BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan sebuah ilmu yang sangat penting dalam membantu perkembangan pemikiran dan menciptakan sesuatu yang baru yang membantu segala aktivitas manusia.Matematika merupakan alat yang sangat penting dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Oleh karena itu, mahasiswa dituntut untuk mengetahui berbagai konsep matematika. Mata kuliah Matematika Ekonomi dirancang untuk memenuhi kebutuhan ini, yaitu membekali Anda dengan berbagai konsep matematika dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Penjelasan dan uraian dalam setiap kegiatan belajar dikemukakan dengan penjelasan konsep dan kemudian diikuti dengan contoh serta penggunaannya dalam ilmu ekonomi dan bisnis. Materi pembahasan mata kuliah ini merupakan pendalaman dan perluasan terhadap materi yang telah 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika merupakan sebuah ilmu yang sangat penting dalam membantu
perkembangan pemikiran dan menciptakan sesuatu yang baru yang membantu
segala aktivitas manusia.Matematika merupakan alat yang sangat penting dalam
mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Oleh karena itu, mahasiswa dituntut
untuk mengetahui berbagai konsep matematika. Mata kuliah Matematika
Ekonomi dirancang untuk memenuhi kebutuhan ini, yaitu membekali Anda
dengan berbagai konsep matematika dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan
bisnis. Penjelasan dan uraian dalam setiap kegiatan belajar dikemukakan dengan
penjelasan konsep dan kemudian diikuti dengan contoh serta penggunaannya
dalam ilmu ekonomi dan bisnis. Materi pembahasan mata kuliah ini merupakan
pendalaman dan perluasan terhadap materi yang telah dipelajari pada mata kuliah
sebelumnya, yaitu mata kuliah Matematika Ekonomi.
Bertujuan untuk memberikan konsep-konsep dan teknik-teknik dalam
matematika terapan yang sering digunakan untuk analisis ekonomi, bisnis dan
keuangan. Materi yang dibahas adalah himpunan permutasi dan kombinasi
derivatif fungsi yang terdiri dari banyak variabel bebas, matriks, nonlinier
programming, diferensial, integral, serta perkenalan materi yang menyangkut ke
dalam matematika ekonomi. Mahasiswa diharapkan dapat melakukan
1
perbandingan antara permutasi dan kombinasi, persamaan fungsi linier, integral
tertentu dan tak tentu, dan matriks, dsb.
B. Rumusan Masalah
Apa saja pengertian dan contoh dan penyelesainya dari
Tentang Himpunan
Tentang Permutasi dan Kombinasi
Fungsi
Aplikasi dalam Ekonomi
Limit dan Kesinambungan Fungsi
Difensial Fungsi Sederhana Fungsi Sederhana
Difensial Fungsi Sederhana Fungsi Majemuk
Intergral
C. Tujuan
Penyusunan makalah ini memiliki beberapa tujuan yang ingin di capai,
diantaranya:
Untuk memebrikan pemahaman mengenai materi yang ada dalam makalah
ini, semoga kita semua bisa benar-benar memahami tentang materi apa yang
dibahas dalam makalah ini dan dapat menjadikan kita lebih giat dan teliti dalam
belajar terutama dalam mencapai tujuan apa yang kita inginkan.
2
BAB II
PEMBAHASAN
HIMPUNAN
Teori himpunan bersifat sangat mendasar dalam matematika. Ia mendasari hampir
semua cabang ilmu hitung moderen. Berkenaan dengan sifat mendasarnya itu, maka
pada bagian buku ini terlebih dahulu dibahas hal ikhwal yang berhubungan dengan
teori himpunan (set theory)
1.1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Obyek-
obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut aggota, atau
elemen, atau unsur. Obyek-obyek suatu himpunan sangat bervariasi; bisa berupa
orang-orang tertentu, hewan-hewan tertentu, tanam-tanaman tertentu, benda-
benda tertentu, buku-buku tertentu, angka-angka tertentu dan sebagainya.
1.2 Operasi Himpunan : Gabungan, Irisan, Selisih Dan Pelengkap
Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A
B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A atau obyek-
obyekl milik B.
3
A B = { x: x A atau x
Irisan (intersection)dari himpunan A dan B, dituliskan dengan notasi A B
adalah himunan yangberanggotakan baik obyek milik A maupun obyek milik B;
dengan perkataan lain, beranggotakan obyek-obyek yang dimiliki Adan B secara
bersama.
Dalam hal A B = , yakni jika A dan B tidak mempunyai satupun anggota
yang dimiliki bersama, maka A dn B dikatakan (disjoint).
