KARYA ILMIAH - Repository -- Universitas Riau

KOMBINASI METODE ABABNEH DAN METODE

NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI

OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN

PERSAMAAN NONLINEAR

KARYA ILMIAH

OLEH

ISKA LAILATUL KAININIM. 1403123628

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2019

KOMBINASI METODE ABABNEH DAN METODENEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI

OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKANPERSAMAAN NONLINEAR

Iska Lailatul Kaini

Mahasiswa Program Studi S1 MatematikaJurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas RiauKampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

[email protected]

ABSTRACT

This article discusses an iterative method for solving nonlinear equations, by com-bining Ababneh’s iterative method of order four with Newton’s iterative method.The method has eight order of convergence with three function evaluations and onefirst derivative function evaluation so that based on Traub’s conjecture the methodis optimal. Numerical comparisons show that this method is comparable to theother eighth methods.

Keywords: Traub’s conjecture, iterative method, Newton’s method, nonlinear equa-tions, order of convergence

ABSTRAK

Artikel ini membahas metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, den-gan meng-upgrade metode iterasi Ababneh berorde konvergensi empat dengan caramenambah satu langkah metode iterasi Newton. Metode ini berorde konvergensidelapan dengan tiga evaluasi fungsi dan satu evaluasi fungsi turunan pertama se-hingga berdasarkan conjecture Traub metode ini optimal. Perbandingan numerikmenunjukkan bahwa metode ini sebanding dengan metode orde delapan lainnya.

Kata kunci: Conjecture Traub, metode iterasi, metode Newton, persamaan nonli-near, orde konvergensi

1. PENDAHULUAN

Salah satu masalah yang sering dijumpai di dalam matematika adalah mencariakar-akar yang memenuhi persamaan nonlinear f(x) = 0. Metode analitik danmetode numerik bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Tetapi,

1

adakalanya dimana persamaan nonlinear tidak dapat diselesaikan dengan menggu-nakan metode analitik dan hanya bisa diselesaikan dengan metode numerik. Metodeanalitik merupakan metode yang solusinya memiliki nilai kesalahan sama dengannol. Sedangkan metode numerik adalah teknik untuk memformulasikan persoalanmatematika dengan operasi hitung dan logika serta menggunakan prosedur yangdapat dikerjakan oleh komputer.

Banyak metode iterasi di dalam metode numerik yang bisa digunakan untukmenyelesaikan persamaan f(x) = 0, salah satunya metode Newton dengan bentukiterasinya sebagai berikut [5, h. 274]:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn), n = 0, 1, . . . , (1)

dengan tebakan awal x0.Dalam perkembangannya, metode Newton banyak mengalami modifikasi, yang

bertujuan untuk meningkatkan orde konvergensi dan juga untuk mengurangi nilaierror, selisih antara solusi eksak dengan solusi numerik yang didapat. Ababneh [1]menemukan varian baru metode Newton berorde empat yang bebas dari turunan ke-dua, yang mana pada iterasinya menggunakan dua evaluasi fungsi dan satu evaluasifungsi turunan pertama untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dengan bentukiterasi sebagai berikut:

yn = xn −f(xn)

f ′(xn),

xn+1 = yn −2f(yn)

f ′(xn)+

f(yn)(f(xn) + (β − 2)f(yn))

f ′(xn)(f(xn) + βf(yn))

− f ′(xn)f(yn)

f(xn)(f(xn) + βf(yn))(f(yn)

f ′(xn))2,

(2)

dengan β ∈ R.Banyak cara yang bisa digunakan untuk meningkatkan orde konvergensi, salah

satunya adalah dengan menambahkan langkah iterasi. Oleh karena itu, untukmeningkatkan orde konvergensi metode (2) Salimi et al. [7] menambahkan satulangkah iterasi, yang mana metode ini akan memerlukan empat evaluasi fungsiyaitu tiga evaluasi fungsi dan satu evaluasi fungsi turunan pertama dan mempu-nyai orde konvergensi delapan. Jadi, berdasarkan Conjecture Traub metode yangdikemukakan Salimi adalah optimal [6].

