'j j I J JJJ I .J 'J - UNPAR Institutional Repository

I I '\ ...: "" ' \ 'j I ' ., \ ...:"" '\ 'j ..:J ..I J:.J .J .lJ ... ..:J .J J:; .J .lJ ' J I J JJJ I l I ' I .J jJ ,.., :..;� ,..,

1..I ' 1.J 'J 1.J 'J r' r..!J r' rjJ r' rj IJJ 'J r..1 r..1 ! \

J j !J!J..1.l

Winarni Hadi pratomo

400 T:Jl:-r-i--�� kg/cm2

1200 ._____ _____ '\

DASAR·DASAR METODE ELEM EN BINGGA

Winarni Hadi pralomo Lektor Kepala pada Program Studi Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Katolik Parahyangan Bandung

P-/ l;t-aoS 9 � t3 { flS

t b . 3 cfJ

Katalog da/am. terbitan (KDT)

Buku dasar-dasar metocle elemeu hiugga Winarni Haclipratomo. -vi, 17 l hlm.; 25 x l 7,5 cm. (ticlak tcrmasuk bibliografi)

lSBN 979-99658-3-7

C-----·-····· Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk clan dengan cara apapun, termasuk fotokopi, tanpa izin tertulis dari penerbit. I ----··-·-- . ------·-·-·-···----······--·-·---------.1

DASAR-DASAR METODE ELl�MEN HINGGA Winarni Haclipratomo

Hak Cipta clilinclungi olch Undang-unclang

Pcrancang Sampul & Isi : CONCEPT Viscom

Cetakan kc- l : 2005

Dicctak clan cliterbikan oleh: PT Danamartha Scjahtcra Utama (anggota fKAPr) JI. Cihampclas 169, Bandung 40131

L

De un sci da Re di1 'T'a M St 111(

H' 111< K' sa SC be

�

[),

l)cngan inakin banyaknya pcngguna sarana ko1nputcr, dirasakan adanya kcbutuhan untuk dapat 111cn1pcrccpat dan 1ncnycdcrhanakan proses analisis struktur. Mcn1ang scbclun1 bcralih kc analisis struktur dengan 111cnggunakan kon1putcr, pcngctahuan dasar yang tcnnasuk dalan1 Mckanika l�cknik atau yang bclakangan disebut Mckanika H .. ckayasai tidak dapat ditinggalkan. Prinsip-prinsip dasar dalan1 Mckanika ·rcknik tctap dipcrlukan scbagai dasar analisis.

Tahap bcrikutnya adalah Analisis St ruktur dcngan Mctodc Kckakuan Langsung. Mctodc ini n1cnggunakan proses opcrasi 111atriks, sehingga sering discbut Analisis Struktur dcngan Mctodc Matriks (ASDM). Dalam buku ini dijclaskan sccara singkat n1etodc kckakuan langsung yang n1cnjadi dasar dari Mctodc F�len1cn J--Jingga.

I--1arapan pcnulis, dengan adanya pcnjclasan singkat tcntang ASI)M akan dapat n1cnjcn1batani para pcn1baca yang baru 111ulai 111cngcnal Mctodc lilcn1cn ll ingga. Karena buku ini ditujukan untuk pen1ula, n1aka pcn1bahasan dibatasi n1cngcnai elcn1cn satu din1cnsi, clcn1cn scgitiga) clcn1cn scgicn1pat 4 titik nodal dcngan bcban scbidang� scrta contoh-contoh soal yang bcrkaitan, baik yang sudah disclcsaikan n1aupun yang bclum disclcsaikan.

