Interpol Ac Ions A

C B BC Interpolacion y Mnimos Cuadrados W. La Cruz (UCV) 1

Interpolaciony

Mnimos Cuadrados

Universidad Central de Venezuela

Facultad de Ingeniera

Escuela de Ingeniera Electrica

Departamento de Electronica, Computacion y Control

Calculo Numerico

Mayo, 2010


Contenido

Polinomios de Interpolacion 3

Metodo de los Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . 4

Forma de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Forma de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Diferencias Divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Interpolacion de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Error de Interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Ajuste de Curvas por Mnimos Cuadrados 29

Polinomio de Mnimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Recta de Mnimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


Polinomios de Interpolacion

Dada una tabla de datos

x x0 x1 xny y0 y1 yn

se desea encontrar un polinomio pn(x) de menor grado posible tal que

pn(xk) = yk, para k = 0, 1, . . . , n.

x3

f(x)

p(x)

f(b)

f(a)

a bx1

x2

x4

x0

1


Metodo de los Coeficientes Indeterminados

Sea

pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn.

Tenemos que

pn(xk) = yk para k = 0, 1, . . . , n,

o, equivalentemente,

a0 + a1x0 + a2x20 + + anxn0 = y0a0 + a1x1 + a2x21 + + anxn1 = y1

...

a0 + a1xn + a2x2n + + anxnn = yn

(1)

Las incognitas del sistema de ecuaciones lineales (1) son los

coeficientes a0, a1, . . . , an del polinomio pn(x).


La forma matricial del sistema de ecuaciones lineales (1) es:

X A = Y,

donde

X =

1 x0 x20 xn01 x1 x21 xn1...

......

......

1 xn x2n... xnn

, A =a0

a1...

an

, Y =y0

y1...

yn

.

La matriz X se llama matriz de Vandermonde. Se puede demostrar

que

detX =

0 j in(xi xj) 6= 0

si xi 6= xj para todo i 6= j.


Por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales (1) tiene solucion unica

si xi 6= xj para todo i 6= j. Entonces, el polinomio de interpolacionpn(x) con grado menor o igual a n es unico.

Teorema 1.

Si x0, x1, . . . , xn son numeros reales distintos, entonces para valores

arbitrarios y0, y1, . . . , yn, existe un unico polinomio pn(x) de grado a

lo sumo n tal que

pn(xk) = yk para k = 0, 1, . . . , n.


Ejemplo

Consideremos la siguiente tabla de datos.

xi 0 1 1yi 1 2 4

El polinomio p2(x) tiene la forma:

p2(x) = a0 + a1x+ a2x2.

Aplicando el metodo de los coeficientes indeterminados tenemos:1 0 0

1 1 11 1 1

a0

a1

a2

=

1

2

4

,cuya solucion es a0 = 1, a1 = 1 y a2 = 2.

De esta forma, el polinomio interpolante es

p2(x) = 1 + x+ 2x2.


2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

p(x)

(1, 2)

(0, 1)

(1, 4)


Forma de Lagrange

Un manera de encontrar el polinomio interpolante pn(x) distinta a

resolver el sistema (1), es expresarlo en la forma de Lagrange:

pn(x) = y0`0(x) + y1`1(x) + + yn`n(x) =nk=0

yk`k(x), (2)

donde

ì(x) =n

j=0

j 6=i

(x xj)(xi xj)

para i = 0, 1, . . . , n,

son llamados Lagrangianos o funciones cardinales.

Para cada i = 0, 1, . . . , n, ì(x) es un polinomio de grado n y satisface

ì(xj) =

1, si j = i;0, si j 6= i.


Ejemplo


xi 0 1 1yi 1 2 4

El polinomio p2(x) en la forma de Lagrange que interpola los valores

de la tabla es:

p2(x) = `0(x) + 2`1(x) + 4`2(x),

donde

`0(x) =(x (1))(x 1)(0 (1))(0 1) = (x+ 1)(x 1),

`1(x) =(x 0)(x 1)

(1 0)(1 1) = (1/2)x(x 1)y

`2(x) =(x 0)(x (1))(1 0)(1 (1)) = (1/2)x(x+ 1).


