324324

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-11 -6 -1 4 9

Series1

Serie 2



-6 0,05

-5,5 0,05839416

-5 0,06896552

-4,5 0,08247423

-4 0,1

-3,5 0,12307692

-3 0,15384615

-2,5 0,19512195

-2 0,25

-1,5 0,32

-1 0,4

-0,5 0,47058824

0 0,5

0,5 0,47058824

1 0,4

1,5 0,32

2 0,25

2,5 0,19512195

3 0,15384615

3,5 0,12307692

4 0,1

4,5 0,08247423

5 0,06896552

5,5 0,05839416

6 0,05

6,5 0,04324324

7 0,03773585

7,5 0,03319502

8 0,02941176

8,5 0,02622951

9 0,02352941

9,5 0,02122016

10 0,01923077

10,5 0,01750547

Grafica:



c) Cosenoidal.

Sea la función:

𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡


𝐹(𝑠) = 𝐿{𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡 𝑑𝑡+∞

0

Resolviendo:

𝐿{𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡} =𝑠

𝑠2 + 𝐴2; 𝑠𝑖 𝑠 > 0

Dando valores Arbitrarios:

-10,5 -0,09190372

-10 -0,09615385

-9,5 -0,10079576

-9 -0,10588235

-8,5 -0,11147541

-8 -0,11764706

-7,5 -0,12448133

-7 -0,13207547

-6,5 -0,14054054

-6 -0,15

-5,5 -0,16058394

-5 -0,17241379

-4,5 -0,18556701

-4 -0,2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

-11 -6 -1 4 9

Series1



-3,5 -0,21538462

-3 -0,23076923

-2,5 -0,24390244

-2 -0,25

-1,5 -0,24

-1 -0,2

-0,5 -0,11764706

0 0

0,5 0,11764706

1 0,2

1,5 0,24

2 0,25

2,5 0,24390244

3 0,23076923

3,5 0,21538462

4 0,2

4,5 0,18556701

5 0,17241379

5,5 0,16058394

6 0,15

6,5 0,14054054

7 0,13207547

7,5 0,12448133

8 0,11764706

8,5 0,11147541

9 0,10588235

9,5 0,10079576

10 0,09615385

10,5 0,09190372

Grafica:



d) Señales de onda Triangular.

Sea la función:

𝑠𝑖 𝑡 ∈< 0,1 >⟹ 𝑚1 = 1 ⟹ 𝑓(𝑡) = 𝑡

𝑠𝑖 𝑡 ∈< 1,2 >⟹ 𝑚2 = −1 ⟹ 𝑓(𝑡) = 2 − 𝑡

De donde:

𝑓(𝑡) = {𝑡; 𝑠𝑖 𝑡 ∈< 0,1 >

2 − 𝑡; 𝑠𝑖 𝑡 ∈< 1,2 >

Donde f(t) es periódica de periodo p=2

Entonces su Transformada de Laplace será:

𝐿{𝑓(𝑡)} =∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑃

0

1 − 𝑒−𝑝𝑠=

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑃

0

1 − 𝑒−2𝑠=

1

1 − 𝑒−2𝑠[∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑠𝑡(2 − 𝑡)𝑑𝑡

2

1

1

0

]

𝐿{𝑓(𝑡)} =1

1 − 𝑒−2𝑠[(−

𝑡

𝑠−

1

𝑠2) 𝑒−𝑠𝑡 ∕

10

+ (𝑡

𝑠+

1

𝑠2−

2

𝑠) 𝑒−𝑠𝑡 ∕

21

]

Reemplazando:

𝐿{𝑓(𝑡)} =1

1 − 𝑒−2𝑠(

𝑒−2𝑠 − 2𝑒−𝑠 + 1

𝑠2) =

1 − 𝑒−𝑠

𝑠2(1 + 𝑒−𝑠)=

1

𝑠2𝑡𝑔ℎ (

𝑠

2)

Entonces

𝐿{𝑓(𝑡)} =1

𝑠2𝑡𝑔ℎ (

𝑠

2)

Donde:

𝑡𝑔ℎ 𝑡 =𝑒𝑡 − 𝑒−𝑡

𝑒𝑡 + 𝑒−𝑡=

𝑒2𝑡 − 1

𝑒2𝑡 + 1=

1 − 𝑒−2𝑡

1 + 𝑒−2𝑡

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-11 -6 -1 4 9

Series1




s F(s)

