Kmity, vlny

Kmity, vlny

Nejjednodušší případ oscilátoru:

● Lineární—pohybuje se jenom v jednom směru, polohu označíme x

● Harmonický—síla je úměrná výchylce z rovnováhy a směřuje k rovnováze

Vzorcem: kxF Jinými než lineárními harmonickými oscilacemi se nebudeme zabývat.

Kmity = oscilace: pohyb objektu v blízkosti stabilní rovnovážné polohy

Více harmonických oscilátorů, které na sebe působí oscilace se mohou šířit prostorem a vytvářet vlny (druhá část přednášky).

Epot

stabilní rovnovážná

poloha

FF

Objektu vykonávajícímu oscilace říkáme oscilátor.

Příklad lineárního harmonického oscilátoru: těleso na pružině

Pohyb:Síla:

(index „s“ od slova „spring“)

2

2

d

d

d

d

t

txm

t

tvmtmatkx Dosazení do 2. Newtonova zákona

dá diferenciální rovnici txm

k

t

tx

2

2

d

d

Jak dostaneme oscilace matematicky?

● homogenní, lineární řešení tvoří lineární prostor, tj.

a) řešení vynásobené číslem je zase řešení.b) součet dvou řešení je zase řešení.

● s konstantními koeficienty řešení hledáme ve tvaru ttx e

● 2. řádu (nejvyšší derivace je druhá) prostor je 2-rozměrný, tj. řešení bude obsahovat dva parametry.

Rovnice je

s neznámou .

ii m

k

./ mkTímto jsme zavedli úhlovou frekvenci Více o ní na příští straně.

txt

tx 22

2

d

d Pomocí můžeme diferenciální rovnici přepsat jako

derivace exponenciálynásobení

Dosazení s využitím ttt txt

txt

tx ed

de

d

de 2

2

2

dá tt

m

k ee2

Obě strany rovnice můžeme vydělit exponenciálou (je nenulová).Dostaneme tak charakteristickou algebraickou rovnici pro :

m

k2

Ta by měla mít 2 kořeny pro 2-rozměrný prostor řešení diferenciální rovnice.Skutečně:

2 kořeny jak jsme čekali, ale imaginární

sinicosei

Obecné řešení: lineární kombinace sinu a kosinu t …2 parametry

Lépe: tAtx cos

fTm

kπ2

π2souvisí s periodou T a s frekvencí f:

A je amplituda, je fázový posun

argument harmonické funkce (sin, cos) se nazývá fáze.

01e πi

„Nejkrásnější rovnice matematiky“-Sčítání, násobení, mocnění 0, 1, e, i, vše právě jednou

Pro zajímavost: speciální případ

Vzpomeneme si, že

Také 2 parametry, ale s jasným významem:

harmonické funkce…proto harmonický oscilátor

úhlová frekvence = změna fáze za jednotku času.

Rychlost:

Zrychlení:

tAt

tvta

tAt

txtv

cosd

d

sind

d

2

txta 2Vidíme, že což je výchozí rovnice pro oscilace.

Graficky:

Každá derivace = posun dopředu o čtvrt periody.

Derivování podle času dá

Úhlová frekvence odpovídá úhlové rychlosti…stejný symbol

Dostředivé zrychlení (viz 1. přednáška):

Souvislost s kruhovým pohybem

222

r

r

r

r

va

Projekce na osu x:2xax což je opět výchozí rovnice pro oscilace.

Graficky: Animace:

Obecně, pokud se potenciální energie mění se vzdáleností jako n-tá mocnina, platí Pro harmonický oscilátor n = 2, pro gravitační pole n = -1.

● Potenciální (vůči rovnovážné poloze v x = 0): x

kxxxkxE0

2pot 2

1~d~

Jako funkce času během oscilací: tkAE 22pot cos

2

1

● Kinetická: tkAtAmmvE 222222kin sin

2

1sin

2

1

2

1

● Celková: 2222celk 2

1sincos

2

1kAttkAE Zachovává se, jak

jsme čekali.

Grafem je parabola.

Energie

potkin 2

1EE

Kinetická a potenciální energie harmonického oscilátoru se v průměru rovnají:

Ekin

Epot

Naopak minule pro kruhovou dráhu v gravitačním poli jsme viděli, že

potkin EE

Graficky: funkce času a výchylky

potkin2 EnE

Fig. 1 CASSCF/SOCI potential energy curves for several low-lying electronic states of LiH

J.M.H. Lo , M. Klobukowski

Computational studies of one-electron properties of lithium hydride in confinement

Chemical Physics Volume 328, Issues 1-3 2006 132 - 138

http://dx.doi.org/10.1016/j.chemphys.2006.06.019

V okolí minima funkce vypadá jako parabola…proto harmonické oscilace vždy, když je výchylka z rovnovážné polohy dostatečně malá

Např. molekula LiH v různých elektronických stavech:

Příklad

3

ZZ3

Z34

334

Z π

π

r

rM

r

rMrM

3

ZZ2g r

rmGM

r

mrMGF

Slupkové teorémy z minula: na objekt ve vzdálenosti r od středu působí síla od všech slupek s menším poloměrem. Jejich celková hmotnost je hmotnost koule o poloměru r :

Objekt přitahují silou:

Projekce do směru tunelu: xr

GMm

r

xFFF

3Z

Zgg cos

Objekt o hmotnosti m se pohybuje hladkým přímým tunelem mezi 2 body na povrchu Země. Ukažte, že pohyb objektu m v tunelu je harmonický a najděte jeho periodu.

