InverseTriGon Tricks

บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 472 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/

2.8 ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต กลมท 1 ส าหรบ a rc s in a rc tan arccos ec เทคนคการท า อานคามมออกมาตรงๆ ถามมมนตดลบกแคใสลบใหมนจบ

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 1a rc s in

2

เทคนค s in อะไรได 1

2 ออ 1

s in 3 02

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 1a rc s in

2 6

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 1a rc s in

2

เทคนค s in อะไรได 1

2 ออ 1

s in 3 02

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยนแคใสลบ 1a rc s in

2 6

จงหาคาของ

1. a rc s in 0 0 6. 1a rc s in

2 6

2. 1a rc s in

2 6

7. 2

a rc s in2 4

3. 2a rc s in

2 4

8. 3a rc s in

2 3

4. 3a rc s in

2 3

9. a rc s in 1

2

5. a rc s in 12

ตวอยางท 1 จงหาคาของ a rc ta n 1 เทคนค tan อะไรได 1 ออ ta n 4 5 1

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน a rc ta n 14

ตวอยางท 2 จงหาคาของ a rc ta n 1 เทคนค tan อะไรได 1 ออ ta n 4 5 1

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยนแคใสลบ a rc ta n 14



1. a rc ta n 0 0 5. a rc ta n 14

2. a rc ta n 14

6. 1

arc tan63

3. 1a rc tan

63

7. a rc tan 33

4. a rc ta n 33

ตวอยางท 1 จงหาคาของ a rc c o s e c 2

เทคนค มองมมเปน s in อะไรได 1

2 ออ 1

s in 3 02

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน a rcco s ec 26


เทคนค มองเปน s in อะไรได 1

2 ออ 1

s in 3 02

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยนแคใสลบ a rc c o s e c 26


1. a rc c o s e c 12

5. 2

a rcco s ec42


6. 2

a rcco s ec33

3. 2a rcco s ec

42


4. 2a rcco s ec

33

กลมท 2 ส าหรบ arccos arc sec a rc c o t เทคนคการท า อานคามมออกมาตรงๆ ถามมมนตดลบกแคเอา ลบออกใหมนจบ

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 1a rc c o s

2

เทคนค cos อะไรได 1

2 ออ 1

co s 6 02

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 1a rc c o s

2 3


ตวอยางท 2 จงหาคาของ 1a rc c o s

2

เทคนค cos อะไรได 1

2 ออ 1

co s 6 02

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 1 2a rc c o s

2 3 3


1. a rc c o s 02

6. 1 2

a rc c o s2 3 3

2. 1a rc c o s

2 3

7. 2 3

a rc c o s2 4 4

3. 2a rc c o s

2 4

8. 3 5a rc c o s

2 6 6

4. 3a rc c o s

2 6

9. a rc c o s 1

5. a rc c o s 1 0 ตวอยางท 1 จงหาคาของ a rc c o t 1 เทคนค tan อะไรได 1 ออ ta n 4 5 1

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน a rc c o t 14

ตวอยางท 2 จงหาคาของ a rc c o t 1 เทคนค tan อะไรได 1 ออ ta n 4 5 1

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 3

a rc c o t 14 4

เชน

1. a rc c o t 14

2. 3

a rc c o t 14 4

3. 1arc co t

63

4. 1a rc co t

33

5. a rc c o t 33

6. a rc c o t 36


ตวอยางท 1 จงหาคาของ a rc s e c 2

เทคนค มองเปนกอน cos อะไรได 1

2 ออ 1

co s 6 02

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน a rc s e c 23


เทคนค มองเปนกอน cos อะไรได 1

2 ออ 1

co s 6 02

เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 2a rc s e c 2

3 3


1. 2a rc s ec

63

4. 2 3arcs ec

4 42

2. a rc s e c 23

5. 2 5

arcs ec6 63

3. 2arcs ec

42

.