Winarni Hadipratomo

J)it:s·br-da.�ar Arfetf)de .. E'lf!.lnen llingga

�ga

DAFTAR ISi

Prakata

Daftar Isi

Daftar Notasi

BAB l PENDAHULUAN

I. J 1.2

BAB2

2.1

2.2

BAB3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

BAB4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

Sejarah Perkembangan

Masalah Dalam Metode Elemen Hingga

ANALISIS DENGAN MATRIKS

Derajat Kebebasan Dan Syarat Batas

Metode Kekakuan Langsung

LANGKAH-LANGKAH MEH

Langkah 1. Deskretisasi dan Pemilihan Konfigurasi Elemen

Langkah 2. Memilih Model atau Persamaan Polinomial

Langkah 3. Menentukan Hubungan Tegangan dan Regangan

Langkah 4. Menunmkan Persamaan Elemen

Langkah 5. Perakitan Persamaan Elemen ke Persamaan Global

Langkah 6. Penyelesaian Persamaan: Primary Unknown Langkah 7. Penyelesaian Besaran Kedua

Langkah 8. Interpretasi Hasil

JEN IS-JENIS ELEMEN

Elemen Satu Dimensi

Elemen Dua Dimensi

Elemen Selaput (Shell)

Elemen Tiga Dimensi

Elemen Simetris-Aksial

Ringkasan Jenis Elemen

Dasar-dasar Metode Eleme11 Hingga

111

VI

J 2

3

3

5

11

11

16

17

21

21

21

22

22

23

23

24

25

25

25

25

iii

BAB 5 SISTEM KOORDINAT REFERENSI 29 BP

5. l Jcnis Sistcm Koordinat 29 BP

5.2 Elemcn Satu Dimcnsi 30

5.3 Elemen Scgitiga 32 BP

BAB 6 ELEMEN SATU DIMENSI 35

6. l Pen1bcntukan Fungsi Peralihan 35

6.2 Pcnurunan Rcgangan dari Energi R.cgangan 37

6.3 Energi Potcnsial dari Beban Kctja 37

6.4 Prinsip Encrgi Potcnsial Minimum 40

6.5 Pcnyclcsaian Soal Elcmcn Satu Dimcnsi 4 1

6.6 Soal Latihan 49

BAB 7 ELEM EN SEGITIGA 5 l BP

7. l Koordinat Global 51

7.1.1 Dcrajat Kcbcbasan dan Fungsi Pcralihan s l

7. l.2 R.cgangan clan Encrgi R.cgangan 54

7.l.3 Encrgi Potcnsial Beban 55

7.1.4 Encrgi Potcnsial Total 64

7. l.5 Fungsi 'fegangan --- IZegangan 65

7.2 Koordinat Lokal Elcmcn 66 DI

7. 2.l Fungsi Pcralihan 66

7.2.2 [{cgangan clan Energi R.egangan 68

7.2.3 Encrgi Potensial Bcban 69

7.2.4 Transformasi Koordinat Lokal M cnjacli Koordinat Global 70

7.2.5 Pcnggabungan I�lcn1cn 71

7.2.6 f)etail Proscdur Pcnggabungan E�lcn1en 71

7.3 Pcnyclcsaian Soal Elcmen Scgitiga 73

7.4 Soal Latihan 98

BAB 8 FORMULA INTERPOLASI LAGRANGE 103

8.1 Formula !ntcrpolasi untuk Satu Variabcl Bcbas 103

8.2 !ntcrpolasi untuk Dua Variabel Bcbas 107

iv Da.sdr_-das'ar1Vletode-l�'len1en fliil;gga Dai

-L_

19

29

30

32

35

35

37

37

40

41

49

51

51

51

54

55

)4

)5

66

66

68

69

70

71

71

73

98

:n )3

l7

ga

BAB 9 INTEGRASI DEN()AN GAUSS QUADRATURE

BAB JO DETERMINAN JACOBIAN

BAB l l ELEM EN SEGl-EMPAT 4 TITIK NODAL

1 1 . I Koordinat Alamiah Elcmen Scgi-empat

I l .2 Fungsi Bcntuk Elcmen Scgi-cmpat

I 1 .3 Matriks Rcgangan ···· Pcralihan Elcmen

1 1 .4 Matriks Kckakuan Elcmcn Scgi-cmpat

1 1 .5 Pcdoman untuk Pcmilihan Koordinat

l I .6 Gaya Nodal Ekuivalen

l I .7 Pcnyclcsaian Soal Elemen Scgi-cmpat

I I .8. Soal Latihan

BAB 1 2 SOLUSI DENGAN PROGRAM SAP2000

Soal l . Balok Kantilcver

Soal 2. Balok Di atas Dua Pcrletakan Bcbas

Soal 3. Dinding Geser

Soal 4. Tangga Bentuk U

DAFTAR PUSTAKA

1 05

l l l

1 1 9

1 20

1 21

1 22

1 26

1 28

1 30

1 37

1 49

1 51

144

1 56

1 57

1 58

171

A

[A]