Řešení:

xr

GMmF

3Z

Z …znaménko „–“ protože síla směřuje obráceně než výchylka.

Síla je úměrná výchylce…harmonický oscilátor s elastickou konstantou

3Z

Z

r

GMmk

Odtud úhlová frekvence 3Z

Z

r

GM

m

k

Perioda:

min3.84s1006.5

kg1098.5kg/mN106.67

m1037.6π2π2

π2 3242211-

36

Z

3Z

GM

rT

● nezávislá na umístění tunelu.● tatáž jako perioda orbitu satelitu těsně nad povrchem Země

(viz 3. Keplerův zákon minule).

Rovnice je lineární součet dvou je zase řešení.

Jaká bude výsledná amplituda A a fáze pro amplitudy A1, A2 a fáze 1, 2 vln, které sčítáme?

tAtAtA coscoscos 2211

sinsincoscoscos

sinsincoscos

sinsincoscossinsincoscos 222111

ttA

ttAttA

coscoscos 2211 AAA

sinsinsin 2211 AAA

Musí platit pro všechna t, tj. musí se rovnat koeficienty u sin(t) a cos(t):

Skládání (superpozice) oscilací

Použijeme vztah:

Má tedy platit:

Otázka:

Grafická interpretace: sčítání vektorů

11 cos A

11 sin A

22 cos A

22 sin A

sinA

cosA

1

2

coscoscos 2211 AAA

sinsinsin 2211 AAA

K elastické síle přidáme sílu odporu prostředí působící proti rychlosti

bvkxF

0d

d

d

d2

2

tkxt

txb

t

txm

Tlumení: prostředí obvykle klade odpor

Pohybová rovnice pak má tvar:

Toto je nejjednodušší případ: síla odporu je úměrná rychlosti.

Opět homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty

opět hledáme řešení ve tvaru ttx e

Opět rovnice druhého řádu

opět čekáme dvě řešení charakteristické rovnice pro neznámou .

ii

22

2222

0

220

22

222

2

m

b

m

k

m

b

m

b

m

k

m

b

m

b

m

k

m

b

220

0

2

m

k

m

b

původní frekvence bez tlumení

Účinek tlumení:

Charakteristická rovnice:

Doplnění na čtverec:

Řešení:

kde jsme zavedli: koeficient tlumení

frekvence s tlumením

● zmenšení frekvence z 0 na ● přidání záporné reálné části - exponenciální pokles amplitudy

Obecné řešení má proto tvar: tAtx t cose

Graficky:

Přidáme periodickou vnější (externí) sílu, která bude kompenzovat ztráty kvůli odporu:

ΩtFbvkxΩtFbvkxF iextext ecos

Budeme proto řešit rovnici ΩtFtkx

t

txb

t

txm i

ext2

2

ed

d

d

d

a pak z řešení vezmeme reálnou část .

Vnější síla rovnice je nehomogenní.

Obecné řešení = obecné řešení homogenní rovnice (už máme—tlumené oscilace)+ jedno partikulární řešení nehomogenní rovnice

Partikulární řešení budeme hledat ve tvaru ΩtAtx ie

Nucené oscilace

A tentokrát není volný parametr, nýbrž ho musíme určit dosazením do rovnice.

Dosazení do rovnice dá: kbΩmΩ

FAFkbΩmΩA ΩtΩt

ieei

2exti

exti2

A je komplexní číslo…obsahuje amplitudu i fázový posun. Amplituda je daná velikostí čísla A:

22220

2

ext

222

02

ext

4

//

ΩβωΩ

mF

mbΩ

ωΩ

mFA

Výraz pod odmocninou doplníme na čtverec:

2220

40

2220

240

220

24 2222 βωωβωΩωβωΩΩ

Resonance (maximální amplituda) pro: 220res 2βωΩ

…nižší než frekvence tlumených kmitů

Hodnota amplitudy v maximu:

220

ext

2220

40

ext

4res

40

extres

22

//

βωmβ

FmF

Ω

mFA

220

roste s klesajícím , jak ukazuje resonanční křivka:

Příklad

220res 2βωΩ

a) Při jaké rychlosti se vůz začne prudce rozhoupávat vlivem nárazů na spoje kolejnic?

b) Jaká je přitom amplituda vzniklých oscilací vozu, je-li síla nárazů na spoje kolejnic Fext = 30 [N]?

