Arte e Matematica a Matematica Na Musica

5/28/2018 Arte e Matematica a Matematica Na Musica

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Arte e Ma temtic a

Episdio: A Matemtica na Msica

ResumoA srieArte e Matemticaest dividida em dois episdios: A Forma que se Transforma e

A Matemtica na Msica. Nesta ficha, utilizaremos apenas o segundo, cujo objetivo

apresentar as relaes existentes entre a msica e a matemtica, focando as regularidades,

os aspectos histricos e as razes que levaram vrios compositores a escolherem os padres

matemticos em suas obras. Este vdeo tem durao de 26 minutos e est dividido em dois

blocos. O professor Luiz Barco apresenta situaes de reflexo sobre o desenvolvimento da

arte e da cincia, como por exemplo, os estudos de Pitgoras e as relaes matemticas

encontradas na msica, trazendo uma forma diferente de olhar tanto a arte como a cincia.

Os diversos grficos enriquecem as explicaes sobre conceitos musicais e matemticos,

possibilitando ao espectador compreender suas principais caractersticas, tais como a

durao das notas numa composio e suas frequncias sonoras. Alguns depoimentos de

msicos e maestros reforam aspectos histricos sobre o desenvolvimento do estudo da

msica associado aos nmeros e padres matemticos. A srie Arte e Matemtica um

excelente material pedaggico para se entender conceitos de fsica ondulatria, as escalas

musicais e a matemtica que rege os sons tonais que conhecemos. Por isso, convido-o a

explorar este vdeo e a utilizar as atividades descritas nesta ficha pedaggica em sua prtica

docente. Mas sempre importante que voc analise suas condies e escolha a melhor

forma de aplic-las.


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Palavras-chaveArte e matemtica, expresses, criao artstica, matemtica na msica.

Nvel de ensino

Ensino Mdio (1 srie).

Componente curricular

Matemtica.

Disciplinas relacionadas

Fsica, Artes (Msica), Informtica.

Aspectos relevantes do vdeo

A linguagem do vdeo apropriada a alunos de ensino mdio, apresentando

dinamismo com extensa movimentao de imagens, grficos e diversidade de telas.

narrado, em parte, pelo professor Luiz Barco e, em outros momentos, por uma jovem que

geralmente encaminha o espectador a exemplos e simulaes; alm disso, convidados

profissionais permitem a compreenso do tema com seus depoimentos e explicaes

complementares. Os conceitos referentes Msica e Matemtica esto associados a

aspectos histricos e a conceitos de fsica encontrados no currculo escolar, possibilitando a

utilizao deste vdeo por vrios professores, de reas diferentes.

Esto presentes vrios msicos e compositores que explicam aspectos relacionados harmonia, ritmo, sensaes e diferentes maneiras de se entender a msica. O professor

Luiz Barco e a narradora fornecem os elementos matemticos envolvidos no tema e,


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juntamente com as simulaes grficas, auxiliam o ouvinte a visualizar os padres

matemticos encontrados nas teorias musicais.

Durao da atividade

5 aulas, sendo as 4 primeiras seqenciais e a ltima, de preferncia, com espaamento de

uma semana para auxiliar no desenvolvimento do projeto proposto.

O que o aluno poder aprender com estas aulas

Identificar ritmo e melodia a partir da audio de sons apresentados em gravaes ou por

meio de instrumentos musicais.

Compreender o conceito de som como onda mecnica e outros conceitos associados a ele,

tais como frequncia e durao.

Aplicar relaes matemticas na construo dos conceitos de frequncia e durao de sons.

Elaborar esteticamente uma representao musical a partir do uso adequado dos conceitos

estudados, demonstrando ampliao de seu campo mental.Formular sugestes aos demais colegas, numa perspectiva positiva e fazendo uso de

vocabulrio adequado, como forma de aperfeioamento dos trabalhos das outras equipes.

Conhecimentos prvios que devem ser trabalhados pelo professor com o

aluno

Fraes.

Ondas mecnicas (estudo bsico do 9 ano).


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Estratgias e recursos da aula/descrio das atividades

Aula 1

(Para desenvolver esta aula, voc precisar usar o laboratrio de Informtica).

