La musica è il suono della matematica

XIV meeting

«Esperienze a confronto» Università degli Studi di Perugia

18-20 aprile 2012

Introduzioni

teoriche

« La musica

dei frattali »

« I frattali nella

musica »

… una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.

t : P ( x; y) P’ ( x’; y’)

P’ = t ( P)

Un'affinità fa corrispondere al punto P ( x; y) il punto P’ (x’; y’) secondo la formula:

X’ = ax + by + eY’ = cx + dy + f

Data la retta r, si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione che associa ad un punto P il punto P’, nel semipiano opposto rispetto a r e tale che r sia asse del segmento PP’.

Fissato un vettore, traslare una figura significa spostare ogni suo punto secondo un segmento di lunghezza, direzione e verso del vettore.

u (3;2)

Si chiama omotetia di centro O(0; 0) e rapporto k (k≠0) la corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano ne associa un altro P’, tale che:

P(x; y) P’ ( kx; ky)

OP’= k OP

Etimologia: dal latino «fractus» (spezzato, irregolare);

B. Mandelbrot padre della teoria frattale e di figure precedentemente considerate «mostri».

Ogni contrazione ammette un’unica figura fissa, qualunque sia la figura start F0

T( F* ) = F*

F* = ATTRATTORE

Il suonoIl suono

Il canto gregoriano

Tenor

Diminuzione Aumentazione

Autosimilarità

Il contrappunto

Con l’avvento della Polifonia nasce una nuova tecnica di composizione che consente a più voci di esistere contemporanea-mente:

Il contrappunto.

Giovanni Pierluigi Palestrina

Doppio canone

Antecedente (1)

Palestrina - Missa ad fugam - kyrie

Antecedente + conseguente (1)Antecedente + conseguente (2)Antecedente (2)

Canone costituito da due voci principali e le rispettive trasformate

Palestrina - Missa ad fugam - kyrie

Canone a quattro voci per moto retto e contrario

L. Dallapiccola – Sex Carmina Alcei III .

Consente la costruzione dei frattali IFS attraverso l’immissione del codice genetico.

E’ inoltre capace di emettere suoni sulla base delle coordinate dei punti del frattale creato.

Informazioni sul softwareCreato con il linguaggio di programmazione Visual Basic Visual Basic

(dot) NET(dot) NET;

L’intero sistema conta circa 700 linee di codice Visual Visual Basic (dot) NETBasic (dot) NET;

Per la riproduzione musicale delle figure frattali utilizza la scheda audio, sfruttando le Windows APIWindows API ( Application Programming Interface), tramite le quali è capace di emulare 127 timbri 127 timbri differenti.

Diagramma di flusso Trasformazione

Dichiarazione punti in uscita

Ciclo: contatore da primo ad ultimo

punto in entrata

Calcolo di un punto attraverso i coefficienti

delle trasformazioni

Calcolato ultimo punto?

Restituisci punti in uscita

Inserimento tra i punti in

uscita

No

Si

Inizio

Gerla di Sierpinski Cattedrale di Barnslay

Piramide di Kock

Polvere di Cantor

Autodesk 3D Studio Max 2012;

Geogebra 4.0;

Finale 2005;

Visual Studio 11 Express.

R. Nielsen: Le forme musicali;

M. Belgamini, A. Trifone, G. Barozzi: Moduli Blu di Matematica;

P. Brandi, A. Salvadori : Progetto Matematica & Realtà.

webfract.it;

mat.unimi.it