Page 1
INTERPOLASI
Rumus Interpolasi Newton Maju dan Mundur
Pandang y = f(x) suatu fungsi yang mempunyai nilai – nilai y0, y1, . . . , yn pada x0,
x1, . . . , xn. Andaikan Pn(x) adalah suatu polinomial dalam x derajat n, maka Pn(x) dapat
ditulis sebagai berikut :
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2 (x-x0) (x-x1) + a3(x-x0) (x-x1) (x-x2) + . . . . . . . . . . . . . . .
+ an(x-x0) (x-x1) (x-x2) . . . . . . . . (x-xn-1) (2)
Akan ditentukan koefisien – koefisien a0, a1, . . . . . . , an sehingga Pn(xi) = yi(i = 0, 1, . . .
. . ., n). Dengan xs = x0 + sh, dimana s bilangan bulat positif, maka :
=
=
=
Akhirnya didapat :
Nilai ai (i = 0, 1, . . . . . .. . ., n) dimasukkan dalam (1) diperoleh :
8
Page 2
(2)
Ini disebut rumus Newton untuk interpolasi maju; digunakan untuk mendapatkan nilai
yang mendekati awal dari tabel.
Dengan mengambil dan xs = x0 + sh (s bilangan bulat positif), didapat
Maka rumus Newton (2) menjadi sederhana :
atau :
Rumus Newton yang lain adalah rumus Newton untuk interpolasi mundur. Rumus ini
digunakan untuk mendapatkan nilai yang mendekati nilai akhir dari tabel.
Untuk memperoleh rumus Newton mundur didapat dari rumus Newton maju dengan
mengganti x0 dengan xn, x1 dengan xn-1, .........................................................................
..........................................................., .............................., xk dengan xn-k, sehingga :
Dengan mengambil dan , ; dip[eroleh :
x –x n = uh
x – xn-1 = x (xn – h) = uh + h = h(u+1)
x – xn-2 = x (xn – 2h) = uh + 2h = h(u+2)
x – xn-3 = x (xn – 3h) = uh + 3h = h(u+3)
Maka didapat rumus Newton untuk interpolasi mundur :
9
Page 3
+
Untuk rumus Newton mundur dipakai tabel beda-horisontal, sedangkan untuk rumus
Newton maju dipakai tabel beda-diagonal. Dengan tabel untuk beda yang mundur,
rumus Newton-mundur ditulis sebagai berikut :
+
Contoh 1 :
Diberikan : tabel Log x berikut dimana misalnya 0.0414 ditulis 414 ; 0.0378 ditulis 378.
x y = log x Δ y Δ2 y Δ3 y Δ4 y
10 1.0000
4114
11 1.0414 -36
378 5
12 1.0792 -31 1
347 6
13 1.1139 -25
322
14 1.1461
Ditanyakan : 1). log 11.4 dan 2). log 14.5 ; s/d 4D.
Penyelesaian :
1). Oleh karena 11.4 da di dekat awal dari tabel, maka : digunakan rumus interpolasi
Newton Maju.
= 11.4 – 10 = 1.4
10
Page 4
=
= 1.05692624 = 1.0569.
Jadi log 11.4 = 1.0569
2). Oleh karena 14.5 ada di dekat akhir tabel, maka gunakan rumus interpelasi Newton
Mundur :
= 14.5 – 14 = 0.5
=
Jadi log 14.5 = 1.1614
Contoh 2 :
Diberikan : sin 450 = 0.7071 ; sin 500 = 0.7660 ;
sin 550 = 0.8192 ; sin 600 = 0.8660
Ditanyakan : Agar penulisan tidak panjang maka pada tabel, tanda desimal dihilangkan
dengan mengambil Ux = 104 sin (450 + 5x).
Misalkan θ = 5x + 450 ; maka untuk θ = 520 berarti x = 1.4
θ x Ux Δ Ux Δ2 Ux Δ3 Ux
450 0 7071
589
500 1 7660 -57
532 -7
550 2 8192 -64
468
550 3 8660
Pandang Δ3 Ux konstan. Ini berarti bahwa fungsi interpolasi adalah sebuah polinomial
derajat tiga.