A123

[B]

[DJ

E

Fi, Fj

I JI

K

[NJ

QBF QT QTEMI' RBI'

RNF

Rr RrEMP

r

u lli, llj

Vm• vN[. VT ax, cty, a,..

L;t

E

Bo CJ

CTo

Luas Pcnampang Elcmcn Satu Dimensi

Matriks Transformasi Elcrnen Segitiga

Luas Elcmen Segitiga 1-2-3

Matriks Fungsi Peralihan Regangan

Matriks Bahan

Modulus Elastisitas

Ga ya Nodal pada titik nodal i , j

Determinan Jacobian

Matriks Kekakuan

Matriks Fungsi Bentuk

Beban Gaya Tubuh elemen

Behan Traksi clcmen

Be ban S uhu elem en

Behan Gaya Tubuh global

Behan Titik Nodal global

Bcban Traksi global

Beban Suhu global

Pcralihan Titik Nodal global

Energi Rcgangan

Peralihan pada titik nodal i, j.

Energi Potensial Gaya Tubuh

Energi Potensial Gaya Nodal

Energi Potensial Gaya Traksi

Koefisien Muai Panjang dalam l/ °C pada arah X-Y-Z Perubahan Suhu dalan1 °C.

Regangan

Regangan Awai (initial strain) Tegangan

Tegangan Awai (initial stress)

i;Jftif:i)1�tfa,;Yl1F'.Mei!id�>:'.El�fA�!(lIJi1ggtf

L

r$t

p

1. J Me terl pac ker

Pac Ke! de1 ber Tai Eh rr1a sar

Tel ma ata sue bia

Pai ba1 da1 ke� sar ba1

Ga Be ko1

Dh�

gga

BABl

PENDAHULUAN

1.1 SEJARAH PERKEMBANGAN Metode Elemen Hingga (MEH) mulai dipelajari oleh ahli rangka pesawat terbang yang mengubahnya menjadi teknik solusi numerik yang dapat diterapkan pada masalah fisika yang lebih luas. Hal ini dimulai pada tahun 1940 yang kemudian dikembangkan dengan baik sampai tahun 1965.

Pada saat yang bersamaan, S. Levy (th 1953) dari USA, serta J. Argyris dan S. Kelsey (th 1960) dari lnggris, telah mengembangkan Metode Analisis Struktur

dengan Matriks serta Teknik Solusi Persamaan Linier Simultan yang baru berarti bila dikerjakan dengan komputer.

Tahun 1965 OC. Zienkiewicz dan YK. Cheung mengatakan, bila Masalah

Elastisitas dapat dipecahkan berdasarkan Energi Potensial Minimum, maka ma$alah lain dengan fungsi yang sama harus dapat dipecahkan dengan cara yang sama pula.

T eknik solusi numerik pada metode elemen hingga yang dapat diterapkan pada masalah fisika yang luas, berhubungan dengan variabel dari aljabar, diferensial, atau persamaan integrasi. Mencari solusi yang memenuhi persamaan diferensial suatu daerah, serta harus memenuhi syarat-syarat batasnya adalah tidak mudah, biarpun untuk masalah yang sederhana.

Pada MEH kesulitan ini diatasi dengan membagi sebuah kontinum menjadi

bagian-bagian kecil yang disebut elemen, sehingga solusi dalam tiap bagian kecil dapat dinyatakan dalam fungsi yang jauh lebih sederhana daripada fungsi untuk keseluruhannya. Bagian-bagian kecil tadi secara matematis dihubungkan satu sama lain dengan kondisi sedemikian sehingga kompatibel dan kontinu antar bagian kecil atau elemen. Disamping itu syarat batasnya juga terpenuhi.