De esta forma, el polinomio interpolante en la forma de Lagrange es

p2(x) = (x+ 1)(x 1) + 2(1/2)x(x 1) + 4(1/2)x(x+ 1)

= (x+ 1)(x 1) + x(x 1) + 2x(x+ 1)

= 2x2 + x+ 1


Forma de Newton

Anteriormente vimos que el polinomio interpolante se puede expresar

en la forma de Lagrange. Pero esta manera de expresarlo no es

computacionalmente eficiente. A continuacion deduciremos la forma

de Newton del polinomio interpolante pn(x).

Sea pn1(x) el polinomio de grado menor o igual a n 1 que interpolaa los puntos (xi, yi) para i = 0, 1, . . . , n 1, es decir,

pn1(xi) = yi, para i = 0, 1, . . . , n 1.

Sea g(x) un polinomio de grado a lo sumo n definido como

g(x) = pn1(x) + c(x x0)(x x1) (x xn1).

Afirmamos que

pn(x) = g(x)

para cierto c R.


Es claro que g(x) interpola los n primeros puntos (xi, yi), para

i = 0, 1, . . . , n 1, es decir,

g(xi) = yi, para i = 0, 1, . . . , n 1.

Ahora, queremos hallar un cierto c R tal que

g(xn) = yn.

Tenemos que

g(xn) = pn1(xn) + c(xn x0)(xn x1) (xn xn1).

Luego, g(xn) = yn si, y solo si

c =yn pn1(xn)n1j=0

(xn xj).


De esta forma,

pn(x) = pn1(x) + (yn pn1(xn))n1j=0

(x xj)(xn xj)

.

Por un proceso inductivo se puede demostrar que el polinomio

interpolante pn(x) en la forma de Newton es:

pn(x) = c0 + c1 (x x0) +c2 (x x0) (x x1) +c3 (x x0) (x x1) (x x2) + +cn (x x0) (x x1) (x xn1)

=

ni=0

ci

i1j=0

(x xj).

Como se determinan los ci?


Ejemplo


xi 0 1 1yi 1 2 4

El polinomio p2(x) en la forma de Newton que interpola los valores de

la tabla es:

p2(x) = c0 + c1x+ c1x(x+ 1).

Tenemos que el polinomio de grado 1 que interpola a los puntos (0, 1)

y (1, 2) esp1(x) = 1 x.

De esta forma, el polinomio p2(x) es

p2(x) = p1(x) + (y2 p1(x2)) (x x0)(x x1)(x2 x0)(x2 x1)

,


luego,

p2(x) = 1 x+ 4 x(x+ 1)2

= 1 x+ 2x(x+ 1)= 1 + x+ 2x2.

Supongamos que a la tabla inicial se le agregue el punto (2, 2), esdecir, tenemos la nueva tabla:

xi 0 1 1 2yi 1 2 4 2

En estas condiciones el polinomio que interpola los datos de la nueva

tabla tiene la forma

p3(x) = p2(x) + (y3 p2(x3)) (x x0)(x x1)(x x2)(x3 x0)(x3 x1)(x3 x2)

.


En consecuencia, el polinomio p3(x) que interpola los datos de la

nueva tabla es

p3(x) = 1 x+ 2x(x+ 1) + (5/6)x(x+ 1)(x 1)

= 1 + (1/6)x+ 2x2 + (5/6)x3.