Pada artikel ini di bagian kedua dibahas kombinasi metode Ababneh dan metodeNewton dengan konvergensi optimal yang merupakan review dari artikel Salimi etal. [7], kemudian dilanjutkan di bagian ketiga dengan melakukan uji komputasimenggunakan tiga persamaan nonlinear.

2

2. KOMBINASI METODE ABABNEH DAN METODE NEWTONDENGAN ORDE KONVERGENSI OPTIMAL

Pada bagian ini dibahas metode Ababneh tiga langkah dengan cara menggabungkanmetode Ababneh dua langkah dengan metode Newton. Iterasi metode Ababneh dualangkah berbentuk sebagai berikut:

yn = xn −f(xn)

f ′(xn),

xn+1 = yn −2f(yn)

f ′(xn)+

f(yn)(f(xn) + f(yn)(β − 2))

f ′(xn)(f(xn) + βf(yn))

− f ′(xn)f(yn)

f(xn)(f(xn) + βf(yn))

( f(yn)

f ′(xn)

)2

,

(3)

dan memiliki konvergensi orde empat [1]. Selanjutnya dengan menambahkan metodeNewton pada langkah ketiga dari persamaan (3) diperoleh

yn = xn −f(xn)

f ′(xn),

zn = yn −2f(yn)

f ′(xn)+

f(yn)(f(xn) + f(yn)(β − 2))

f ′(xn)(f(xn) + βf(yn))

− f ′(xn)f(yn)

f(xn)(f(xn) + βf(yn))

( f(yn)

f ′(xn)

)2

,

xn+1 = zn −f(zn)

f ′(zn).

(4)

Kemudian nilai f ′(zn) ditaksir dengan menggunakan bentuk ekspansi Taylor ordedua dari f(x) di sekitar x = yn, yaitu

f(x) = f(yn) + f ′(yn)(x− yn) +1

2f ′′(yn)(x− yn)

2. (5)

Selanjutnya, nilai f(zn) ditaksir menggunakan persamaan (5) dan dievaluasi di se-kitar x = zn sehingga diperoleh

f(zn) = f(yn) + f ′(yn)(zn − yn) +1

2f ′′(yn)(zn − yn)

2. (6)

Kemudian, persamaan (5) diturunkan terhadap x dan dievaluasi di sekitar x = znsehingga didapat

f ′(zn) = f ′(yn) + f ′′(yn)(zn − yn). (7)

Dari persamaan (6) diperoleh nilai f ′(yn), yaitu

f ′(yn) =f(zn)− f(yn)

zn − yn− 1

2f ′′(yn)(zn − yn),

3

atau

f ′(yn) = f [zn, yn]−1

2f ′′(yn)(zn − yn). (8)

Untuk menghindari perhitungan fungsi turunan kedua pada persamaan (8), nilaif ′′(yn) ditaksir dengan menggunakan metode beda terbagi, yaitu

f ′′(yn) =2(f [zn, xn]− f ′(xn))

zn − yn, (9)

dengan f [zn, xn] = (f(zn)−f(xn))/(zn−xn) menyatakan beda terbagi orde pertama[4, h.125]. Persamaan (9) dapat juga ditulis menjadi

f ′′(yn) = 2f [zn, xn, xn], (10)

dimana f [zn, xn, xn] merupakan beda terbagi orde kedua [2, h. 127].Selanjutnya, persamaan (8) dan (10) disubstitusikan ke persamaan (7), sehingga

didapatf ′(zn) = f [zn, yn] + f [zn, xn, xn](zn − yn). (11)

Kemudian, persamaan (11) disubstitusikan ke bentuk ketiga dari persamaan (4),sehingga diperoleh

yn = xn −f(xn)

f ′(xn),

zn = yn −2f(yn)

f ′(xn)+

f(yn)(f(xn) + f(yn)(β − 2))

f ′(xn)(f(xn) + βf(yn))

− f ′(xn)f(yn)

f(xn)(f(xn) + βf(yn))

( f(yn)

f ′(xn)

)2

,

xn+1 = zn −f(zn)

f [zn, yn] + f [zn, xn, xn](zn − yn).