Prázdný železniční vůz má hmotnost m = 2000 [kg]. Při zatížení nákladem o hmotnosti M = 3000[kg] se pružiny kol zkrátí o délku x = 6 [cm]. Koeficient tlumení pružin má hodnotu = 0,001 [s-1]. Vůz s nákladem jede po kolejnicích délky d =12,56 [m].

kdeMm

k

0

a) Vůz se začne prudce rozhoupávat, když nárazy na spoje kolejnic vyvolají resonanci pružin.

Resonanční úhlová frekvence pružin

Řešení:

Konstantu pružnosti k určíme z údaje, že při zatížení nákladem hmotnosti M se pružiny zkrátí o x

x

MgkxkMg

1-2-

0 s100.06m

ms10

5

3

x

g

Mm

M

Mmx

Mg

-1-16220res s10s1021002 βωΩ

Tlumení změní resonanční frekvenci o stomiliontinu! Vliv na res můžeme zanedbat.

K resonanci dojde, když perioda oscilace pružin bude rovná době mezi nárazy kolejnic, tj.

km/h72m/s20s106.28

m56.12

π2

π2

1-0

res

dv

ΩT

v

d

Dosazení dá:

b)

0

ext

220

extres 22 βMm

F

βωβMm

FA

Tlumení můžeme zanedbat pod odmocninou ale ne před odmocninou.

Číselně:30cmm103

s10s01kg10

N30 1113-4res

A

Statické zatížení hmotností 3000kg (tj. silou 30 000N) zkrátilo pružiny o 6cm kdežto v resonanci 1000menší síla vyvolala 5větší amplitudu! To je dáno malou hodnotou poměru /0 (viz resonanční křivka).

Asi nejdramatičtější případ resonance:

2 oscilátory: mezikrok na cestě k vlnám

21 xx m

k

21 xx

Stejné hmotnosti, stejné tuhosti postranních pružin k, jiná tuhost prostřední pružiny k´

2 mody: prostřední pružina se nenatahuje:

střed pružiny v klidu

kk 2

m

kk

2

celková elastická konstanta =

Matematika potvrdí fyzikální intuici:

txtxktkxtxt

m

txtxktkxtxt

m

12222

2

12112

2

d

d

d

d

txtxktxtxt

m 21212

2

d

d

txtxkktxtxt

m 12122

2

2d

d

m

kk

m

k

2

Pohybové rovnice:

Součet:

Rozdíl:

Rovnice harmonických oscilací s úhlovými frekvencemi

Řetězec oscilátorů

xn-1 xn xn+1

Fn

xn výchylka z rovnováhy n-tého oscilátoru

x x

k km m mV rovnováze:

Vychýlení z rovnováhy:

11 nnnnn xxkxxkF

Síla na n-tý oscilátor:

síla od (n-1)ho oscilátoru

síla od (n+1)ho oscilátoru

Pohybová rovnice: txtxtx

m

k

t

txnnn

n 2d

d112

2

tqxqnn tx ieŘešení hledáme ve tvaru:

q udává změnu fáze na jednotku délky mezi oscilátory…prostorová obdoba úhlové frekvence

Čekáme, že na vlnočtu q bude záviset frekvence —viz případ dvou oscilátorů:

Vztah mezi vlnočtem a vlnovou délkou jako mezi úhlovou frekvencí a periodou:

λq

π2

Odsud do konce přednášky: rozumí se, že z komplexních čísel bereme reálnou část.

● Fázový rozdíl byl 0 nebo (součet nebo rozdíl poloh). ● Frekvence rostla s fázovým rozdílem.

Závislosti úhlové frekvence na vlnočtu (q) se říká dispersní relace.

Tím jsme zavedli novou proměnnou q zvanou vlnočet (vlnový vektor).

Dispersní relace pro řetězec

2sin41cos22ee 2ii2 xq

m

kxq

m

k

m

kq xqxq

Dosadíme tvar řešení do pohybové rovnice a dostaneme:

2

sin2xq

m

kq

Frekvence roste s vlnočtem až do maximální hodnoty 20 pro q = /x

Vlnočet se někdy (např. tady na obrázcích) značí písmenem k a rovnovážná vzdálenost oscilátorů písmenem a

Máme oscilátory hustěji a hustěji:

2

22

11

1

,2

,

x

txxtxtxtx

x

txxtxtx

nnn

nn

Spojitá limita

Místo pořadového čísla oscilátoru n zavedeme spojitou proměnnou polohy x.

tqqxn txtx ie,

Výchylka n-tého oscilátoru se tak stane funkcí spojité proměnné x:

Rozdíly přejdou v prostorové derivace:

0x

xxn n-tý oscilátor

0

Výchylka n-tého oscilátoruv lineárním řetězci v čase t Výchylka spojitého lineárního oscilujícího

prostředí v místě x a čase t

Pohybová rovnice: txtxtxm

k

t

txnnn

n 2d

d112

2

2

22

2

2 ,,

x

tx

m

kx

t

tx

Při limitním přechodu 0x zároveň pošleme 0, mk

Tím zůstane konstantní i m

kx 2 Tuto konstantu označíme c2.

