1 La perspectiva (Matemáticas y Arte) Ciclo de Talleres Matemáticas en acción, 2005-2006 Fernando Etayo Gordejuela Departamento de MATESCO. Facultad de Ciencias [email protected]
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La perspectiva(Matemáticas y Arte)
Ciclo de TalleresMatemáticas en acción, 2005-2006
Fernando Etayo GordejuelaDepartamento de MATESCO. Facultad de Ciencias
2
• Scientia sine arte nihil est;
ars sine scientia nihil est.
(Jean Vignot, 1392)
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El problema esencial
Representar los objetostridimensionales en un
plano. ¿Qué ley matemática es la que
permite saber si larepresentación es
“fiel”?
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…para que no nos ocurra esto:
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La geometría proyectiva describe lo que vemosLas paralelas no se cortan, pero las vemos cortarse:
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Visión ocular
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Así vemos
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Proyección cónica
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Leyes de perspectiva
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La perspectiva es muy natural (1)
Tan acostumbrados estamos que el rectángulo de arriba parece mucho mayor que el de abajo, cuando en realidad son iguales; automáticamente pensamos que el dibujo está en perspectiva.
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La perspectiva es muy natural (y 2)
• Ilusión de Ponzo(1913): es el mismo fenómeno.
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Los diseños de Beever:si miramos desde aquí…
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¿Qué Matemáticas hay detrás?
La geometría descriptiva y proyectiva
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Guión
• Antecedentes: los griegos• La perspectiva en el Renacimiento• Las técnicas• El punto de vista y el horizonte• Perspectiva y profundidad• Perspectiva y distancia• Arquitectura pictórica y Perspectiva forzada• La geometría proyectiva• Otras aplicaciones
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Antecedentes: los griegos
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El PartenónTodas las columnas parecen igualmente separadas…
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• …pero no lo están: las más alejadas del observador están más separadas entre sí, y están curvadas para que parezcan rectas.
• Si se construyera como se quiere que se vea (figura 1) se vería como la figura 2, por lo que realmente está construido como la figura 3.
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Muy breve Historia de la óptica (1)
• Euclides (siglo IV-siglo III): "Optica" y "Catróptica", aparecen observaciones geométricas tan importantes como la propagación rectilínea de la luz, que él consideraba como un tentáculo lanzado desde el ojo hasta el objeto. Y las leyes de reflexión y refracción.
• Herón (siglo II a. C. Alejandría ) Estudió los espejos
planos, cóncavos y convexos.
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Muy breve Historia de la óptica ( 2)
• Séneca (3 a 65 d.C.) fue el primero en mencionar la capacidad amplificadora de las lentes convergentes al describir como se veían las cosas a través de un globo de vidrio lleno de agua. Describe los colores que se ven a través de un prisma transparente.
• Tolomeo (siglo II d.C. Alejandría), en su “Libro quinto de óptica” informa de la construcción de un aparato para medir con exactitud los ángulos de incidencia y de refracción e intentó obtener una relación entre los ángulos de incidencia y de refracción, aunque no logró formular las leyes.
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Muy breve Historia de la óptica (3)
• Al-Haitham, (965-1039) conocido en occidente como Alhazen. Es considerado el padre de óptica moderna.
Fue uno de los físicos más eminentes y sus aportaciones al sistema óptico y a los métodos científicos fueron enormes. Hizo importantes adelantos en la óptica de lentes y de espejos, realizó numerosos estudios (sombras, eclipses, naturaleza de la luz).
• Contradiciendo la teoría de Tolomeo y de Euclides de que el ojo emite los rayos visuales a los objetos, él considera que son los rayos luminosos los que van de
los objetos al ojo
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Perspectiva en Grecia y Roma
• De Grecia no se conserva, pero sí de Roma, como este mural pompeyano del siglo II dC. Tiene algún punto de fuga, pero no es una perspectiva completa.