Inicie sensibilizando os alunos ao tema. Pea para que eles escrevam numa folha de papel

uma definio de som. Em seguida, apresente o vdeo Sound e Salt(disponvel em

http://www.youtube.com/watch?v=IuyQSZX8HMI&feature=player_embedded#at=38),o

qual trata de uma experincia que utiliza uma chapa de ferro com sal, associada a diferentes

freqncias sonoras.

Em seguida, questione-os novamente sobre o conceito de som. Cada aluno dever

ler sua definio, escrita anteriormente no papel e acrescida de mais informaes aps a

visualizao do vdeo. Por meio de sua mediao, faa-os compreender o som como onda

mecnica. Instigue-os mencionando o movimento realizado pelo sal na chapa e o prprio

som que foi se alterando, ficando cada vez mais agudo. Converse com eles sobre quais

relaes podem existir entre ondas mecnicas, sons (graves e agudos), msica ematemtica. Mesmo que a discusso esteja interessante, interrompa-a e exiba o vdeoArte e

Matemtica, usando o trecho em que Wyntor Marsalis explica o que msica (trecho entre

200 e 337). Retorne s discusses, questionando sobre a definio apresentada pelo

msico.

Para finalizar esta aula, apresente o Otomata(Online Generative Music Instrument)

que se encontra no seguinte endereo: http://www.earslap.com/projectslab/otomata. Trata-

se de um gerador sequencial de sons por meio de cellular automaton, isto , um modelomatemtico feito por computador. Deixe os alunos explorarem o aplicativo, clicando no

linkClick here to play with it in your browser.
http://www.youtube.com/watch?v=IuyQSZX8HMI&feature=player_embedded#at=38http://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.youtube.com/watch?v=IuyQSZX8HMI&feature=player_embedded#at=38


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Aula 2

(Para desenvolver esta aula voc pode convidar o professor de Artes/Msica)

Nesta aula, os alunos iro estudar a durao dos sons e suas representaes.

As msicas, em geral, so escritas ou registradas em um formato especfico,

chamado partitura, muito diferente dos textos em linguagem corrente. Para escrever uma

partitura, necessrio usar smbolos que representam as notas, tanto os sons como suas

duraes. As representaes das notas so dispostas em linhas diferentes daquelas

encontradas nos cadernos pautados convencionais. Trata-se do pentagrama: um conjunto

de cinco linhas em que as notas so escritas, constituindo a escrita da msica, propriamente.

Observe o desenho:

e assista ao vivo, 24 horas.

Este um exemplo de uma partitura, da cano Samba Lel. Observe o pentagrama,

no qual esto dispostas as representaes das notas que, por sua vez, ocupam lugares

diferentes. Cada linha ou espao representa um som distinto: sol, f, l, d e assim por

diante. Agora, cante a msica e observe que cada som tem uma durao diferente. Isto o

que d o ritmo da msica. A durao dos sons definida pelas figuras: semnima, colcheia,semicolcheia. Existem outras ainda: mnima, fusa e semifusa.


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No incio da partitura, aparece o tempo do compasso dado por dois nmeros

dispostos um sobre o outro. Neste caso, 2 e 4, que se l dois por quatro. A cano Samba

Lel dois por quatro, diria um msico. O que isto significa? simples. O tempo do

compasso indica de quantos tempos ser cada compasso (agrupamento das notas separadas

por um pequeno trao vertical) e qual ser a nota que valer um tempo. Cada figura que

representa as duraes dos sons representada por um nmero (por conveno). De forma

que a semibreve o dobro da mnima, que por sua vez o dobro da semnima, e assim por

diante. Encontramos essa nomenclatura relacionando nmeros e figuras de durao de sons:

semibreve mnima semnima colcheia semicolcheia

16 8 4 2 1

Vejamos: se o tempo da msica Samba Lel dois por quatro, isto significa que

cada compasso desta msica ser formado por dois tempos e a unidade de tempo ser a

semnima (seguindo o quadro acima). Se uma partitura for dois por oito, sabemos que cada

compasso, neste caso, formado por dois tempos e a unidade de tempo uma mnima.

Outro exemplo: numa partitura em que o tempo de compasso for trs por quatro, temos uma

msica com compassos de trs tempos e a semnima como unidade de tempo. Este exemplo

tpico das valsas. O maestro rege marcando os tempos com a batuta e, em geral, faz

movimentos que os representam, contando baixinho: e um, e dois, e trs, e um, e dois, e

trs, e um, e dois, e trs...


