BAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana A. Kuosien Diferensi dan Derivatif Kuosien diferensi (y/x)mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. (y/x) dapat juga kita kenal sebagai lereng dari kurva y = f(x) Penjelasan kuosien diferensi :
36
Embed
Kuosien Diferensi dan Derivatif - Gunadarmawike.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/62471/2... · Web viewBAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana Kuosien Diferensi dan Derivatif Kuosien
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana
A. Kuosien Diferensi dan DerivatifKuosien diferensi (y/x) mencerminkan
tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. (y/x) dapat juga kita kenal sebagai lereng dari kurva y = f(x)
Penjelasan kuosien diferensi :
Contoh:
DerivatifDerifatif/turunan hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi.
Diferensiasi penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal penambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol
Penjelasan :Turunan fungsi = limit dari kuosien diferensinya
Contoh :
B. Kaidah-kaidah Diferensial1. Diferensiasi konstantaJika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0contoh : y = 5 dy/dx = 02. Diferensiasi fungsi pangkatJika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3 dy/dx=3x3-1=3x2
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsiJika y = kv, dimana v = h(x), dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3 dy/dx = 5(3x2) =15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsijika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
dy dx
kdv / dxv2
contoh : y 5 , dy
x3 dx
5(3x2
(x3 )2 15x2
x6
5.Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsijika y = u + v, dimana u = g(x) dan v =h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dxcontoh : y = 4x2 + x3 u = 4x 2,du/dx = 8x
6. Diferensiasi perkalian fungsiJika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy
dx u dvdx
v
dudx
contoh : y (4x2 )(x3 )
dy u dv dx dx
v dudx
(4x2 )(3x2 ) (x3 )(8x) 12x4
8x4
20x4
7. Diferensiasi pembagian fungsiJika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy
dx v du
u dv
dx dx v2
contoh : y 4x2
x3
dy dx
v du
u dv
dx dx
v2
(x )(8x) (4x2
(x3 )2
)(3x2 )
8x412x4
x6
4
x2
4x2
8. Diferensiasi Fungsi kompositJika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain y=f{g(x)}, maka :
dy dx
dy
du du dx
contoh : y (4x3 5)2
misal : u 4x3 5
y u2
du 12x2 , dy dx du 2u
3
dy dx
dy
du du dx 2u(12x2 ) 2(4x3 5)(12x2 ) 96x5 120x2
9. Diferensiasi fungsi berpangkatJika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1 .(du/dx) Contoh :
y (4x3 5)2 , misal :
u 4x3
5 du
dx
12x2
dy nun1 du dx dx
2(4x3
5)(12x2 ) 96x5
120x2
10. Diferensiasi fungsi logaritmikJika y = alogx, maka
dy dx
1x ln a
contoh :
y5 log 2, dy
dx
1x ln a
1
2 ln 5
11.Diferensiasi fungsi komposit- logaritmik
Jika y=alogu, dimana u=g(x), maka :
dy
a log e
du
dx u dx
contoh : y log x 3 x 2
misalkan : u
(x 3)(x 2)
dudx
(x 2) (x 3)
(x 2)2
5(x 2)2
dy
a log e
du
dx
log e
x 3 x 2
u dx 5
(x 2)2
5 log e
(x 3)(x 2)
5 log e
(x2 x 6)
12.Diferensiasi fungsi komposit- logaritmik-berpangkatJika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka :
ady
dy
log e
du
dx du u dxcontoh : y
(log 5x2 )3
misalkan u 5x2
dudx
10xdy
3(log 5x2 )2 log e (10x)
dx 5x2
30x(log 5x2 )2 log e
5x2
6 (log 5x2 )2
x log e
13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier
Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
14.Diferensiasi fungsi Komposit- Logaritmik-Napier
Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
dy
1
dudx u dxcontoh : y ln x 3
x 2
misalkan : u
(x 3)
du
5
dy
1 du
(x 2) dx (x 2)2
(x 2)
5
5
dx u dx (x 3) (x 2)2
(x2 x 6)
15.Diferensiasi fungsi Komposit- Logaritmik-Napier-berpangkat
Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta ,Maka
dy dx
dy
1du u
dudx
contoh : y
(ln 5x2 )3
misalkanu 5x2
dudx
10xdy
3(ln 5x2 )2 1 (10x) 6
(ln 5x2 )2
dx
5x2 x16. Diferensiasi fungsi eksponensialJika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln aContoh : y = 5x,
dy ax ln a 5x ln 5
dx
Dalam hal
y ex , maka dy
dx
ex
juga,
sebab ln e 1
17.Diferensasi fungsi komposit – eksponensial
Jika y = au dimana u = g(x), maka :
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBAdy
au ln a du dx dx
Matematika Ekonomi 2
Contoh : y 93 x2
4misalkan u 3x2 4
du
dx 6x
dy au ln a du dx dx 93x2 4 (ln 9)(6x) (6x)93x2 4 ln 9
Kasus Khusus : dalam hal y eu , maka dy
dx eu dudx
18. Diferensiasi fungsi kompleksJika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x) Maka :
dy vuv1
du uv ln u
dv
dx dx dx
contoh : y 4x x3
, misalkan : u 4x du / dx 4
v x3 dv / dx 3x2
dy vuv1
du uv ln u
dv
dx dx dx
(x3 )4x x3 1 (4) 4x x3
ln 4x(3x2 )
16x x3 2 12x x3 2 ln 4x
4x x32
(4 3ln 4x)
19. Diferensiasi fungsi balikan
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi- fungsi yang saling berbalikan (inverse functions)Maka :
dy dx
1dy / dx
contoh :
x 5 y 0,5 y 4
dy 5 2
y3
dx
dydx
1dy / dx
1
(5 2 y3 )
20.Diferensiasi Implisit
Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
contoh :
4xy2
x2 2 y
0, tentukan dy
dx
8xy dy
dx 4 y2
2x 2 dy
0dx
8xy 2 dy
dx 2x 4 y2
dy dx
2x 4 y2
8xy 2 x 2 y2
4xy 1
C. Hakikat Derivatif dan Diferensial
y lereng dari kurva y
x f(x)lim y
dy
x 0 x dx
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
D. Derivatif dari DerivatifTergantung pada derajatnya, sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Turunan pertama (first derivative)
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama , dan seterusnya.
Contoh :
Derivatif pertama dan derivative kedua sangat bermanfaat untuk menelaah fungsi yang bersangkutan seperti menentukan posisi-posisi khusus dari kurva fungsi non- linier.
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
E. Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya
1. Fungsi Menaik dan Menurun Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.
Contoh :Tentukan apakah y = f(x)= 1/3x3– 4x2+12x -5 merupakan fungsi menaik ataukah fungsi menurun pada x=5 dan x=7. Selidiki pula untuk x= 6
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
F1(X) = x2-8x+12 F1(5) = 52 - 8(5) +12 = -3<0 fungsi menurun F1(7) = 72 - 8(7) +12 = 5<0 fungsi menurun F1(6) = 62 - 8(6) +12 = 0 fungsi berada di titik
ekstrim yaitu titik minimum
2. Titik ekstrim fungsi parabolic
Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya.
Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0
Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum
Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum
Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67) titik ekstrim maksimum karena untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif)
Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 2.33 (4, 2.33) titik ekstrim minimum karena untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif)
Titik belok Jika y” = 0 2x – 6 = 0 x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkannilai y = 3 titik belok (3,3)
Jadi, fungsi kubik y =1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 berada di :
Titik maksimum pada koordinat (2;3,67) Titik belok pada koordinat (3;3)Titik minimum pada koordinat (4;2,33)