Pak pohybová rovnice má tvar:

Říká se jí vlnová rovnice a je to jedna z nejčastěji se vyskytujících rovnic ve fyzice.

Disperzní relace dostane ve spojité limitě tvar:

qcxq

m

kxq

m

kq

2

22

sin2

2

22

2

2 ,,

x

txc

t

tx

tak,

aby zůstaly konstantní modul pružnosti kx a hustota m/x.

Fyzikální význam c: fáze v čase t+t = ttcqqxttqx

Vlna se posunula o ct doprava.

Takže c je rychlost bodu s danou fází (např. maxima, minima, nuly)…fázová rychlost

Pro q > 0: ttcxqttcqqx

Obdobně pro q < 0: vlna se posune o ct doleva.

Navíc znaménko q určuje směr šíření vlny.

Tc

Odtud:

—změna vlny při pohybu zdroje a pozorovatele

Rychlost zdroje vZ změna vlnové délky

TvcTv zz

z

p

z

pp

π2π2

vc

vc

Tvc

vcvcqc

fvc

vcf

z

p

Pohyb pozorovatele: vP

Tf

1

Dopplerův jev

Rychlost vlnění vůči pozorovateli je Pvcc

vZ > 0 pokud se zdroj pohybuje k pozorovatelivP > 0 pokud se pozorovatel pohybuje ke zdroji

Úhlová frekvence, kterou měří pozorovatel:

Frekvence se změní stejným způsobem

Znaménka:

Pohyb zdroje:

Skládání (superpozice) vlnJako u oscilátoru: Vlnová rovnice je lineární

2

22

2

2 ,,

x

txc

t

tx

Součet dvou řešení je zase řešení.

Uvážíme tři případy:

● Dvě vlny s blízkými vlnočty a frekvencemi…grupová rychlost

● Více (až nekonečně mnoho) takových vln…vlnový balík

● Dvě vlny se stejným vlnočtem a frekvencí ale opačným směrem šíření…stojaté vlny

Vezměme součet dvou řešení s blízkými vlnočty a frekvencemi ,qq

txqAAA tqxtxqqtxqq cose2ee iii

modulovaná vlna

Obálka se pohybuje grupovou rychlostí:

qqv

d

dg

Grupová rychlost je obecně jiná než fázová.

cqPro lineární dispersi jsou stejné.

Grupová rychlost

qπ

nosná vlna modulační obálka

π

Obálka má dlouhou vlnovou délku a dlouhou časovou periodu

=

cv gToto je případ, kdy

PříkladUrčete poměr fázové a grupové rychlosti vln ve vodě.

2

2

1

d

d

d

d

g

2/1g

v

c

qgq

qg

q

qv

q

g

q

qc

gqq

Z rozměrové analýzy:

Odtud fázová rychlost:

Grupová rychlost:

Poměr:

Řešení:

Toto je případ, kdy cv g

Sečteme více než dvě (až nekonečně mnoho) vln s blízkými vlnočty a frekvencemi:

qqAtx tqqx de, i

● Balík je tím užší, čím více vlnových délek použijeme a naopak je tím širší, čím méně vlnových délek použijeme.

relace neurčitosti…fundamentální význam v kvantové mechanice

● Balík vznikne kvůli interferenci: konstruktivní v maximu, destruktivní dál od maximavíce o interferenci v optice.

● Pohybuje se grupovou rychlostí.

Vlnový balík

a dostaneme vlnový balík:

Sečteme dvě vlny šířící se v opačných směrech:

ttqxtqx qxAAAtx iii ecos2ee,

Oddělí se časová a prostorová závislost…vlna se nepohybuje:

Stojatá vlna

K tomu může dojít kvůli okrajovým podmínkám. Tím se zároveň vyberou jen některé vlnové délky.

Například výchylka zafixovaná na nulu ve vzdálenosti d:

2

n

d

V kvantové mechanice pak uvězněná částice může mít jen některé energie.

Tím se zároveň vyberou jen některé frekvence…viz struna na kytaře nebo vzduch v píšťale.

Pak d musí být celočíselný násobek délky půlvlny:

Příště: optika

Světlo jsou vlny.

Různé chování podle toho, jestli se pohybuje na vzdálenostech srovnatelných s vlnovou délkou nebo podstatně větších.