A participao do professor de artes/msica pode ajud-lo a compreender melhor

estes padres musicais, mas o importante voc observar com os alunos as questes


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matemticas que esto por trs das partituras e de suas representaes. No se trata de uma

aula de msica, embora o professor de artes possa aproveitar a anlise matemtica das

partituras para aprimorar um trabalho musical com a turma.

Inicie a aula distribuindo cpias de algumas partituras, que voc pode conseguir nos

sites a seguir, ou solicite aos alunos que tragam exemplares, caso estudem msica.

Os sites sugeridos so:

http://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixinguinha-ZP-Desce.pdf

http://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixing-PROEZASquintet.pdf

http://www.catholic.lv/majori/scores/WebbeAgnusDei.pdf

Faa uma roda de conversa e explore o material, perguntando o que eles sabem

sobre aqueles desenhos (notas), sobre a forma de se escrever msicas, isto , o que so

partituras. Aborde as representaes dos sons e das duraes e como esto agrupados em

compassos, definidos no incio da partitura pela representao numrica (dois por quatro,

por exemplo). Os nomes das figuras so semibreve, mnima, semnima, colcheia,semicolcheia, lembrando que cada uma representa a metade da anterior, nessa ordem.

Apresente o quadro que mostra os nmeros (16, 8, 4, 2 e 1) associados, por

conveno, s figuras musicais. Observe com os alunos como elas aparecem em cada

compasso, isto , se a partitura for dois por quatro (2/4), sabemos que a unidade a

semnima e que cabem duas delas num mesmo compasso. Muitas perguntas podem ser

feitas a partir desses conceitos. Veja algumas sugestes:

1) Quantas colcheias cabem num compasso desse tipo (2/4, por exemplo)?2) Identifique o tempo de compasso nas partituras distribudas na sala.
http://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixinguinha-ZP-Desce.pdfhttp://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixing-PROEZASquintet.pdfhttp://www.catholic.lv/majori/scores/WebbeAgnusDei.pdfhttp://www.catholic.lv/majori/scores/WebbeAgnusDei.pdfhttp://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixing-PROEZASquintet.pdfhttp://paulinyi.com/anexos/partituras/Pixinguinha-ZP-Desce.pdf


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3) Por que, no compasso da msica Samba Lel, o 1 compasso tem 6 notas e o 2compasso apenas duas? Reforce que cada smbolo traz a nota e sua durao.

4) Em seguida, pea aos alunos que indiquem, em cada partitura, a unidade de tempo eas relaes (matemticas) existentes na distribuio dos valores das notas. Por

exemplo, se um aluno estiver com uma partitura trs por quatro, quer dizer que cada

compasso tem trs tempos, cada tempo ocupado por uma semnima ou duas

colcheias. E, neste caso, um nico compasso pode ser composto por uma mnima (2

tempos, porque o dobro da semnima) + uma semnima (1 tempo, ou unidade de

tempo nesta partitura).

Como o importante aqui explorar as relaes matemticas de uma partitura,

procure escolher partituras nas quais seja fcil identificar esses elementos.

Observe mais informaes sobre o assunto nos sites a seguir:

http://www.aulasdeartes.com/o-que-e-nota-musical-/

http://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_prelimi

nares.pdfhttp://www.profcardy.com/cardicas/musical.php

Aula 3

Nessa aula, inicie fazendo uma pequena recordao das ideias discutidas na aula

anterior: partitura, diviso de compasso, tempo de compasso, figuras musicais, sons e

apresente um trecho de uma partitura de forma que no haja divises grficas dos

compassos, isto , no existam os pequenos traos que definem os compassos. Os alunos

devem coloc-los, respeitando a indicao do tempo (2/4, 4/4, 2/8...). Se quiser, use a

partitura de Balaio, msica folclrica do Rio Grande do Sul (disponvel em

http://www.jangadabrasil.com.br/agosto36/balaio.pdf).
http://www.aulasdeartes.com/o-que-e-nota-musical-/http://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_preliminares.pdfhttp://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_preliminares.pdfhttp://www.profcardy.com/cardicas/musical.phphttp://www.jangadabrasil.com.br/agosto36/balaio.pdfhttp://www.jangadabrasil.com.br/agosto36/balaio.pdfhttp://www.profcardy.com/cardicas/musical.phphttp://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_preliminares.pdfhttp://www.toquedeclasse.com.br/arquivos/teoria/musica_e_som_conceitos_preliminares.pdfhttp://www.aulasdeartes.com/o-que-e-nota-musical-/


