ISOMETRIE, SIMMETRIE, TASSELLAZIONI DEL PIANO · Un’ isometria o movimento rigido del piano è una trasformazione del piano, che, data comunque una coppia di punti, mantiene inalterata

ISOMETRIE,SIMMETRIE,TASSELLAZIONIDELPIANOPaolaMagroneeLauraTedeschiniLalli

LaboratorioMatematicaApplicataeMeccanicaStrutturaleDipartimentodiArchitettura

UniversitàRomaTreUn’isometriaomovimentorigidodelpianoèunatrasformazionedelpiano,che,datacomunqueunacoppiadipunti,mantieneinalteratalalorodistanza:cioèlacoppiadipuntitrasformati(P’Q’)halastessadistanza.

Alhambra,Spagna.Immaginepresadalsitohttps://pixabay.com/it/alhambra-spagna-granada-andalusia-1680025/Traslazioniriflessionierotazionisonoesempidimovimentirigidi.Diremocheunafiguraèsimmetricasepossiamoapplicareallafiguraalcunimovimentirigidichelascinolafigurainalterata.

Esempi:ConsideriamoatitolodiesempiolelettereE,A,N

LelettereEedAposseggonodegliassidiriflessione:laletteraEhaunassediriflessioneorizzontale,laletteraAhaunasseverticale.LaletteraNèinvarianterispettoaun’isometria,chenonèunariflessione,infattièinvarianterispettoaunarotazionedi180°.Quandosielencanolesimmetriechelascianoinalterataunafigurasiincludeanchel’identità,ovveroilmovimentobanale,chenonspostanulla.Ancora,qualisonoleisometriechelascianoinvariateleseguentilettereecoppiedilettere?

H,M,S

pq,bq

LaletteraHèinvarianterispettoallariflessioneperdueassiortogonalitraloroerispettoalalrotazionedi180°LaletteraMèinvarianterispettoallariflessioneperunasseverticaleLaletteraSnonpossiedeassidiriflessione,èinvarianterispettoallarotazionedi180°LacoppiapqèinvarianterispettoallariflessioneperunasseverticaleLacoppiabqèinvarianterispettoallarotazionedi180°

L’insiemedelletrasformazionichelasciainvariataunafiguraformaungruppo.UngruppoèunacoppiaG=(I,*)dove:Ièuninsieme,*èunaoperazione,erispettanoleseguentiproprietà:

- Proprietàdichiusura:perognicoppiaa,b∈I,a*b=cappartieneanch’essoaI- Proprietàassociativa:datia,b,c∈I,a*(b*c)=(a*b)*c- Esistenzadell’elementoneutro:esisteinIunelementouneutrorispettoall'operazione,

cioètalechea*u=u*a=aperognia∈I- Esistenzadell’inverso:perognia∈I,esisteununicoelementoā∈Italechea*ā=ā*a=u

Problema:

trattodaH.S.M.Coxeter,IntroductiontoGeometry,pag35

ClassificazionedeimovimentirigididelpianoQuantiequalisonoimovimentirigididelpiano?Sonosoloquattro.Rotazione,diqualunqueangolo,attornoaduncentrodirotazione.

Riflessione

Traslazione

Glissoriflessione:

Lapiùsorprendente,forse,èlaglissoriflessione,oriflessionescivolata.Osservandoilmotivoinfiguracirendiamocontocheunmoduloèripetuto,maperunnuovomovimento,cioènonèinvariantenéperunatraslazionenéperunariflessione.ComposizioneditrasformazioniQuestimovimentirigidipossonoesserecompostitradiloro?Ecome?Lacomposizionimovimentirigidiconsistenell’applicarliunodopol’altro.Inoltrepossiamoosservarechelacomposizionedeiduemovimentirigidièancoraunmovimentorigido.QuestaoperazioneNONècommutativa,trannecheinalcunicasimoltoparticolari.Quindil’ordineincuisicompongonodueopiùisometrieèunainformazionechenonpuòesseretrascurata.

IltriangoloinAvieneriflessorispettoallarettatratteggiataeportatoinA’.DallaposizioneA’vieneruotatodi90°eportatoinA’’

IltriangoloinAvienevieneruotatodi90°eportatoinA’.DallaposizioneA’vieneriflessorispettoallarettatratteggiataeportatoinA’’.Osservazione:Applicandopiùvolteunarotazionediunsottomultiplodi2πounariflessioneadunafigurasiottieneinognicasounaimmaginefinita,limitata.Questiduemovimentisono“ciclici”.Inveceiterareadlibitumunatraslazioneounaglissoriflessioneproducemotivinonlimitatinelpiano.ClassificazionideigruppiditassellazioniLacristallografiaèunadellepiùimportantiapplicazionidigeometriaelementareallafisica.Lacristallografianellospaziotridimensionaleèpiuttostocomplicatamentrelacristallografianelpianoèpiùfacilevisualizzaresenzaesserebanale(Coxeter,op.cit).

Sichiamatassellazionedelpianounamodalitàdiricoprireilpianoconunaopiùfiguregeometriche,senzasovrapposizioni.Inparticolare,nelgruppodisimmetriadiunatassellazionesonopresentiduetraslazionirispettoaduevettorilinearmenteindipendenti.Quantimodicisonodiripetereunmotivograficonelpianoinmododaricoprirlocompletamentedimattonelleuguali,tassellandolo?Cioèquantiarabeschisipossonoideare,chesidistinguanosulpianocompositivodellaleggediripetizione?Questadomanda,nataeformulataallafinedel1800nelcontestodelleclassificazionicristallografiche,haricevutorispostacompleta,matematicamenteparlando,nel1924,daPolya.Larispostaèinizialmentesorprendente,perchénelpianoesistonosolo17leggidiripetizione.Allafinediquestepaginetrovatei17“gruppidisimmetriadelpiano”,elencatigraficamente,apartiredaunostessomotivodibase,evidenziandocosìtuttelepossibilitàottenibiliapartiredaununicomotivo.Naturalmente,cambiandoilmotivodibasesipossonoottenereinfinitealtrevariazioni;maseilmotivotassellailpiano,laleggecompositivacuisoggiaceècertamenteunadiqueste17.

Lerotazionicompatibiliconunatassellazionedelpiano,ovverocompatibiliconduetraslazioniindipendenti,sono60°,90°,120°e180°(2π/6,2π/4,2π/3,π).Questacondizioneprendeilnomedi“restrizionecristallografica”.Laclassificazionedei“gruppicristallograficidelpiano”sifaperconvenzionepartendodall'angolominimodirotazionepossibilenelgruppo.L’ulterioredifferenziazionetraigruppisiottieneanalizzandol'eventualepresenzadiriflessioni,glissoriflessionielaloroposizionerispettoaicentridirotazionepresenti,eainecessariassiditraslazione.

Immaginidei17gruppicristallografici:CopyrightElisaConversano,2007

Bibliografia[1]H.S.M.CoxeterIntroductiontogeometry,2nded.JohnWiley&Sonsinc,1969[2]Peréz-Gòmez,R.,ThefourregularMosaicsmissinginAlhambra,inComp.AndMathwithAppl.14(1987),133-137