Intro de Solidos y Ec de Enskog

7/21/2019 Intro de Solidos y Ec de Enskog

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CAPI TULO 2. PROPI EDADES DE TRANSPORTE. 27

Habr pues un f l uj o net o de A en l a di r ecci n y. Para cal cul ar est e

f l uj o di f usi vo suponemos que l as mol cul as que l l egan desde abaj o

t i enen su l t i ma col i s i n en y l as que l l egan desde ar r i ba l a

1

Y t \

Y

i

\

Y- X

X

x

FI GURA 2. 1

t i enen en y- M . Se supone en est e model o si mpl i f i cado que l a t ercer a

par t e de l as mol cul as t ot al es se mueven a l o l ar go de cada uno de

l os t r es ej es coor denados, o sea que en l a di r ecc i n pos i t i va del ej e

y se mueven 1/ 6. Si n es el nmer o de mol cul as por uni dad de

vol men, el nmer o de mol cul as de A y B que pasan haci a ar r i ba por

uni dad de t i empo a t r avs de un pl ano de r ea S es (l / 6) nvS, y de

estas XA(1 /6 ) ( HVS) son mol cul as de A.

Ent onces, s i no hay f l uj o convect i vo de A o B en l a di r ecc i n y , e l

f l uj o net o de l as mol cul as de A es l a di f er enc i a ent r e el f l uj o

debi do a l as mol cul as de A que se mueven haci a ar r i ba y haci a abaj o:

( mol es de A) / ( uni dad de t i empo) = [ ( S/ 6) ( nVxA) | y- J - - ( S/ 6) ( nVxA) ( y^

Par a obt ener el f l uj o di f us i vo de A debemos di v i di r por S y por el

nmer o de Avogadr o par a conver t i r de mol cul as a mol es pues n = cN, N

es el nmer o de Avogadr o

JAY = - / MnVxA) / 6N = - ( 1/ 6)VCAXA = - ( l / 6) Vc(2-L ) (dxA/dy)

J

A y

= - ( 1/ 3) V- L( dcA/ dy) por l o que DAB = (1/ 3)J - V

Ut i l i zando l a t eor i a c i nt i ca s i mpl i f i cada de l os gases , que asume l a

no exi st enci a de gr adi ent es de concent r aci n, l as mol cul as A y B

como esf eras r gi das s i n f uer zas atr act i vas, de apr oxi madament e l a

m sma masa y t amao, y gas i deal :

H -H

V = (8kBT/ r t m J - = ( 2nd2n)

donde

kB = Const ant e de Bol t zman = 1. 38062*10- 23 J / K = R/ N

m = Mas a de l a mol cul a = M/ N M = Peso mol ecul ar

n = Mol cul as por uni dad de vol umen = n =

P A B T = CN

R - Const ant e de l os gases. N = Nmer o de Avogadr o

d = Di met r o mol ecul ar .


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l f l FENOMENOS DE TRANSPORTE

Asi el coef i c i ent e de aut odi f us i n,

DAA*:

H

DAA* = ( 2 / 3 d2 ) ( k B

3

TA3 m)

Si t i enen A y B di f er ent e masa y t amao,

d = ( 1/ 2) ( cU +

DB)

1

/M

= 1

/MA

+ 1

/MB M

= Masa r educi da

D

ab

= ( 2 / 3 ) ( K B/ TT )

1

6

( L

/2MA +

L / 2 M B ) M T 3 / 2 / P ) ( 2 / ( D A + D B )

)

2

TRANSPORTE DE CANTI DAD DE MOVI M ENTO.

Supongamos ahor a que el f l ui do est en movi m ent o y que hay un

gr adi ent e de vel oci dad dvx/ dy m ent r as que vy=v=0. Ent onces l as

mol cul as que at r avi esan el pl ano ubi cado eny or i gi nndose deede

abaj o t endr n una vel oci dad mayor que aquel l as que se ori gi nan por

enci ma. Tambi n como el i mpul so es masa por vel oci dad, t endr n un

mayor i mpul so x. Por l o t ant o cuando col i si onan l as mol cul as de

abaj o con mayor i mpul so t endern a acel erar l as mol cul as ms l ent as

de ar r i ba y si m l ar ment e l as mol cul as ms l ent as de ar r i ba tender n

a f r enar l as mol cul as ms r pi das del l ado i nf er i or . Habr ent onces

un t r anspor t e net o de i mpul so x desde uny menor hast a uny mayor ( o

en l a di r ecci n

y

pos i t i va) . La acel er ac i n del f l ui do super i or por

el f l ui do i nf er i or t i ene el ef ecto de una f uer za actuando

t angenci al ment e a el rea Sy ( per pendi cul ar al ej e y); est a es l a

f uer za cor t ant e TyxSy. Si m l ar ment e, el f r enado del f l ui do i nf er i or

equi val e al ef ect o de una f uer za cor t ant e i gual y opuest a,

f r ecuent ement e l l amada f uerz a de ar r ast r e o sea una f uerz a de

f r i cci n. La f uer za cor t ant e se r el ac i ona a t r avs de l a l ey de

Newt on del movi m ent o con l a vel oci dad de l a cant i dad de movi m ent o.

As el r esul t ado del movi m ent o al eat or i o de l as mol cul as es

si mul t neament e una f uer za cor t ant e y un f l uj o de cant i dad de

movi m ent o.

Si m es l a masa de una mol cul a, su cant i dad de movi m ent o ser mv*.

Ent onces l a vel oci dad de f l uj o del i mpul so x haci a ar r i ba de (y--

1

- )

ser :

( mol cul as/ t i empo) (i mpul so/mol cul a) = ( Sy/ 6) (nV) ( mv*) |

y

-

y l a vel oc i dad net a de f l uj o ser

( Sy/6) ( nV) ( mvx) | y--

1

-

- ( Sy/ 6) ( nV) ( mv

x

) | y - -

Par a obt ener l a densi dad de f l uj o del i mpul so x en l a di r ecci n y,

di vi di mos por Sy para obt ener :

- Tyx = ( nVmvx/ 6) | y- - ( nVmvx/ 6) | y*~L = ( l / 6) ( nVm) Ayx

Asum endo un gr adi ent e de vel oci dad l i neal sobr e l a di st anci a 2-L y

usando nm = f , obt enemos:

Tyx

( 1/ 3) fV-K

dvx/ dy)


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Al coaparar con l a l ey de Newt on de l a vi scoci dad

M = ( l / 3) f V r = ( 1/ 3) VX

que ea l a m sma expr esi n par a

DAB

cuando Se = 1. Subst i t uyendo y V

de l a t eor a ci nt i ca de l os gases obt enemos:

U = ( 2/ 3) ( mksTA3)

Nt ese que u aument a con l a t emper at ur a y es i ndependi ent e de l a

pr esi n o, equi val ent ement e, es i ndependi ent e de l a densi dad a

t emper at ur a const ant e. La t eor a c i nt i ca r i gur osa da l a s i gui ent e

expresi n para l a vi scosi dad de un gas compuest o de esf eras r gi das

de di met r o d:

( MT)

M - 2. 6683 x 10- ( 2. 1 )

d

2

donde u est en Pa. s, T en K, d en nanmet r os y M es el peso

mol ecul ar del gas.

