Kel 4-Aljabar Boole

LOGO

ALJABAR BOOLERangkaian Ekuivalen

IC TTL

Penyederhanaan Rangkaian

LOGO

Hukum-Hukum Aljabar Boole

1. Hukum Komutatif

a) Untuk Gerbang Logika OR

Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B dapat dipertukarkan tempatnya dengan mengubah urutan sinyal-sinyal masukan.

A + B = B + A = Y

B

A

LOGO

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

B A Y

0 0 0

1 0 1

0 1 1

1 1 1

LOGO

b) Untuk Gerbang Logika AND

Gerbang AND dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B dapat ditukar tempatnya dan dapat diubah urutan sinyal-sinyal masukannya.

A . B = B . A = Y

Contoh :

BA

LOGO

A B Y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

B A Y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

LOGO

2. Hukum Asosiatif

a) Untuk Gerbang Logika OR

Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dikelompokkan tempatnya dan dapat diubah urutan sinyal-sinyal masukannya.

A + (B + C) = (A + B) + C

Keluarannya akan tetap sama dengan

Y = A + B + C

LOGO

Contoh :

C

A

CB

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

LOGO

b) Untuk Gerbang Logika AND

Gerbang AND dengan 3 masukan tertentu, A, B, dan C, dapat dikelompokkan tempatnya dan dapat diubah urutan sinyal-sinyal masukannya.

A . (B . C) = (A . B) . C

Artinya keluarannya akan tetap sama dengan

Y = A . B . C

LOGO

B

C

A

C

BA

Y

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

LOGO

Fungsi – Fungsi Khusus

Aljabar Boole

LOGO

bermula dari sebuah persamaan Boole yang dapat diturunkan menjadi persamaan boole lainnya.

Berguna untuk menghasilkan hubungan boole yang baru,langkahnya:

TEOREMA DUALISME

Gantikan setiap tanda OR dengan sebuah tanda AND

Gantikan setiap tanda AND dengan sebuah tanda OR

Setiap 0 dan 1 diganti dengan komplemennya

LOGO

Example:Note:untuk OR mengganti B dengan 0 dan AND mengganti B dengan 1

A+0=A

A.1=A

LOGO

Manfaat teorema dualitasContoh persamaan

Menghasilkan hubungan Boole yang baru

A.(B+C)=A.B+A.C

A

C

B

LOGO

TEOREMA PERTAMA

TEOREMA KEDUA

DAPAT MEREDUKSI RANGKAIAN-RANGKAIAN LOGIKA YANG RUMIT MENJADI SEDERHANA

HUKUM DE MORGAN

Hubungan antara gerbang logika kombinasional NOR dengan gerbang

logika dasar AND dan inverternya

Hubungan antara gerbang logika kombinasi NAND dengan gerbang

logika kombinasi OR dan inverternya

LOGO

1.Teorema pertama Persamaan Boole Gerbang logika NOR

Gerbang logika NOR dapat digantikan dengan gerbang logika yang setara yaitu gerbang logika AND yang kedua masukannya dibalik menggunakan gerbang logika inverter(NOT)

LOGO

Tabel kebenarannya

A B0 0 11 0 00 1 01 1 0

A B0 0 11 0 00 1 01 1 0

HASILNYA SETARA(EKIVALEN)

LOGO

2.TEOREMA KEDUAGerbang logika NAND dapat

digantikan dengan gerbang logika yang setara yaitu gerbang logika OR dengan kedua masukannya dibalik menggunakan gerbang logika inverter(NOT)

Persamaan Aljabar Boolenya:

LOGO

A B0 0 11 0 10 1 11 1 0

A B0 0 11 0 10 1 11 1 0

HASILNYA SETARA (EKIVALEN)

LOGO

NO Gerbang OR

Gerbang AND

Keterangan

1 A+B=B+A A.B=B.A Hukum komutatif

2 A+(B+C)=(A+B)+C

A.(B.C)=(A.B).C

Hukum asosiatif

3 A.(B+C)=A.B +A.C

A+B.C=(A+B).(A+C)

Hukum distributif

4 A+0=A=A.1 A.1 =A=A+0 Teorema dualitas

5 A.(B+C)=A.B+A.C

A+B.C=(A+B)(A+C)

Teorema dualitas

6 A+0=A A.0=0 Hukum aljabar boole

7 A+1=1 A.1=A Jika dengan 1

8 A+A=A A.A=A Identitas

12 A+A.B=A A.(A+B)=A Aljabar boole jumlah hasil kali

LOGO

Contoh dan Penerapan Aljabar Boole dalam Teknik Digital

1. Diketahui satu persamaan aljabar Boole, yaitu Y = AB + AC + BD + CD

Sederhanakan persamaan tersebut dengan cara faktorisasi!