กลมท 3 ส าหรบ กลมนมองแลวตอบไดเลยแตมขอระวงคอ ตองดชวงของ arc ดวย

a rc s in ,2 2

a rc ta n ,2 2

a rc c o s 0 ,

1 s in (a rc s in x ) x 7 a rc s in s in x x 2 co s (a rcco s x ) x

8 a rc c o s c o s x x

3 tan (a rc tan x ) x

9 a rc ta n ta n x x

4 co t(a rc co t x ) x

10 a rc c o t c o t x x

5 sec (a rc sec x ) x

11 a rc s e c s e c x x

6 co s ec (a rc co s ecx ) x

12 a rc c o s e c c o s e c x x


1. a rc s in s in3 3

2. 3a rc s in s in

4 4

ระวง


3. a rcs in s in6 6

4. 1 1s in a rc s in

2 2


2 2


2 2

7. 1 1s in a rcs in

2 2

8. a rc c o s c o s2 2

9. 2 2a rc c o s c o s

3 3

10. 3 3a rc c o s c o s

4 4

11. 5arcco s co s

6 6 6

ระวง

12. a rc ta n ta n2 2

13. 3a rc ta n ta n

4 4

ระวง

14. 2a rc ta n ta n

3 3

ระวง

15. 5arc tan tan

6 6

ระวง

16. 2a rc s in s in

3 3

ระวง

17. 3 3tan a rc tan

3 3

กลมท 4 วาดรปแลวหาคาไดเลย หลกการท า 1.ทกตวถาเปนบวกวาดรปจตภาคท 1 ทงหมด 2. ส าหรบ a rc s in a rc tan arccos ec เปนลบวาดรป จตภาคท 4 3.ส าหรบ arccos arc sec a rc c o t เปนลบวาดรป จตภาคท 2


ตวอยางท 1

5

3arccossin

ให 3A a rc c o s

5

3c o s A

5 น าไปวาดรปจะได 4

s in A5

A

3

x

y

5

4

ตวอยางท 2 [โควตา มข. / 2553] 5

co s a rc s in1 3

มคาเทากบขอใด

1 21 .

1 3 1 2

2 .1 3

53 .

1 3 5

4 .1 3

ให 5A a rc s in

1 3

5s in A

1 3

A12

513

x

y

1 2

c o s A1 3


1.

2

1arccossin

2. 2seccos arc

3.

12

13seccos arc

4.

3

4arctancos


5.

2

2arcsincos

6.

4

5tanarccos

7.

13

12arcsincos

8. 2arccossec ec

9.

4

3arctansec

10.

2

3arccostan

11. 3ta n a rc se c

4

12. 1c o t a rc ta n

3

13 2arctansin

14. 3s in a rc c o s

5

15. 1 2co s a rcs in

1 3

16. 1tan a rc s in

4

17. 2co s ec a rcco s

3

18. s in a rc ta n 2

กลมท 5 มมสองเทา สามเทาและครง ตวอยางท 1. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 2539]

คาของ 1ta n 2 a rc s in

5

เทากบขอใดตอไปน

1. -1 2. 1 3. 4

3 4. 4

3

แนวคด

1ta n 2 a rc s in

5


ให 1A arcs in

5

1s in A

5

( a rc s in ตดลบคอมมใน 4

Q คา tan จงตดลบ)

A2

15

x

y

จะได 1

ta n A2

โจทยถาม 22

12

2 ta n A 42ta n 2 A

1 ta n A 311

2

ตอบ

ตวอยางท 2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย /คณตศาสตร 1 ต.ค. 2541]

1sec 2 a rc s in

3

มคาเทากบเทาใด

แนวคด

หาคา 1co s 2 arcs in

3

กอน

โดยให 1arcs in A

3

1s in A

3

จะได

2

2 1 1c o s 2 A 1 2 s in A 1 2

33

ตอบ

1 1se c 2 a rc s in 3

c o s 2 A3

ตวอยางท 3 . [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 ม.ค. 2547]

คา 21 1s in 2 a rc tan co t a rc s in

2 3

เทากบเทาใด

แนวคด ให 1A a rc ta n

2 1

ta n A2

และ 1B a rc s in

3 1

ta n B3

A

15

B

8

1

2

3

จะได

2 2s in 2 A c o t B 2 s in A c o s A c o t B


21 2 42 8 8 8 .8

55 5

ตอบ

ตวอยางท 4 . [ขอสอบเขามหาวทยาลย /คณตศาสตร 1 2534]