TRANSPORTE DE ENERGI A.

Supongamos ahor a que exi st e un gr adi ent e negat i vo de t emper at ur a en

el pl ano ubi cado en

y.

Asum endo que el gas es monoat m co y

despr eci ando l as cont r i buci ones v i br ac i onal es y r ot ac i onal es a l a

ener g a, cada mol cul a t endr una energ a i nt er na de

e = ( 1/ 2) m V2 = ( 3/ 2) ks T

Como ant es, l as mol cul as se encuent r an en movi m ent o al eat ori o, per o

l as que se or i gi nan en

y -

J - t i enen ms ener g a ( mayor t emper at ur a)

que l as que se or i gi nan en

y

+ Si gui endo el ant er i or pr ocedi m ent o

di v i di mos el f l uj o net o de ener g a por el r ea par a obt ener l a

densi dad de f l uj o de cal or o f l uj o net o de ener g a


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d( f CpT) 1 Cv d( f CpT )

qy= - a = V-L

dy 3 Cp dy

1 VJ -

o sea: a =

3

T

par a un gas monoat m co

T ( 1/ 3) V -L 5

a ( l / 3 ) Wf

T

3

En l a real i dad Prandt l t i ende ms a 2/ 3.

De l a l ey de Four i er y del desar r ol l o ant er i or obt enemos l a s i gui ent e

expr esi n par a l a conduct i vi dad t r m ca de un gas monoat m co.

>

k = ( l / d XkBST/ Tt Sm

En consecuenci a, el model o si mpl i f i cado nos pr edi ce que k var a

apr oxi madament e con T* y deber a ser i ndependi ent e de l a presi n.

Est as pr edi cci ones son nuevament e conf i r madas cual i t at i vament e por l a

t eor a ci nt i ca r i gur o sa l a cual nos da:

J

k = 8. 333 x 10- 4( T/ M) / ( o Ck)

donde k est en W m K y o en nanmet r os.

2.3 TEORIA RIGUROSA DE CHAPMAN - ENSKOG PARA GASES DILUIDOS.

Las ecuaci ones ant eri or es dan sol o una vaga est i maci n de l as

pr opi edades de t r anspor t e. La pr i nci pal f uent e de er r or surge en l a

suposi ci n de que l as mol cul as se comport an como esf eras r gi das si n

i nt er acci n. Real ment e l as mol cul as son compr esi bl es, y exi st en

f uer z as ent r e e l l as .

Est a f uer za de acci n i nt er mol ecul ar var i a con su separ aci n r y se

r el ac i ona a l a ener g a pot enci al de i nt er acci n $ por F = - d$/ dr .

La f or ma de l a ener g a pot enci al $ es una f unci n de l a separ aci n:

para pequeos val or es de r , l as mol cul as se r epel en y l a ener g a es

gr ande y posi t i va; para val ores mayores l as mol cul as se at r aen, y a

val or es an mayor es de r , l as f uer zas i nt er mol ecul ar es t i enden a

cer o .

Par a t ener en cuent a t ant o l as f uer zas r epul si vas como l as at r act i vas

ent r e mol cul as no pol ares, se acost umbr a a asum r que l a energ a

potenci al t ot al es l a suma de dos pot enci al es separ ados:

CP

donde y =

Cv


5/40


A B

t ot l = $r *pul i vo +

J t P

o t i v o = - ( 2. 1 a )

Donde A, B,

n y m son const ant es posi t i vas y n > m Est a ecuaci n f u

propuest a i ni ci al ment e por M e i nvest i gada ext ensi vament e por

FI GURA 2. 2 Energ a potenci al de i nt er acci n i nt er mol ecul ar

Lennard- J ones, y ha si do usada especi al ment e par a cal cul ar

pr opi edades t ermodi nm cas y de t r ansport e en gases di l ui dos no

pol ares .

A anal i zar l a ecuaci n ( 2. 1. a) se hace evi dent e

di st anci a r m ni ma, $ es un m ni mo. Reor gani zando:

que par a al guna

$ =

( n

n

/ m )

1/ 1n_ m>

( n - m)

[ o / r ] - [ o / r ]

Donde e = - m ni mo y o es l a di st anci a i nt er mol ecul ar cuando $ = 0.

London demost r a apr t i r de l a t eor a de l as f uer zas de di sper si n

que m= 6, per o no se di spone de un val or t er i co par a n. Un r esul t ado

acor de con l os exper i ment os se obt i ene dej ando n como un par met r o

aj us tabl e:

/ Cn- e>

&( r ) = ( n/ 6) . ( n/ n- 6) . ( [ o/ r ]

12

- [ o / r ]

Se hal l a conveni ent e par a l os cl cul os hacer n = 12 obt eni endo

$( r ) = 4 [ ( o/ r )

12

- ( o / r )

6

]

Est a expr esi n se denom na pot enci al 6- 12 de Lennar d- J ones. El l a

r el aci ona l a ener g a pot enci al de dos mol cual s a su di st anci a de

separ aci n en t r m nos de dos par met r os car act er st i cos de l a

mol cul a est udi ada: un par met r o ener gt i co e, el cual es el negat i vo


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de l a ener g a m ni ma cor r espondi ent e a l a separ ac i n de equi l i br i o; y

un parmet r o de di st anci a a, e l que es i gual a l a separaci n

i nt er mol ecul ar cuando l a ener g a pot enc i al es cer o ( ver f i gur a 2. 2. ) .

En una mezcl a de mol cul as A y B habr i nt er acci n ent r e el l as

$ A B ( T

) = 4

AB

. C

(oAB

/ r )

12

- ( oAs / r ) ]

Los par met r os AB y OAB car act er st i cos de l a mezcl a pueden

est i mar se a part i r de l os par met r os par a l os component es pur os por

l as ecuaci ones apr oxi madas:

H

OA B

= ( l / 2

) ( O A B + O A B

) y

A B = ( A . B )

Chapman y Enskog desar r ol l ar on ecuaci ones par a gases a baj a pr esi n

no pol ares :

( MT)

Viscosidad

u = 2. 669x10- 8

o2Q,

( 2 . 2 )

Est a ecuaci n es vl i da par a gases no pol ar es. Aqu M es peso

mol ecul ar ; | est en Pa. s; T en K; o en nanmet r os y Qu es l a

i nt egr a l de c ol i s i n.

La i nt egr al de col i s i n puede apr oxi mar se por

H

Q 1. 604/ ( T*) con 0. 4 < T* < 1. 4

donde T* = ksT/ e es una t emper at ur a adi mensi onal .

