Krümmung in der Mathematik und Physik

Krümmung in der Mathematik

und Physik Relativitätstheorie im Alltag

Dr. Frank Morherr Justus-Liebig-Universität Giessen, 2014

Was ist Krümmung?

• Gerade soll Krümmung Null haben.

• Prototyp Kreis

- großer Radius, kleine Krümmung:

- kleiner Radius, große Krümmung:

Daher liegt nahe zu definieren:

Krümmung k = 1/R

Wie passt die Gerade hier rein?

Erdoberfläche ist gekrümmt,

trotzdem hielt sich hartnäckig

bis ins 15.Jh. die Ansicht

einer Scheibe.

Grund: Erdradius so groß,

dass man Krümmung auf

1. Blick nicht sieht.

Gerade ist Kreis mit großem Radius.

Krümmung anderer Kurven der Gestalt

Differentialrechnung:

• Steigung Kurve = Steigung

Tangente =

• Krümmung Kurve =

Krümmung des

Krümmungskreises

Maß hierfür:

Was ist der Krümmungskreis?

Annäherung von P´ und P´´

auf P ergibt Krümmungskreis

mit Radius

ghghg

2.51.250-1.25-2.5

3.75

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

Krümmung mit Vorzeichen

Mathematisch positive

Richtung ist entgegen dem

Urzeigersinn, daher

Positiv = Linkskrümmung

Steigung der Ableitung wächst

Negativ = Rechtskrümmung

Steigung der Ableitung fällt

Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen

Für Kurven der Gestalt

mit Parameter t gilt für die

Krümmung

Beispiel Ellipse

Herleitung der Krümmungsformel

Klothoide/Cornuspirale: Straßenbau versus Lichtausbreitung

Die Klothoide (von griechisch κλώθω ‚spinnen‘), ist eine

spezielle ebene Kurve, bis auf Ähnlichkeit eindeutig.

Krümmung ist an jeder Stelle der Kurve proportional zur

Länge ihres Bogens bis zu dieser Stelle.

Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornu-Spirale

und Spinnkurve, da der Graph, der von einem

Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt,

die „umsponnen“ wird).

Die Klothoide wird als Übergangsbogen bei Kurven im

Straßenbau und im Eisenbahnbau eingesetzt. Ihr

Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient einer

ruckfreien Fahrdynamik, d.h. die Krümmung der Kurve

ist eine stetige Funktion der Länge.

Parameterdarstellung

mittel Fresnelintegralen:

Unter Beugung wird meist die Fraunhofersche Beugung verstanden, bei der

Strahlen aus dem Unendlichen (Parallelstrahlen) durch Linsen auf eine endliche

Ebene abgebildet werden. Im Gegensatz dazu beschreibt die Fresnelsche

Beugung Beugungserscheinungen im Nahfeld. Beide Formen der Beugung sind

zwei Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals.

Klothoide in der Optik

Frenet-Kurven und das begleitende Dreibein

Schnittkrümmung von Flächen

• Schnitt von Flächen mit

Ebenen ergibt Schnittkurven mit

Krümmung

• Hauptkrümmungen

= minimale und maximale

Krümmung

• Satz von Meusnier:

Abhängigkeit Krümmung von Winkel

der Schnittebene: Krümmungskreise

aller ebenen Schnitte durch dasselbe

Linienelement, d.h. Punkt mit

zugehöriger Tangentenrichtung der

Fläche liegen auf einer Kugel

• Hauptkrümmungsrichtungen

stehen senkrecht aufeinander.

Gaußsche Krümmung K

Theorema Egregium:

Gaußkrümmung K

hängt nur von der

Inneren Geometrie

der Fläche ab, nicht

von dem

umgebenden Raum

Theorema Egregium von Gauß

Anwendung: Ist das Universum flach oder gekrümmt?

Gauss, 1818: Messung der

Winkelsumme im Dreieck

Brocken-Inselsberg-Göttingen

→ Erdkrümmung 0

<1

Winkelsumme:

180

0

1

Winkelsumme:

180

0

1

Winkelsumme:

180

Messung durch

Interferometer, z.B.