Jawab :

Y = AB + AC + BD + CD = ?

LOGO

Sifat-Sifat Khusus Aljabar Boole

Secara umum aturan aljabar biasa dengan aljabar Boole adalah sama.

Tetapi ada beberapa aturan atau kaidah aljabar Boole yang mempunyai sifat khusus yang perlu kita ketahui.

Sifat khusus dari aljabar Boole tsb membuatnya berguna dalam proses penyederhanaan rangkaian logika.

LOGO

Sifat-Sifat Khusus Aljabar BooleDalam Operasi Gerbang

OR

LOGO

Dalam operasi gerbang OR

Kaidah Pertama:

A + 0 = ASebuah gerbang OR dengan 2 masukan, jika sebuah keadaan masukannya adalah A dan yang lainnya adalah 0, akan menghasilkan kembali masukan yang semula, yaitu A.

LOGO


Hal ini dinyatakan dengan:

A + 0 =A

0

A

A A 0 Y

0 0 0

1 0 1

LOGO


Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang OR dua masukan. Salah satu masukan nya A dan yang lain 0 atau 1, hasilnya akan tetap A.

1 + 0 = 1 0 + 0 = 0

0

1

1

0

0

0

LOGO


Kaidah Kedua :

A + 1 = 1Suatu gerbang OR dengan 2 masukan, jika salah satu masukannya aktif, yang dinyatakan dengan 1 sedangkan masukan yang lainnya A, maka hasil keluarannya akan tetap 1.

LOGO


Hal ini dinyatakan dengan :

A + 1 = 1

1

A

1

A 1 Y

0 1 1

1 1 1

LOGO


Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang OR dua masukan. Salah satu masukannya adalah 1, sedang yang lain adalah 0 atau 1, hasilnya akan tetap 1

0 + 1 = 1 1 + 1 = 1

1

0

1

1

1

1

LOGO


Kaidah Ketiga :

A + A = AJika suatu gerbang OR memiliki 2 masukan yang sama, keaadan A misalnya, maka hasilnya adalah masukan tersebut.

LOGO



A + A = A

A

A

A

A A Y

0 0 0

1 1 1

A A Y

0 0 0

1 1 1

LOGO


Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang OR dua masukan. Salah satu masukannya adalah 0

atau 1, sedang yang lain juga sama, maka hasilnya akan tetap sama.

1 + 1 = 1 0 + 0 = 0

1

1

1

0

0

0

LOGO


Kaidah Keempat :

Ā + A = 1Suatu gerbang OR dengan 2 masukan, jika salah satu masukannya dinyatakan dengan A, sedangkan masukan yang lainnya

LOGO



Ā + A = 1

A

A

1

Ā A Y

0 1 1

1 0 1

LOGO


Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang OR dua masukan. Salah satu masukan nya adalah 0 atau 1, sedang yang lain adalah kebalikannya, maka hasilnya tetap 1.

0

1

1

1

0

1

LOGO

Sifat-Sifat Khusus Aljabar BooleDalam Operasi Gerbang

AND

LOGO

Dalam operasi gerbang AND

Kaidah Pertama:

A . 0 = 0Sebuah gerbang AND dengan 2 masukan, jika keadaan sebuah masukannya adalah A, sedangkan keadaan masukan yang lainnya adalah 0, maka keluarannya dinyatakan dengan 0.

LOGO



A . 0 = 0

0

A

0

A 0 Y

0 0 0

1 0 0

LOGO


Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang AND dua masukan.Salah satu masukannya adalah 0 atau 1, sedangkan yang lain adalah 0,maka keluarannya sama dengan 0.

1 . 0 = 0 0 . 0 = 0

0

1

0

0

0

0

LOGO


Kaidah Kedua :

A . 1 = ASebuah gerbang AND dengan 2 masukan, jika keadaan sebuah masukannya adalah A, sedangkan keadaan masukan yang lainnya adalah 1, maka keluarannya dinyatakan dengan A.