(12)

Selanjutnya, bentuk ketiga dari persamaan (12) ditambah dengan fungsi bobotη(tn) dan φ(un) sehingga didapat

yn = xn −f(xn)

f ′(xn),

zn = yn −2f(yn)

f ′(xn)+

f(yn)(f(xn) + f(yn)(β − 2))

f ′(xn)(f(xn) + βf(yn))

− f ′(xn)f(yn)

f(xn)(f(xn) + βf(yn))

( f(yn)

f ′(xn)

)2

,

xn+1 = zn −f(zn)η(tn)φ(un)

f [zn, yn] + f [zn, xn, xn](zn − yn),

(13)

dengan

tn =f(yn)

f(xn), (14)

4

dan

un =f(zn)

f(xn). (15)

Persamaan (13) disebut dengan metode Ababneh tiga langkah. Selanjutnya,akan diselidiki orde konvergensi metode iterasi pada persamaan (13).

3. ANALISIS KEKONVERGENAN

Analisis kekonvergenan dari metode (13) dibahas pada Teorema 1.

Teorema 1 Misalkan fungsi f : D ⊂ R → R, η, dan φ terdiferensial secukupnyadan fungsi f memiliki pembuat nol sederhana, x∗ ∈ D. Jika tebakan awal x0 adalahcukup dekat x∗, maka metode iterasi pada persamaan (13) konvergen ke akar denganorde konvergensi delapan selama dipenuhi kondisi

η(0) = 1, η′(0) = 0, η′′(0) = 0, dan η(3)(0) = −24(2 + β),

φ(0) = 1 dan φ′(0) = 2.

Bukti. Misalkan fungsi f memiliki x∗ pembuat nol sederhana dan f ′(x∗) ̸= 0.Dengan melakukan ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = x∗, hingga orde sembilandan mengabaikan orde yang lebih tinggi sehingga diperoleh

f(x) = f(x∗) + f ′(x∗)(x− x∗) +1

2!f ′′(x∗)(x− x∗)2

+1

3!f ′′′(x∗)(x− x∗)3 +

1

4!f (4)(x∗)(x− x∗)4

+1

5!f (5)(x∗)(x− x∗)5 +

1

6!f (6)(x∗)(x− x∗)6

+1

7!f (7)(x∗)(x− x∗)7 +

1

8!f (8)(x∗)(x− x∗)8

+O(x− x∗)9. (16)

Selanjutnya, persamaan (16) dievaluasi di sekitar x = xn, mengingat en = xn − x∗

[10] dan f(x∗) = 0 setelah penyederhanaan didapat

f(xn) = f ′(x∗)

(en + c2e

2n + c3e

3n + c4e

4n + c5e

5n + c6e

6n + c7e

7n + c8e

8n

)+O(e9n),

(17)

dengan

ck =1

k!

f (k)(x∗)

f ′(x∗), k = 2, . . . , 8.

Selanjutnya untuk mendapatkan f ′(xn) dilakukan proses yang sama sebagaimana

5

mendapatkan persamaan (17) sehingga diperoleh

f ′(xn) = f ′(x∗)

(1 + 2c2en + 3c3e

2n + 4c4e

3n + 5c5e

4n + 6c6e

5n + 7c7e

6n

+ 8c8e7n + 98e

8n

)+O(e9n). (18)