11
Page 5
Maka :
x = 1.4 U1.4 = 7071 + 1.4 (589) +
= 7071 + 824.6 – 15.96 + 0.392 = 7880.032
Jadi sin 520 = 0.7880
Beda Terbagi
Untuk f(x) yang terdiferensialkan, maka yang dimaksud dengan beda terbagi yang
pertama untuk titik x0 dan x1 didefinisikan sebagai :
Beda terbagi yang ke dua untuk titik-titik x0 , x1 dan x2 adalah :
Untuk beda terbagi yang ke-n adalah :
Tabel untuk beda terbagi adalah sebagai berikut :
x y = f(x) f1 f2 f3
x0 y0
f(x1,x0)
x1 y1 f(x2,x1,x0)
f(x2,x1) f(x3,x2,x1,x0)
x2 y2 f(x3,x2,x1)
f(x3,x2) f(x4,x3,x2,x1)
x3 y3 f(x4,x3,x2)
f(x4,x3) f(x5,x4,x3,x2)
. . .
. . .
. . .
. . f(xn-2,xn-3) f(x3,x2,x1,x0)
12
Page 6
. .
x y = f(x) f1 f2 f3
f(xn-1,xn-2,xn-3)
xn-2 yn-2
f(xn-1,xn-2) f(xn,xn-1,xn-2,xn-3)
xn-1 yn-1 f(xn,xn-1,xn-2)
f(xn,xn-1)
xn yn
Keterangan :
f1 = beda terbagi pertama
f2 = beda terbagi ke dua
Beda terbagi adalah merupakan suatu fungsi yang simetris, karena :
f(x0 , x1 , x2) = f(x2 , x1 , x0)
Juga :
f(x0 , x1 , x2 ,......,xn ) = f(xn , x0 , x1 ,......,xn-1 )
= f(x0 , xn , x1 ,......,xn-1 )
Hubungan antara beda terbagi dan beda biasa adalah sebagai berikut :
→ f (x0 , x1 , x2 ,......,xn ) =
Rumus Interpolasi Newton Umum
13
Page 7
Bentuk lain dari beda tertinggi adalah sebagai berikut :
f(x) = f(x0) + (x – x0) f(x,x0)
f(x,x0) = f(x0,x1) + (x-x1) f(x,x0,x1)
f(x,x0,x1) = f(x0,x1,x2) + (x-x2) f(x,x0,x1,x2)
. . .f(x,x0,.....,xn-1) = f(x0,x1,........,xn) + (x-xn) f(x,x0,.........,xn)
Maka :
f(x) = f(x0) + (x-x0) f(x0,x1) + (x-x1) f(x,x0,x1)
= f(x0) + (x-x0) f(x0,x1) + (x-x0) (x-x1) f(x,x0,x1)
= f(x0) + (x-x0) f(x0,x1) + (x-x0) (x-x1) f(x0,x1,x2) + (x-x0) (x-x1) (x-x2) f(x0,x1,x2,x3)
+ ............+ (x-x0) (x-x1) .....(x-xn-1) f(x0,x1,x2,.........,xn)
y = y0 + (x-x0) f(x0,x1) + (x-x0) (x-x1) f(x0,x1,x2) + (x-x0) (x-x1) (x-x2) f(x0,x1,x2,x3)
+ .......+ (x-x0) (x-x1) .........(x-xn-1) f(x0,x1,x2,.............,xn)
Ini disebut rumus Newton untuk beda terbagi atau disebut rumus interpolasi Newton
umum
Contoh. Dari tabel dibawah ini tentukan log 323.5
x log x f1 f2 f3
321.0 2.50651
0.00134444
322.8 2.50893 -0.00000158
0.00134286 0.00000022
324.2 2.51081 -0.00000244
-0.00133750
325.0 2.51188
Penyelesaian : x0 = 322.8 ; y0 = 2.50893 ; x1 = 324.2
x2 = 325.0 ; x = 323.5
y = log 323.5 = 2.50893 + (323.5 – 322.8) (0.00134286) + (323.5 – 322.8)
(323.5 – 324.2) (-0.00000244)
= 2.50893 + 0.000940 + 0.0000012
= 2.50987
Rumus Interpolasi dari Lagrange
14
Page 8
Berikut ini diuraikan rumus interpolasi Lagrange yang dapat digunakan jika
penambahan variabel bebas adalah sama atau tidak sama.