LOGO



A . 1 = A

1

A

A

A 1 Y

0 1 0

1 1 1

LOGO


Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang AND dua masukan. Salah satu masukannya adalah 0

atau 1, sedangkan yg lain adalah 1, maka keluarannya sama dengan 0 atau 1 juga.

1 . 1 = 1 0 . 0 = 0

1

1

1

0

0

0

LOGO


Kaidah Ketiga :

A . A = ASebuah gerbang AND dengan 2 masukan, jika keadaan sebuah masukannya adalah A, sedangkan keadaan masukan yang lainnya adalah A juga, maka keluarannya dinyatakan tetap A.

LOGO



A . A = A

A

A

A

A A Y

0 0 0

1 1 1

LOGO


Contoh : Rangkaian logika yang terdiri

dari sebuah gerbang AND dua masukan. Salah satu masukannya adalah 0 atau 1, sedangkan yg lain sama dengan masukannya, maka keluarannya sama dengan 0 atau 1 juga.

0 . 0 = 0 1 . 1 = 1

0

0

0

1

1

1

LOGO


Kaidah Keempat :

Ā . A = 0Sebuah gerbang AND dengan 2 masukan, jika keadaan sebuah masukannya adalah A, sedangkan keadaan masukan yang lainnya adalah kebalikan dari A , maka keluarannya dinyatakan tetap 0.

LOGO



Ā . A = 0

A

A

0

Ā A Y

0 1 0

1 0 0

LOGO


Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang AND dua masukan.

Salah satu masukannya adalah 0 atau 1, sedangkan yang lain kebalikan dengan masukannya, maka keluarannya sama dengan 0.

1 . 1’ = 0 0 . 0’ = 0

1

1

0

0

0

0

LOGO

Tabel Ringkasan Perbedaan Aljabar Biasa dengan Aljabar Boole

Gerbang Aljabar AljabarLogika Biasa Boole

A + 0 = A A + 0 = AOperasi A + 1 = A + 1 A + 1 = 1Gerbang OR A + A = 2A A + A = A

A + Ā = 0 A + Ā = 1A . 0 = 0 A . 0 = 0

Operasi A . 1 = A A . 1 = A

Gerbang AND A . A = A2 A . A = AA . Ā = -A2 A . Ā = 0

LOGO

Rangkaian Ekuivalen

Dalam mendesain rangkaian logika seringkali kita diminta untuk menggunakan gerbang - gerbang NAND atau NOR saja . Untuk memudahkan pelaksanaan desain tersebut , maka diberikan rangkaian ekivalen dari gerbang NAND dan NOR yaitu sebagai berikut:

LOGO

contoh 1.1:

Ubahlah rangkaian dibawah ini menjadi rangkaian yang hanya terdiri dari gerbang NAND saja.

contoh 1.2:

Ubahlah rangkaian dibawah ini menjadi rangkaian yang hanya terdiri dari gerbang

NOR saja..

LOGO

IC TTLSelama ini kita hanya mengenal symbol-symbol suatu gerbang logika. Di dalam prakteknya suatu gerbang - gerbang logika ini dikemas dalam suatu IC (integrated circuits). Salah satu diantaranya yang terkenal adalah TTL (transistor –transistor logic). Setiap IC TTL ini mempunyai seri-seri tersendiri yang sudah ditetapkan oleh pabrik. Untuk lebih jelasnya berikut ini ada lah salah satu data book dari TTL seri 74 yaitu SN74LS00 .

LOGO

Tabel gerbang IC TTLNama Gerbang Input/gerbang Jumlah

GerbangTTL

Inverter 1 6 74047408

ANDOR

234

332

741174217432

NAND 23481213

432111

74007410742074307413474133

NOR 234

432

740274277425

LOGO

SEKIANTERIMA KASIH

LOGO

Tugas : Minggu depan dikumpul

1. Sederhanakan rangkaian di bawah ini kemudian buatkan rangkaian logika penyederhanaannya ?

2. Sederhanakan dan buat tabel kebenaran dari rangkaian logika dibawah ini dan hasil dari penyederhanaan rangkaiannya !

AB

C

X

Kel 4-Aljabar Boole

Documents