Kemudian, persamaan (17) dan persamaan (18) disubstitusikan ke bentuk per-tama pada persamaan (13) dengan xn = en + x∗, sehingga didapat

yn = x∗ + c2e2n + (−2c22 + 2c3)e

3n + (4c32 − 7c2c3 + 3c4)e

4n + (−8c42

+ 20c22c3 − 6c23 − 10c2c4 + 4c5)e5n + (16c52 − 52c32c3 + 28c22c4

− 17c3c4 + c2(33c23 − 13c5) + 5c6)e

6n + (128c42c3 − 12c24

+ 18c33 + 6c7 + 92c3c4c2 − 22c3c5 − 32c62 − 72c32c4 − 126c23c22

− 16c2c6 + 36c22c5)e7n + (−27c3c6 − 304c52c3 + 75c23c4 + 44c22c6

+ 176c42c4 + 64c72 − 92c32c5 − 135c33c2 + 408c23c32 − 31c4c5

+ 118c3c5c2 − 19c2c7 + 64c24c2 + 7c8 − 348c3c4c22)e

8n +O(e9n). (19)

Misalkan en,y = yn−x∗. Dengan menggunakan persamaan (17) dan (18) sehinggadiperoleh

en,y = c2e2n + (−2c22 + 2c3)e

3n + (4c32 − 7c2c3 + 3c4)e

4n + (−8c42 + 20c22c3 − 6c23

− 10c2c4 + 4c5)e5n + (16c52 − 52c32c3 + 28c22c4 − 17c3c4 + c2(33c

23 − 13c5)

+ 5c6)e6n + (128c42c3 − 12c24 + 18c33 + 6c7 + 92c3c4c2 − 22c3c5 − 32c62

− 72c32c4 − 126c23c22 − 16c2c6 + 36c22c5)e

7n + (−27c3c6 − 304c52c3 + 75c23c4

+ 44c22c6 + 176c42c4 + 64c72 − 92c32c5 − 135c33c2 + 408c23c32 − 31c4c5

+ 118c3c5c2 − 19c2c7 + 64c24c2 + 7c8 − 348c3c4c22)e

8n +O(e9n), (20)

dan untuk nilai f(yn) didapat

f(yn) = f ′(x∗)(en,y + c2e2n,y + c3e

3n,y + · · ·+ c8e

8n,y) +O(e9n,y). (21)

Selanjutnya dengan melakukan langkah yang sama untuk mendapatkan f(yn),dari persamaan (17), (18) dan (21) diperoleh

f(zn) = f ′(x∗)(en,z + c2e2n,z + c3e

3n,z + · · ·+ c8e

8n,z) +O(e9n,z). (22)

Kemudian, untuk mendapatkan η(tn), diekspansikan η(t) menggunakan ekspansiTaylor di sekitar t = 0 dengan mengevaluasinya di sekitar t = tn diperoleh

η(tn) = η(0) + tnη′(0) +

t2n2η′′(0) +

t3n3!η(3)(0) +O(t4n). (23)

6

Selanjutnya dengan melakukan langkah yang sama, fungsi bobot φ(un) diperoleh

φ(un) = φ(0) + unφ′(0) +O(u2

n). (24)

Kemudian persamaan (17) dan persamaan (21) disubstitusikan ke persamaan (14)sehingga didapat

tn = c2en + (2c3 − 3c22)e2n + (−10c2c3 + 3c4 + 8c32)e

3n + · · ·+ (14c23c5 + 99c42c5 − 4c25

+ 592c62c3 − 8c4c6 − 2c3c7 + 23c3c6c2 − 160c82 + 4c22c7 + 201c33c22

− 116c3c5c22 − 8c43 − c2c8 + 462c3c4c

32 − 634c23c

42 + 39c4c5c2 − 143c23c4c2

− 27c32c6 − 280c52c4 − 77c24c22 + 25c24c3)e

8n +O(e9n). (25)

Selanjutnya persamaan (17) dan persamaan (22) disubstitusikan ke persamaan (15)sehingga didapat

un = (2βc32 + 4c32 − c2c3)e3n + · · ·+ (−892c82 − 7c2c8 − 6c3c7 + 28c3c6c2 + 12c4c5c2