Pandang tabel dari nilai-nilai x dan y berikut, dimana y = Ux untuk (n+1) nilai-nilai x
yang diberikan dan dimana Uxi = Ui’. Seperti biasanya Ux adalah fungsi interpolasi
untuk y = f(x).
x x0 x1 x2 x3 ............... xn-1 xn
y = Ux U0 U1 U2 U3 ............... Un-1 Un
Misalkan
Ux = AO (x-x1) (x-x2) (x-x3) ................ (x-xn) +
= A1 (x-x1) (x-x2) (x-x3) ................ (x-xn) +
= A2 (x-x1) (x-x2) (x-x3) ................ (x-xn) +
....................................................................
....................................................................
An (x-x1) (x-x2) (x-x3) ................ (x-xn-1) +
Jadi masing-masing suku dari (1) adalah derajat n karena itu (1) adalah suatu
polinomial derajat n.
Untuk menentukan (n+1) buah konstanta-konstanta A0 , A1 , A2 , A3 , .........., An
memerlukan (n+1) himpunan nilai-nilai yang diberikan yang memenuhi (1)
Ambil (xo,Uo) yang memenuhi (1), maka :
Uo = Ao (x0-x1) (x0-x2) ............ (x0,xn)
atau
Dengan memenuhi (x1,U1) , (x2,U2) , ............ , (xn,Un) yang masing-masing memenuhi
(1), maka diperoleh :
...................................................................
Nilai-nilai A0 , A1 , A2 , ............. , An ini disubstitusikan dalam (1) maka diperoleh
rumus Interpolasi Lagrange :
15
Page 9
..................................................+
Contoh :
Dapatkan log 656 jika diberikan log 654 = 2.8156 , log 658 = 2.8182 , log 659 =
2.8189 , log 661 = 2.8202
Penyelesaian
= 2.8168
Contoh 2
Tentukan suatu polinomial yang memenuhi nilai-nilai berikut :
X 1 3 4 6
Y -7 5 8 14
Penyelesaian :
=
Karena rumus Lagrange hanya suatu hubungan antara dua variabel saja, maka x atau y
dapat sebagai variabel bebas. Kalau y sebagai variabel bebas, maka rumus Lagrange
menjadi :
Contoh 3. Tentukan nilai x yang memenuhi
dengan menggunakan daftar dibawah ini :
16
Page 10
x
0.4846555 0.46
0.4937452 0.47
0.5027498 0.48
0.5116683 0.49
Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus (3), dimana :
y = ½ = 0.50 , x = 0.45 , x1 = 0.47 , x2 = 0.48 , x = 0.49
; maka didapat x = 0.476937
Rumus Interpolasi Gauss, Stirling dan Bessel
Dengan bantuan tabel beda dapat diturunkan rumus-rumus interpolasi yang berguna
x Ux
-3 U-3
ΔU-3
-2 U-2 Δ2U-3
ΔU-2 Δ3U-3
-1 U-1 Δ2U-2 Δ4U-3
ΔU-1 Δ3U-2 Δ5U-3
0 U0 Δ2U-1 Δ4U-2 Δ6U-3
ΔU0 Δ3U-1 Δ5U-2
1 U1 Δ2U0 Δ4U-1
ΔU1 Δ3U-0
2 U2 Δ2U1
ΔU2
3 U3
Dari tabel beda diagonal aiatas tampak bahwa :
Δ2U0 = Δ2U-1 + Δ3U-1
Δ3U0 = Δ3U-1 + Δ4U-1 = Δ3U-1 + Δ4U-2 + Δ5U-2
Substitusikan kedalam rumus Newton maju :
17
Page 11
diperoleh rumus interpolasi Gauss maju :
(1)
Rumus ini menggunakan beda-beda gasal tepat dibawah garis sentral dari U0 dan beda-
beda genap pada garis sentral.
Bentuk lain dari rumus Gauss :
Karena ΔU0 = ΔU-1 + Δ2U-1
Δ3U-1 = Δ3U-2 + Δ4U-2
Δ5U-2 = Δ5U-3 + Δ6U-3 ; masuk (1)
maka diperoleh rumus interpolasi Gauss mundur :
(2)
Rumus ini menggunakan beda-beda gasal tepat diatas garis sentral melalui U0 dan
beda-beda genap pada garis sentral.
