Inteligenţă artificială 9. Raţionament probabilistic. Teoria jocurilor Florin Leon Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iaşi Facultatea de Automatică şi Calculatoare http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
105
Embed
Inteligenta artificiala: Retele bayesiene. Teoria evidentelor. Teoria jocurilor
Inteligenta artificiala: Retele bayesiene. Teoria Dempster Shafer. Teoria jocurilor
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Inteligenţă artificială
9. Raţionament probabilistic. Teoria jocurilor Florin Leon
Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iaşi Facultatea de Automatică şi Calculatoare
http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
2
Raţionament probabilistic. Teoria jocurilor
1. Reţele bayesiene
2. Inferenţe cu reţele bayesiene
3. Teoria Dempster-Shafer
4. Teoria jocurilor
5. Echilibrul Nash
6. Optimalitatea Pareto
7. Concluzii
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
3
Raţionament probabilistic. Teoria jocurilor
1. Reţele bayesiene
2. Inferenţe cu reţele bayesiene
3. Teoria Dempster-Shafer
4. Teoria jocurilor
5. Echilibrul Nash
6. Optimalitatea Pareto
7. Concluzii
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
4
Probabilităţi
P(A) – fracţiunea de lumi posibile în care A este adevărată
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
5
Paradoxuri
Problema “Monty Hall”
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
6
Paradoxuri
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
7
Eroarea jucătorului de ruletă
Dacă a ieşit roşu, data următoare sunt mai multe şanse să iasă negru
1913, Monte Carlo – negrul a ieşit de 26 de ori la rând
Paradoxuri
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
8
Eroarea procurorului Grupa de sânge găsită la faţa locului este o grupă rară, AB cu Rh
negativ, care are 1% frecvenţă în populaţie
S-au mai găsit urme de păr blond, persoanele blonde constituind tot 1% din populaţie
Suspectul are grupa de sânge respectivă şi este blond, prezenţa împreună a acestor trăsături având împreună probabilitatea de 0,01% ⇒ vinovat cu o probabilitate de 99,99%
Oraşul în care s-a petrecut crima are o populaţie de 100.000 de locuitori, deci alţi 10 oameni au aceleaşi trăsături ⇒ vinovat cu o probabilitate de 10%
2 camere video identifică suspectul cu o probabilitate de 70%, deci suspectul este nevinovat cu o probabilitate de 0,9 ∙ 0,3 ∙ 0,3 ⇒ vinovat cu o probabilitate de 91,9%
Paradoxuri
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
9
Probabilităţi condiţionate
P(A|B) este fracţiunea de lumi posibile în care B este adevărată şi atunci şi A este adevărată
Probabilitatea lui A, dat fiind B
D = durere de cap, P(D) = 1/10
G = gripă, P(G) = 1/40
P(D|G) = 1/2
Dacă cineva are gripă, probabilitatea de a avea şi dureri de cap este de 50%
P(D|G) = P(D⋂G) / P(G)
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
10
Teorema lui Bayes
P(A|B) = P(A⋂B) / P(B)
P(A⋂B) = P(A|B) · P(B)
P(A⋂B) = P(B|A) · P(A)
⇒ P(B|A) = P(A|B) · P(B) / P(A)
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
11
Teorema lui Bayes
P(B|A) = P(A|B) · P(B) / P(A)
Thomas Bayes (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 53, pp. 370-418
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
12
Diagnoză
Probabilităţi cunoscute
Meningită: P(M) = 0,002%
Gât înţepenit: P(G) = 5%
Meningita cauzează gât înţepenit în jumătate din cazuri: P(G|M) = 50%
Dacă un pacient are gâtul înţepenit, care este probabilitatea să aibă meningită?