Una f or ma ms exact a de cal cul ar l a i nt egr al de col i s i n es:

1. 16145 0. 52487 2. 16178

fiu

=

T'Sth

+ +

(2.3)

( T*). / ** exp( 0. 7732T*) exp( 2. 43787T)

Par a mol cul as pol ares un pot enci al di f er ent e deber usar se. Br okaw

r ecom enda modi f i car ( 2. 3) usando

Qm p o i r = Qp no p o n * . + ( 0. 2 62/ T*) = U2/ 2o3 ( 2.4 ) ( 2 . 5 )

U es el moment o di pol ar en Debyes; moment o di pol ar adi mensi onal

1 debye = 3. 162 x

10

- 26 - i i 8

e s u

. cm = 3. 333 x 10- se C. m

Coul omb = 3. 0 x 10

e

esu. 6 est en N. m y o en m

Par a mezcl as gaseosas se usan ecuaci ones sem empi r i cas

= (2i xi m( j x

1

j d)

( 2 . 6 )

si endo FIIJ = [ I +WW WM / MJ ) * ]

2

/ [8( 1+M / M ) ] *

Donde


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n = Numer o de especi es en l a mezcl a,

x i , x = Fr acci ones mol ar es de i , j .

Mi, mj

= Vi eccoci dades de i , j pur os a l a t emper t ur a y pr esi n de l a

mezcl a.

Mi , Mj = Pesos mol ecul ar es.

B1 cl cul o de l a vi scosi dad de una mezcl a gaseosa de composi ci n

conoci da se puede hacer t ambi n con l a expr esi n si gui ent e, que es

si mpl e y suf i ci ent ement e exact a, en especi al para gases nat ur al es:

2 yi M J

Uowi ol * -

\

yi M;

( 2. 6 a )

Los moment os di pol ar es de al gunas s ubst anci as gaseosas son:

SUBSTANCI A. U ( debye)

SUBSTANCI A. U ( debye)

HF

1. 91

HC1 1. 00

HBr

0. 80

HI

0. 40-

CO

0. 10 H20 .

1. 84

NH3

1. 47

CH3C1 1. 90

CH2C12 1. 60

CHC13 1. 05

HCN

3. 00

CH3CN

3. 94

CH3N02

3. 50 ( C2H5) 20

1. 16

CH30H 1. 70

CsCl 10. 50

CsF

7. 90

KF

7. 30

KC1 10. 40 KBr 9. 07

C3H6

0. 35

C6H5CH3 0. 37

PH3

0. 55

C6H5NH2

1. 48

C6H5C1

1. 55 C2H5SH

1. 56

S02

1. 63

CH3I

1. 64

CH3C00CH3

1. 67

C2H50H 1. 70

C2H5F

1. 92

( CH3) 2C0

2. 88

C2H5C0CH3

3. 00

C2H5N02

3. 70

C0( NH2) 2

4. 60

HT

&t

Una ext ensa compi l aci n de moment os di pol r es es dada por Nel son 1967.

Los val or es de o y se encuent r an t abul ados ( Rei d y Sherwood:Propi edades de gases y L qui dos; Handbook de Per r y; Bi r d; Skel l and;

et c. ) . Si no se conocen l os val or es de o y e , pueden cal cul ar se a

par t i r de l as pr opi edades del f l ui do en el punt o c r t i co ( c ) , de l a

t emper at ur a nor mal de ebul l i c i n del l i qui do ( b) o del punt o de

f us i n del sl i do ( m , medi ant e l a s i gui ent es ecuaci ones emp r i cas:

/ k = 0. 77 Te = 1. 15 Tb = 1. 92 Tm ( 2. 7 )

o = 0. 841 Vci / 3 = 2. 44 ( Tc/ Pc) i / 3 = 1. 166 V b = 1. 222Vm

l l q . a t o l


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34

FENOMENOS DE TRANSPORTE

-

;

1

1

'

Donde / k y T est n en Kel vi n, o en uni dades Amst r ong ( 1A=10-

I , a

m) ,

V en cm

3

/ mol g y Pe en at m Ut i l i zando est os par met r os, el

coef i ci ent e de vi scosi dad de un gas monoat m co de peso mol ecul ar M a

l a t emperat ura T vi ene dado por


9/40


Bu=( k/ nCv)=[ ( 9 / 4 )

T

-5/ 4]=[ 1+ 4. 47/ uCv] ( 2. 12)

ent onces Pr

=

(

f

/ Eu)

=

[ 4^

/

( %=

-

5) ] ( 2. 13)

Est a ecuaci n se r educe

a

l a ( 2. 11) par a un gas monoat m co ( Q= 5/ 3) .

La ecuaci n modi f i cada de Bucken

k

3.52

Eu

= =

1. 32

+

( 2. 14

uCv Cv

M

da val or es de

k

muy al t os m ent r as que ( 2. 12 ) pr edi ce val ores muy

pequeos except o par a gases pol ar es, par a l os cual es ambas son al t as.

La ecuaci n par a est i mar

k

en mezcl as es l a m sma ( 2. 6) cambi ando

u

por k .

Di f us i vi dad Bs i ca.

H

[ T(1/ Ma

+

1/ Mb) ]

CDAB

=

2. 2646x10- ( 2. 15

O A B

2

D A B

Par a l a di f us i n del gas

A

en el gas

B a

baj as densi dades, suponi endo

que se cumpl e l a l ey de l os gases per f ect os, c=p/ RT, l a di f usi v i dad

gg

- ~~

[ T ( 1/ MA

+

1/ Mb) ]

DAB

=

0. 0018583 2. 16

P . O A B

2

-

Q

D

En l ai s ecuaci ones ant er i or es DAB est en cm

2

/ s ,

P

en atm

T

en K,

o

en A,

y

QD

es una f unci n de kBT/ cab

=

T*

dada por ( 2. 18) par a

mol cul as no pol ar es. Par a mol cul as pol ar es Br okaw r ecom enda ( 2. 19)

y ( 2. 20) donde, dado que

Q

Des f unci n decr eci ent e de l a t emper at ur a,

DABvar i a apr oxi madament e con

T

a

l a 1. 823

Tambi n

H

[T(1/ MA+ 1/ Mb ) / 2 ]

DAB

=

2. 663x10- 4 . ( 2. 17)

P . O A B

2

-

Q

D

donde DAB est en m

2

/ s ,

P

en N/ m

2

y o

en nm

1. 06036 0. 19300 1. 03587 1. 76474

Qv=

+ + + *

( 2 . 1 8 )

T*e. i eei

e

( e. 47e36T*)

e

( i . e2eeeT* )

e

( 3. s e4i i T)

V I N C

s i l a mol cul a es no pol ar . Par a mol cul as pol ar es

:

Qd po l

Q D no pol ir

+0 . 1 96A B

2

/T -

1

( 2. 19)

1. 94xl 0U

2

6

= =

( l / 2 ) ( U

2

/ o

3

) ( 2 . 2 0 )

Vf c. Tb


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en debyes (10-*- esu) ; Vb en cm mol g ; Tb en kel vi n. Vt es el

vol umen mol ar del l qui do en su punt o de ebul l i ci n normal , y

TB

es

el punt o de ebul l i ci n normal . Los par met r os son :

A e =

1 . 1 8 ( 1 + 1 . 3

2

) T B

o =

1. 585 VT,

1+1. 3

2

1 3

2 . 22 )

0 A B = ( O A . O B )

\ h

AB / kg= C(A/ XB) ( 6B/ I B) 3 ( 2. 24 ) AB = [ 6A.B]

Par a vapor de agua en ai r e se t i ene :

0. 000146

PDAB = T

2

-

6

^ T + 441

T

en gr ados Ranki ne, P en at msf eras y

DAB

en pi e

2

/ h .

