KARMAŞIK SAYILAR KARMAŞIK SAYILAR Sanal sayı birim i Karmaşık sayılar ın eşitliği Karmaşık sayılar ın geometrik gös terimi Karmaşık sayılar da toplama ve çı karma işlemi Karmaşık sayılar da çarpma işlem i Karmaşık sayılar ın eşleniği
KARMAŞIK SAYILARKARMAŞIK SAYILAR Sanal sayı birimi Karmaşık sayıların eşitli
ği Karmaşık sayıların geo
metrik gösterimi Karmaşık sayılarda topl
ama ve çıkarma işlemi Karmaşık sayılarda çarp
ma işlemi Karmaşık sayıların eşlen
iği
İki Karmaşık Sayının Eşitliğiİki Karmaşık Sayının Eşitliği
a,b,c,d “” R, Z1=a+bi ve Z2=c+di olmak üzere; a + bi = c +di ve a = c ve b =d’dir.
ÖRNEK:
Z1 = 3a + 2bi - 3 ve Z2 =3 - 6İ + a + bi sayılarının eşit olabilmesi için , a ve b kaç olabilmelidir?
ÇÖZÜM: Önce, Z1 ve Z2 sayılarının gerçek ve sanal
kısımlarını belirleyelim:
Z1 = 3a-3 +2bi ve R(z) = 3a-3 ve lm(z) = 2b
Z2 = 3 + a +(b – 6)i ve R(z) = 3+a ve lm(z) = b-6 ‘dır.
Z1 = Z2 ve 3a-3 = 3+a ve 2b = b-6 bulunur.
a = 3 ve b = -6 bulunur.
Sanal sayı birimiSanal sayı birimi Tanım: –1 sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir ve i= –1 veya i(kare)= -1 biçiminde gösterilir. a,b R ve i(kare) = -1 olmak üzere, a+bi biçimindeki
sayılara karmaşık (kompleks) sayılar denir.Karmaşık sayılar kümesi “C” ile gösterilir.
C=(a + bi / a,b R) ‘ dir. z C ve z =a + bi olmak üzere; a’ya, karmaşık sayının gerçek (reel) kısmı denir ve Re(z)=a ile gösterilir. b’ye,karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve İm(z) = b ile gösterilir. Im(z) = 0 olduğunda, z bir reel sayı olur. O halde bütün
reel sayıları, sanal kısmı sıfır olan karmaşık sayılar olarak yazabiliriz.
Karmaşık Sayıların geometrik Karmaşık Sayıların geometrik gösterimigösterimi
X+yi karmaşık sayısına, analitik düzlemde karşılık gelen noktanın koordinatları(x,y)dir.karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktalarını bire bire eşleyerek oluşturulan düzleme,karmaşık düzlem denir.Ox eksenine,reel eksen;Oy eksenine de sanal eksen adı verilir.
Karmaşık Sayılarda Toplama Karmaşık Sayılarda Toplama Ve Çıkarma İşlemiVe Çıkarma İşlemi
Z1=a+bi ve Z2=c+di olmak üzere,bu karmaşık sayıların toplamı ve farkı,
Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i ve Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i
biçiminde tanımlanır.
Yani,iki karmaşık sayının toplama veya çıkarma işlemleri yapılırken; reel kısımları birbiriyle, sanal kısımlarıda birbiriyle toplanır veya çıkarılır.
Toplama İşleminin Geometrik Yorumu İçin Tıklayınız Çıkarma İşleminin Geometrik Yorumu İçin Tıklayınız Toplama İşleminin Özellikleri İçin Tıklayınız
Toplama İşleminin Geometrik Toplama İşleminin Geometrik YorumuYorumu
Z1=a+bi ve Z2=c+di karmaşık sayının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A ve B diyelim.Sonra, AOBC paralelkenarını çizelim. OEB açısı=ADC açısına olduğundan,
BE= CD= d ve OE= AD= c olur.
Bu durumda, C koordinatları,(a+b,c+d)bulunur.
O halde C noktası,
Z1+Z2=(a+b)+(c+d)i sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsüdür.
Z1+Z2 karmaşık sayısının görüntüsü, AOBC paralelkenarının
dördüncü köşesi olan C noktasıdır.
Çıkarma İşleminin Geometrik Çıkarma İşleminin Geometrik YorumuYorumu
Z1=a+bi ve Z2=c+di ve
- Z2= -c -di karmaşık sayılarının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A,B ve D diyelim.Sonra, AOBC paralelkenarını çizelim. OED açısı=AFC açısına olduğundan,
DE= CF= d ve OE= AF= c olur.
Bu durumda, C noktasının koordinatları,(a-c,b-d)bulunur.
O halde,C noktası,
Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i sayısının karmaşık düzlemdeki
görüntüsüdür.Z1-Z2 karmaşık sayısının görüntüsü, AODC paralelkenarının dördüncü köşesi olan C noktasıdır.
Toplama İşleminin ÖzellikleriToplama İşleminin Özellikleri
Kapalılık Özelliği Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği Ters Eleman Özelliği Birleşme Özelliği Değişme özelliği
Kapalılık ÖzelliğiKapalılık Özelliği
z1,z2 C olmak üzere , z1=a+bi , z2=c+di ise;
z1+ z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i olur.
a,b,c,d R ise; (a+c),(b+d) R olduğundan (z1+ z2) C dir.