Gambar 1.1 memperlihatkan pembagian (deskretlsasl) sebuah kontinum. Bentuk dan ukuran elemen tidak harus sama, tetapi harus kontinu dan kompatibel.

Dasar-dasar Metode Elemen Hingga

'd t ttt

0 (a)

t t tt

(b) Ga1nbar 1.1 Deskrctisasi sebuah kontinum

(a) kontinum (b) cleskretisasi mcnjadi elemcn

1.2 MASALAH DALAM METODE ELEMEN HINGGA 3 bidang utama yang dapat dipecahkan dengan MEH adalah:

1. Masalah Keseimbangan Meliputi masalah yang tidak tergantung waktu, misalnya analisis tegangan dari sistim linier elastis, elektrostatis, magnetostatis, konduksi thermal, dan aliran fluidal.

2. Masalah Eigenvalue

Merupakan lanjutan dari masalah keseimbangan. Nilai spesifik atau nilai kritis tertentu harus ditentukan, misalnya masalah stabilitas struktur dan penentuan frekuensi alamiah suatu sistim linier elastis dan masalah vibrasi.

3. Masalah Penyebaran (Propagation Problems).

Meliputi masalah yang tergantung waktu, misalnya hidro-dinamika, analisis dinamis.

Penerapan dapat mengenai masalah linier dan non-linier. Solusi dengan menggunakan Metocle Elemen Hingga meliputi prosedur atau langkah berikut:

Langkah 1. Deskretisasi dan Pemilihan Konfigurasi Elemen.

Langkah 2. Memilih Model atau Fungsi Pendekatan.

Langkah 3. Menentukan hubungan tegangan er - regangan .:.

Langkah 4. Menurunkan Persamaan Elemen.

Langkah 5. Merakit Persamaan Elemen menjadi Persamaan Global.

Langkah 6. Menyelesaikan Primary Unknowns

Langkah 7. Menyelesaikan Besaran Kedua.

Langkah 8. Interpretasi Hasil.

I)tis+.il:;-difSa'P:!Nfe_t(jdi!J!,'.14-,t_i¢h,_}Jitrifgi:1_

L,

A ]\

Mei beri pen cl al< sed me1 clan

2.1 Su2 ata1 Per clil«

Gai eler pad stru

f),Js1

tau

ANALISIS DENGAN MATRIKS

Metode Elemen Hingga (MEH) akan meliputi suatu operasi perhitungan yang berdasarkan Metode Kekakuan Langsung yang memanfaatkan perkalian dan pembagian dengan matriks. Metode Kekakuan Langsung ini merupakan metode dalam analisis struktur yang mudah digunakan, baik untuk struktur yang sederhana maupun struktur yang kompleks. Karena metode ini merupakan metode yang dipakai pada solusi dengan Elemen Hingga, maka perlu dipahami dan dikuasai dulu sebelum membahas lebih jauh Metode Elernen Hingga.

2.1 DERAJAT KEBEBASAN DAN SYARAT BATAS Sual:u strukl:ur yang akan dianalisis perlu ditenl:ukan dulu syarat-syarat batasnya, atau yang dalarn Mekanika Teknik dikenal sebagai Jenis Perletakan dan Reaksi Perletakan. Dengan sudah dil:entukannya perletakan suatu struktur, malm dapat diketahui pergerakan yang rnungkin pada sesuatu lokasi dari struktur tersebut.

Garnbar 2.1 (a) rnemperlihatkan struktur rangka batang bidang yang terdiri al:as 5 elernen dan 4 titik nodal, perletakan sendi pada titik nodal 1 dan perletakan rol pada titik nodal 2. Strukl:ur menerirna beban terpusat P1, P2, clan P3. Sumbu strukl:ur dinyatakan sebagai sumbu 1-2 (garis terputus-putus).