Rata-rata dari (1) dan (2) memberikan rumus interpolasi dari Stirling :
Rumus ini menggunakan rata-rata dari beda gasal diatas dan dibawah garis sentral ; dan
beda genap pada garis sentral. Rumus interpolasi dari Bessel diperoleh demikian :
18
dimana :ΔU = ½ (ΔU-1 + ΔU0) (3)
Δ3U = ½ (Δ3U-1 + Δ3U-2)
Δ5U = ½ (Δ5U-3 + Δ5U-2)
Page 12
Dari tabel : Δ3U-1 = Δ2U0 - Δ2U-1
Δ5U-2 = Δ4U-1 - Δ4U-2
Δ7U-3 = Δ6U-2 - Δ6U-3 ; masuk (1) ;
diperoleh rumus interpolasi dari Bessel :
Contoh :
Nilai-nilai dari diberikan pada tabel berikut dari
t = 0 s/d t = 3 dengan jarak interval t = 0.5
t x Ux
0.00 -2 0.000000
0.19146146
0.50 -1 0.0919646 -0.00108156
0.14988988 -0.01605645
1.00 0 0.0433134 -0.00805803 0.00609669
0.09185 0.01024 -0.01666
1.50 1 0.43319 -0.04779 0.01003
0.04406 0.02027 -0.01446
2.00 2 0.47725 -0.02752 -0.00443
0.01654 0.01584
2.50 3 0.49379 -0.01168
0.00486
3.00 4 0.49865
Ditanyakan : Ut bila t = 1.22 dengan :
a). Rumus interpolasi Stirling
19
dimana :Δ2U = ½ (Δ2U-1 + Δ2U0)
Δ4U = ½ (Δ4U-2+ Δ4U-1)
Page 13
b). Rumus interpolasi Bessel
Penyelesaian :
Karena pada t = 1.22 ada didekat tengah dari tabel, maka dipilih x = 0 pada t = 1.
Agar supaya ordinat berjarak sama pada unit interval ; diambil x = 2t – 2. Bila t
= 1.22 maka x = 0.44
a). ΔU = ½ (ΔU-1 + ΔU0) = ½ (0.14988 + 0.09185) = 0.120865
Δ3U = ½ (Δ3U-1 + Δ3U-2) = ½ (0.01024 – 0.01645) = -0.003105
= 0.34134 + 0.05318 – 0.00562 + 0.00018 – 0.00017
= 0.38891
b) Δ2U = ½ (Δ2U-1 + Δ2U0) = ½ (-0.05803 – 0.04779)
= 0.05291
Δ4U = ½ (Δ4U-2+ Δ4U-1) = ½ (0.02669 + 0.01003)
= 0.01836
= 0.34134 + 0.04011 + 0.00652 + 0.00003 + 0.00041 + 0.000005
= 0.38873
Interpolasi Trigonometrik
Jika fungsi diketahui periodik maka digunakan interpolasi trigonometrik.
Rumus Hermite untuk interpolasi fungsi periodik adalah :
Fungsi ini mempunyai periode 2π, seperti tampak jika x diganti x + 2π dan bahwa y
= y0 untuk x = x0 , y = y1 untuk x = x1 , dan seterusnya
20
Page 14
Rumus Hermite ini untuk fungsi-fungsi periodik sesuai dengan rumus Lagrange
untuk fungsi-fungsi yang non-periodik dan digunakan untuk nilai-nilai x yang
berjarak sama atau tidak.
Contoh. Diketahui :
x 0.4 0.5 0.7 0.8
y 0.0977 0.0088 -0.1577 -0.2192
Tentukan nilai dari y untuk x = 0.6 radian
Penyelesaian
x0 = 0.4 , x1 = 0.5 , x2 = 0.7 , x3 = 0.8 , x = 0.6
atau y = -0.01684 + 0.00592 – 0.10601 + 0.03778
= - 0.07915
21
Page 15
Soal-Soal Latihan
1. Diberikan
x 2 4 6 8 10
y 9.34 10.56 12.24 13.48 15.34
Ditanyakan : y(2,4) dengan rumus interpolasi Newton-Maju
2. Diberikan
x 0.1 0.6 1.1 1.6 2.1
y 1.1567 1.8762 3.2234 4.8562 8.2354
Ditanyakan : e2.00 dengan rumus interpolasi Newton mundur
3. Diberikan
x(radian) 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
y = sin x 0.1494 0.1986 0.2474 0.2955 0.3429
Ditanyakan : sin 0.32 dengan rumus interpolasi Gauss maju / mundur
4. Selesaikan soal no.3 dengan rumus interpolasi dari Stirling dan Bessel
22