(2 .21)

(2 .23)

( 2. 25)

2.26)

EJ EMPLO 2. 1.

Cal cul e l a vi scosi dad del amoni co a 0C. El punt o de ebul l i c i n

nor mal del amoni co es - 33. 4 C ( 240 K) . La densi dad en su punt o de

ebul l i c i n es 0. 682 g/ cm

3

, es deci r Vt> = 17. 03/ 0. 682 = 25 cm mol g.

El moment o di pol ar es 1. 47 debyes.

Sol uci n: por ecuaci n ( 2. 20)

( 1. 94x10- ( 1. 47)

2

6 s ( l / 2 ) ( U

2

/ o 1. 94x10- *( U

2

/ VbTb) = - = 0- 7

( 240) ( 25)

de l a ecuaci n ( 2. 22)

o

2

=

1. 585 x 25

1 + 1. 3 x 0. 70

2

2 3

= 8. 36 A

2

de l a ecuaci n ( 2. 21)

= 1. 18( 1 + 1. 3

2

) Tb = 1. 18( 1 + 1. 3x0. 70

2

) 240 = 464 K

es deci r que a 0C ( 273 K) ,

T* =

273/ 464 = 0. 589 =

IBT/ .

de l u ecuaci n ( 2. 3) Qu = 2. 10 y de l a ecuaci n ( 2. 4)


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( 0. 2M0. 72)

Qu.p

- 2.10 + = 2.27

( 0. 589)

f i nal ment e, de l a ecuac i n ( 2. 8)

H

(17.03 x 273)

U = 2.8693x10-6 = 9.59 x 10-6 [poise]

(8.36)(2.27)

El val or exper i ment al dado en l a l i t er at ur a es 9. 20 x l 0- 6 poi ses

( e r r or de +4. 2 % ) .

El er r or pr omedi o hal l ado al apl i car es tas expr es i ones es de 5. 8% y

el mxi mo es del or den del 14% . Est o nos da una buena i ndi caci n

sobr e el t i po de pr edi cci n que podemos hacer si n i nf ormaci n

experi ment al .

Ahor a, se puede l ogr ar una mucho mej or predi cci n si se di spone de un

sol o dat o exper i ment al . Tomemos por ej empl o el met ano1 gaseoso.

Exper i ment al ment e se ha det er m nado una vi scosi dad de 10. 13x10-

poi ses a 308 K. Las ecuac i ones ( 2. 20) , ( 2. 22) y ( 2. 21) nos pr edi cen

= 0. 39 ; o = 3. 84 A y 6/ I B = 477 K

Teni endo di sponi bl e un dato experi ment al , l a ecuaci n ( 2. 8) podr a

ut i l i zar se en l ugar de una de l as ecuac i ones ( 2. 21) o ( 2. 22) .

Nor mal ment e l a ecuaci n ( 2. 22) deber descart ar se dado que l a

vi sc osi dad depende ms f uer t ement e del par met r o de t amao o, que del

par met r o de ener g a e. Si n embar go, el vapor de met anol est

parc i al met e asoci ado en el punt o de ebul l i c i n ( exi st e una

concent r aci n apr eci abl e de tet r mer os) . Por est a r azn en est e caso

se puede suponer que el punto de ebul l i c i n no da un val or corr ecto

de / IB y descar t amos l a ecuaci n ( 2 . 2 1 ) .E n su l ugar suponemos un

val or de 6, cal cul amos o

3

y / IB de l a s i gui ent e expr es i n obt eni da

de (2. 20)

/

I b = ( 1/ 2) ( U

2

I

B O

3

)

Est os val ores se usan en l a ecuaci n ( 2. 8) para cal cul ar una

vi scos i dad. E l pr ocedi m ent o se r epi t e escogi endo ot r os val or es de

I

B, hast a que l as vi scos i dades cal cul ada y exper i ment al coi nc i dan. De

est a maner a se obt uvi eron l as si gui ent es const ant es de f uerza

r evi sadas

= 0. 51 ; o = 3. 7A; e/ l

B

= 406 K

Con est os nuevos val ores se pr edi ce l a vi scos i dad a 585 K como

19.4x10-6 poi ses . Si no se hubi er a t eni do en cuent a e l val or

experi ment al , a 308 K , se habr a obt eni do16.9x10-6 poi s es . El val or

experi ment r al para T = 585 K es 19.2x10-6 poi ses , muy buena

apr oxi maci n al obt eni do basndonos en el dat o experi ment al .

Una f orma ms senci l l a de predeci r el cambi o de l a vi scosi dad con l a

t emper at ur a es obser var que, a par t i r de l a ecuac i n ( 2. 2) o ( 2. 8) , u

es di r ect ament e pr oporc i onal a ( T**/Q

u

o sea:


12/40


M2/U1 = [ Tz/ Tl 3*[Qnl / 2j o2 ]

Por ser mol cul a pol ar / IB se cal cul a de ( 2. 21)

Tb = 64. 7 = 337. 85 K y

/1B

= 477 K

T2* = 585/ 477 = 1. 226 . Qu2 = 1. 439

Ti * = 308/ 477 = 0. 6457 Q

m

i = 2. 006

H2 = ( 10. 13x10- *) ( 585/ 308) **( 2. 006/ 1. 439) = 19. 46x10- * poi se

EJ EMPLO 2. 2.

Cal cul ar el coef i c i ent e de di f us i n ent r e el c l or ur o de met i l o y

di xi do de azuf r e a 50 C y 1 atm

Sol uc i n.