Selisih himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A – B atau A|B,
adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A yang bukan obyek
milik B
Notasi
a. Dengan mendaftar seluruh anggotanya di antara kurung kurawal buka dan
tutup (tabular form)
b. Dengan menyatakan sifat anggotanya
c. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh : A = {1,2,3,4,5}
= himpunan bilangan asli yang lebih kecil daripada 6
= {x|x adalah bil. Asli yang lebih kecil dari 6}
4
A B = { x: x A dan x
A B A|B ={ x: x A tetapi x
Himpunan kosong
Himpunan yang tidak memiliki anggota, dilambangkan dengan { } atau
Himpunan berhingga dan tak berhingga
Himpunan bagian (subhimpunan)
A adalah himpunan
bagian B
-Syarat:
Tiap x A, maka x B
-Notasi
A B atau B A
- Himpunan kosong juga merupakan himpunan
bagian dari suatu himpunan
Kesamaan himpunan
Himpunan A sama dengan himpunan B bila seluruh elemen himpunan A ada
dalam himpunan B dan seluruh elemen himpunan B ada dalam himpunan A
Himpunan yang berpotongan
Himpunan A dan B memiliki elemen bersama
5
A12
B1234
A B
S
Himpunan saling lepas
Himpunan A dan B tidak memiliki elemen bersama
G = { 4, 5, 6 }
H = { 7, 8, 9 }
Himpunan semesta
super himpunan dari himpunan yang bersangkutan
atau
Himpunan dari himpunan-himpunan
Disebut juga dengan keluarga himpunan
Himpunan Kuasa
Keluarga himpunan yang beranggotakan semua sub himpunan dari suatu
himpunan A disebut dengan himpunan kuasa A
Contoh : Jika K = {1,2}, maka himpunan kuasa K adalah 2k = {{},{1},{2},{1,2}}
Operasi Dasar Himpunan
1. Gabungan (Union)
6
US
Notasi Union antara himpunan A dan B dilambangkan A B
2. Irisan (Intersection)
Notasi interseksi antara himpunan A dan B dilambangkan A B
3. Komplemen
Notasi komplemen himpunan A adalah A`
4. Selisih (difference)
Notasi selisih himpunan A dan B adalah A-B
7
S
A B
S
A B
S
A
NB : dalam kasusu ini , hasilnya adalah elemen yang termasuk
anggota himpunan A namun tidak termasuk himpunan B
5. Jumlah (symmetry difference
Notasi juga A-B, tapi yang dihasilkan adalah himpunan elemen-elemen A
dan B namun tidak termasuk irisan keduanya
Sifat Operasi Himpunan
1. Komutatif
A B = B A , berlaku pula utk irisan
(A B) C = A (B C)
2. Distributif
(A B) C = (A B) (A C)
8
S
A B
S
A B
3. Idempoten
A A = A
A A = A
4. Identitas
A U = A dan A = A, berlaku pula untuk irisan
5. Komplementer
A A` = U
A A` =
6. De Morgan
(A B)` = A` B`
(A B)` = A` B`
7. Penyerapan
A (A B) = A
A (A B) = A
9
PERMUTASI DAN KOMBINASI
Coba perhatikan contoh-contoh di bawah untuk memahami Permutasi dalam konsep
Peluang pada pelajaran Matematika.
Contoh I:
{a,b,c}
Jika dipilih 2 dari 3 unsur tersebut, maka banyaknya permutasi dari 3 unsur setiap
pengambilan 2 unsur adalah 6, yaitu ab, ba, ac, ca, bc, cb.
Ditulis 3P2 = 6.
Contoh II:
{a,b,c}
maka, banyaknya permutasi dari 3 unusr setiap pengambilan 3 unsur adalah 6, yaitu
Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(x) dimana P adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk marjinalnya
57
MU = U’ = dU dQ
Contoh : Produksi total = P = f(x) = 9x² - x³ Produk marjinal = MP = P’ = 18x – 3x² P maksimum pada P’ = 0 yakni pada X = 6 dengan P maks + 108. P berada pada titik belok dan MP maks pada P” = (MP)’ = 0 ; Yakni pada X = 3
P, MP
108P = f(x)
54
27
X0 3 6 MP
58
MP = P’ = dP dX
6. Analisis Profit Maksimum
Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum dapat disidik dengan
pendekatan diferensial. Karena baiak penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya
(Cost, C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan/terjual
(Quantity, Q), maka di sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan
(π). Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit):
1. π’ = 0
2. π’’ < 0
dimana
π = R – C
Contoh 1:
Diketahui: R = – 2Q2 + 1000Q
C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
Ditanyakan:
a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?
b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum?
c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan
maksimum?
d. Berapa harga jual per unit pada saat perusahaan mencapai keuntungan
maksimum?
59
e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?