P(M|G) = P(G|M) · P(M) / P(G) = 0,02%
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
13
Diagnoză
Greşeală întâlnită uneori: P(A|B) = P(B|A)
Diagnostice pentru boli rare
Trebuie avute în vedere probabilităţile testului de a returna rezultate fals pozitive
B – boală T – test
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
14
Independenţă şi independenţă condiţionată
Exemplul 1. Ion şi Maria dau cu banul. Fiecare are un ban diferit
Evenimente independente
Rezultatul unui experiment nu influenţează rezultatul celuilalt experiment
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
15
Independenţă şi independenţă condiţionată
Exemplul 2. Ion şi Maria dau cu acelaşi ban
Dacă banul nu este corect, evenimentul A (Ion) poate aduce informaţii asupra evenimentului B (Maria)
Evenimentele nu sunt independente
Rezultatul unui experiment poate influenţa cunoştinţele despre rezultatul celuilalt
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Independenţă şi independenţă condiţionată
Exemplul 2 (cont.). Fie C variabila „banul este influenţat în favoarea pajurei”
Dacă ştim C, experimentul A nu mai aduce informaţii noi asupra lui B
P(B|A,C) = P(B|C)
A şi B sunt independente condiţional dat fiind C
Situaţia „cauză comună”
16 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Independenţă şi independenţă condiţionată
Exemplul 3. Ion şi Maria locuiesc în zone diferite ale oraşului şi vin la serviciu cu tramvaiul, respectiv maşina
„Ion a întârziat” şi „Maria a întârziat” pot fi considerate independente
Dacă vatmanii sunt în grevă, atunci şi traficul rutier creşte
Evenimentele devin condiţional independente
Sunt multe situaţii din viaţa reală în care evenimente considerate independente sunt de fapt doar condiţional independente
17 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Independenţă şi independenţă condiţionată
Exemplul 4. Atât răceala cât şi alergia îl pot determina pe Ion să strănute
Dacă nu ştim că Ion a strănutat, răceala şi alergia sunt independente
Dacă ştim că Ion a strănutat, răceala şi alergia nu mai sunt independente
Dacă mai ştim că Ion este răcit, probabil că răceala determină strănutul iar probabilitatea alergiei scade
Situaţia „revocare prin explicare” (engl. “explaining away”)
18 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
19
Reprezentarea cunoştinţelor incerte
O situaţie cu 5 variabile (exemplul următor)
Specifică o distribuţie comună de probabilitate cu 25 – 1 = 31 parametri
Fezabil
Un sistem expert cu 37 de variabile pentru monitorizarea pacienţilor de la terapie intensivă
237 – 1 ≈ 1011 parametri
Nefezabil
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
20
Reţea bayesiană
S-a instalat un nou sistem de alarmă
Sună în cazul unei spargeri dar şi în cazul unui cutremur
Vecinii John şi Mary îl sună pe proprietar la serviciu dacă aud alarma
10 parametri independenţi faţă de 31
Reţea bayesiană (J. Pearl, 1985)
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
21
Comparaţie
Sistem expert pentru monitorizarea pacienţilor de la terapie intensivă
37 variabile
509 parametri în loc de 1011
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Reprezentarea distribuţiei comune de probabilitate
Este adevărată doar dacă fiecare nod este independent condiţional de predecesorii din şirul ordonat al nodurilor, daţi fiind părinţii nodului
“chain rule” (regula de înmulţire a probabilităţilor)
Dacă efectele sunt considerate independente “Naïve Bayes”
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
23
Interogări simple
Care este probabilitatea ca alarma să se declanşeze fără să fi fost nicio spargere şi niciun cutremur iar John şi Mary să sune?