+ 19c22c7 + 34c23c5 + 25c24c3 − 53c32c6 − 100c24c22 − 56c43 − 376c23c4c2

− 228c3c5c22 + 1452c3c4c

32 + 249c42c5 + 1062c33c

22 − 1016c52c4 − 3407c23c

42

− 132βc22c24 − 52βc32c6 − 2940βc82 − 16βc43 − 1248β2c82 + 7970βc62c3

− 2132βc52c4 − 5949βc42c23 + 423βc42c5 + 1156βc22c

33 − 1188β2c42c

23

+ 2458β2c62c3 + 112β2c33c22 − 396β2c52c4 + 34β2c42c5 + 2108βc32c3c4

− 240βc22c3c5 + 20βc2c3c6 − 272βc2c23c4 + 24βc2c4c5 + 184β2c3c4c

32

+ 407β3c62c3 − 100β3c42c23 − 32β3c52c4 − 308β3c82 − 39β4c82 + 26β4c62c3

− 2β5c82 + 3261c62c3)e8n +O(e9n). (26)

Langkah selanjutnya, persamaan (17)-(26) disubstitusikan ke persamaan (13)dan karena en+1 = xn+1 − x∗ diperoleh

en+1 = C4e4n + C5e

5n + C6e

6n + C7e

7n + C8e

8n +O(e9n). (27)

Untuk memperoleh nilai en+1 = C8e8n+O(e9n) haruslah C4, C5, C6, dan C7 disamakan

dengan nol sehingga

C4 = (−4c32 − 2βc32 + c2c3)η(0)φ(0) + 4c32 − c2c3 + 2βc32 = 0.

Agar C4 = 0, untuk menyederhanakan perhitungan diambil

η(0) = 1 dan φ(0) = 1. (28)

Kemudian, nilai (28) disubstitusikan ke C5 pada persamaan (27) sehingga diperoleh

C5 = (−2βc42 − 4c42 + c2c3)η′(0) = 0.

7

Agar C5 = 0, haruslah memenuhi

η′(0) = 0. (29)

Langkah selanjutnya nilai (28) dan (29) disubstitusikan ke C6 pada persamaan (27)sehingga didapat

C6 = (−βc52 +1

2c32 − 2c52)η

′′(0) = 0.

Agar diperoleh C6 = 0, haruslah memenuhi

η′′(0) = 0. (30)

Kemudian, nilai (28), (29) dan (30) disubstitusikan ke C7 pada persamaan (27)sehingga

C7 = (−1

2c62 −

1

3βc62 +

1

6c42c3)η

(3)(0) + (−16c62 − 16βc62 + 4βc42c3 + 8c42c3

− 4β2c62 − c23c22)φ

′(0)− 4βc42c3 + 2c23c

22 − 8c42c3 = 0.

Agar C7 = 0, haruslah memenuhi

η(3)(0) = −24(2 + β) dan φ′(0) = 2. (31)

Selanjutnya, nilai (28), (29), (30) dan (31) disubstitusikan ke C8 pada persamaan(27) sehingga diperoleh

en+1 =

(8β3c72 + (32c72 − 4c52c3)β

2 + (2c42c4 − 12c52c3 + 16c72)β − c3c4c22

+ 4c42c4 + 2c23c32 − 32c72

)e8n +O(e9n).

Persamaan (13) merupakan metode iterasi Ababneh tiga langkah yang memiliki ordekonvergensi delapan dengan parameter β, dimana β ∈ R. 2

Dari hasil Teorema 1 diperoleh beberapa fungsi bobot dari η(tn) dan φ(un) se-bagai berikut:

η(tn) = 1− 4(2 + β)t3n,φ(un) = 1 + 2un,

}(32)

η(tn) = 1− 4β + 8

1 + 2tnt3n,

φ(un) =1 + 3un

1 + un

,

(33)

η(tn) =1 + tn − 4βt3n1 + tn + 8t3n

,

φ(un) = 3− 2

1 + un

.