Ll amemos el c l orur o de met i l o A y el di xi do de azuf r e B. A part i r de

l as pr opi edades en el punt o de ebul l i c i n y l os moment os di pol ares

cal cul emos l as const ant es de f uerza par a cada sust anci a ( ecuaci ones

( 2. 20) , ( 2. 22) , ( 2. 21) . Es t o s s on:

T H A = - 2 4 * C ; T B B = - 1 0 C ; V A = 4 7 . 5

c m / mol g ;

VB = 4 4 . 8

c m / mol g;

UA = 1 . 9 0

debye; U

B

= 1 . 6 1 debye;

oa = 3. 833 A ; A/I b = 404 K ; a = 0. 54

OB

= 3. 818 A ;

B

/ I

b

= 387 K ;

b

= 0. 435

de ( 2. 23)

OAB = (OAOB) = ( 3. 833x3. 818)* = 3. 85 A

AB/

I

B = C(A/LB)(B/K8) ] H = ( 404x387) * = 395 K

AB = (AB)* = ( 0. 54 x 0. 435 ) = 0. 485

a 50 C= 323 K , T*= 232/ 395 = 0. 818

A par t i r de l a ecuac i n ( 2. 18) QD = 1. 595 ; y de ( 2. 19)

( 0 . 1 9 ) ( 0 . 4 8 5 ) 2

Qd. p = 1. 595 + = 1. 650

0 . 8 1 8

Los pesos mol ecul ar es del CH3C1 y S02 son 50. 2 y 64. 1

r espect i vament e, o sea, a par t i r de l a ecuac i n ( 2. 16)

[ 3233- ( 1/ 50. 5 + 1/ 64. 1) ]

DAB = 0. 0018583 = 0. 083 cm / s

( 1) ( 3. 85) 2( 1. 650)

El val or experi ment al r eport ado es 0 . 0 7 6 9 cm

2

/ s ( er r or + 7 . 9 %) . En

general l os err ores son l i ger ament e mayores que par a l os cl cul os de

vi scosi dad y al go menor es que par a l as est i maci ones de conduct i vi dad

t r m ca.


13/40

as


EJ EMPLO 2. 3.

Cal cul ar l a di f usi v i dad Ar gn- Ox geno a 293 K y 1 at m l os que t i enen

t emperat ur as cr i t i cas 151. 2 K y 154. 4 K r espect i vament e y pr esi ones

cr i t i cas 48 y 49. 7 at m Experi ment al ment e se ha encont r ado un val or

de 0. 2 cnP/ e.

Sol uc i n: usando l a ecuac i n ( 2. 16) y l as t abl as B- l y B- 2 del

apndi ce del Bi r d:

Ma = 39. 944 ; oa = 3. 418 A; a/ I b = 124 K

Mb = 32 ; ob = 3. 433 A; b/ i b = 113 K

OAB= 3. 426 A ; ab/ i b = 118. 5 K ; bT/ ab = 2. 47 ; Qd = 1. 003

H

[ ( 293. 2) 3( 1/ 39. 944 + 1/ 32) ]

DAB= 0. 0018583 = 0. 188 cm

2

/ s

( 1. 0) ( 3. 426) 2( 1. 003)

Usando l a ecuci n ( 2. 18) Q

D

= 1. 0015

EJ EMPLO 2. 4.

Si conocemos l a di f us i v i dad a T I , l a d i f us i vi dad par a el m smo

si st ema a T2 puede est i mar se:

DAB

2 =

AB

l [

T

2/

T

I ] 3 / 2 [ o / o t c ]

Par a el si st ema ai r e - vapor de agua ent r e 14. 62 C ( hueva) y 25. 9 C

( conoci da = 0. 258 cm

2

/ s )

kTi 299. 1

= = 1. 068 QD I = 1. 395

AB [ ( 809. 1) ( 97)y*

kT2 287. 8

= =

. 027 Qd2 = 1. 421

AB [( 809. 1) ( 97) ] *

Es t os val or es se obt uvi er on por i nt er pol ac i n l i neal . La di f us i vi dad

buscada ser ent onces :

DAB = ( 0. 258) ( 287. 8/ 299. 1) 3/ 2( 1. 395/ 1. 421) = 0. 239 cm

2

/ s

ECUACI ONES RECOMENDADAS PARA PREDECI R PROPI EDADES DE TRANPORTE EN

LI QUI DOS.

VI SCOSI DAD.

La ecuaci n de Eyr i ng es

U = ( NA/ V) ecs. s Tb/ T)


14/40


donde N = Nmer o de Avogadr o. V = Vol umen mol ar , h - Const ant e de

Pl anck, Tb = Temperat ur a de ebul l i ci n normal .

Est a ecuaci n se l i m t a a l qui dos Newt oni anos y no se comport a bi en

para mol cul as l ar gas o cer ca al punt o cr i t i co. Gener al ment e pr edi ce

val ores dent r o de un margen del 40 % .

El cl ul o de l a vi scosi dad de una mezcl a de composi ci n conoci da, en

l a cual l as mol cul as no estn asoci adas se hace:

r

Ul / 3 r

l

U 1

l / 3 x i

xi : Fr acci n mol ar de l os component es en l a mezcl a.

CONDUCTI VI DAD TERMI CA.

Par a pr edeci r l a conduct i vi dad t r m ca de l os l qui dos Robbi ns y

Ki ngr ea r ecom endan l a ecuaci n

CPC^/S

k = ( 88. 0 - 4. 94H) xl 0 3 [ 0. 55/ Tr ] N ( 2. 27 )

S *

ABvb

v g* = + R l n( 237/ T

b

)

Tt

donde k = Conduct i vi dad t r m ca W m K. ;

Tr = Temper at ur a r educi da T/ Tc

Cp = Capaci dad cal or f i ca mol ar , J / mol g. K.

c = Concent r aci n mol ar t ot al , mol g/ cm

3

AHvb = Cal or mol ar de vapor i zaci n a Tb, J / mol g.

Los par met r os H y N est n t abul ados en el l i br o de Rei d y Sherwood.

Sat o r ecom enda :

11. 05x l 0

- 3

Cp Tb

k =

[c/cb]*/ (2.28)

Vh CpbT

donde b se r ef i er e a condi ci ones en el punt o nor mal de ebul l i c i n y

l as uni dades son como en ( 2. 27) .

DI FUSI VI DAD.

Par a l a di f us i n de mol cul as gr andes y esf r i cas o par t cul as en

l qui dos, como deci r mol cul as de pol mer os o par t cul as col oi dal es,

l a ecuaci n de St okes- Ei nst ei n da buenos r esul t ados

Dabmb/ I BT = 1/ 6tcRA


15/40


donde Ra es e l r adi o de l a mol cul a di f undent e A. Par a l a di f us i n de

mol cul as de t amao nor mal no exi st e t eor a que provea una

concordanci a r azonabl e con l a exper i metaci n.

