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Seit Mitte der achtziger Jahre - Übertragung auf PC – Technik - Nutzung von Supercomputern und Parallelrechnern - Kopplung verschiedener Methoden - CAD – Systeme - Berechnung verkoppelter Felder
1987 - Graz / Austria 1989 - Tokyo / Japan 1991 - Sorrento / Italy 1993 - Miami / USA 1995 - Berlin / Germany 1997 - Rio de Janeiro / Brasil 1999 - Sapporo / Japan 2001 - Evian / France 2003 - Saratoga Springs / USA 2005 - Shenyang / China 2007 - Aachen / Germany 2009 - Florianopolis / Brazil 2011 - Sydney / Australia
Klassifizierung Nach Form der Funktion D: B2 - A C < 0 elliptische DGL B2 - A C = 0 parabolische DGL B2 - A C > 0 hyperbolische DGL Randbedingungen Allgemeine Form:
n
1. Art ( Dirichlet-RB): gegeben; = 0 2. Art (Neumann-RB): /n gegeben; =0
homogene Neumann-RB: /n=0
3. Art (gemischte RB): , 0
Sturmscher Typ: = 0 auch: Cauchy-RB
- 9 -
X
Y
Z
1.2 Randwertprobleme / Anfangswertprobleme Feldeinteilung und Randbedingungen
Typ
hyperbolisch
parabolisch
elliptisch
D > 0 = 0 < 0
Normal- form
uxy = F uxx – uyy =F
uxx = F
uxx + uyy =F
Rand- bedingungen
3. Art
Dirichlet Neumann
3. Art
Dirichlet Neumann (3. Art)
Beispiel
Wellen- gleichung
utt = 2uxx
Wärme- leitung
ut = 2uxx
Potential- gleichung
uxx + uyy =0
Randwertaufgaben Lösung eines Variationsfunktionals:
F ( , ) = f ( )
Anfangs- / Randbedingungen:
- Startzeit t0 - Dirichlet .)()( konstxgx
- Neumann .)()(
konstxgn
x
- mixed ( Konvektion ) )()(
)( xgn
xbxa
- binär ( m = 0; k = 1) mxxk iI )()(
oder periodisch
- Fernfeld
- 10 -
Dirichlet – Randbedingung
Bedingung 1. Art: Potential vorgegeben
Problem: - Wo muss der Rand definiert werden?
a) b) c) Streufluss vernachlässigt
d) e) Kelvin–Transformation f)
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Neumann – Randbedingung
Ableitung in Normalen-Richtung ist konstant
Periodische Randbedingung Feldsymmetrien: Diskretisierung muss auf den
Rändern (i , I) identisch sein
mxxk iI )()(
Wahl: m = 0, k = 1 binäre Randbedingung
Kelvin-Transformation Transformation des freien Raumes
in einen endlichen Raum (d.h. im oberen kleinen Kreis FEM-Lösung)
Potentiale auf dem Rand des (kleinen) FEM–Gebietes
sind identisch mit denen auf dem Kreis (z.B. in der Umgebung einer Hochspannungsleitung)
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1.3 Potentialfelder und Analogien Analoge Größen skalarer Potentialfelder
Größe Elektrostatik
Elektrisches Strömungs-
feld
Magneto- statik
Temperatur-feld
Flüssigkeits-strömung
Gravitations-feld
Potential Potential
Potential
Potential
Temperatur
T
Geschwindig-keitspotential
Newton- Potential
Intensität
elektrische Feldstärke
E
elektrische Feldstärke
E
magnetische Feldstärke
H
Temperatur-gradient
Geschwindig-keit
v
Gravitations-kraft
Material-konstante
Permittivität
Leitfähigkeit
Permeabilität
Wärmeleit-fähigkeit
Dichte
Kehrwert derGravitations-
konstante
Fluss-dichte
Verschiebung-
stromdichte D
Stromdichte J
Magnetische Flussdichte
B
Wärme-strom- dichte
q
Flussrate
Quellen-stärke
elektrische Ladungs-
dichte e
Stromdichte J
magnetische Ladungs-
dichte m
Wärme-quellen- dichte
q
Ausflussrate Massendichte
Integral-parameter
Kapazität C
Leitwert G
Induktivität L
Wärme- kapazität
C
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Feldanalogien
Magnetfeld:
0
:oder
JA1
2
2
A – magnetisches Vektorpotential – Permeabilität J – Stromdichte B – Magnetflussdichte ( = x A ) – skalares magnetisches Potential µ – Permeabilität J – Stromdichte ( = 0 ) H – magnetische Feldstärke ( = - )
Äquivalenz zwischen elektrischem Strömungsfeld und Magnetfeld
Vorteile
- schnell - leicht zu implementieren - nichtlinear möglich
Nachteile - nur einfache Geometrie - Flusswege müssen für die Aufstellung des Modells bekannt sein - Kraftberechnung ist schwierig
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Äquivalente Netzwerke
Elemente mit konstanten Eigenschaften
1
0 )()(
1
xSx
dxR
m
m
- linear - nichtlinear - parametrisch nichtlinear
Feldlösung
- in diskreten Netzwerkknoten - gute Approximationsmethode
Netzwerkmethoden Äquivalenz zwischen elektrischem und magnetischem Feld Vorteile
- relativ schnell - 3D – Felder
Nachteile - Nichtlinearitäten werden nicht erfasst - nur für spezielle Geometrien - spezifische Randbedingungen (manchmal nicht sehr realistisch)
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Elementarstrommodell der Magnetisierung Verteilte (Elementar-) Ströme
- homogen verteilte Dipolmomente führen zu einem Oberflächenstrom IS, - Volumenstrom IV verschwindet
Magnetisches Ladungsmodell der Magnetisierung
Maxwell – Gleichungen 0 B H J
Stromfreie Gebiete 0 H
Gradientenfeld
m H
Entmagnetisierungkennlinie des Permanentmagneten
0 ( ) B H M
Poisson – Gleichung
0 ( ) 0 B H M
m m M H m M
Äquivalenz des PM – Feldes mit dem elektrischen Feld Regeln der Elektrostatik sind anwendbar für die Bestimmung von Skalarpotential und
magnetischer Feldstärke (Integration über die Oberfläche des Permanentmagnetes)
0 0
0 0
( ) ,4 4
( )4 4
PM PM
PM PM
m PA A
PA A
0 0
pq pq
0 0
pq pq
M MdA dA
r r
M MH dA dA
r r
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Weitere Aspekte bei der Methodenwahl
o Parasitäre Effekte, die für die Anwendung numerischer Methoden sprechen
Ferromagnetische Sättigung Zunahme von Leckströmen Hohe Betriebstemperaturen irreversible Verluste bei Verwendung von Permanentmagneten Kopplung verschiedener Effekte thermische/magnetische/strukturdynamische/Strömungsfelder durch Bewegung induzierte Strömungsfelder