Introducción a la convección

Introducción a la Convección IMC 484 1

Capítulo 6

Introducción a la Convección


Introducción a la Convección

• El término convección se refiere a la transferencia de energía entre una superficie y un fluido que se mueve sobre una superficie.

• La aportación dominante es la del movimiento global o total de las partículas que constituyen el fluido.

• En este capítulo:

– Discutiremos los mecanismos físicos relacionados con la convección– Abordaremos los conceptos de capa límite hidrodinámica y térmica.– Recordaremos los conceptos de flujo laminar y turbulento.– Introduciremos las ecuaciones generales de movimiento y energía.– Discutiremos el origen físico e introduciremos números adimensionales

que permiten realizar cálculos de transferencia de calor en los capítulos siguientes.


Coeficiente de Transferencia de CalorCuando se da una transferencia de calor entre una superficie de forma arbitraria, de área As y temperatura Ts y un fluido tenemos que q’’ puede ser calculado a partir de la ley de enfriamiento de Newton :

)( ∞−=′′ TThq S

Normalmente las condiciones de flujo varían a lo largo de la superficie, luego q”corresponde a un flux de calor local y h a un coeficiente convectivo local.

La velocidad de transferencia de calor total es

[ ]

)(

)(1)("

∞

∞∞

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−== ∫∫ ∫

TTAhq

TTAdAhA

dAhTTdAqq

SS

SSA Ss

A A SSSSS S

Donde: ∫=SASh

Ah SdA 1

es el coeficiente convectivo promedio


• Cuando se tiene un flujo sobre una placa plana: ∫=

Lh

Lh

0dx 1

Cómo podemos estimar el coeficiente de transferencia de calor h?

Coeficiente de Transferencia de Calor


Capa límite de velocidad o hidrodinámica

El flujo esta caracterizado por dos regiones:– Una capa delgada de fluido (capa límite) al interior de la cual los

gradientes velocidad y los esfuerzos cortantes son importantes. Su espesor “δ” está definido como el valor de “y” para el cual u = 0.99u∞

– Una región externa en la cual los gradientes de velocidad y los esfuerzoscortantes son despreciables.

Consideremos el flujo de un fluido sobre una placa plana:

Para un fluido Newtoniano:

0=∂∂

µ=τy

S yu

2/2∞

≡u

C Sf ρ

τy donde Cf es el

coeficiente fricción local


• La capa límite térmica es la región de el fluido en donde existen gradientes de temperatura.

• Su espesor esta definido como el valor de “y” para el cual cociente:

Consideremos el flujo de un fluido sobre una placa plana isotérmica:

99.0=−−

∞TTTT

S

S

Sobre la superficie de la placa (y=0) no hay movimiento de fluido Transferencia de calor por Conducción:

0yf

"S y

Tkq=∂

∂−= y

∞

=

−

∂∂−=

T

yTkh yf

S

0

T

/

Capa límite térmica

)TT(hq S"s ∞−=


Ecuación de Conservación de la Masa

Flujo másico que entra

Flujo másico que sale

Tasa de acumulación - =

Balance de Masa :z

y

x

)(, dydzum entrax ρ=& dydzdxux

um salex ])([, ρρ∂∂

+=&

u

w

υ


Ecuación diferencial de conservación de la masa o ecuación de Continuidad

Para condiciones de estado estable

0)()()(=

∂ρ∂

+∂ρυ∂

+∂ρ∂

zw

yxu

Para un fluido incompresible

0=∂∂

+∂

υ∂+

∂∂

zw

yxu

0)()()( =∂ρ∂

+∂ρυ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

zw

yxu

t(7.1a)

(7.1b)

(7.1c)


Conservación de la cantidad de movimiento

1. Estimación de la tasa neta de momentum que sale de un elemento

z

y

x

uuAum xx )(ρ=& [ ] xAdxuux

uu⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ρ

∂∂

+ρ )()(

( )