3 2 1 0 1 24321

0123456789

10111213141516

(2 , 2 ) (1 , 2 )

(0 , 1 )

(1 , 4 )

p2(x) p3(x)


Diferencias Divididas

Sea f : [a, b] R una funcion cuyos valores son conocidos en lospuntos x0, x1, . . . , xn [a, b].Definicion 1. La cantidad

f [xi] = f(xi), para i = 0, 1, . . . , n

se denomina diferencias dividas de f de orden 0. Ahora bien, la

cantidad

f [xi, xi+1, . . . , xi+j] =f [xi+1, xi+2, . . . , xi+j] f [xi, xi+1, . . . , xi+j1]

xi+j xise denomina diferencia dividida de f de orden j.

De esta forma,

f [xi], f [xi, xi+1], f [xi, xi+1, xi+2], f [xi, xi+1, xi+2, xi+3], etc.,

son, respectivamente, diferencias de orden 0, 1, 2, 3, etc.


Con un conjunto de puntos (xi, f(xi)) se puede construir la tabla de

diferencias divididas.

A continuacion se muestra un ejemplo de una tabla de diferencias

divididas.

xi Dif. 0 Dif. 1 Dif. 2 Dif. 3

x0 f [x0] f [x0, x1] f [x0, x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]

x1 f [x1] f [x1, x2] f [x1, x2, x3]

x2 f [x2] f [x2, x3]

x3 f [x3]


El polinomio pn(x) que interpola los puntos (xi, f(xi)) para

i = 0, 1, . . . , n, en la forma de Newton es

pn(x) =ni=0

ci

i1j=0

(x xj).

Entonces, utilizando las diferencias divididas podemos calcular los

coeficientes ci. As,

ci = f [x0, x1, . . . , xi],

para i = 0, 1, . . . , n.


Ejemplo


xi 0 1 1 2f(xi) 1 2 4 2

La tabla de diferencias dividas correspondiente a este conjunto de

datos es:

xi Dif. 0 Dif. 1 Dif. 2 Dif. 3

0 1 1 2 5/6

1 2 1 1/3

1 4 2/3

2 2


Utilizando esta tabla obtenemos los coeficientes ci de la forma de

Newton del polinomio interpolante:

c0 = f [x0] = 1,

c1 = f [x0, x1] = 1,

c2 = f [x0, x1, x2] = 2,

c3 = f [x0, x1, x2, x3] = 5/6.

Por lo tanto,

p3(x) = 1 x+ 2x(x+ 1) + (5/6)x(x+ 1)(x 1).


Interpolacion de Hermite

Consideremos el siguiente problema: Dada f C1[a, b], encontrar unpolinomio de menor grado que interpole a f y a su derivada f en dospuntos distintos, por ejemplo x0 y x1.

El polinomio p(x) que debemos hallar satisface las siguientes cuatro

condiciones:

p(xi) = f(xi), p(xi) = f (xi), i = 0, 1.

Como debemos tener presente estas cuatro condiciones, es razonable

pensar que el grado de p(x) es a lo sumo 3. Tomemos a p(x)

expresado como

p(x) = c0 + c1(x x0) + c2(x x0)2 + c3(x x0)2(x x1).


Como

p(x) = c1 + 2c2(x x0) + 2c3(x x0)(x x1) + c3(x x0)2,

entonces a partir de las cuatro condiciones de interpolacion se

construye el siguiente sistema de ecuaciones lineales de cuatro

ecuaciones y cuatro incognitas:

f(x0) = c0

f (x0) = c1

f(x1) = c0 + c1(x1 x0) + c2(x1 x0)2

f (x1) = c1 + 2c2(x1 x0) + c3(x1 x0)2


Error de Interpolacion

Teorema 2 (Teorema de Roll).

Sea f C[a, b]. Si f (x) existe en (a, b) y f(a) = f(b) = 0, entoncesf () = 0 para algun (a, b).