3

42

160� ®� iw @ w -�

+12s++14s� (a)

4 2 I

!q3 (]s 0· -"�---J.--+Q4 l3l �I� 2 � r L.1 ±It

@ " � [j] w-(b)

Gambar 2.1 Struktur Rangka Batang Bidang

(a) li.:lenien, Pcrlctakan, dan lleban

(b) Sumbu Global-Lokal, Derajat kebebasan

Pada gambar 2. 1 (b) terlihat sum bu struktur yang adalah sum bu global 1-2 dan sumbu lokal 1-2 untuk tiap elemen. Arah kedua sumbu itu menurut hukum tangan kanan, yaitu ibu jari tangan kanan adalah sumbu 1, telunjuk adalah sumbu 2, dan jari tengah adalah sumbu 3. Sumbu lokal 1 selalu pada elemen yang berawal dari titik nodal nomor rendah ke titik nodal nomor lebih tinggi. Derajat kebebasan atau Degree of Freedom (DOF) dimulai dari titik nodal 1 secara berurutan clan tidak ada nomor ganda. Dalam contoh di alas, tidak ada DOF di titik nodal 1, karena merupakan perletakan sendi. Sedangkan pada perletakan rol di titik nodal 2, ada satu DOF yaitu qi. karena pad a rol hanya ada satu arah pergerakan yang mungkin, yaitu translasi mendatar.

Berikutnya DOF disusun menjadi Matriks Kade Batang [M] sebagai berikut: Jumlah baris menyatakan jumlah DOF satu elemen, clan jumlah kolom menyatakan jumlah elemen. Dalam hal elemen rangka batang bidang, terdapat 2 buah translasi (mendatar clan vertikal) sebagai DOF pada satu titik nodal menurut sumbu global, sehingga terdapat 4 DOF pada sebuah elemen. Jumlah elemen ada 5 buah, jadi jumlah kolom = 5. Matriks Kode Batang [Ml berisi nomor DOF, sehingga menjadi:

I 2 3 4 5 2 0 0 0 I 3 0 0 0 0 [Ml= I 4 l 2 4 4 (2.1)

5 0 3 5 5

2J Tal ole adc

Ru1

c, sur ele

Me

Un yar

Sei

Da

J>a;�

dan .gan dan dari 1lau idak ·ena ada 1ang

kut: fom at 2 urut ada OF,

U)

2.2 METODE KEKAKUAN lANGSUNG Tahap pertama yang harus dihitung adalah peralihan titik nodal yang dinyatakan oleh q" dengan k = 1, 2, 3, 4, 5. Model Sistem dari struktur rangka batang bidang adalah:

(KJ{q} = {Q} (2.2)

Rumus Matriks Kekakuan [Kl dari rangka batang bidang menurut sumbu global:

c I 2 C1C2

2 -Ci ·-C1C2

EA 2 2 (K] = ---

C1C2 C2 -C1C2 -C2 (2.3) 2 2 L -Ci -C1C2 C1 C1C2 2 2 -C1C2 -C2 C1C2 c 2

c1 = cos u dan c2 = sin u dengan u adalah sudut antara sumbu 1 global dan

sumbu 1 lokal dengan arah berlawanan jarum jam di titik nodal awal/rendah dari elemen.

Menurut sumbu lokal, rumus matriks kekakuan rangka batang bidang adalah:

(K] = EA 1 -

1

1] (2.4)

L -1

Untuk menghemat pekerjaan, bagian dari matriks kekakuan yang diisi hanyalah yang ada DOF-nya, berarti harus melihat [M] dari persamaan (2.1) di atas.

Secara berurut akan dihitung Matriks Kekakuan [K] semua elemen dengan A = 30 cm2, E = 2. 106 kg/cm2. Panjang elemen dalam cm seperti gambar.

L1 = 125 t'.m, L2 = 270 cm, L3 = 160 cm.

Dan L4 = �(1252 + J-602) = 203 cm

L5=�(i.4s2+1602) = 216cm

5