Lisa (ursprünglich

zum Nachweis von

Gravitationswellen)

Gravitationswellen gehören zu den wenigen von der

Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagten Phänomenen,

die bislang nicht direkt nachgewiesen werden konnten.

1974 entdecken amerikanischen Radioastronomen Russell Hulse und Joseph Taylor zwei sich eng umkreisende Pulsare (1913/16) von denen Sie Radiopulse mit äußerst genauer Periode empfingen.

Dadurch eigneten sich die beiden Körper als sehr genau gehende kosmische Uhren.

Für ein solches System sagt Allgemeine Relativitätstheorie merklichen Energieverlust durch die Abstrahlung von Gravitationswellen voraus. Als Folge davon müssten sich die beiden Sterne einander annähern und immer schneller einander umkreisen.

Abnahme der Umkreisungsdauer konnten Hulse und Taylor aus der jahrzehntelangen Beobachtung der Radiopulse nachweisen.Wert stimmt exakt mit der relativistischen Vorhersage überein.

Gravitationswellen

Gravitationswellen sich umkreisender Pulsare 1974: Hulse/ Taylor, Pulsare (PSR 1913/16) Nobelpreis 1993

Mittlere Krümmung H

Bei Minimalflächen

= Flächen minimaler

Oberfläche bei

vorgegebenem Rand

H = 0

Beispiel:

• Seifenhautgebilde

Oberflächenenergie ist

minimal

Bilder verschiedener Minimalflächen

Enneperfläche

Katenoid

Scherksche Fläche

Hennebergfläche

Geodäten

Geodäte ist lokal kürzeste

Verbindung zweier Punkte

auf einer Fläche

• Teile von Geraden auf Ebenen

• Teile von Großkreisen auf Kugeln

- Fluglinien

Allgemein: Lösungen der

Geodätengleichung

Hjjjk

Eulersche Polyederformel und Eulercharakteristik

Gegeben Polyeder (Vielflach)

• e : Anzahl der Ecken

• k : Anzahl der Kanten

• f : Anzahl der Flächen

Dann gilt

Eulercharakteristik:

Platonsche Körper

Flächen unterschiedlicher Eulercharakteristik

Kugel Torus Brezelfläche

Mathematik im Fernsehen: Simpsons

Topologie von Schmalzkringeln (Donuts)

Satz von Gauß-Bonnet

Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik

mit der differential-geometrischen Größe Krümmung

K : Gaußkrümmung

M : Fläche

: stückweiser glatter Rand der Fläche

: geodätische Krümmung der Randkurve von M

: Eulercharakteristik von M

: Außenschnittwinkel an Ecken des Randes

Für glatten Rand sind alle Außenschnittwinkel Null und es folgt:

Beispiel 1 zur Gauß-Bonnet-Formel

Beispiel 2 zur Gauß-Bonnet-Formel

Satz von Gauß-Bonnet für glatten Rand

Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik

mit der differential-geometrischen Größe Krümmung

K : Gaußkrümmung

M : Fläche

: glatter Rand der Fläche

: geodätische Krümmung der Randkurve von M

: Eulercharakteristik von M

Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet

Aus dem Satz von Gauß-Bonnet folgt:

Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck, dessen

Randkurven aus Geodäten bestehen, ist

Die hyperbolische Kreisscheibe

Konstruktion Geodäten

Modell einer Geometrie mit unendlich vielen „Parallelen“

durch einen Punkt zu einer vorgegebenen „Geraden“.

Kunst von M. C. Escher

Der Riemannsche Krümmungstensor

• Auf gekrümmten Flächen

ändern Vektoren nach

Paralleltransport ihre

Richtung.