0,5 3,52269756

1 0,76745584

1,5 0,32888238

2 0,19149018

2,5 0,12986118

3 0,09534167

3,5 0,07326537

4 0,05800496

4,5 0,04694147

5 0,03866149

5,5 0,03231784

6 0,02736568

6,5 0,02343769

7 0,02027801

7,5 0,01770407

8 0,01558308

8,5 0,0138169

9 0,01233197

9,5 0,01107245

10 0,00999546

10,5 0,00906767

Grafica:

-0.4

0.1

0.6

1.1

1.6

2.1

2.6

3.1

3.6

-1 1 3 5 7 9 11

Series1



e) Señales de Onda Cuadrada.

Sea f(t) una función periódica de p= 2es decir:

𝑓(𝑡) = {1 𝑠𝑖 0 < 𝑡 < 1

−1 𝑠𝑖 − 1 < 𝑡 < 2

Donde:

𝑓(𝑡 + 2) = 𝑓(𝑡), ∀ 𝑡

Entonces la transformada de Laplace es:

𝐿{𝐹(𝑡)} =∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡

𝑝

0

1 − 𝑒−𝑝𝑠=

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡2

0

1 − 𝑒−2𝑠=

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡2

1

1

0

1 − 𝑒−2𝑠

𝐿{𝐹(𝑡)} =∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

2

1

1

0

1 − 𝑒−2𝑠

𝐿{𝐹(𝑡)} =𝑒−2𝑠 − 2𝑒−𝑠 + 1

𝑠(1 − 𝑒−2𝑠)=

(1 − 𝑒−𝑠)2

𝑠(1 − 𝑒−2𝑠)=

1 − 𝑒−𝑠

𝑠(1 − 𝑒−𝑠)=

𝑒𝑠 − 1

𝑠(𝑒𝑠 + 1)=

1

𝑠𝑡𝑔 (

𝑠

2)

Entonces:

𝐿{𝐹(𝑡)} =1

𝑠𝑡𝑔 (

𝑠

2)


s F(s)

0,5 0,48983732

1 0,46211716

1,5 0,42343263

2 0,38079708

2,5 0,33931346

3 0,30171608

3,5 0,26896444

4 0,2410069

4,5 0,21733914

5 0,19732286

5,5 0,18033813

6 0,16584246

6,5 0,15338425

7 0,14259684

7,5 0,13318593

8 0,12491616

8,5 0,11759919

9 0,11108369

9,5 0,1052474

10 0,09999092



10,5 0,09523285

Grafica:

f) Señales de onda Diente de Serrucho.

Según la función periodica F(t) donde es p=A, si t pertenece [0,a], entonces m=tg Ѳ.

Luego la función es: F(t)=t.tgѲ, con periodo p=a.

La transformada de Laplace es:

𝐿{𝐹(𝑡)} = 𝐿{𝑇𝑔 𝜃. 𝑡} =∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑔𝜃. 𝑡 𝑑𝑡

𝑎

0

1 − 𝑒−𝑎𝑠=

𝑡𝑔 𝜃

1 − 𝑒−𝑎𝑠∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡

𝑎

0

=𝑡𝑔 𝜃

1 − 𝑒−𝑎𝑠(

1 − 𝑒𝑎𝑠 − 𝑎𝑠𝑒−𝑎𝑠

𝑠2)

Entonces:

𝐿{𝐹(𝑡)} =𝑡𝑔 𝜃(1 − 𝑒𝑎𝑠 − 𝑎𝑠𝑒−𝑎𝑠)

𝑠2(1 − 𝑒−𝑎𝑠)


Donde Ѳ=30, A= 2:

s F(s)

0,5 -4,27958735

1 -3,28981515

1,5 -2,16636747

2 -1,42804214

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

-1.5 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.5

Series1



2,5 -0,97679433

3 -0,69762098

3,5 -0,51859638

4 -0,39899064

4,5 -0,3158833

5 -0,25607367

5,5 -0,21170051

6 -0,17791056

6,5 -0,15160033

7 -0,13071931

7,5 -0,11387196

8 -0,1000831

8,5 -0,08865503

9 -0,07907814

9,5 -0,07097319

10 -0,06405331

10,5 -0,05809824

Grafica:

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

-1.5 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.5

Series1

La Transformada de Lapplace

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