Hay r el aci ones emp r i cas que dan buenas pr edi cci ones. La ms conoci da

es l a de W l ke Chang

( B M B ) * T

DAB = 7. 40x10- 8


16/40


l a est r uct ur a de un sl i do cuando l os t omos de un pl ano dado vi br an

al r ededor de sus pos i c i ones de equi l i br i o. Una f r acc i n est ad st i ca

de st os vi bra con energ as mayores que l a de act i vaci n y sal t an a

nuevas pos i c i ones de equi l i br i o, a

agujervs

adyacent es en l a r ed

est r uct ur al ; l a vel oci dad de t r ansf er enci a de masa es di r ect ament e

pr opor c i onal a

R A U

DA B

= De exp I

L RT -I

que es una f or ma t pi ca de descr i bi r un pr oceso acti vado y que nos

i ndi ca que l a di f usi vi dad aument a r pi dament e con l a t emper at ur a.


17/40

CAPI TULO 3. ECUACI ONES DE BALANCEO. LEYESDE CONSERVACI ON. 57

Kl t ema de f enmenos de t r anspor t e est i nt i mament e l i gado con l a

pr edi cci n de var i aci ones de t emper at ur a, concent r aci n y/ o vel oci dad

dent r o de un medi o. Par a obt ener est os per f i l es se ut i l i zan dos

conj unt os de ecuaci ones: ( 1) Ecuaci ones de bal ance o conservaci n y

( 2) Ecuaci ones de vel oci dades o de densi dades de f l uj o.

Recor demos que el bal ance gener al par a \in si st ema es:

Vel oci dad - Vel oci dad + Vel oci dad de = Vel oci dad de

de sal i da de ent r ada acumul aci n generaci n

o abr evi adament e:

Sal i da - Ent r ada + Acumul aci n = Generaci n. ( 3. 1)

El s i st ema se def i ne como l a por ci n de uni ver so baj o est udi o. El

r est o del uni ver so son l os al r ededor es. El s i st ema puede ser unacant i dad especi f i ca de mat er i a o de vol umen ( f r ecuent ement e l l amado

vol umen de cont r ol ) . La vel oci dad de ent r ada se r ef i er e a t odo el

f l uj o dent r o del s i st ema ( de l a cant i dad i nvol ucr ada) a t r avs de l os

l i m t es del s i s t ema, y l a vel oc i dad de sal i da se r ef i ere a t odo f l uj o

que dej e el s i st ema a t r avs de sus l i m t es. La di f er enci a de l a

segunda menos l a pr i mera es l a vel oci dad net a de sal i da. La vel oci dad

de gener aci n se r ef i er e a t oda pr oducci n dent r o del s i st ema, y l a

vel oci dad de acumul aci n se r ef i er e a l a vel oci dad de cambi o con el

t i empo de l a cant i dad t ot al de masa, energ a o cant i dad de movi m ent o

en el s i st ema y puede ser posi t i vo o negat i vo.

Las ecuaci ones de bal ance pueden apl i cars e al si st ema como un t odo

( bal ances gl obal es o macroscpi cos) , a un i ncr ement o ( bal ance

i ncrement al ) , o a un el ement o di f er enci al ( bal ance di f er enci al ) . Las

ecuaci ones como l a ( 3. 1) son t ambi n denom nadas l eyes de

conservaci n.

Podemos apr eci ar mej or el s i gni f i cado de l os t r m nos de l a ecuaci n

( 3. 1) anal i zando e l s i gui ent e caso:

EJ EMPLO 3. 1.

Se est l l enando un t anque con un l qui do que f l uye con un caudal

mBi co m ' , kg/ s . Al m smo t i empo el l i qui do sal e a razn de m ,

kg/ s . El r ea t r ansversa l del t anque es S y l a al t ur a del ni vel del

l i qui do en el t anque en cual qui er moment o t es z ( ver f i gur a 3. 1) . Al

apl i car l a ecuaci n de bal ance al l i qui do dent r o del t anque

obser vamos que l a vel oci dad de generaci n es cer o puest o que no se

produce masa dent r o del t anque; per o l a vel oci dad de acumul aci n no

ser cer o a menos que m ' = mz' o s ea que l a magni t ud de l os caudal es

haci a y desde el t anque sean i gual es. Si t al f uer a el caso t endr amos


18/40


una si t uaci n de est ado est abl e puest o que no hay cambi o en l a

cant i dad de l i qui do en el t anque con el t i empo.

FI GURA 3. 1

Si n embar go, si suponemos que l a cant i dad ent r ando m ' es mayor que

l a cant i dad que sal e mz' , el ni vel del l i qui do en el t anque cambi ar

con el t i empo a medi da que el t anque se l l ena y l a vel oci dad de

acumul aci n ser mayor que cer o. Si l a masa t ot al del si st ema es M y

l a densi dad de l i qui do es [ , l a vel oci dad de acumul aci n es:

dM d( f Sz) dz

dt dt ^ dt

y el bal ance gl obal es ent onces:

dM

m2' - m ' + = 0

dt

EJ EMPLO 3. 2.

Supongamos ahor a que ocur r e una r eacci n qu m ca homognea dent r o del

t anque el cual permanece bi en agi t ado, de t al maner a que puede

consi der ar se vel oci dad de r eacci n uni f or me dent r o del m smo.

Denom nemos A l a especi e pr oduci da en l a r eacci n, y su vel oci dad de

pr oducci n por uni dad de vol umen es TA ( masa de A por uni dad de

vol umen y uni dad de t i empo) . Ent onces l a vel oci dad de gener aci n ser

rA- V, donde V es el vol umen de f l ui do en el t anque. Supongamos que l a

cor r i ent e que ent r a cont i ene una pequea cant i dad de A de tal maner a

que l a vel oci dad msi ca de ent r ada de A es M A I ' . Si MA2' representa

l a vel oci dad de sal i da de l a especi e A, l a l ey de conser vaci n par a

l a especi e A ser :


19/40

CAPI TULO 3. ECUACI ONES DE BALANCEO- LEYES DE CONSERVACI ON. 45

dhU

IBAS* - M A L' + = TA . V

dt

sal i da - ent r ada + acumul aci n = generaci n.

En el ej empl o 3. 1 no pod a haber gener aci n puest o que l a masa t ot al

debe conservar se; per o si una reacci n qu m ca est ocur r i endo dent r o

del l i qui do y pr oduci endo l a especi e A l a gener aci n no es cero y l a

masa de A no se conser va. En est e l t i mo caso debemos di st i ngui r

ent r e el t r m no de gener aci n y el t r m no de ent r ada si endo st e l a

cant i dad que at r avi esa l os l i m t es del s i s tema y el ot r o l a

gener aci n de A ocurr i endo en cada punt o dent r o del si st ema.

EJ EMPLO 3. 3.

Fl uye agua dent r o de un t anque bi en agi t ado a 156 l b/ hr , se agr ega

cl or ur o de sodi o a 30 l b/ hr . La sol uc i n r esul t ant e dej a el t anque a

120 l b/ hr ; debi do a l a agi t ac i n l a concent r ac i n de l a sol uc i n de

sal i da es i gual a l a del t anque. Hay 100 I b de agua pur a en el t anque

al comenzar l a oper aci n, y l os caudal es de ent r ada y sal i da se

mant i enen const ant es post eri or ment e. Cal cul e l a concent r aci n de

sal i da ( f r acci n msi ca de sal ) despus de una hora.