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La perspectiva en el Renacimiento
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Pintura medieval: la perspectiva es jerárquica o se realiza en diferentes planos
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Giotto: Jesús ante Caifás (1305) perspectiva inconsistente todavía
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Gentile di Fabriano: La Presentación en el templo (1423)
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Van Eyck (1390 - 1441): todavía no hay dominio completo de la perspectiva
La Madonna del Canónigo van der Paele.Dos líneas del horizonte
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Masolino: La curación del tullido y la resurección de Tabitha (1425)
Punto de fuga central
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Los “teóricos”
• Giotto• Masaccio: Trinidad, 1426
• Alberti: Sobre la Pintura, 1435.
• Brunelleschi: los experimentos
• Piero della Francesca:De prospectiva pingendi
• Leonardo: Perspectiva aérea
• Pelerin (Viator): De
Artificiali perspectiva, 1505.
• Durero: Manual de mediciones con compás
y escuadra de líneas, planos y cuerpos sólidos,
1525.
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Leone Battista Alberti en 1435:
• ¿Qué se conserva por proyección, si no lo hacen ni la longitud ni los ángulos?
• ¿Qué relación hay entre dos secciones de la misma figura?
• ¿Cuáles son las propiedades comunes a dos secciones cualesquiera?
NACE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
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Alberti: Sobre la Pintura, 1435.
• ... uno de los escritos fundadores de la cultura de Occidente...
Hubert DamischEl origen de la perspectiva, Alianza, 1997, p.19
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Alberti fue el arquitecto de Santa María Novella en Florencia
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Miguel de Alcañiz (1410) y Masaccio (1435)
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Comparación de perspectivas
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Leonardo (1452-1519): La Última CenaEl punto de fuga tiene significación especial
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Rafael: La escuela de AtenasEl punto de fuga no tiene significación especial
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Dominio técnico: las circunferencias se ven como elipses
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Holbein: La sagrada Familia con San Joaquín y Santa Ana (1518-19)
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Se trabajan otros materiales:
Taracea del palacio Ducal de Urbino (s. XV) y
Puerta del paraíso del bapstisterio de Florencia (Ghiberti, s. XV)
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Las técnicas
Velo de AlbertiExperimentos de BruneleschiCámara oscura
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Velo de Alberti
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Velo de Alberti instrumentos para hacer perspectivas
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Para hacer perspectivas: red
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Durero (1471-1528)
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Durero
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• • Jean Pelerin (Viator): dibujo de su libro de perspectiva (1505)
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Los experimentos de Bruneleschi (1377-1446)
Santa Mª dei Fiori (Bruneleschi)
Campanile (Giotto)
Battisterio (puertas de bronce de Ghiberti)
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Primer experimento
• Se trata de ver que un cuadro reproduce fielmente la realidad: se pinta un cuadro, se hace un pequeño agujero, se coloca un espejo delante, de modo que se vea el cuadro, y se retira el espejo: lo que se ve debe ser lo mismo que se veía en el cuadro.
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Esto es lo que hace a menudo Magritte (1898-1967)
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Segundo experimento
• Quería obtener una vista del Palacio de la Señoría de modo que se vieran las dos fachadas.
• ¿Dónde debía colocarse el pintor?
• ¿Cómo debía ser la perspectiva?
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La solución:
Con dos puntos de fuga.
Determinan la línea del horizonte
(= recta del infinito)
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Cámara oscura
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Cámara oscura
• Hacia 1850 • 1685: Cámara oscura de Johannes Zahn
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Camera Obscura, Georg Friedrich Brander (1713 - 1785), 1769
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¿La usaba Vermeer de Delft (1632-1675)?
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... ¿y Canaletto (1697-1768)?
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Fotografía estenopeica o cámara pinhole (“Agujero de alfiler”)
• Es una cámara fotográfica compuesta por una cámara oscura sin lente. Se emplearon desde mediados del XIX, y se usan para fotografía artística. Tienen un orificio muy pequeño y en el fondo se coloca película que impresiona la luz.
• Tiene profundidad de campo infinita, aunque es muy poco luminosa
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Imagen con cámara estenopeica: no se curvan las líneas
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El punto de vista y el horizonte
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Nuevos puntos de vista: El dominio de la perspectiva propició la búsqueda de nuevos puntos de vista.
