``La transformada de Laplace`` Prof. Gil Sandro Gómez. 1 Unidad 5. La transformada de Laplace Introducción. En nuestro curso de cálculo elemental aprendimos que la derivación y la integración son transformadas, es decir, que estas operaciones transforman una función en otra. Estas transformadas poseen la propiedad de linealidad, de que la transformada de una combinación lineal de funciones; es una combinación lineal de las transformadas. En este capítulo analizaremos un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene otras propiedades muy importantes para resolver problemas con valores iniciales. Es necesario revisar los conceptos de las integrales impropias que aprendimos en nuestro curso de cálculo II, para tener un buen desempeño en este tema. Es importante también, revisar nuestro conocimiento de la técnica de fracciones parciales que hemos estudiado en el álgebra lineal. 5.1 Definición. Transformada de Laplace Sea una función definida para ≥ 0, la transformada de Laplace de () se define como () ~ (1) f t dt -st 0 L(f(t))= e siempre que converja la integral. Cuando la integral (1) converge, el resultado es una función de . La transformada de Laplace se puede escribir también como (). Una de las principales propiedades de la transformada de Laplace es la linealidad. Esto nos dice que la transformada de Laplace un operador lineal. Linealidad de la transformada Teorema 5.1. Sean , 1 y 2 funciones cuyas transformadas de Laplace existen para > y sea una constante. Entonces, para > , 1 2 1 2 ~ (2) ~ (3) f f f f cf c f L L L L L
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``La transformada de Laplace``
Prof. Gil Sandro Gómez. 1
Unidad 5. La transformada de Laplace
Introducción.
En nuestro curso de cálculo elemental aprendimos que la derivación y la
integración son transformadas, es decir, que estas operaciones transforman
una función en otra. Estas transformadas poseen la propiedad de linealidad,
de que la transformada de una combinación lineal de funciones; es una
combinación lineal de las transformadas. En este capítulo analizaremos un tipo
especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además
de la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene otras
propiedades muy importantes para resolver problemas con valores iniciales.
Es necesario revisar los conceptos de las integrales impropias que aprendimos
en nuestro curso de cálculo II, para tener un buen desempeño en este tema.
Es importante también, revisar nuestro conocimiento de la técnica de
fracciones parciales que hemos estudiado en el álgebra lineal.
5.1 Definición. Transformada de Laplace
Sea 𝑓 una función definida para 𝑡 ≥ 0, la transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) se
define como
( ) ~ (1)f t dt
-st
0L(f(t))= e
siempre que converja la integral.
Cuando la integral (1) converge, el resultado es una función de 𝑠.
La transformada de Laplace se puede escribir también como 𝐹(𝑠).
Una de las principales propiedades de la transformada de Laplace es la
linealidad. Esto nos dice que la transformada de Laplace un operador lineal.
Linealidad de la transformada
Teorema 5.1. Sean 𝑓, 𝑓1 y 𝑓2 funciones cuyas transformadas de Laplace existen
para 𝑠 > 𝛼 y sea 𝑐 una constante. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,
1 2 1 2 ~ (2)
~ (3)
f f f f
cf c f
L L L
L L
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Condiciones suficientes para la existencia de la transformada
La integral que define la transformada de Laplace no tiene que converger. Un
ejemplo concreto son las funciones 𝑓 𝑡 = 1/𝑡 la cual decrece rápidamente
cuando 𝑡 → 0, de forma similar no existe una transformada para 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡2 que
crece de manera veloz cuando 𝑡 → ∞. Las condiciones suficientes que
garantizan la existencia de ( )L f t son que 𝑓 sea continua por partes en
0, ∞ y que 𝑓 sea de orden exponencial para 𝑡 > 𝑇.
Continuidad por partes
Definición. Una función 𝑓(𝑡) es continua por partes en un intervalo finito [𝑎, 𝑏] si
𝑓(𝑡) es continua en cada punto de [𝑎, 𝑏] excepto en un número finito de
puntos donde 𝑓(𝑡) tiene una discontinuidad de salto.
Una función 𝑓(𝑡) es continua por partes en [𝟎, ∞) si 𝑓(𝑡) es continua por partes
en [0, 𝑁] para todo 𝑁 > 0.
Orden exponencial
Definición. Una función 𝑓(𝑡) es de orden exponencial 𝛽 si existen constantes
positivas 𝑇 y 𝑀 tal que
𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒𝛽𝑡 , para toda 𝑡 ≥ 𝑇.
Ejemplo 1. Determine si la función dada es de orden exponencial en 0, ∞ )
𝑓 𝑡 = 𝑡2
Vamos a realizar un análisis gráfico para determinar si la función dada es de
orden exponencial o no.
x
y
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La gráfica azul representa a 𝑓 𝑡 = 𝑡2 y la roja la de 𝑔 𝑡 = 𝑒𝑡
Para 𝑀 = 1 y 𝛽 = 1.
Como podemos observar, 𝑔(𝑡) crece más rápido que 𝑓 𝑡 , por tanto es de
orden exponencial.
Teorema 5.2 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada
Si 𝑓(𝑡) es continua por partes en [𝟎, ∞) y de orden exponencial 𝛽, entonces
( )L f t existe para 𝑠 > 0.
Teorema 5.3. Comportamiento de 𝑭(𝒔) cuando 𝒔 → ∞.
Si 𝑓 es continua por partes en (0, ∞) y de orden exponencial y 𝐹 𝑠 = ( )L f t ,
entonces lim ( ) 0s
F s
.