คาของ 3

a rc ta n34

s in c o s 2 a rc s in2 5

เทากบขอใดตอไปน

1. 1 6

1 0 2 5 2. 1 6

3 2 5 3. 1 7

1 0 2 5 4. 1 7

3 2 5

วธท า

3

a rc ta n34

s in c o s 2 a rc s in2 5

ให 3A a rc ta n

4 3

ta n A4

3B a rc s in

5 3

s in B5

ดงรป

A

4

3

5

B

4

35

แสดงวาโจทยถาม (มม A และ มม B อยในควอดรนตท 1 คามม เปนบวกทงสอง)

2A 1 c o s A

s in c o s 2 B 2 c o s B 12 2

2

41

4 1 752 1

2 5 1 0 2 5

ตอบ

ตวอยางท 5. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] 1 1

co s 2 a rc tan s in a rc tan1 3 1 3

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 21

1 7 01 7 0

2. 1 21

1 7 01 7 0

3. 1 21

1 7 01 7 0

4. 1 21

1 7 01 7 0

วธท า


1 1co s 2 a rc tan s in a rc tan

1 3 1 3

ให 1A a rc ta n

1 3

1ta n A

1 3 ( เนองจาก 1

a rc ta n1 3

เปนมม ในควอดรนตท 4)

x

y

A

1170

13

จะไดวา 1

s in A

1 7 0

โจทยถามคาของ 2 2 1co s 2 A sin A 1 2 s in A sin A 1

1 7 0 1 7 0

ตอบ ขอ 1.


1.

4

5sin2arctan

2.

13

12arccos2tan

3. 3arctan2sin

4. 2s in 2 a rc s in

3

5. 1 4s in a rcs in

2 5

6. 1 4s in a rcco s

2 5

7. xs in ( 2 a rc c o s )

2 2

8.

2

2arccos2cos

9.

2

1arccos2cos

10. )5

3arcsin2(cos


11. 4co s 2 a rcco s

5

12. 3co s 2 a rcco s

5

13. 1arcsin2cos

14.

2

3arccos2cos

15.

3

2arcsin2sin

16.

5

4arccos

2

1sin

17.

5

3arcsin2cos

18. 1 3s in ( a rc c o t( ))

2 4

19. )]21arctan(2cos[

20 3c o s ( 2 a rc ta n x )

2

21. )]5

3arcsin(2cos[

22. 5ta n 2 a rc ta n

1 2

23. xarctan2tan

24. )3

1arctan2tan(

25. 2arctan2tan

26. 2s in 2 a rcs in

3

27. 3co s 2 a rc s in

5

28. 1tan 2 a rcco s

3

29. 2sec 2 a rc s in

7

30. s in 3 a rc ta n 2

31. 3c o s 3 a rc s in

5

32. 1 3s in a rcco s

2 5


33. 1s in a rc ta n 3

2

34. 1 1 2co s a rcco s

2 1 3

35 1 3co s a rcs in

2 5

36 1ta n a rc ta n 3

2

กลมท 6 อาจใชตวชวย

1.

22 a rc s in x a rc s in 2 x 1 x

2.

22 a rcco s x 2 x 1

3.

2

2 x2 a rc ta n x a rc ta n

1 x

ลองท าด

1.

12 arcs in

3

2.