Piero della Francesca (1420-1492): La Flagelación
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Mantegna (1431-1506): Santiago conducido al suplicio y Cristo muerto
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Horizontes alto y bajo
Alto• El pintor y, por tanto, el
espectador se encuentran muy encima de la escena, y, en el suelo del primer término, da la impresión que pueden verse los propios pies.
• Las formas están muy jerarquizadas e individualizadas por sus diferentes tamaños, intuyéndose el espacio entre ellas.
• Es utilizado por los pintores flamencos.
Bajo• Predominan las horizontales.• Las formas y las figuras
están comprimidas, dando la impresión de poco espacio entre ellas.
• Es utilizado por los pintores italianos.
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Horizonte muy alto
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Horizonte alto
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Horizonte bajo
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Horizonte muy bajo
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Cuando la parte superior del objeto está a la altura del observador, esa parte superior
coincide con la línea del horizonte y las líneas de fuga son horizontales.
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Bruegel (1525-69): Cazadores en la nieve.Horizonte muy alto
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Bruegel: La Torre de Babel. Horizonte muy alto
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Caillebotte (1848-1894): Los lijadores del parquet.
Horizonte muy alto
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Antonio López (1936): Lavabo y espejoHorizonte muy alto
• Es unión de dos perspectivas: hacia abajo y hacia el frente, como si se tratará de dos fotografías superpuestas o de un rápido movimiento de cabeza.
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Canaletto (1697-1768)Horizonte bajo: un poco más alto que las
personas
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Tintoretto (1518-1594): Las Bodas de Caná.Horizonte bajo
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Millet (1815-1875): Angelus.Horizonte bajo
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Antonio López (1936): La Gran Vía¿el pintor estaba de pie o sentado?
• El horizonte donde las líneas de fuga son horizontales.
• La Gran Vía está en cuesta.
• Está de pie.
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Perspectiva y profundidad
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La primera noción: lo más lejano se ve más pequeño
Toros de Lascaux
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Tebas. Valle de los Reyes. Tumba Menna
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¿Cómo manifestar la profundidad en un cuadro? (1)
Piero della Francesca (1420-1492): Ciudad Ideal de Urbino
Por medio de la PERSPECTIVA
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¿Cómo manifestar la profundidad en un cuadro? (2)
Vermeer de Delft (1632-1675): Vista de Delft
La LUZ que ilumina la torre de la Iglesia Nueva, aprovechando el cielo nublado, es la que da profundidad
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La luz
Si la parte más alejada del cuadro está más luminosa el cuadro gana profundi-dad. Esta técnica ha sido muy utilizada.
Manet (1832-1883): Le Dejeuner sur l'herbe
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¿Cómo manifestar la profundidad en un cuadro? (3)
Con el COLOR. Paisaje de Carlos Haes, pintor belga que introduce la pintura al aire libre en España. El aire en grandes masas proporciona un tono azul. Esta observación hecha en grandes paisajes abiertos, establece una gradación en las montañas que las va tornando más azules, mientras más alejadas. El color local o propio que se percibe en las tierras próximas, se va transformando en un valor más claro y transparente, de matices azulados y poco saturados.
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Perspectiva aérea
Trata de fijar reglas para realizar paisajes de fondo de una manera realista. Empezó Leonardo, y se basa en tres técnicas principales:
• “Sfumatto”, esto es, desvanecimiento del detalle.
• Colores en el fondo azulados, semejantes a los de la atmósfera.
• Disminución del volumen de los objetos del fondo.
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¿Cómo manifestar la profundidad en un cuadro? (4)
• Haciendo volumen, por ejemplo, por medio del escorzo.
Caravaggio (1571-1610): Conversión de san Pablo
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Perspectiva y distancia
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Visión binocular
• La visión binocular transmite al cerebro dos imágenes procedentes de los dos ojos. En el caso de un objeto situado en el infinito, las dos imágenes son similares. Si se trata de un objeto cercano (del orden de un metro), es observado por los dos ojos bajo ángulos distintos. Este fenómeno permite apreciar la profundidad.
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Visión binocular
88
¿A qué distancia están las estrellas de Orión?