(34)

8

3. SIMULASI NUMERIK

Simulasi numerik digunakan untuk membandingkan metode Ababneh tiga langkahdengan metode Bi-Ren-Wu [3], metode Thukral-Petkovic [8] dan metode Wang-Liu[9]. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan dalam melakukan perbandingan metodeyang didiskusikan adalah

(i) f1(x) = sin(x)ex2−3x + ln(1 + x2), x∗ = 0, x0 = 0.35,

(ii) f2(x) = ln(x2 − x+ 1)− 4 sin(x− 1), x∗ = 1, x0 = 1.2,

(iii) f3(x) = (x− 2)(x10 + x+ 1)e−1−x, x∗ = 2, x0 = 2.2,

Untuk melakukan uji komputasi dari ketiga contoh persamaan nonlinear digu-nakan program Maple 13 dengan toleransi 1.0×10−300. Adapun kriteria pemberhen-tian program komputasi adalah |f(xn+1)| ≤ toleransi atau |xn+1 − x∗| ≤ toleransiataupun |xn+1−xn| ≤ toleransi dan jumlah iterasi sudah mencapai maksimum iterasiyaitu 100.

Kemudian, untuk mempermudah dalam penyajian metode Ababneh tiga langkahdengan fungsi bobot pada persamaan (32), (33) dan (34) disingkat menjadi MAT1,MAT2 dan MAT3, metode Bi-Ren-Wu disingkat menjadi BRW, metode Thukral-Petkovic disingkat menjadi TP dan metode Wang-Liu dapat disingkat menjadi WL.Hasil dari perbandingan komputasi untuk ketiga fungsi ditunjukkan pada Tabel 1.

Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi

fi Metode n+ 1 |f(xn+1)| |xn+1 − x∗| |xn+1 − xn| COC ACOC

f1

MAT1, (β = −1) 4 1.05e− 1935 1.05e− 1935 5.54e− 243 8.00 8.00

MAT2, (β = 0) 4 2.97e− 1897 2.97e− 1897 2.76e− 238 8.00 8.00

MAT3, (β = 1) 4 2.13e− 1940 2.13e− 1940 1.18e− 243 8.00 8.00

BRW,(α = 1) 4 1.76e− 1909 1.76e− 1909 1.10e− 239 8.00 8.00

TP,(α = −1, β = 0) 4 9.71e− 1613 9.71e− 1613 1.60e− 202 8.00 8.00

WL 3 3.85e− 400 3.85e− 400 7.88e− 51 8.00 7.03

f2

MAT1, (β = −1) 3 1.34e− 674 4.48e− 675 1.79e− 84 8.00 8.00

MAT2, (β = 0) 3 1.49e− 597 4.98e− 598 7.01e− 75 8.00 8.11

MAT3, (β = 1) 3 1.28e− 614 4.27e− 615 4.60e− 77 8.00 8.02

BRW,(α = 1) 3 4.45e− 810 1.48e− 810 2.57e− 90 9.00 9.03

TP,(α = −1, β = 0) 3 1.73e− 592 5.78e− 593 2.91e− 74 8.00 8.11

WL 3 2.77e− 624 9.22e− 625 3.29e− 78 8.00 8.07

f3

MAT1, (β = −1) 4 1.11e− 941 2.16e− 943 3.01e− 119 8.00 8.00

MAT2, (β = 0) 4 4.71e− 1043 9.22e− 1045 5.33e− 132 8.00 8.00

MAT3, (β = 1) 4 1.95e− 1000 3.82e− 1002 1.22e− 126 8.00 8.00

BRW,(α = 1) 4 1.79e− 1426 3.50e− 1428 1.04e− 179 8.00 8.00

TP,(α = −1, β = 0) 4 8.66e− 1006 1.69e− 1007 3.65e− 127 8.00 8.00

WL 4 7.73e− 1265 1.51e− 1266 1.99e− 159 8.00 8.00

Kolom pertama pada Tabel 1 menyatakan fungsi nonlinear yang digunakan,kolom kedua menyatakan metode iterasi yang dibandingkan, kolom ketiga menya-takan jumlah iterasi, kolom keempat menyatakan harga mutlak fungsi untuk setiap