Sol uc i n :

NaCl = A; 1= ent r ada; 2= sal i da. Un bal ance par a el component e A:

CMA

mA2' - mAi * + = 0 ( i )

dt

Donde MA = MWAsi endo Ml a masa t ot al dent r o del t anque en cual qui er

moment o t .

dMwA

IDA' = n^ W A ; M 2 ' W A 2 - M I ' W A I + = 0

dt

dwA dM

120WA - 30 + M +wa = 0

dt d t

usando un bal ance t ot al :

dM dM

mz ' - m * + = 0 120 - ( 150+30) + = 0

d t d t

dM

= 60 l b/ hr ( t asa de acumul aci n)

dt

de donde M = 60t + Me ; Me = 100 I b

r empl azando en ( i ) y separ ando var i abl es se obt i ene:


20/40


* d t

0 60t + 100

W

A 2 d W A 2

0 180WA2 - 30

1 60t + 100 1 30

60 100 180 30 - 180. WAS

despej ando y si mpl i f i cando :

W A 2

= [ i - [ - - - ] * 1

6 L L 6t + 10 j -I

par a t = 1 hr ,

WAZ

= 0. 126 = 12. 6 % en peso de NaCl .

para t ^be

WA

2 1/ 6

E J E M P L O 3 . 4 .

TRATAMIENTO DE UNA CORRIENTE RESIDUAL.

Una cor r r i ent e f l ui da de vel oci dad vol umt r i ca de f l uj o const ant e Q

se vi er t e en un r i o. La cor r i ent e cont i ene un mat er i al r esi dual

A

de

concent r aci n

CA

que es i nest abl e y se descompone con una

vel oci ci dad pr opor ci onal a l a concent r aci n, de acuer do con l a

expr esi n - R A = k v C A

Con el f i n de reduci r l a cont am naci n, se ha deci di do hacer pasar el

f l ui do a t r avs de un t anque de r et enci n, de vol umen V, ant es de

ver t er l o al r o. En el i ns tant e cer o, el f l ui do ent r a en el t anque

vaci o, que puede consi derar se que est perf ect ament e agi t ado, y no

sal e de l hast a que el t anque est t ot al ment e l l eno. Deduzca una

expr esi n par a l a concent r aci n de

A

en el t anque, y en l a cor r i ent e

que sal e de l en f unci n del t i empo.

Sol uci n: En el per i do 0 < t /\ a

La vel oci dad con l a que ent r a por y es

T Y *

A x A z

par a l as ot r as t r es car as se pueden obt ener expr esi ones si m l ar es

( f i gur a 3. 7) .

Tengase pr esent e que Ty

m

es l a densi dad de f l uj o de cant i dad de

movi m ent o z a t r avs de una car a per pendi cul ar al ej e y.

FI GURA 3. 7. Di r ecci n de t r anspor t e del component e z de l a cant i dad

de movi m ent o a t r avs de l as car as de un el ement o de vol umen

A x A y A z . -

Obsr vese que, como ant es, est as densi dades de f l uj o de cant i dad de

movi m ent o pueden consi der ar se como esf uer zos. Por t ant o

T*X

es el

esf uerz o normal que acta sobr e l a cara z,

T

m

es el esf uer zo

t angenci al (o cor t ant e) que act a sobr e l a car a x en l a di r ecci n z,

y que r esul t a como consecuenci a de l as f uer zas vi scosas.


33/40

CAPI TULO 3. ECUACI ONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACI ON. 59

Ahor a, habl ando de l as f uerz as que act an sobr e el el ement o, l as ms

usual es e I mpor t ant es son l as or i gi nadas en l a pr esi n P del f l ui do y

l a f uer za gr avi t aci onal por uni dad de masa. La r esul t ant e de est as

f uer zas en l a di r ecci n z ser

( P . - P + X * ) A S

Ax. + f gAzL

A X _ A Z L _

Fi nal ment e l a vel oci dad de acumul aci n de cant i dad de movi m ent o z en

el el ement o es

f v

A x A y Az .

t

Subst i t uyendo t odas est as expr esi ones en l a ecuaci n ( 3. 10) di vi di mos

por el vol umen y hacemos t ender a cer o. La componente z de l a

ecuaci n de movi m ent o apar ecer :

f v =

t

[ V x V + f V y V a + [ gs m

6x y z

T x z +

T-yx

Taas

x y z

p

+ fgae

z

( 3. 15)

Las component es x e y que pueden obt ener se de una maner a anl oga son:

( f V x )

t

(f V x V x)

(( V y V x)

(( ViVx )

+ +

x y z

T x x + T y x + T * x

X y Z

p

+ fgx

x

( 3. 16)

f V y =

t

| ~ Vx V y+ f V y V y + V V y

x y z

T x y + T y y + Txry

x y z

p

+ f gy

y

( 3. 17)


34/40


Las magni t udes [ vx, f v

y

, f v

B

son l as component es del vect or (V ; de

i gual f or ma gx , g

y

, g son l as component es de l a acel eraci n

gr avi t ac i onal g. Por ot r a par t e

P P

f

_ _ _ _

x y

son l as component es del vect or

Los t r m nos [ vxvx, f v*v

y

, f v *v, f v

y

v, et c . son l as nueve

component es de l a densi dad de f l uj o convect i vo de cant i dad de

movi m ent o f w que es el pr oduct o di di co de f v y v ( di adas son l os

t ensor es que r esul t an de mul t i pl i car ent r e s i dos vect or es) .

Anl ogament e, Txx, Txy, Tx, r

ym

, et c. , son l as nueve component es de

T

que es el

tensor esfuerzo . Combi nando l as ecuaci ones ( 3. 15) a

( 3. 17) en f or ma de ecuaci n vect or i al :

6

| V

=

_ [ di v . f w ] - d i v p - [ d i v.T ] + f g ( 3. 18 )

6t

- 1 - - 2 - - 3 - - 4 - - 5 -

Cada t r m node l a expr es i n ant er i or s i gni f i ca:

- 1 - Vel oci dad de aument o de cant i dad de movi m ent o por uni dad de

vol umen.

- 2 - Vel oci dad de gananci a de cant i dad de movi m ent o por

convecci n, por uni dad de vol umen.

- 3 - Fuerza de pr esi n que act a sobr e el el ement o por uni dad de

vol umen.

- 4- Vel oci dad de gananci a de cant i dad de movi m ent o por t r anspor t e

vi scoso por uni dad de vol umen.

- 5- Fuerza de gr avi t aci n que act a sobr e el el ement o por uni dad de

vol umen.