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La paralaje: cómo medir las distancias a las estrellas
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Arquitectura pictórica yPerspectiva forzada
•Techos y bóvedas•Arquitectura pictórica•Perspectiva forzada
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Perspectiva de techos y bóvedas: el espectador está muy abajo
• Lodovico Cigoli: La
Inmaculada
Concepción, 1610-
1612 (Santa María la Mayor, Roma)
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… lo mismo que se hace con las señales de tráfico puestas sobre la carretera
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En ocasiones se hace de modo que parezca que continúa la edificación: “trompe l’oeil”.
Andrea Pozzo (1642-1709): “La apoteosis de San Ignacio”
en la Iglesia de San Ignacio, Roma.
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Pere Borrell del Caso (1835-1910): “escapando de la crítica”
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Arquitectura pictórica
• Se cultiva en el Renacimiento, pero sobre todo, en el Barroco.
• Trata de presentar la obra arquitectónica como una pintura: Tiene en cuenta el punto de vista del espectador, que al contemplarla no la vea frontalmente, sino en perspectiva, con escorzos, con puntos de fuga...
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Scala Regia (Bernini), Roma:
• Se logra mayor profundidad dejando espacios horizontales.
• Utilización de juegos de luz: alternan partes oscuras y partes iluminadas lateralmente.
• Al final del todo, en la parte oscura, la ventana define el punto de fuga central.
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Se busca el infinito...
• Columnata de San Pedro (Bernini), Roma
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Se busca el infinito... Galería Uffizi (Florencia)
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Plaza de San Pedro (Roma): el obelisco impide verla desde el centro
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Plaza de España (Roma):la escalinata induce la perspectiva
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Se colocan columnas delante de los edificios
• Iglesia de San Carlos Borromeo (Viena), construida por Johann Bernhard
Fischer Von Erlach
• De modo natural
se busca el infinito.
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Se colocan grandes fachadas en calles estrechas:
sólo se pueden ver en perspectiva
• Iglesia de los teatinos (Frauenkirche), Munich.
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Se ondulan las fachadas, dando impresión de movimiento
• “San Carlos de las cuatro fuentes”, Roma (Borromini)
• Basílica de San Miguel (Nunciatura), Madrid
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Perspectiva forzada: Un ejemplo...
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... que se explica así
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Una perspectiva forzada: Teatro Olímpico de Palladio (1508-1580) en Vicenza
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Perspectiva forzada habitación de Ames:todas las personas tienen igual
altura, pero techo y suelo convergen
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… pero que ya había sido usada en el pasado:
Galería de Bernini en el Palacio Spada de Roma
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La perspectiva forzada hoy...
... es utilizada en películas, parques temáticos, etc.
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CARACTERÍSTICAS DEL ARTE (SIGLOS XV A XVII)
S. XV Renacimiento
S. XVI Manierismo
S. XVII Barroco
Geométrico: “lo que es” Perspectiva
Luz Color
Escorzo Diagonales
Óptico: “lo que se ve”
Lineal (perfilado, escultórico
táctil)
Pictórico (contornos
menos definidos)
Rafael, Leonardo Miguel Ángel, Durero Holbein Florencia
Tiziano Rubens,
Rembrandt, Velázquez Roma
Venecia
Forma múltiple:
cada parte es en sí misma completa
Forma única: la obra tiene unidad y la
partes cobran sentido sólo respecto del
total
Estático Acabado (forma cerrada)
Dinámico, movimiento Incompleto
(forma abierta)
Espectador Escultura: cara
principal
Actor Escultura: no
hay orientación preferente Escultura pictórica
Arquitectura
pictórica: fugas, trampantojos,...