Penyelesaian:
a. π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000)
π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000
π’ = – 3Q2 + 114Q – 315
Agar keuntungan maksimum:
Syarat 1. π’ = 0
π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0
Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan pemfaktoran)
Syarat 2. π’’ < 0,
Q1 = 3, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96
Q2 = 35, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96 √
Karena syarat ke 2 untuk Q = 35 hasilnya < 0, maka tingkat produksi
yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit.
b. Biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum:
C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
C = 353 – 59.(352)+ 1315.(35) + 2000
C = 18.625
60
c. Besarnya pendapatan:
R = – 2Q2 + 1000Q
R = – 2.(352)+ 1000.(35)
R = 32.550
d. Harga jual per unit:
R = P.Q, maka P = R/Q
P = 32550/35 = 930/unit
e. Adapun besarnya keuntungan maksimum tersebut adalah:
π = - (35)3 + 57 (35)2 – 315 (35) – 2000 = 13.925
atau:
π = R – C
π = 32.550 – 18.625 = 13.925
61
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
Fungsi dengan dua variabel atau lebih variabel bebas ini sering kita jumpai dalam
penerapan bidang ekonomi dan bisnis. Karena dalam kenyataannya, bila ditelusuri
lebih mendalam biasanya suatu variabel terikat (dependent variable) akan
dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas (independent variables). Namun, perlu
diingat bahwa di antara variabel-variabel bebas ini ada yang saling mempengaruhi
(interdependency), dan ada pula yang tidak saling mempengaruhi (independent) satu
sama lainnya. Hal inilah yang perlu diperhatikan bilamana akan membuat suatu
model ekonomi atau bisnis, aga
r dalam analisisnya nanti akan diperoleh hasil yang sesuai dan akurat.
1. Diferensiasi parsial
Misalkan, kita mempunyai suatu fungsi dengan n variabel bebas,
Y = f (X1,X2,..........................Xn)
di mana variabel bebas X1,X2, dan seterusnya sampai Xn adalah tidak saling
mempengaruhi (independent) satu sama lainnya. Jika variabel terikat Y
berubah yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu varibel bebas yang
sangat kecil (katakannlah X1), sedangkan variabel bebas lainnya katakanlah
(X2,X3, ... , Xn) tidak berubah atau konstan, maka hal ini dapat disebut sebagai
62
derivatif parsial dari Y terhadap X1. Selanjutnya , hal yang serupa bila
variabel bebas X2 yang berubah-ubah dan variabel bebas lainnya konstan,
maka kita sebut derivatif parsial dari Y terhadap X2. Dengan demikian,
derivatif parsial dapat didefinisikan sebagai tingkat perubahan seketika dari
variabel terikat Y yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu variabel
bebas X, dimana variabel bebas X lainnya dianggap konstan.
Simbol dari derivatif parsial adalah huruf kecil delta yaitu ∂ atau
dengan huruf kecil d. Jadi, derivatif parsial Y terhadap X1, dapat ditulis
menjadi,
∂ Y atau dy atau Fxx dan Fyy atau Fx’ dan Fy’
∂ X1 dx
Penulisan lain derivatif parsial dari suatu fungsi,
Y = f (X1,X2,....Xn) adalah f1,f2, ..... fn
Penulisan ini hampir sama dengan penulisan f’(X) pada fungsi dengan satu
variabel bebas. Namun, bilamana fungsi tidak ditulis dalam bentuk seperti di
atas, melainkan fungsi ditulis dalam bentuk seperti,
Y = f (U,V,W), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau
∂Y/∂U, atau ∂Y/∂V, dan ∂Y/∂W.
63
Jadi, penulisan derivatif parsial secara umum dari fungsi,
Y = f (X1,X2,....Xn) adalah,
di mana: i = 1,2,.....,n
Proses untuk mencari derivatif parsial disebut diferensial parsial. Teknik
diferensiasi parsial ini berbeda dengan aturan diferensiasi fungsi dengan satu
variabel bebas. Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas
hanya akan memiliki satu macam turunan yaitu : jika y = f (x) maka y’ =
dy/dx. Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel
bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, atau jika suatu
fungsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanyak n turunan.
Jika y = f (x,z) maka akan ada 2 y’ yaitu y’ = dy/dx dan y’ = dy/dz. Untuk
membedakan turunan terhadap x dan z maka biasanya akan diberi notasi Fx
untuk turunan terhadap x dan Fz untuk turunan terhadap z.
64
fi atau ∂Y∂Xi
Contoh :
Y = 3x² - 8xz – 5 z² maka Fx = dy/dx = 6x – 8z dan
Fz = dy/dz = -8x –10 z
2. Derivatif dari derivatif parsial
Seperti halnya dengan fungsi dengan satu variabel bebas maka fungsi yang
memiliki lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu
kali. Dengan kata lain masing-masing parsialnya masih mungkin diturunkan
lagi, namun berapa banyak turunan dari turunan parsial dapat dibentuk