9

akar pendekatan pada masing-masing metode, kolom kelima menyatakan selisih dariiterasi ke n + 1 dengan akar eksak, kolom keenam menyatakan selisih dari dua ite-rasi yang berdekatan pada setiap metode, kolom ketujuh menyatakan nilai COCpada setiap metode dan kolom kedelapan menyatakan ACOC dari masing-masingmetode.

Tabel 1 menunjukkan bahwa metode yang digunakan dapat menemukan akarhampiran yang diharapkan untuk semua fungsi yang diberikan dengan toleransisebesar 1.0×10−300. Dalam segi jumlah iterasi setiap metode hampir tidak memilikiperbedaan jumlah iterasi pada setiap fungsinya.

Berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa metode MAT1, MAT2 dan MAT3 cukupbaik terlihat dari nilai fungsi, nilai selisih iterasi dengan akar eksak serta selisihdua iterasi yang berdekatan dibandingkan dengan metode BRW pada fungsi per-tama mem- berikan nilai yang sangat jauh berbeda diantara metode lain. Demikianpula dengan metode TP yang mana pada fungsi kedua memberikan nilai COC danACOC yang signifikan diantara metode lainnya.

Berdasarkan Tabel 1 dapat diketahui bahwa untuk mencari orde konvergensisecara komputasi tidak hanya menggunakan formula COC tetapi juga dapat meng-gunakan ACOC yaitu dengan menghitung selisih iterasi yang berdekatan. Tetapi,adakalanya dengan menggunakan formula ACOC hasilnya tidak selalu benar denganorde konvergensi sebenarnya.

Jadi, dari hasil perbandingan komputasi pada Tabel 1 metode Ababneh tigalangkah dengan menggunakan ketiga fungsi bobot dapat dijadikan salah satu metodealternatif untuk mencari akar persamaan nonlinear.

Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. ImranM., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikelini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] O. Y. Ababneh, New fourth order iterative methods second derivative free, Jour-nal of Applied Mathematics and Physics, 4 (2016), 519–523.

[2] K. E. Atkinson dan W. Han Elementary Numerical Analysis, Third Edition,John Wiley & Sons, Inc., New York, 2004.

[3] W. Bi, H. Ren dan Q. Wu, Three-step iterative methods with eight-order con-vergence for solving nonlinear equations, Journal of Computation and AppliedMathematics 225(2009), 105–112.

[4] R. L. Burden dan J. D. Faires, Numerical Analysis, Ninth Edition, Brooks Cole,Boston, 2011.

[5] W. Gautschi, Numerical Analysis, Second Edition, Springer Science, New York,2011.

10

[6] H. T. Kung dan J. F. Traub, Optimal order of one-point and multipoint itera-tion, Journal of the Association for Computing Machinery, 21 (1974), 643–651.

[7] M. Salimi, N. M. A. N. Long, S. Sharifi dan B. A. Pansera, A multi-point iter-ative method for solving nonlinear equations with optimal order of convergence,Japan Journal Industry Applied Mathematics, 35(2018), 497–509.

[8] R. Thukral dan M. S. Petkovic, A family of three-point methods of optimalorder for solving nonlinear equations, Journal of Computational and AppliedMathematics, 233 (2010), 2278–2284.

[9] X. Wang dan L. Liu, Modified Ostrowski’s method with eight-order convergenceand high efficiency index, Applied Mathematics Letters, 23 (2010), 549–554.

[10] S. Weerakoon dan T. G. I. Fernando, A variant of Newton’s method with acce-lerated third order convergence, Applied Mathematics Letters, 13 (2000), 87–93.

11