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
24
Validitatea unei reţele bayesiene
O reţea bayesiană este un graf orientat aciclic
Arcele pot forma bucle, dar nu pot forma cicluri
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Algoritmul Bayes-Ball
O modalitate simplă de a determina relaţiile de independenţă şi independenţă condiţionată într-o reţea bayesiană
Se presupune că o minge este trimisă dintr-un nod în reţea
Mingea trece în moduri diferite, în funcţie de cine o trimite (fiu sau părinte) şi starea nodului care o primeşte (observat/evidenţă sau neobservat)
Nodurile la care mingea nu ajunge sunt independente (condiţional)
25 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Reguli de trimitere a mingii
26 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Exemple
27
noduri evidenţă (gri)
noduri neobservate (albe)
o cale activă nicio cale activă
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
28
Ordonarea nodurilor
Reţelele din dreapta sunt create prin introducerea succesivă a noilor noduri, de sus în jos Ambele sunt echivalente cu distribuţia comună de probabilitate Nu sunt optime din punct de vedere al compactităţii Necesită mai mulţi parametri Reţeaua (b) necesită 31 de parametri, la fel ca distribuţia comună
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
29
Raţionament probabilistic. Teoria jocurilor
1. Reţele bayesiene
2. Inferenţe cu reţele bayesiene
3. Teoria Dempster-Shafer
4. Teoria jocurilor
5. Echilibrul Nash
6. Optimalitatea Pareto
7. Concluzii
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
30
Inferenţa probabilităţilor marginale
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
31
Nodul LA
P(LA) =
P(LA|LF) · P(LF) + P(LA|~LF) · P(~LF) =
0.6 · 0.15 + 0.05 · (1 – 0.15) = 0.133
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Convingerea că maşina a fost furată 0.18 / 0.28 = 0.64
Convingerea că maşina nu a fost furată 0.08 / 0.28 = 0.29
Intervalul de încredere că maşina a fost furată [0.64, 1 – 0.29] = [0.64, 0.71]
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
43
Formalizare
H – universul ipotezelor mutual exclusive (se mai notează cu Θ şi se mai numeşte cadru de discernământ)
m – o funcţie numită BBA (engl. “Basic Belief Assignement”, atribuire de convingeri de bază) sau funcţie de masă m : (H) → [0,1]
(H) = mulţimea părţilor lui H
m() = 0
∑A(H) m(A) = 1
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
44
Combinarea evidenţelor
Teoria Dempster-Shafer ne permite să combinăm convingerile m care apar din surse multiple de evidenţe
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Exemplul 1
Două site-uri de ştiri relatează despre o demonstraţie
Primul site are nivelul de încredere de 80% iar al doilea are nivelul de încredere de 60%
Ambele afirmă că demonstraţia a fost una mare, cu peste 10000 de participanţi
45 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Rezolvare
46
nu există evidenţe împotriva faptului că demonstraţia a fost mare
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Exemplul 2
Primul site afirmă că demonstraţia a fost mare iar al doilea afirmă contrariul
Ar fi incorect să considerăm m2({Mare}) = 0,4, deoarece al doilea site a spus doar că demonstraţia a fost mică, nu a spus nimic despre o demonstraţie mare
Valoarea asociată mulţimii vide este 0,48 şi deci numitorul fracţiei va fi 1 – 0,48 = 0,52
47 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Rezolvare
48 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
49
Exemplul anterior
combinarea evidenţelor într-o nouă BBA
incertitudinea rămasă
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
50
Exemplul anterior
Singurele perechi care se intersectează în mulţimea vidă sunt:
m1({CarMissing}) = 0.9 şi m2({CarThere}) = 0.8
produsul: 0.72
numitorul: 1 – 0.72 = 0.28
Aceleaşi valori ca înainte
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
51
Alt exemplu
Un pacient poate avea răceală (Cold), gripă (Flu), Meningită sau Nimic (e sănătos)
Mulţimea de ipoteze H = {C,F,M,N}
Din studii anterioare: Febra susţine ipoteza {C,F} la nivelul 0.5 şi
{M} la nivelul 0.2
Greţurile susţin ipoteza {C,F,N} la nivelul 0.7
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
52
Combinarea evidenţelor
Singura combinaţie care produce mulţimea vidă are produsul 0.14, deci numitorul va fi 1 – 0.14 = 0.86
Avem un pacient cu febră şi greţuri (m1 şi m2).
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
53
Noua BBA
Posibilitatea de răceală sau gripă: [0.581, 0.93]
Posibilitatea de meningită: [0.07, 0.175]
0.825 = 0.581 + 0.244 suma tuturor submulţimilor
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
54
Altă evidenţă
Dacă se face un test de laborator şi acesta iese pozitiv, indicând ipoteza {M} la nivelul 0.8, cum se schimbă convingerile?