• Einführung des Symbols

als Ableitung des

Vektorfeldes Y in

Richtung des Vektorfeldes

X

• Riemannscher

Krümmungstensor:

In lokalen Koordinaten:

Albert Einstein und das Universum

Kurzbiographie:

1879 geboren 14. März in Ulm

1896 Maturitätsexamen in Aarau. Physikstudium in Zürich

1902 Patentamt in Bern

1905 spezielle Relativitäts- theorie

1908 Habilitation

1915 Allgemeine Relativitäts- theorie

1921 Nobelpreis

1933 Umzug nach Princeton

1955 Stirbt am 18. April

Einsteinsche Feldgleichung

• Ric : Riccitensor

• R : Skalarkrümmung, Spur von

Ric, R = 2K, K G.-Krümmung

• T : Energie-Impuls-Tensor

• g : Metrik (Abstandsfunktion)

• Λ : Kosmologische Konstante

Spezielle Lösung:

Schwarzschildmetrik eines

schwarzen Loches:

Die Schwarzschildmetrik

Die Schwarzschildmetrik

(mit Skalierung G = c = 1)

Äußere Schwarzschildmetrik

Äußere Schwarzschildmetrik

Geometrie der Schwarzschildmetrik

Innere Schwarzschildmetrik

Innere Schwarzschildmetrik

Innere Schwarzschildmetrik

Spezielle Relativitätstheorie

• Zeitdehnung

•Längenkontrak-

tion

•Massenzuwachs

Raum + Zeit = Raumzeit

Nachweise der speziellen Relativitätstheorie

Herleitung von E=mc²

Paul Diracs Kunstgriff: Spin und Antimaterie aus der

Relativitätstheorie (Nobelpreis 1933 mit E. Schrödinger))

Stern-Gerlach-Versuch: Nebelkammer

mit eingebauter

Bleiplatte zur

Bestimmung der

Flugrichtung

und damit der

Krümmungsrich

tung→Ladung

Allgemeine Relativitätstheorie

Beschrieb Verhalten von

Körpern unter

Schwerkraft, doch Grund

für deren Existenz fand er

nicht.

Massen krümmen die

Raumzeit, wodurch

umlaufende Körper wie

auf einer schiefen Ebene

eine Kraft nach innen

erfahren.

Albert

Einstein

(1879-1955)

Isaac

Newton

(1643-1727)

Allgemeine Relativitätstheorie

In großen Schwerefeldern

vergeht die Zeit langsamer.

Auf Neutronensternen könnte man seinen

Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern

herumläuft.

Scheinbare

Positionsänderung

von Sternen bei

totaler

Sonnenfinsternis

Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie

Periheldrehung des Merkur

Schwarze Löcher als Gravitationslinse

Periheldrehung des Merkur

• Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in

deren einem Brennpunkt die Sonne steht

• Beeinflussungen der Planeten untereinander führen zu Störungen,

so dass sich der sonnennächste Punkt (Perihel) mit der Zeit

verschieben kann

• Perihel des Merkur dreht sich auch abzüglich der Einflüsse der

anderen Planeten noch zusätzlich um die Sonne mit einer

Winkelgeschwindigkeit von 43,1±0,5 Bogensekunden pro

Jahrhundert.

• Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie konnte dieser Effekt

erklärt werden.

• Um das relativistische Ergebnis mit dem klassischen vergleichen

zu können, rekapitulieren wir zunächst Newtons klassische

Überlegungen.

Berechnung der Periheldrehung Klassisches Ergebnis

Ergebnis mittels Schwarzschildmetrik

Damit gilt:

Lichtablenkung

Einsteinlinsen, Einsteinkreuze und Anwendung

Zukunft des Universums

Robertson-Walker-Metrik (Grundlage kosmologisches Prinzip:

Dichte und Druck homogen und Weltall nach jeder Richtung isotrop)

Robertson-Walker-Metrik

Daraus resultierender Energie-

Impuls-Tensor

liefert Friedmannmodell

mit

und effektivem Potential

Es gilt mit

Heutiger Kosmos

Einstein-de-Sitter Kosmos

Weltmodelle

Räumliche Krümmung, zeitliche Krümmung und

raumzeitliche Krümmung: Eine Veranschaulichung

Einzelheiten: Siehe Sterne und Weltraum Feb. Seite 38/März Seite 50

Relativitätstheorie im Alltag Was Navigationssysteme mit Einstein zu tun haben

Global

Position

System

(GPS)