Teorema 3. Sea f Cn+1[a, b], y sea pn(x) el polinomio de gradomenor o igual n que interpola a la funcion f en n+ 1 puntos

distintos x0, x1, . . . , xn en el intervalo [a, b]. Para cada x en [a, b]

corresponde un punto x (a, b) tal que

f(x) pn(x) = 1(n+ 1)!

f (n+1)(x)

ni=0

(x xi). (3)

Demostracion. Es claro que si x = xi entonces la ecuacion (3) es

cierta. Sea x 6= xi para i = 0, 1, . . . , n. Sean (t) y (t) dos funciones


definidas respectivamente por

(t) =ni=0

(t xi)

y

(t) = f(t) pn(t) (t),donde R tal que (x) = 0, es decir,

=f(x) pn(x)

(x).

Ademas, Cn+1[a, b], y se anula en los n+ 2 puntosx, x0, x1, . . . , xn.

Por el Teorema de Roll tiene al menos n+ 1 ceros distintos en(a, b). Con el mismo razonamiento se concluye que tiene al menosn ceros distintos en (a, b). Repitiendo este argumento se llega a que

(n+1) tiene al menos un cero, llamemos a este cero x (a, b).


Ademas,

(n+1)(t) = f (n+1)(t) p(n+1)n (t) (n+1)(t)= f (n+1)(t) (n+ 1)!.

Por lo tanto,

0 = (n+1)(x) = f(n+1)(x) (n+ 1)!

= f (n+1)(x) (n+ 1)! f(x) pn(x)(x)

= f (n+1)(x) (n+ 1)! f(x) pn(x)ni=0(x xi)

,

o, equivalentemente,

f(x) pn(x) = 1(n+ 1)!

f (n+1)(x)ni=0

(x xi).


Teorema 4. Sea f Cn+1[a, b], y sean x0, x1, . . . , xn [a, b] nodosdistintos. Si p(x) es el polinomio de grado menor o igual 2n+ 1 tal

que

p(xi) = f(xi), p(xi) = f (xi) (0 i n),

entonces a cada x en [a, b] le corresponde un punto x (a, b) talque

f(x) p(x) = 1(2n+ 2)!

f (2n+2)(x)ni=0

(x xi)2. (4)

Demostracion. Considerando las funciones (t) y (t) definidas

respectivamente por

(t) =

ni=0

(t xi)2 y (t) = f(t) p(t) (t),

y luego empleando el Teorema de Roll como en el Teorema 3, se

demuestra la validez de la ecuacion (4).


Ajuste de Curvas por Mnimos Cuadrados

Sea la siguiente tabla de datos

xi x1 x2 xnyi y1 y2 yn

Sea f : R R una funcion real que depende de x R y de losparametros a0, a1, . . . , am R.

f(x)

(x5, y5)

(x3, y3)

(x4, y4)

(x2, y2)

(x1, y1)

x

y

1


Algunas funciones para ajustar datos

f(x) = a0 + a1x+ + amxm

f(x) = a0 + a1x f(x) = a0 lnx+ a1 f(x) = a0 ea1x

f(x) = a0 xa1

f(x) = a0x

+ a1

f(x) = a0x+ a1

f(x) = a0x1 + a1x

f(x) = a01 + a1 ea2x


Sea g : Rm+1 R definida como

g(a) =1

2

ni=1

(f(xi) yi)2, (5)

donde a = (a0, a1, . . . , am)T Rm+1 es el vector de parametros.Para hallar los valores de los parametros de tal manera que f(x)

ajuste con mnimo error a la tabla de datos, se debe resolver el

problema de minimizacion

minaRm+1

g(a). (6)

Una solucion del problema (6) se puede encontrar resolviendo el

sistema de ecuaciones

g(a) = 0, (7)donde g(a) es el vector gradiente de la funcion g.


Si a = (a0, a1, . . . , am)T Rm+1 es una solucion del sistema (7), elerror cometido al ajustar tabla de datos con la funcion f cuya

expresion considera los parametros a0, a1, . . . , am, esta dado por,

E =

2g(a).

Polinomio de Mnimos Cuadrados

Supongamos que la funcion que debe ajustar los datos es un

polinomio de grado m, es decir,

f(x) = a0 + a1x+ , amxm.