Geometría Proyectiva: Desargues (1591-1661)
Pascal (1623-1662)
Óptica Lippershey (1608), Galileo
Huyghens, Römer: telescopio Van Leeuwenhoek (1668),
Hooke: microscopio Newton (1665): espectro de
la luz blanca y (1673) telescopio reflector
Pintura: impresionismo
Escultura: Rodin
Arquitectura: Modernismo
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• Bernini:Éxtasis de Santa Teresa
Escultura pictórica:• Tiene casi “un
único” punto de vista posible
• Se representan luz y nubes, inimaginables hasta entonces en la escultura
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Pintura escultórica: “el color no es imprescindible”
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Monet (1840-1928 ): “Imprensión: Amanecer”
Pintura “pictórica”
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Desargues y Pascal
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La Geometría Proyectiva
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El espacio proyectivo
• Se obtiene añadiendo al afín los puntos del infinito (que forman un hiperplano):
• El plano proyectivo es el plano afín unión la recta del infinito (donde se “cortan las paralelas”).
• La recta proyectiva es la recta afín con el punto del infinito.
• Las propiedades proyectivas son las invariantes por proyecciones y secciones.
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Secciones cónicas
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Las cónicas se distinguen por su posiciónrespecto de la recta del infinito
• Elipse
• Hipérbola
• Parábola
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Evolución histórica (1)
GEOMETRÍA Y ARTE (s XV-XVIII)
• Explica la perspectiva (arte, fortificaciones, cámara oscura,…)
GEOMETRÍA PURA (s XIX)
• Es un modelo unificador y homogéneo (e.g., las cónicas, la no existencia de paralelismo).
• Tiene grandes propieda-des (e.g. la dualidad).
• “Abarca” todas las geometrías conocidas: euclídea, elíptica e hiperbólica.
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Evolución histórica (2)
• GEOMETRÍAS ALGEBRAICA Y NUMERATIVA (s XIX-XX)
• VARIABLE COMPLEJA (s XIX)
• GEOMETRÍA DIFERENCIAL (s XX)
• TOPOLOGÍA (s XX)
• DISEÑO GEOMÉTRICO ASISTIDO POR ORDENADOR (s XX-XXI)
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Dualidad:Brianchon y Pascal
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Pappus y Desargues: conmutatividad y asociatividad
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El quinto postulado de Euclides: por un punto exterior a una recta sólo puede
trazarse una paralela
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Geometrías no euclídeas: elípticas e hiperbólicas
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¿Qué forma tiene el Universo?
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La forma del Universo está relacionada con su evolución
• Elíptica: el universo se contrae
• Hiperbólica: el universo se expande
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Otras aplicaciones de laGeometría Proyectiva:
SombrasVisíon artificialCartografíaTACFotografía aérea para cartografíaCriptografía
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Las sombras producidas por una fuente de luz puntual vienen determinadas por
una proyección cónica: es el mismo problema
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Samuel van Hoogstraten, The Shadow Dance, 1675
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Las sombras chinescas:antecedente del cine
Las sombras chinescas son siluetas proyectadas sobre un fondo de tela blanco. Es el juego de sombras que podemos hacer con las manos, con cartón o otros materiales, sobre una superficie que sirva como pantalla. En las sombras chinescas tradicionales el público se coloca delante de la pantalla y los titiriteros se colocan detrás de la pantalla. Las sombras se manejan entre la luz y la pantalla.
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La perspectiva se emplea en visión artificial
• Los problemas de visión descritos en el arte (la perspectiva) se repiten en el tratamiento informático: todos los programas que proporcionan imágenes virtuales requieren de un tratamiento geométrico. La visión “más real” se obtiene cuando se realiza una proyección cónica (la de la ilustración es caballera, no es cónica).
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NURBS
• Imagen creada por ordenador mediante NURBS (Non-UniformRational B-Splines) , los cuales se basan en la geometría proyectiva (su propiedad esencial es que son invariantes por transformaciones proyectivas).
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Proyección estereográfica
Es la restricción de una proyección cónica a los puntos de una esfera.
El plano base suele ser tangente en el punto antipodal o ecuatorial respecto de él
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Mapas de la Tierra
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Proyecciones cilíndrica y Mercator
• La proyección cilíndrica es la proyección cónica desde el centrod e la Tierra sobre un cilindro tangente a la esfera ,que luego se desarrolla.
• La de Mercator es una modificación de la anterior, que consigue que las direcciones de rumbo constante (loxodromas) sean rectas.