12 a rc c o s

3

3. 12 a rc ta n

3

4. 12 a rc ta n

5

กลมท 7 มมทนกเรยนตองจ า

37 26.5 18.5

8 74 18

53 71.5

1682

63.5

3

4

5

1

10

3

7

2425

1

2

5

7

1

5072

5 1

10 2 5

4


54 15

75

3 1

3 1

2 236

10 2 5

5 1

4

ตวอยาง จงหาคาของ

1. 3a rc s in 3 7

5

2. 4a rc s in 5 3

5

3. 4a rc c o s 3 7

5

4. 3a rc c o s 5 3

5

5. 3a rc ta n 3 7

4

6. 4a rc ta n 5 3

3

7. 1a rc ta n 1 8 .5

3

8. 1arcs in ( ) 2 6 .5

5

9. 2a rcco s 2 6 .5

5

10. 1a rc ta n 8

7

11. a rc tan 2 6 3 .5 12. a rc tan 3 7 1 .5

13. 1a rcs in 1 8 .5

1 0

14. 3 1a rc s in 1 5

2 2

15. 3 1arcs in 7 5

2 2

16. 3 1arcco s 7 5

2 2

17. 3 1arcco s 1 5

2 2


18. 3 1arc tan 1 5

3 1

19. 3 1arc tan 7 5

3 1

กลมท 8 ทกขอรวมกนได 2

เสมอ

a rc s in x a rc c o s x2

a rc ta n x a rc c o t x2

a rc se c x a rc c o s e c x2

a rc s in x a rc c o s x2


1. 1 1a rc s in a rc co s

3 3 2

2. 3 3a rc s in a rc c o s

5 5 2


5 5 2


2 2 2

5. 3 3a rc s in a rcco s

2 2 2

6.

5 5s in a rc s in a rcc o s s in 1

1 3 1 3 2

7.

7 7s in a rc s in a rcc o s s in 1

2 5 2 5 2

8.

2 4 2 4s in a rc s in a rcco s s in 1

2 5 2 5 2

9.

5 5c o s a rc s in a rc c o s c o s 0

1 3 1 3 2


a rc ta n x a rc c o t x2


1. 1 1a rc tan a rc co t

3 3 2

2. 3 3a rc ta n a rc c o t

4 4 2


3 3 2

4. 1 1arc tan a rc co t

23 3


2 2 2

6.

7 7s in a rc ta n a rc c o t s in 1

2 4 2 4 2

7.

1 1s in a rc ta n a rc c o t s in 1

7 7 2

9.

c o s a rc ta n 3 a rc c o t 3 c o s 02

10. 3 1 3 1c o s a rc ta n a rc c o t c o s 0

23 1 3 1

a rc se c x a rc c o s e c x2

1. 5 5a rc se c a rc c o s e c

4 4 2

2. 1 0 1 0a rc se c a rc c o s e c

3 3 2

3. 5 0 5 0a rc se c a rc c o s e c

7 7 2

4. a rc se c 2 a rc c o s e c 22

5. 2 5 2 5a rc s e c a rc c o s e c

7 7

6.

7 7s in a rc se c a rc c o s e c s in 1

2 5 2 5 2

7.

1 0 1 0s in a rc se c a rc c o s e c s in 1

3 3 2


8.

2 2s in a rc sec a rc co s ec s in 1

23 3

9.

5 5c o s a rc se c a rc c o s e c c o s 0

2 2 2

กลมท 9

1. x yarc tan x a rc tan y a rc tan x y 1

1 x y

2. x yarc tan x arc tan y arc tan , x y 1

1 x y

3. x yarc tan x a rc tan y a rc tan , x y 1

1 x y

ตวอยางท 1 [คดโอลมปก / 2538]

ให 1 1a 2 a rc tan a rc tan

3 7 จงหาคาของ 1 8 0

a

1 1a 2 a rc ta n a rc ta n

3 7

1 1 1a a rc ta n a rc ta n a rc ta n

3 3 7

1 1

13 3a a rc ta n a rc ta n

1 1 71

3 3

เพราะ 1 1 11

3 7 2 1 ใชสตรท 1

3 1a rc ta n a rc ta n

4 7

3 1

4 7a rc ta n a rc ta n 1

1 1 41

4 7

โจทยถาม 1 8 0a

1 8 0

4 54

ตวอยางท 2 [คดโอลมปก / 2538] 1 1

tan 2 tan 3

มคาตรงกบขอใดตอไปน

1. 4

2. 3

4

3.

4

4. 3

4

คาของ

2 3a rc ta n 2 a rc ta n 3 a rc ta n

1 2 3

เพราะ 2 3 6 1 ใชสตรท 2

a rc ta n 1

4

(เพราะ a rc tan ตดลบถกนยามไวทคามมตดลบในควอดรนตท 4)