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A seguir, a imagem da partitura sem a diviso dos compassos:


Ao trmino da atividade, o trecho desta partitura deve ficar assim:


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Para finalizar, exiba o vdeoArte e Matemtica, usando o trecho em que o baterista

Mestre Divino explica as diferentes duraes das notas para gerar ritmos diversos (trechoentre 337 e 444).

Antes de iniciar uma discusso sobre o trecho do vdeo, cante com os alunos o

trecho da partitura da cano Balaio, usado para o exerccio anterior, supondo que todas as

notas sejam iguais a semnimas, isto , todas as notas com a mesma durao e valendo um

tempo. Os alunos devem perceber que as figuras musicais definem a durao dos sons e,

assim, caracterizam o ritmo da msica. Se, numa partitura, forem alteradas as duraes das

notas, ainda que os sons sejam os mesmos, teremos uma msica diferente.


Discuta com os alunos sobre estas questes que envolvem as duraes das notas e

os ritmos das msicas. E reforce as relaes matemticas existentes nas partituras entre as


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duraes dos sons, representadas pelas figurais musicais (mnima, semnima, colcheia...), e

os tempos de compasso que definem quantas notas cabem num mesmo compasso.

Para finalizar, pergunte aos alunos o que significam os sons que o Mestre Divino

reproduz pela boca (tagadagad, tagad, tagadagad...), os quais eles ouviram no trecho do

vdeo. O que o Mestre Divino est representando com esse som oral?

Faa a mediao dessa conversa, auxiliando os alunos a compreenderem que esse

som produzido por Mestre Divino corresponde s diferentes duraes dos sons e, portanto,

s figuras musicais. Questione ainda como seria uma partitura de uma bateria. e pea para

que eles registrem num papel. Lembre-se de que este papel deve ter pentagramas e que eles

devem fazer somente indicaes de figuras musicais para representar diferentes duraes

das batidas da baqueta na bateria.

Aula 4

Nesta aula, trabalharemos com o conceito de frequncia. Inicie exibindo o vdeo

Arte e Matemtica, usando o trecho em que este conceito construdo por meio desimulaes e exemplos (trecho de 835 a 1220).

Explore deste trecho do vdeo a questo de que os sons so frequncias, isto ,

ondas mecnicas que podem ser expressas por fraes se relacionarmos umas com outras,

ou somente com a nota d, considerada padro.

Faa uma pequena recordao sobre o que viram na primeira aula, com o vdeo

Sound and Salt, e como os sons tornaram-se cada vez mais agudos, isto , com frequncias

maiores.

Apresente aos alunos a tabela 1, com as frequncias relativas a cada nota musical, e

faa-os perceber que existem vrios ds, outros tantos rs e assim por diante, com

frequncias diferentes. Observe com os alunos que elas duplicam a cada oitava. Sabemos


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que os sons, na msica ocidental, so dispostos na sequncia d-re-mi-f-sol-l-si, que se

chama escala musical. Ela pode se repetir iniciando novamente na nota d e seguindo as

mesmas notas. No entanto, nessa repetio, os sons tero frequncias diferentes, tornando-

se mais agudos ou mais graves. importante ressaltar que as frequncias, neste quadro,

expressas em hertz (Hz)1, apresentam valores com ligeiras aproximaes para facilitar a

atividade que consiste em observ-las primeiramente e, em seguida, buscar um padro

matemtico entre elas. Voc deve explicar aos alunos sobre a escolha dessa tabela, que

contm as aproximaes numricas. Assim eles compreendero que se trata de encontrar

regras matemticas. A tabela 1 a que segue:

Tabela 1 freqncias em Hz


1Unidade de medida de comprimentos de onda (unidade de freqncia; a unidade de 1 Hz 1 s-1. 200 Hz, porexemplo, significa que a onda faz 200 ciclos em 1 segundo). O comprimento de onda medido em m. Avelocidade de propagao V = .F, da, temos a unidade de velocidade m.s-1).