Tabla 5.1 Transformadas de Laplace de algunas funciones básicas
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
𝑘, 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝐾
𝑠, 𝑠 > 0
𝑒𝑎𝑡 1
𝑠 − 𝑎, 𝑠 > 𝑎
𝑡𝑛 , 𝑛 = 1, 2, … 𝑛!
𝑠𝑛+1, 𝑠 > 0
𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑏
𝑠2 + 𝑏2, 𝑠 > 0
cos(𝑏𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑏2, 𝑠 > 0
𝑒𝑎𝑡 𝑡𝑛 𝑛!
(𝑠 − 𝑎)𝑛+1, 𝑠 > 𝑎
𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2, 𝑠 > 𝑎
𝑒𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) 𝑠 − 𝑎
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2, 𝑠 > 𝑎
5. 2 Propiedades de la transformada de Laplace
No siempre es conveniente usar la definición para hallar la transformada de
Laplace de 𝑓(𝑡). Como es sabido por todos, para determinar la transformada
de Laplace de una función es necesario resolver una integral por partes, que
en algunas ocasiones resulta un poco tedioso. Analizaremos algunas
propiedades de la Transformada de Laplace que agilizan el cálculo. Estas
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propiedades nos permitirán aplicar la transformada de Laplace para resolver
problemas con condiciones iniciales.
Teorema 5.4 Traslación en el eje 𝑺
Si la transformada de Laplace ( ) ( )L f t F s existe para 𝑠 > 𝛼, entonces
( ) ( ) ~ (1)L ate f t F s a
para 𝑠 > 𝛼 + 𝑎.
Teorema 5.5 Transformada de Laplace de la derivada
Sea 𝑓(𝑡) continua en [0, ∞) y 𝑓 ′(𝑡) continua por partes en [0, ∞), ambas de
orden exponencial 𝛼. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,
'( ) ( ) (0) ~ (2)L Lf t s f t f .
Teorema 5.6 Transformada de Laplace de derivadas en orden superior
Sean 𝑓 𝑡 , 𝑓 ′ 𝑡 , … , 𝑓 𝑛−1 (𝑡) continuas en [0, ∞) y sea 𝑓 𝑛 (𝑡) continuas por
partes en [0, ∞), con todas estas funciones de orden exponencial 𝛼. Entonces,
para 𝑠 > 𝛼,
( ) 1 2 1( ) ( ) (0) '(0) ... (0) ~ (3).L Ln n n n nf t s f t s f s f f
Los teoremas 5.5 y 5.6 nos muestran la ventaja que tiene utilizar la transformada
de Laplace, porque una ecuación diferencial, la transformamos en una
ecuación algebraica bastante simple.
Teorema 5.7 Derivadas de la Transformada de Laplace
Sea ( ) ( )LF s f t y suponga que ( )f t es continua por partes en [0, ∞) y de
orden exponencial 𝛼. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,
( ) ( )( ) ( ) ( 1) ~ (4).L
nn n
n
d F sF s t f t
ds
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Tabla 5.2 Propiedades de la transformada de Laplace
( ) ( ) ( )L L Lf g f g
( ) ( )L Lcf c f para cualquier constante c .
( ) ( )L ate f t F s a
'( ) ( ) (0)L Lf t s f t f
2''( ) ( ) (0) '(0).L Lf t s f t sf f
( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) (0) '(0) ... (0).L Ln n n n nf t s f t s f s f f
( ) ( ) ( 1) ( )Ln
n n
n
dt f t F s
ds
5.3 La transformada inversa de Laplace
Definición. Si 𝐹(𝑠) es la transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡), es decir,
( ) ( )L f t F s , decimos entonces que 𝑓(𝑡) es la transformada de Laplace
inversa de 𝐹(𝑠) y se escribe 1( ) ( )Lf t F s .
Teorema 5.8 Linealidad de la transformada inversa
Si 1 1
1L , LF F y 1
2L F existen y son continuas en [0, ∞) y sea 𝑐 cualquier
constante. Entonces
1 1 1
1 2 1 2
1 1
~ (1),
~ (2).
L L L
L L
F F F F
cF c F
Ejemplo 2. Encuentre la función 𝑓(𝑡) cuya transformada de Laplace es,
1
2
1 1 1
2L
s s s
Primero apliquemos el teorema 5.8 y luego el concepto de transformada
inversa de Laplace.
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2L L L L
s s s s s s
, entonces
𝑓 𝑡 = 𝑡 − 1 + 𝑒2𝑡
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5.4 Solución de Problemas con Valores Iniciales
Hasta este momento habíamos tratado el tema de la transformada de
Laplace, pero todo eso era para llegar al objetivo principal, que es, resolver
ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales sin tener que encontrar
primero la solución general como hacíamos en el inicio de nuestro curso.
Otras aplicaciones que podemos hacer de la transformada de Laplace es
determinar la solución de una ecuación diferencial con coeficientes variables
de una forma sencilla, así como resolver ecuaciones integrales, sistemas de
ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales parciales.
Método de transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales
con valores iniciales.
Para resolver una ecuación diferencial con condiciones iniciales realizamos los
siguientes pasos:
a. Aplique la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación.
b. Use las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones
iniciales para obtener una ecuación para la transformada de Laplace de la
solución y luego despeje la transformada en esta ecuación.
c. Determine la transformada de Laplace de la solución, buscándola en una
tabla o usando un método apropiado (como fracciones parciales) junto
con la tabla.
Ejemplo 3. Utilizando transformada de Laplace resuelva el problema con
condiciones iniciales.
𝑦′′ − 4𝑦′ = 6𝑒3𝑡 − 3𝑒−𝑡 , 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 0 = −1~(2)
Apliquemos la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación dada