3

4


ตวอยางท 3 .คาของ 2arctan1arctan เทากบเทาใด

1 2a rc ta n 1 a rc ta n 2 a rc ta n

1 1 2

เพราะ 1 2 2 1 ใชสตรท 3

3a rc ta n

1

a rc ta n 3

ตวอยางท 3. คาของ

1 1 7ta n a rc c o t a rc c o t a rc ta n

5 3 9

5 1 2s in a rc s in a rc s in

1 3 1 3


1 1 7ta n a rc c o t a rc c o t a rc ta n

5 3 9

5 1 2s in a rc s in a rc s in

1 3 1 3

7ta n a rc ta n 5 a rc ta n 3 a rc ta n

9

5 5s in a rc s in a rc c o s

1 3 1 3

5 3 7ta n a rc ta n a rc ta n

1 5 .3 9

s in2

1 7ta n a rc ta n a rc ta n

8 9

1

1 7

8 9ta n a rc ta n

1 71

8 9

6 5

7 2ta n a rc ta n ta n a rc ta n 1 1

6 5

7 2


ตวอยางท 4 .คาของ c o t a rc c o t 7 a rc c o t 1 3 a rc c o t 2 1 a rc c o t 3 1 เทากบขอใดตอไปน

1 11 .

4 1 3

2 .4

93 .

2 2 5

4 .2

วธท า. 1 1 1 1c o t a rc ta n a rc ta n a rc ta n a rc ta n

7 1 3 2 1 3 1

1 1 1 1

7 3 1 1 3 2 1c o t a rc ta n a rc ta n

1 1 1 11 1

7 3 1 1 3 2 1

3 8 3 4

2 1 7 2 7 3c o t a rc ta n a rc ta n

2 1 7 1 2 7 2

2 1 7 2 7 3

3 8 3 4co t a rc tan a rc tan

2 1 6 2 7 2

1 9 1co t a rc tan a rc tan

1 0 8 8

1 9 1

1 0 8 8c o t a rc ta n

1 9 11

1 0 8 8

2 6 0c o t a rc ta n

8 4 5

8 4 5co t a rc c o t

2 6 0

1 3 1 3co t a rc co t

4 4


ตวอยางท 5 .จงหาคาของ 1 1 1 1tan a rc tan a rc tan a rc tan a rc tan

2 3 4 5

วธท า

1 1 1 1

2 3 4 5ta n a rc ta n a rc ta n

1 1 1 11 . 1 .

2 3 4 5

9ta n a rc ta n 1 a rc ta n

1 9

9ta n 4 5 a rc ta n

1 9

tan 4 5 tan Atan 4 5 A

1 tan 4 5 . tan A

91

1 41 92 .8

9 51 1 .

1 9

ตวอยางท 6. [ทนเลาเรยนหลวง (ก.พ.) / 2543] จงหาคาของ

1 1 1 12 c o t c o t 3 c o t 7 c o t 1 3 c o t 2 1

ใชสตรผลบวกของ a rc tan นนคอ

1 1 1 11 1 1 12 c o t ta n ta n ta n ta n

3 7 1 3 2 1

1 11 / 3 1 / 7 1 / 1 3 1 / 2 12 co t tan tan

1 1 / 2 1 1 1 / 2 7 3

1 11 0 3 42 co t tan tan

2 0 2 7 2

1 11 12 co t tan tan

2 8

1 1 / 2 1 / 82 co t tan

1 1 / 1 6

1 1 0 1 52 co t tan 2 3

1 5 1 0

ตอบ


ตวอยางท 7 . [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2541]

คาของ 1 1 1 1a rc tan a rc tan a rc tan a rc tan

3 5 7 8 เทากบขอใดตอไปน

ก. 2

ข. 3

ค. 4

ง. 6

วธลด

18.5

71.5

1

10

3

8

82

7

1

50

จ า 1 1 1 1

a rc ta n a rc ta n a rc ta n a rc ta n3 7 5 8

1 8 .5 8 1 8 .5 4 54

ลองท าเอง จงหาคาของ

1. 3

1arctan

3

1arctan

2. 3

1arctan

2

1arctan

3. 7

1arctan

3

4arctan

4. 8

1arctan

5

1arctan

5. 7

1arctan

8

1arctan

5

1arctan

3

1arctan

6. 8

1arctan

5

1arctan

2

1arctan

7. 3arctan2arctan


กลมท 10 ตวอยางท1 [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2536]

คาของ 5 4s in a rc s in a rc c o s

1 3 5


ก. 4 8

6 5 ข. 5 2

6 5 ค. 5 6

6 5 ง. 6 3

6 5

จาก 5 4s in a rc s in a rc c o s

1 3 5

ให 5A a rc s in

1 3 5

s in A1 3

4B a rc c o s

5 4

c o s B5

s in A B s in A c o s B c o s A s in B

B

4

53

A

513

12

5 4 1 2 3 5 6

s in A B1 3 5 1 3 5 6 5

ตวอยางท 2 [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 2549] s in (a rc tan 2 a rc tan 3) เทากบขอใดตอไปน

1. 1

2 2.