( ) ( ) ( ) ( )1⋅⋅=∀∴⋅=∀=⎯→⎯

=⎯→⎯

∑

∑+

+

dydxuDtDdydxu

DtDF

muDtDF

x

x

ρρ


2. Estimación de las fuerzas que actúan sobre el elemento: Presión, gravedad, esfuerzos

Los esfuerzos están relacionados con las tasas de deformación (gradientes de velocidad), a través de la leyes de Newton.

y

x

z

dxxxx

xx ∂σ∂

+σxxσ

yxτ

dyyyx

yx ∂

τ∂+τ

dyyyy

yy ∂

σ∂+σ

yyσ

xyτ

dxxxy

xy ∂

τ∂+τ

Conservación de la cantidad de movimiento


Ecuación Diferencial de Momentum(Ecuaciones de Navier-Stokes)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

µ+ρ+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

υ+∂∂

+∂∂

ρ 2

2

2

2

2

2

zu

yu

xug

xp

zuw

yu

xuu

tu

x

∴ x:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂υ∂

+∂

υ∂+

∂υ∂

µ+ρ+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂υ∂

+∂υ∂

υ+∂υ∂

+∂υ∂

ρ 2

2

2

2

2

2

zyxg

yp

zw

yxu

t y

∴ y :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

µ+ρ+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

υ+∂∂

+∂∂

ρ 2

2

2

2

2

2

zw

yw

xwg

zp

zww

yw

xwu

tw

z

∴ z :

(7.2a)

(7.2b)

(7.2c)


Conservación de la EnergíaEcuación de Conservación de la Energía

stst

outgin Edt

dEEEE &&&& ==−+ (2.1)

z

y

x

qx+dx

qx

qz

qz+dz

qy+dy

qy

Para recordar:Anteriormente nosotros consideramos solamente la transferencia de calor por conducción y obtuvimos la “Ecuación de difusión del calor”


Conservación de la Energía

gE&

W&

x

y

dyycondE +,&

ycondE ,&

xcondE ,&

dxxcondE +,&

xadvE ,&

dxxadvE +,&

yadvE ,&

dyyadvE +,&

Debemos considerar que la energía es también transferida por el movimiento del fluido como un todo (advección)

− Energía cinética y potencial− trabajo debido a las fuerzas de presión


Ecuación de la EnergíaPara estado estable, fluido incompresible con propiedades constantes:

qzT

yT

xTk

zTw

yT

xTuC p &+Φµ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

υ+∂∂

ρ 2

2

2

2

2

2

donde⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂υ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂υ∂

+∂∂

µ=Φµ2222

2zw

yxu

xw

xyu

Flujo de calor neto debido al movimiento global del fluido (advección)

Flujo de calor neto debido a la conducción

Tasa de generación de Energía por unidad de volumen

representa la disipación viscosa : Tasa Neta a la cual el trabajo mecánico es irreversiblemente convertido en energía térmica, debido a los efectos viscosos en el fluido

(7.3)

(7.4)


Ecuaciones de la capa límite

• Consideremos el desarrollo simultaneo de las capas límites de velocidad y térmica en estado estable, 2D, en flujo incompresible con propiedadesconstantes (µ , cp, k) y sin fuerzas de cuerpo

• A partir de las ecuaciones de conservación de la masa, la 2da ley del movimientode Newton’s y la conservación de la energía e invocando las aproximaciones decapa límite :

Capa límite de velocidad :

Capa límite térmica:


• Conservación de Masa:

• Segunda ley del movimiento de Newton:

Cuál es la significación física de cada término de la ecuación?

Porqué el gradiente de presión se expresa como dp/dx y no / ?p x∂ ∂


En dirección x:

En dirección y:


Cuál es el significado físico de cada termino de la ecuación?

Qué es el segundo termino de la derecha y bajo que condiciones se puede despreciar?

• Conservación de la Energía:



Principio de similitud aplicado a capas límite

• El principio de similitud esta basado en determinar parámetros de similitud para facilitar la aplicación de los resultados obtenidos en superficies que experimentan ciertas condiciones a superficies que son geométricamentesimilares pero sometidas a condiciones diferentes.