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Ento, com a observao desta tabela 1, os alunos devero compreender que os sons

so mais agudos ou mais graves quando apresentarem freqncias maiores ou menores e

que cada nota tem uma frequncia que, numericamente, o dobro da oitava anterior. A

tabela usada, com as aproximaes, faz com que os alunos percebam mais claramente esse

padro matemtico. Se voc utilizar os valores sem a aproximao, ficar mais difcil eles

entenderem essa relao. Para que os alunos entendam mais sobre a formao da escala,

exiba o trecho do vdeo Arte e Matemtica que explica os estudos de Pitgoras e a

descoberta da escala musical (trecho de 1245 a 1447).

Para exemplificar ainda mais as ideias de escala apresentadas no trecho do vdeo,

utilize o software Teclado Virtual Freeware(http://www.baixaki.com.br/download/teclado-

virtual-freeware.htm) e experimente, na classe, os diversos sons e suas frequncias, fazendo

os alunos perceberem os acordes agradveis e os que causam tenso. Voc pode utilizar o

laboratrio de informtica, mas se no tiver como faz-lo, grave alguns acordes e leve-os

para a sala de aula. importante que os alunos percebam as diferenas entre os sons

agradveis e sons tensos, como apresentado no vdeo.Reserve aproximadamente 10 minutos antes do trmino para explicar aos alunos a

atividade a ser desenvolvida para a ltima aula. Trata-se da criao de uma msica

matemtica. Eles devero ter pelo menos uma semana para desenvolv-la e precisam se

organizar em duplas.

Os grupos utilizaro o aplicativo Otomata (Online Generative Music Instrument,

que se encontra no seguinte endereo: http://www.earslap.com/projectslab/otomata),

utilizado na aula 1. Cada dupla explorar novamente o aplicativo e dever criar e salvar

uma sequncia, no muito longa, que significar um endereo web(um link). Para execut-

la, basta copiar o endereo na linha do browser. Em seguida, a dupla criar um
http://www.baixaki.com.br/download/teclado-virtual-freeware.htmhttp://www.baixaki.com.br/download/teclado-virtual-freeware.htmhttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.earslap.com/projectslab/otomatahttp://www.baixaki.com.br/download/teclado-virtual-freeware.htmhttp://www.baixaki.com.br/download/teclado-virtual-freeware.htm


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acompanhamento com palmas, batidas no corpo e/ou sons que combinem com a sequncia

meldica criada. No permitida a utilizao de palavras.

Eles apresentaro a msica matemticana outra semana e para isso, ser necessrio

o uso de computador no local da apresentao. Cada dupla copiar o endereo no browser,

clicar no botoplaye exibir a coreografia.

Aula 5

Utilize esta aula para a audio das msicas matemticas criadas pelas duplas.

Convide outros professores e suas classes e aps as apresentaes, os demais alunos podem

sugerir positivamente modificaes em cada performance, contribuindo para a melhoria

dos trabalhos.

Questes para discusso

Pesquisar sobre a expresso estar na mesma frequncia.

Organize uma audio de obras de Bach e de Villa-Lobos (as Bachianas) e pea aos alunospara encontrarem semelhanas entre as obras dos dois compositores, tentando explicar

porque Villa-Lobos usou esse ttulo para as referidas obras.

Pesquisar sobre infra-som e ultra-som e como so utilizados na rea da medicina.

Bibliografia Complementar

ABDOUNUR, Oscar Joo. Matemtica e Msica: O pensamento analgico na construo

de significados. So Paulo: Escrituras Editora, 2006.GRANJA, Carlos Eduardo de Souza Campos. Musicalizando a escola: msica,

conhecimento e educao. So Paulo: Escrituras Editora, 2010.

RATTON, Miguel. Msica e Matemtica: A Relao harmoniosa entre sons e nmeros.


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Texto publicado na revista Msica & Tecnologia. Rio de Janeiro, 1993. Disponvel em:

http://66.228.120.252/artigos/2726641, acesso em: 03/05/2011.

O vdeoArte e Matemticaencontra-se no link:

http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4945

Consultora: Maria Isabel Porazza Mendes
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4945http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4945

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