Lasexpr es i ones [ di v. f v v 3 y [ d i v .T 3 no son di ver genci as

s i mpl es debi do a l a nat ur al eza t ensor i al de f w y

T

per o i ndi can

vel oci dad de pr di da de cant i dad de movi m ent o por uni dad de vol umen

debi do al f l uj o del f l ui do.

Las ecuaci ones ( 3. 15) a ( 3. 17) pueden r eescr i bi r se en t r m nos de

der i vadas subst anci al es y, sumadas vect or i al ment e, dan:

Dv

r

=

- di v p - [ di v. T 3 + f g ( 3. 19)

Dt

- 1 - - 2 - - 3 - - 4 -

P

di vp


35/40


36/40


que es i dnt i ca a l a ecuaci n ( 1. 8) . Por t ant o l a def i ni c i n de

vi scosi dad que se di en el capi t ul o 1 est de acuer do con est a

def i ni c i n ms gener al .

Reempl azando est as ecuaci ones en l as de movi m net o hacen, j unt o con

l as de cont i nui dad, l a de est ado par a l a pr es i n, l a de var i ac i n de

l a vi s cos i dad con l a dens i dad, y l as condi c i ones i ni c i al es y l i m t e,

el conj unt o de expr esi ones que det erm nan compl et ament e l a pr esi n,

densi dad y l as component es de vel oci dad para el f l uj o i sot r m co de

un f l ui do.

Rar a vez se ut i l i zan est as ecuaci ones en su f or ma compl et a para el

pl ant eam ent o de pr obl emas de f l uj o, si no que general ment e r esul t a

ms conveni ent e empl ear f ormas r est r i ngi das de l as m smas.

i ) Par a u y f const ant es :

Dv

r

=

_ t i vp + (i di v

2

v + f g ( 3. 22)

Dt

Conoci da como ecuaci n de

Navier

-

S totee.

En est a expr esi n se r esumen 27 t rm nos ( ver apendi ce A. 5. 2 )

i i ) par a C di v .

T

] = 0 o sea ef ect os vi scosos despr eci abl es:

Dv

f = - di v f + f g ( 3. 23)

Dt

l l amada ecuaci n de Eul er .

BALANCE DB ENERGI A MECANI CA.

Deduci mos a cont i nuaci n una ecuaci n de var i aci n para l a energi a

por uni dad de masa fi v

2

par a obt ener una descri pci n de l as

i nt erconver ei ones de energ a mecni ca que t i enen l ugar en un f l ui do

en movi m ent o. Se com enza por f ormar el pr oduct o escal ar de l a

vel oci dad v con l a ecuaci n de movi m ent o ( 3. 19 )

D

f (J j v

2

) = - ( v . di vp) - ( v. [ dl v .T]) + f(v.g) ( 3. 24)

Dt

Est a ecuaci n escal ar descr i be l a vel oci dad de var i aci n de l a

eners a ci nt i ca por uni dad de masa, Hv

2

, para un el ement o de f l ui do

que se mueve con l a cor r i ent e. Usando l a ecuaci n de cont i nui dad


37/40

P I T U 3. ECUACI ONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACI ON. 63


38/40


La energ a i nt er na cor r esponde a l a energ a r el aci onada con l os

movi m ent os f or t ui t os de t r as l ac i n e i nt er nos de l as mol cul as ms ,

l a energ a de i nt er acci n ent r e l as mol cul as; o sea que depende de

l a t emper at ur a l ocal y de l a dens i dad del f l ui do. La ener g a

pot enc i al del f l ui do se i nc l uye en el t r m no de t r abaj o.

Apl i cando l a ecuaci n ( 3. 26 ) a un el ement o de vol umen como el de l a

f i gur a 3. 6 o 3. 7, l a vel oc i dad de acumul ac i n de ener g a c i nt i ca e

i nt er na es :

A A y A a ( f U + Hf

V

2)

t

donde U es l a ener g a i nt erna por uni dad de masa del f l ui do y v es

vel oc i dad l ocal del m smo.

La vel oci dad net a de ent r ada de energ a c i nt i ca e i nt er na por

convecc i n en l a di r ecc i n x es :

A y A Z [vx( fU + J f v) - v* ( fU + J j f v)

* L

x

x-h/\x.

La vel oci dad net a de ent r ada de ener g a por conducci n en l a

di r ec ci n x es :

A y A z


39/40

CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION. 65

am

Anlogamente la velocidad de produccin de trabajo contra laa fuerzas

viscosas es:

A y A Z l ( TxxVx + TxyVy + TXJBV* )|

1

-Z^yAZl

(T

JK

V

X + Txj rVy +TxVz)

Completando las expresiones faitantee en la ecuacin (3.26),

dividiendo por el elemento de volumen

y

hacindolo tender a cero,

obtenemos la siguiente forma de la ecuacin de la energa:

f ( U + H v2) = -

t

6

Vx( fU+ Hfv

2

) + Vy(fU + h fv2) +

x y

+ v(fU + H

f v 2

z

6 q * 6 q y 6 q

S x y z

+ f ( Vxgx + Vygy +vg ) -

pVx + pvy + pv

x y z

6

( TxxVx + TxyVy +

T

XB

V

S ) + ( TyxVx + TyyVy + TyeV ) +

x y

+ ( TxVX + Tj eyVy Tz z V

z

)

Z

( 3 . 2 7 )

En forma abreviada :

f(U + H v2) = -

t

- 1 -

div.fv(U + *V2)

- 2 -

- (div.q) +

- 3 -

+ f(v.g) - (div.pv) - (div .CT.v])

- 4 - - 5 - - 6 -


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- 1 - Velocidad de ganada de energa por unidad de volumen.

- 2 -Velocidad de entrada de energa por unidad de volumen debido a

la conveccin.

- 3 - Velocidad de entrada de energa por unidad de volumen debido a

la conduccin.

- 4 -Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen

debido a las fuerzas de gravitacin.


debido a las fuerzas de presin.


debido a las fuerzas viscosas.

Realizando la diferenciacin indicada en el primer miembro y

recordando que la ecuacin de continuidad

6

f

+ (div.fv) = 0 (3.10)

6t

D

r (U + *v2) = -(div.q) + f(v.g) - (div.pv) - (div.CT.v]) (3.28)

Dt

Reescribiendo la ecuacin (3.24), como:

D

- T (* v2) = p(div.v) - (div.pv) +

Dt

+ f (v-g) - (div.Cr.v]) + ( T:div v) (3.29)

Restando (3.29) de (3.28) se obtiene una ecuacin de variacin para

U:

DU

r _ ( div.q ) - p( div.v ) - ( T:div v ) (3.30)

Dt

- 1 - - 2 - - 3 - - 4 -

Denominada tambin ecuacin de energa calorfica. Los diferentes

trminos tienen el siguiente significado:

- 1 - Velocidad de ganancia de energa interna por unidad de volumen.

Intro de Solidos y Ec de Enskog

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