1

2

3. 1

2

4. 1

2

วาดรปสามเหลยมมมฉากไดดงรป

B

1

103

A

25

1 จะได s in a rc ta n 2 a rc ta n 3 s in A B


s in A c o s B c o s A s in B

2 1 1 3

5 1 0 5 1 0

= 5 1

5 0 2

คดลด

26.5 18.5

71.563.5

1

10

3

1

2

5

1

s in (6 3 .5 7 1 .5 ) s in 1 3 5

2

ตวอยางท 3 . [โควตา มช. / 2547]

จงหาคาของ 3 3s in a rc tan a rc co s

4 5

วธท า

ให 3A a rc ta n

4

3ta n A

4

และ 3B a rc c o s

5

3c o s B

5

A

4

3

3B

54

y

x x

y

5

จะไดวา โจทยถาม s in A B s in A c o s B c o s A s in B

3 3 4 4 9 1 60 .2 8

5 5 5 5 2 5

ตอบ


ลองท าด


1.

13

12arccos

5

4arccoscos

2.

5 3sec a rcs in a rc tan

1 3 4

3.

5

4arcsin

5

3arccossin

4.

4

3arctan

13

5arcsincos

5.

2

3arcsin

2

1arcsinsin

6.

4

3arctan

13

5arcsinsec

7.

5

12arctan

5

3arccossin

8.

5

4arcsin

13

12arcsinsin

9.

5

4arcsin

13

5arcsinsin

10.

25

7arcsin

17

15arccoscos

11.

3

1arcsin

2

1arcsinsin

12.

13

5arccos

5

3arcsintan

13.

13

12arccos

5

4arcsin2tan

14.

13

12arccos

5

4arcsin2sin

15.

85

13arccos

17

15arcsin

5

3arcsin

16.

3

4arctan

13

5arccossin

17. 13

13arctan

3

1arctan

18.

7

1arccos

7

1arcsinsin

19.

2

1arccos

2

1arcsincos


20.

2arctan

5

4arccos2sin5

21.

5

3arcsin

5

3arccossin

22.

3

1arctan

3

4arcsintan

23.

10

3arccos

2

1arctancos

24. )5

12arctan

5

3sin(arccos

กลมท 11 ตวอยางท 1. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543]

คาของ 1 5s in 2 a rc ta n a rc ta n

5 1 2

ตรงกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 3

3. 5

4. 2

วธท า

1 5s in 2 a rc ta n a rc ta n

5 1 2

ให 1A a rc ta n

5

1ta n A

5

และ 5B a rc ta n

1 2

5ta n B

1 2

26

A

1

5

5

B

13

12

y

x x

y

s in 2 A B s in 2 A c o s B c o s 2 A s in B

22 s in A c o s A c o s B 1 2 s in A s in B

2

1 5 1 2 1 52 1 2

1 3 1 32 6 2 6 2 6

5 1 2 1 2 5

1 3 1 3 1 3 1 3

0


ตวอยางท 2 .จงหาคาของ 4 4s in 2 a rc c o s a rc ta n

5 3

1. 5

3 2.

5

4 3.

4

3 4.

3

4

วธท า

ให 4 4x a rcco s co s x

5 5

4 4y a rc ta n ta n y

3 3

4 4s in 2 a rcco s a rc tan s in ( 2 x y )

5 3

s in 2 x co s y co s 2 x s in y

22 sin x co s x co s y (2 co s x 1) sin y

2

3 4 3 4 4 42 2 1

5 5 5 5 5 5


1. 1s in 2 a rc ta n 1 a rc c o s

3

2. 1c o s 3 a rc ta n 2 a rc ta n 1

2

3. 1 5 1c o s a rc ta n 5 a rc s in

3 4

4. 4s in 2 a rc tan 1 3 a rc tan

5

5.

2

1arctan2

5

3arcsin

2

1sin

6.

