jANJANG GEOMETRI

JANJANG GEOMETRI

DISEDIAAN OLEH :SITI SHUHADA BINTI SAUFI

NURUL NAJIHAH BINTI ABDUL RAZAK

SEBUTAN JANJANG GEOMETRI

Dalam Janjang Geometri nisbah untuk mana-mana sebutan (kecuali yang pertama) dengan sebutan yang sebelumnya adalah tetap, nisbah ini disebut nisbah sepunya dengan simbol (r).

• Siri Janjang Geometri T1, T2, T3, T4, . . . . . . . Tn

di mana T ialah sebutan siri tersebut

NISBAH SEPUNYA

r = T

Tn

n 1

---------- (4)

CONTOHTentukan nisbah sepunya bagi janjang tersebuta) 1, 3, 9, 27, …

r = r = r= = 3 = 3 =3nisbah sepunya = 3

b) 3p, 6, 12, 24, … r = r = r= = 2p = 2p =2pnisbah sepunya = 2p

SEBUTAN KE-n

Tn = arn 1

• di mana, Tn = sebutan ke-n

a = sebutan pertama r = nisbah sepunya n = nombor turutan

1) Cari sebutan ke-7 dan ke-15 untuk siri 4, 12, 36, . . . . . .. Penyelesaian :• diberi sebutan pertama: T1 = a = 4

• sebutan ke-2 : T2 = 12

dari hukum r = T

Tn

n 1

r = T

T2

1

= 12

4

= 3

dari hukum Tn = arn 1

untuk n = 7, T7 = ar6 = 4 36 = 2916

untuk n = 15, T15 = ar14 = 4 314 = 19131876

2) Jika laju maksima suatu mesin ialah 600 p.s.m dan laju minima ialah 20 p.s.m. Mesin tersebut perlu dilengkapkan dengan 5 kelajuan. Cari 3 lagi kelajuan yang diperlukan dengan menggunakan kaedah Janjang Geometri.

• Penyelesaian sebutan pertama, T1 = a = 20

sebutan kelima, T5 = 600

Tn = arn1

T5 = ar4

r4 = T

a5

= 600

20

= 30

r = 301

4

r = 2.34

Sebutan ke- 2, T2 = ar

= 20 2.34

= 46.81 psm

Sebutan ke- 3, T3 = ar2

= 20 2.342 = 109.54 psm

Sebutan ke- 4, T4 = ar3

= 20 2.343 = 256.37 psm

HASIL TAMBAH SEBUTAN KE-n

Sn = a r

r

n1

1

di mana Sn = Jumlah sebutan hingga ke-n a = sebutan pertama r = nisbah sepunya n = nombor turutan

1) Dapatkan jumlah untuk siri 4, 10, 25, . . . . . . hingga sebutan ke-7.

Penyelesaian

r = T

T2

1

= 10

4

= 2.5

Sn = a r

r

n1

1

S7 = a r

r

1

1

7

= 4 1 2 5

1 2 5

7

.

.

= 1624.94

1. Find the sum of a) first 6 terms of GP 4, 12, 36,….b) first 7 terms of GP 16, 4, 1,….

2. Given a GP 27,9,3,…. Find the sum from the 4th term to the 9th term of GP.

Jawapan : 1. a) S6= 1456

b) S7 = 21.33

2. 1.498

2) Pengeluaran barangan sebuah kilang bertambah sebanyak 8% setiap bulan. Jika pengeluaran pada bulan pertama ialah sebanyak 1500 barangan.

i. Berapa bulankah yang diperlukan untuk menghasilkan sebanyak 16000 barangan. ii. Apakah kadar pengeluaran pada bulan terakhir.

Penyelesaian : Bahagian (i) sebutan pertama T1 = a = 1500

sebutan ke-2 T2 = 1500 + 1500 8

100 = 1620

sebutan ke-3 T3 = 1620 + 1620 8

100 = 1749.6

siri untuk kadar pengeluaran kilang ini ialah 1500, 1620, 1749.6, . . . . . . . . .

r = T

T2

r = 1620

1500

r = 1.08

Katakan pada kali ke-n jumlah pengeluaran ialah 16000 dari hukum Sn =

a r

r

n1

1

( 1 r ) Sn = a ( 1 rn ) ( r 1) Sn = a ( rn 1 )

( rn 1) = r S

an 1

rn = r S

an 1

+ 1

1.08n = ( . )108 1 16000

1500

+ 1

1.08n = ( . )108 1 16000

1500

+ 1

1.08n = 1.853

1.08n = 1.853 ‘log’kan pada kedua-dua belah log (1.08n) = log ( 1.853 )

n = log .

log .

1853

108

n = 8 Untuk menghasilkan barangan sebanyak 16000 memerlukan pengeluaran selama 8 bulan.

Bahagian (ii)

dari hukum Tn = arn 1 untuk n = 8 T8 = ar7 = 1500 1.087 = 2570.74 2570 Kadar pengeluaran pada bulan terakhir ini ialah 2570 barangan.

HASIL TAMBAH KETAKTERHINGGAAN

= , |r|< 1

CONTOH :a) 12, 4, = = 18

b) For a geometric progression, the first term is 18 and the 4th term is . Find i) the common ratio ii) the sum to infinityi) = ii) = = = 54 18= = r =

c) Express each of the following recurring decimals as a fraction in its simplest form. i) 0.6666… ii) 0.

i) 0.6666… = 0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + … a = 0.6 r = = 0.1 = = = Therfore, 0.6666… =

ii) 0. = 0.121212… = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + … a = 0.12 r = = 0.01

= = = = = = therefore, 0. =