O halde, karmaşık sayılar kümesi,toplama işlemine göre kapalıdır.
Etkisiz(Birim)Eleman ÖzelliğiEtkisiz(Birim)Eleman Özelliği
zC, 0C olmak üzere, z1=a+bi, z2=c+di ise;
z1+ z2=(a+bi)+(0+0i) 0+z =(0+0i)+(a+bi)
=(a+0)+(b+0)i =(0+a)+(0+b)i
=a+bi =a+bi
=z =z
z+0=0+z=z olduğundan sıfır sayısı karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre etkisiz (birim) elemanıdır.
Ters Eleman ÖzelliğiTers Eleman Özelliği
ZC ve z =a+bi ise,-z =-a –bi olsun.
z+(-z)=(a+bi)+(-a –bi) (-z)+z =(-a-bi)+(a+bi)
=(a-a)+(b-b)i =(-a+a)+(-b+b)i
=0+0i =0+0i
=0 =0
z+(-z)=(-z)+z =0 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre her elemanın tersi vardır.
z =a+bi sayısının toplama işlemine göre tersi –z = -a –bi dir.
Değişme ÖzelliğiDeğişme Özelliği
z1+z2C ve z1=a+bi, z2=c+di olsun.
z1+z2 =(a+bi)+(c+di) z1+z2 =(c+di)+(a+bi) =(a+c)+(b+d)i =(c+a)+(b+d)i
z1+z2 = z2+z1 olduğundan karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
O halde (C,+) sistemi bir değişmeli sistemdir.
Birleşme Özelliği Birleşme Özelliği
z1+z2+z3 ve z1=a+bi z2=c+di z3=e+fi olsun.
(z1+ z2)+ z3=[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)
=[(a+c)+(b+d)i]+(e+fi) =[(a+c)+e] +[ (b+d)+f]i dir.
z1+(z2+ z3)=(a+bi)+[(c+di)]+(e+fi)]
=(a+bi)+[(c+e)]+(d+f)i] =[a+(c+e)]+[b+(d+f)]i dir.
(z1+ z2)+ z3= z1+(z2+ z3) olduğundan karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
(C,+)sisteminin; kapalılık,etkisiz eleman,ters eleman, ve birleşme özellikleri olduğundan,bu sistem bir gruptur.
Karmaşık Sayının Eşleniği Karmaşık Sayının Eşleniği
a+bi ve a-bi karmaşık sayılarından birine,diğerinin eşleniği denir.z karmaşık sayısının
eşleniği z ile gösterilir.Karmaşık düzlemde,bir z’nin eşleniği
reel eksen(apsise)göre simetriktirler.
a,b,c R a 0 koşuluyla ax+bx+c=0 denkleminin köklerinden biri z = k+pi ise
diğeri z =k-pi’dir.
Çarpma İşlemiÇarpma İşlemi
z1,z2 C, z1=a+bi ve z2=c+di olmak üzere,bu karmaşık sayıların çarpımı,
z1.z2=(a+bi).(c+di) = a(c+di)+bi(c+di)
=ac+adi +bci +bd(ikare) dir.(ikare) yerine –1 yazarsak;
z1.z2 =(ac+bd)+(ad+bc) olur.
Çarpma işleminin özellikleri için tıklayınız!!!!!!
Çarpma İşleminin Özellikleri Çarpma İşleminin Özellikleri
Kapalılık özelliğiEtkisiz(birim)eleman özelliğiTers eleman özelliğiDeğişme özelliğiBirleşme özelliğiDağılma özelliği
Kapalılık ÖzelliğiKapalılık Özelliği
z1,z2C olmak üzere z1=a+bi z2=c+di ise
z1. z2=(a+bi) (c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)i olur. a,b,c,d,R ise (ac-bd) R ve (ad+bc)R
olduğundan;
z1. z2= C bulunur. O halde karmaşık sayılar kümesi çarpma işlemine
göre kapalıdır.
Etkisiz(Birim)Eleman ÖzelliğiEtkisiz(Birim)Eleman Özelliği
zC 1C ve z=a+bi,1=1+0i olsun.
z.1=a+bi).(1+0i)
=(a.1- b.0)+(a.0+b.1)i
=a+bi=z olur.
z.1=z olduğundan,karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre birim(etkisiz)elemanı,
1= 1+0i dir.
Ters Eleman ÖzelliğiTers Eleman Özelliği
ZC karmaşık sayının çarpma işlemine göre tersi
z(-1’incikuvveti)olsun.
z.z(-1’incikuvveti)=1dir.
bunu denkleme dökersek sıfır hariç, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre
her elemanın tersi vardır.
Değişme ÖzelliğiDeğişme Özelliği
z1,z2C, z1=a+bi z2=c+di olsun.
z1. z2=(a+bi) (c+di) z1. z2=(c+di) (a+bi)
=(ac-bd)+(ad+bc)i =(ca-bd)+(cb+da)i olur.
z1. z2= z2. z1 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işleminin değişme özelliği vardır.