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Comparación Mercator-estereográfica
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Tomografía Axial Computerizada
• Si se hace una foto de un objeto se obtiene una proyección plana del mismo.
• ¿Cómo se puede obtener idea del volumen?
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• Realizando muchas fotos desde distintas posiciones. La Estereología es la ciencia que se dedica a este tema.
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Fotografía aérea para cartografía
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Hay que corregir el efecto de la perspectiva
• Queríamos:
• Obtenemos:
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Criptografía
• Se utilzan planos proyectivos finitos en teoría de códigos (código corrector de errores de Hamming): un mensaje es una sucesión de 0’s y 1’s. La distancia de Hamming entre dos mensajes es el número de dígitos en que varían.
• Plano de Fano (sobre el cuerpo {0,1}).
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• “Entre todas las grandes ramas de las matemáticas, la certeza de sus demostraciones eleva de forma preeminente las mentes de los investigadores. La perspectiva, por tanto, debería preferirse a todas las disciplinas y discursos del hombre. En este tema, los rayos visuales se elucidan por medio de demostraciones cuya gloria no sólo deriva de las matemáticas, sino también de la física; la una se adorna con las flores de la otra por igual”.
Leonardo da Vinci
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Fernando Etayo: “La perspectiva (Matemáticas y Arte)”. Bibliografía recomendada Sobre la base matemática de la perspectiva usada en el arte: Hubert Damisch: El origen de la perspectiva. Alianza, Madrid, 1997. Martin Kemp: La ciencia del arte. La óptica en el arte occidental de Brunelleschi a Seurat. Ed. Akal, Madrid, 2000. http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.html Hoja web sobre matemáticas y arte. www.painting-workshops.com/ perspec.htm Es una historia completa de la perspectiva en arte. http://webexhibits.org/sciartperspective/ perspectiva en el renacimiento. http://www.personal.us.es/jcordero/publica.htm Página personal de Juan Cordero Ruiz, tiene varias publicaciones on line. Sobre las ideas subyacentes en el arte: Heinrich Wôlfflin: Conceptos fundamentales de la historia del arte. Ed. Óptima, Barcelona, 2002. Susan Woodford: Cómo mirar un cuadro. Ed. Gustavo Gili, Barcelona, 1983 Fernando Chueca Goitia: Historia de la Arquitectura occidental. Barroco en Europa. Dossat. Madrid, 2000. Sobre la historia de la geometría proyectiva: Ricardo Moreno Castillo: Plücker y Poncelet. Dos modos de entender la geometría. Nivola, Madrid, 2005. José Javier Etayo: “El reinado de la Geometría Proyectiva”, Historia de la Matemática en el siglo XIX (1ª parte), R. Acad. de Ciencias, Madrid, 1992, 115-138. http://www.mat.ucm.es/%7Ejesusr/expogp/expogp.html es una exposición virtual de la geometría proyectiva y de sus relaciones con el arte, en particular.
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Biografías de matemáticos: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html es una hoja web con información biográfica y con explicación de temas matemáticos Temas concretos: http://www.itc.nl/external/unesco-rapca/Presentaciones%20Powerpoint/02%20Introduccion%20Sensores%20Remotos/Correcciones%20Geometricas.pdf perspectiva central y fotografia aérea http://www.terra.es/personal/chullora/estenope.htm fotografía estenopeica http://www.colorado.edu/physics/2000/tomography/index.html tomografia compu-terizada http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/stereographic_projections.htm cristalo-grafía usando proyección estereográfica Una novela: Tracy Chevalier: La Joven de la Perla. Ediciones Alfaguara, S.A., Grupo Santillana, 2001 En la que se ve reflejada la vida de Vermeer de Delft, el uso de la cámara oscura, sus técnicas de pintura, etc. llevada al cine: Girl With A Pearl Earring (2004). Director: Peter Webber. Writer: Olivia Hetreed. Stars: Colin Firth, Scarlett Johansson, Tom Wilkinson, Judy Parfitt, Cillian Murphy, Essie Davis. Length: 100 minutes. Cinema: 16 January 2004. Country: UK
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