10

1arcsin2

5

4arcsinsin

y

x

5 3

4


สมการของฟงกชนอนเวอรสตรโกณมต

ตวอยางท 1 [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 ต.ค. 2543]

ถา 1 1a rc ta n x a rc ta n 2 a rc ta n

4 2 แลว s in 1 8 0 a rc ta n x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 3

5 1 7

2. 1 6

5 1 7

3. 1 3

5 1 7

4. 1 6

5 1 7

วธท า 1 1a rc ta n x a rc ta n 2 a rc ta n

4 2 1 1

x tan a rc tan 2 a rc tan4 2

ให 1A a rc ta n

4 1

ta n A4

1B a rc ta n

2 1

ta n B2

(มม A และ มม B อยในควอดรนตท 1 คามม เปนบวกทงสอง) จะได x ta n A 2 B

ta n A ta n 2 Bx

1 ta n A ta n 2 B

22

12

2 ta n B 42ta n 2 B

1 ta n B 311

2

1 4

4 3x

1 41

4 3

1 3x

1 6

โจทยถาม 1 3

s in 1 8 0 arc tan x s in a rc tan x s in a rc tan1 6

ให 1 3C arc tan

1 6

1 3ta n C

1 6

(มม C อยในควอดรนตท 3 คามม เปนลบ)

16

13

5 17

x

y

C

ถามคา 1 3 1 3 1 3

s in a rc tan1 6 5 1 7 5 1 7

ตอบ


ตวอยางท 2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 2541]

ก าหนดให 4 1 2a rc c o s a rc s in x

5 1 3 2

แลว ta n x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 6

6 3 2. 6

6 3 3. 1 6

6 3 4. 6

6 3

วธท า

4 1 2a rc c o s a rc s in x

5 1 3 2

4 1 2

x a rc c o s a rc s in2 5 1 3

4 1 2tan x tan a rcco s a rc s in

2 5 1 3

4 1 2ta n x c o t a rc c o s a rc s in

5 1 3

หาคา 4 1 2co t a rcco s a rc s in

5 1 3

ให 4A a rc c o s

5 4

c o s A5

1 2B a rc s in

1 3 1 2

s in B1 3

(มม A และ มม B อยในควอดรนตท 1 คามม เปนบวกทงสอง)

1 1 ta n A ta n Bc o t A B

ta n A B ta n A ta n B

A

4

35

B5

1213

1 ta n A ta n B

c o t A Bta n A ta n B

3 1 21

2 0 3 6 1 64 5

3 1 2 1 5 4 8 6 3

4 5

สรป 4 1 2 1 6ta n x c o t a rc c o s a rc s in

5 1 3 6 3

ตอบ



เซตค าตอบของสมการ a rc ta n 1 x a rc ta n 1 x4

เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. 4 , 0 2. 3,1 3. 2 , 2 4. 1, 3 วธท า

a rc ta n 1 x a rc ta n 1 x4

ให A a rc ta n 1 x ta n A 1 x และ B a rc ta n 1 x ta n B 1 x

ดงนน จากโจทยจะได A B4

ta n A B ta n 14

ta n A ta n B1

1 ta n A ta n B

1 x 1 x1

1 1 x 1 x

1 x 1 x1

1 1 x 1 x

2

21

1 1 x

2

21

x

2x 2 x 2 เซตค าตอบคอ 2 , 2 เปนสบเซตของขอ 3.



ผลเฉลยทงหมดของอสมการ 2 1a rc c o s s in a rc c o s x

2

เปนสมาชกของเซตใดตอไปน

1. 1 1 1 1 1, , , , , ...

2 42 2 2 4 2

2. 1 1 1 10 , , , , , ...

2 42 2 4 2

3. 3 1 1 3..., , , 0 , , , ...

2 2 2 2

4. 1 1 1 1..., , , 0 , , , . . .

4 2 2 4

วธท า

2 1a rc c o s s in a rc c o s x

2

เนองจาก s in s in

จงได 2 1a rc c o s s in a rc c o s x

2

2 1s in a rcco s x co s

2

2 1s in a rcco s x 1

2

2 1s in a rcco s x 1

2

s in A 1 A2

2 1a rc c o s x

2 2

2 1x c o s

2 2

2 21 1

x 0 x2 2

1x

2

ตอบ ขอ 3.

InverseTriGon Tricks

Documents