• Variables dependientes de la capa límite :

• Para una geométria dada, las correspondientes variables independientes son:

Geométricas: Longitud (L), Posición (x,y)Hidrodinámicas: Velocidad (V)Propiedades del Fluido :

( )( )µρτ

µρ,,,,

,,,,,VLxf

VLyxfu

s ==

Luego,

Hidrodinámicas: ,Térmicas: ,pcp, k

ρ, µ

hqs o "y τ

( )( )kcVLxfh

kcVLyxfT

p

p

,,,,,,

,,,,,,,

µρ

µρ

=

=


• Los parámetros de similitud claves pueden inferirse a partir de las ecuaciones de cantidad de movimiento y de conservación de la energía no adimensionadas.

• Las formas adimensionales de las variables independientes y dependientes utilizadosen las ecuaciones de capa límite hidrodinámica y térmica son:

• Despreciando la disipación viscosa, se llega a la siguiente forma normalizada paralas ecuaciones de cantidad de movimiento en x y de energía:


Lyy

Lxx ≡≡ * *

Vvv

Vuu ≡≡ * * s

s

TTTT

T−−

≡∞

*

2

2

2

2

**

PrRe1

***

***

**

Re1

***

***

yT

yTv

xTu

yu

dxdp

yuv

xuu

L

L

∂∂

=∂∂

+∂∂

∂∂

+−=∂∂

+∂∂


• Para una geometría dada,

El esfuerzo cortante adimensional, o el coeficiente de fricción local, es de la forma:

Cual es la interpretación física de los números de Reynolds y Prandtl?

Reynolds de NúmeroRe →=≡νµ

ρ VLVLL

Prandtl de NúmeroPr →=≡ανµ

kc p


( )Lyxfu Re*,*,* =

0*0 **

== ∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

=yy

s yu

LV

yu µµτ

0*2 *

*Re

22/ =∂

∂=≡

yL

sf y

uV

Cρ

τ

( )LL

f xfC Re*,Re

2=( )L

y

xfyu Re*,

**

0*

=∂∂

=


• Para una geometría dada,

El coeficiente de convección local

Cual es la diferencia entre los números de Nusselt y Biot?

localNusselt de NúmeroNu →

( )Pr,Re*, 0

*

*

*L

yf

xfyT

khLNu =

∂∂

=≡=

( )( )

T

/

0*

*

0*

*

S

0

** ==∞

∞

∞

=

∂∂

+=∂∂

−

−−=

−

∂∂−=

y

f

ys

sfyf

yT

Lk

yT

TTLTTk

T

yTkh

Pr),Re*,*,(* LyxfT =



En conocimiento del # de Nu local nos permite encontrar h y q local función de (x*, Re y Pr)

El # de Nu promedio ( ) es solo función de Re y Pr

El Número de Nusselt es igual al gradiente de temperatura adimensional en la superficie y proporciona una medida de la transferencia de calor por convección que ocurre en la superficie.El # de Nu es a la capa límite térmica lo que el coeficiente de fricción de la pared (Cf) es a la capa límite hidrodinámica.

Número de Nusselt (Nu)

Pr),(ReLfNu =µ

ραν

Vxx =

=

Re

PrPr),Re*,( xx xfNu =Nu


Flujos Laminar y Turbulento

Criterio de transición :

5105Re ×=µ

ρ= ∞ c

xxu


Conclusiones sobre las capas límites

• La capa límite hidrodinámica (espesor δ(x)) esta caracterizada por la presencia de gradientes de velocidad y esfuerzos cortantes –Coeficiente de fricción superficial, Cf

• La capa límite térmica (espesor δt(x)) existe por la presencia de gradientes de temperatura – Coeficiente de transferencia de calor por CONVECCIÓN, h


Conclusión

• Comenzamos a considerar la transferencia de calor por convección ocasionada por gradientes de temperatura entre una pared y un fluido en movimiento

• Discutimos el concepto de capa límite hidrodinámica y térmica• Definimos el coeficiente convectivo local y promedio• Obtuvimos una expresión para el coeficiente convectivo en función de

Nu (número adimensional)• Vimos que Nu es función de otros números adimensionales (Re y Pr).• En los próximos capítulos obtendremos expresiones para determinar

el coeficiente de transferencia de calor por convección “h” para ciertas geometrias específicas.

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