Interpolación Lineal y Polinomios de Newton Guillermo Castro 200670305 Jairo Valverde 200669165 Nathalie Chavarría 200663611 Rodny Céspedes 200658110 Rogelio Salazar 200324364
Interpolación Lineal
y Polinomios de
NewtonGuillermo Castro 200670305
Jairo Valverde 200669165
Nathalie Chavarría 200663611
Rodny Céspedes 200658110
Rogelio Salazar 200324364
Interpolación Lineal
La Interpolación lineal es la forma
más simple de interpolación; pues
esta consiste en conectar dos
puntos con una línea recta.
El método se observa de la siguiente manera:
Usando triángulos semejantes:
Partiendo de:
Despejando:
Obtenemos:
En general:
La notación f(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden
Además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [f(X1) - f(X0)] / (X1 – X0) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada
Ejemplo 1: Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal.
Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595.
Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde:ln 1 = 0 a ln 4 = 1.3862944.
Nótese que el valor real de ln2 = 0. 69314718
Solución: Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da:
La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4 da:
Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 33.3%.
¿Cuándo falla el método de
interpolación lineal?
Cuando la derivada es horizontal en
un punto. Además, el valor de la segunda
derivada es muy grande.
Ejemplo 2: Estime el logaritmo base 10 de 5 (log 5):
Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre log 4 = 0.60206 y log 6 = 0.7781513.
Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde:log 4.5= 0.6532125 a log 5.5 = 07403627.
Nótese que el valor real de log 5 = 0. 6989700043
Solución: Evaluando la fórmula de interpolación lineal de X = 4 a X = 6 da:
La cual representa un error porcentual de e% = 1.268 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 4.5 a X = 5.5 da:
Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 0.31223%.
Polinomios de Interpolación
de NewtonLa estrategia de este método consiste en mejorar la
estimación introduciendo curvatura a la línea de
unión de puntos.
Para generalizar, se utiliza el polinomio de grado n
para diferencias divididas de newton como:
fn (x) = b0 + b1 ( x – x0) + b2 ( x– x0 ) ( x – x1 ) + ... + bn ( x - x0 )
( x – x1 ) ( x – x2 )… ( x - xn-1).
Donde los coeficientes se obtienen utilizando los (n+1)
puntos requeridos de la siguiente forma:
b0 = f (x0)
b1 = f [x1, x0]
b2 = f [x2, x1, x0]
.
:
bn = f [xn, xn-1, ..., x1, x0]
Donde las evaluaciones de la función colocadas
entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por
ejemplo:
1. f [ xi, xj] = f(xi) - f(xj) xi – xj
2.f [ xi, xj , xk] = f [xi, xj ] - f [ xj, xk ]
xi - xk
En general, la n-ésima diferencia dividida finita es:
f[xn, xn-1, xn-2, x1, x0] = f[xn, xn-1, xn-2, x1] - f[xn-1, xn-2,x1,x0] xn – x0
Para concluir la secuencia anterior se llega a:
X f(X)
X0=1 0.000 0000
X1=4 1.386 2944
X2=6 1.791 7595
X3=5 1.609 4379
Ejemplo 1:
Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2
con un polinomio de interpolación de Newton con
diferencias divididas de tercer orden.
Solución:
Primero debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:
Las primeras diferencias divididas del problema son:
Las segundas diferencias divididas son:
La tercera diferencia dividida es:
i xi f (xi)Primera
diferencia dividida
Segunda diferencia dividida
Tercera diferencia dividida
0 1.0 0.000000000.46209813
1 4.0 1.3862944 - 0.051873116
0.20273255 0.0078655415
2 6.0 1.7917595 - 0.020410950
0.182321603 5.0 1.6094379
i xi f (xi)Primera
diferencia dividida
Segunda diferencia dividida
Tercera diferencia dividida
0 1.0 0.000000000.46209813
1 4.0 1.3862944 - 0.051873116
0.20273255 0.0078655415
2 6.0 1.7917595 - 0.020410950
0.182321603 5.0 1.6094379
Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2,
x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con
b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da:
f3 (x) = 0 + 0.46209813 (x - 1) - 0.0518731 (x - 1) (x - 4)
+ 0.0078655415 (x - 1) (x - 4) (x - 6)
Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=2, f3(2) = 0.62876869, lo que representa un error del
εa % = 9.3%.
Ejemplo 2:
Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese log 5
con un polinomio de interpolación de Newton de tercer grado:
X f(X)
X0=4 0.60206
X1=4.5 0.6532125
X2=5.5 0.7403627
X3=6 0.7781513
Solución:
Nuevamente debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:
Las primeras diferencias divididas del problema son:
A continuación se facilitará la tabla con las diferencias divididas
Las segundas diferencias divididas son:
La tercera diferencia dividida es:
i xi f (xi)Primera
diferencia dividida
Segunda diferencia dividida
Tercera diferencia dividida
0 4 0.606020.094385
1 4.5 0.6532125 - 0.0048232
0.0871502 -0.001446065
2 5.5 0.7403627 - 0.00771533
0.07557723 6 0.7781513
Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2,
x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con
b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da:
f3 (x) = 0.60602 + 0.094385 (x - 4) - 0.0048232(x – 4) (x – 4.5)
-0.001446065 (x - 4) (x –4.5) (x – 5.5)
Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=5, f3(5) = 0.6983549163, lo que representa un error del
εa % = 0.087999%.