As, la funcion g dada en (5) adquiere la forma

g(a) =1

2

ni=1

(a0 + a1xi + + amxmi yi)2,


ademas, el vector gradiente de g es

g(a) =

ni=1

(a0 + a1xi + + amxmi yi)ni=1

(a0 + a1xi + + amxmi yi)xi...

ni=1

(a0 + a1xi + + amxmi yi)xmi

=

na0 + a1ni=1

xi + + amni=1

xmi ni=1

yi

a0ni=1

xi + a1ni=1

x2i + + amni=1

xm+1i ni=1

xiyi

...

a0ni=1

xmi + a1ni=1

xm+1i + + amni=1

x2mi ni=1

xmi yi


Ahora, igualando a cero el vector gradiente de g obtenemos el

siguiente sistema de ecuaciones lineales, denominado Ecuaciones

Normales:

nni=1

xi ni=1

xmi

ni=1

xini=1

x2i ni=1

xm+1i

......

. . ....

ni=1

xmini=1

xm+1i ni=1

x2mi

a0

a1

...

am

=

ni=1

yi

ni=1

xiyi

...

ni=1

xmi yi

Las incognitas de este sistema son los parametros a0, a1, . . . , am.


Recta de Mnimos Cuadrados

Supongamos que la funcion que debe ajustar los datos es una recta,

es decir,

f(x) = a0 + a1x.

Como f(x) es un polinomio de grado 1, los valores de los parametros

a0, a1 que minimizan el error del ajuste de los datos, se obtienen

resolviendo las siguientes ecuaciones normales:

n

ni=1

xi

ni=1

xini=1

x2i

a0a1

=

ni=1

yi

ni=1

xiyi


Ejemplo

Ajustar la siguiente tabla de datos

xi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

yi 6.923 7.202 6.8 6.5 5.9 5.01 4.8 4.5 4.913 5.31 5.394

con las funciones:

a) P1(x) = a0 + a1x

b) P2(x) = a0 + a1x+ a2x2

c) P3(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3

d) f(x) =1

a0 + a1x+ a2x2

Seguidamente se muestra el codigo en Matlab para calcular los

coeficientes del polinomio de grado m de mnimos cuadrados.


function [a] = minimoscuadrados(x, y, m)

%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS DE ENTRADA %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% x: vector de orden 1xn de las abscisas. %

% y: vector de orden 1xn de las ordenadas. %

% m: grado del polinomio de mnimos cuadrados. %

%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS DE SALIDA %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% a: es el vector de coeficientes del polinomio %

% P(x) = a(1) + a(2)x + a(3)x^2 +...+ a(m+1)x^m %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

if(length(x) length(y))

disp(ERROR, numero de datos incongruente)

a = NaN;

return;

else

n = length(x);

end

F = zeros(n,m+1);

for k=1:m+1

F(:,k) = x.^(k-1);

end

AA = F*F; B = F*y; a = AA\B;


Los polinomios P1(x), P2(x), P3(x) y la funcion f(x) obtenidos son:

P1(x) = 5.75 0.24x P2(x) = 5.33 0.24x+ 0.04x2

P3(x) = 5.33 0.47x+ 0.04x2 + 0.01x3

f(x) = 10.191019 + 0.006797x+0.001274x2

Los errores al ajustar los datos con P1(x), P2(x), P3(x) y f(x) son,

respectivamente:

E1 = 1.753 E2 = 1.259 E3 = 0.704 Ef = 1.626


En la siguiente figura se muestran las graficas de P1(x), P2(x), P3(x)

y f(x).

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 54

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5 P1(x)

P2(x)

P3(x)

f(x)

Polinomios de InterpolacinMtodo de los Coeficientes IndeterminadosForma de LagrangeForma de NewtonDiferencias Divididas

Interpolacin de HermiteError de Interpolacin

Ajuste de Curvas por Mnimos CuadradosPolinomio de Mnimos CuadradosRecta de Mnimos Cuadrados

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matriz x

x 2x2

polinomio p2x