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
55
Discuţie
O convingere puternică atribuită mulţimii vide indică evidenţe conflictuale în mulţimea de convingeri
Când avem mulţimi mari de ipoteze şi mulţimi complexe de evidenţe, calculele devin foarte laborioase
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Evidenţe conflictuale
Exemplu de rezultat neplauzibil (L. Zadeh):
m1{(A)} = 0.99, m1({Z}) = 0.01
m2{(B)} = 0.99, m2({Z}) = 0.01
⋂ ⨉
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Aplicaţii din viaţa reală
Sisteme expert
Sisteme de diagnoză
Combinarea informaţiilor provenite de la mai mulţi senzori (engl. “sensor fusion”)
57 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
58
Raţionament probabilistic. Teoria jocurilor
1. Reţele bayesiene
2. Inferenţe cu reţele bayesiene
3. Teoria Dempster-Shafer
4. Teoria jocurilor
5. Echilibrul Nash
6. Optimalitatea Pareto
7. Concluzii
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
59
Teoria jocurilor
Studiază interacţiunile strategice între jucători raţionali care aleg diferite acţiuni pentru a-şi maximiza profitul
Mai formal, reprezintă studiul modelelor matematice de conflict şi cooperare între decidenţi inteligenţi şi raţionali
Jocurile din cursul 3 rezolvabile cu algoritmul minimax sunt un caz particular: jocuri secvenţiale
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
60
Aplicaţii
Oriunde există interacţiuni strategice între jucători raţionali
Economie
Strategiile nucleare ale războiului rece
Psihologie
Sociologie
Ştiinţa calculatoarelor (reţele etc.)
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
61
Caracteristicile unui joc
Jocurile studiate în teoria jocurilor au următoarele elemente:
Doi sau mai mulţi jucători
Alegerea unei acţiuni implică o strategie
Unul sau mai multe rezultate
Rezultatul depinde de strategiile alese
Jucătorii sunt raţionali
Încearcă să-şi maximizeze profitul indiferent de acţiunile celorlalţi jucători
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Un profit sigur de 3,1 este echivalent cu un profit aşteptat într-un joc cu profituri de 1 şi 4 cu probabilităţile 0,3 respectiv 0,7
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
90
Strategii mixte: interpretare
Jocuri în care se pot aplica simultan strategii multiple
Pariurile pe mai mulţi cai
Instanţe multiple ale aceluiaşi joc
Scenariu de război: qij % din piloţi urmează strategia sij
Acelaşi joc repetat la infinit
Pentru un singur joc: distribuţia de probabilitate este estimarea oponenţilor asupra deciziei unui jucător
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Metoda resturilor
engl. “oddment method”
Metodă simplă pentru calculul echilibrelor Nash mixte
Dacă jocul are un echilibru Nash pur, metoda nu se aplică
91 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Strategiile pentru Pauper
92 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Strategiile pentru Government
93 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
94
Echilibrul Nash în jocul ajutorului social cu strategie mixtă (I)
Dacă Government alege o probabilitate de 0.5 pentru Aid, Pauper nu poate profita de pe urma acestei decizii în alegerea uneia din acţiunile Work sau Be idle
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
96
Echilibrul Nash în jocul ajutorului social cu strategie mixtă (III)
Pentru probabilităţile 0.5 şi 0.2, atât Government cât şi Pauper au profituri egale pentru ambele acţiuni, ceea ce permite existenţa unui echilibru Nash
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Metoda 2
Determinarea strategiei pentru Pauper
3 · x + (–1) · (1 – x) = (–1) · x + 0 · (1 – x)
⇒ x = 0.2, 1 – x = 0.8
Determinarea strategiei pentru Goverment
2 · y + 1 · (1 – y) = 3 · y + 0 · (1 – y)
⇒ y = 0.5, 1 – y = 0.5
97 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
98
Stabilitatea
Dar dacă un jucător părăseşte strategia de echilibru, oponentul poate profita pentru a câştiga mai mult decât ar câştiga la echilibru
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
99
Raţionament probabilistic. Teoria jocurilor
1. Reţele bayesiene
2. Inferenţe cu reţele bayesiene
3. Teoria Dempster-Shafer
4. Teoria jocurilor
5. Echilibrul Nash
6. Optimalitatea Pareto
7. Concluzii
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
100
Optimalitatea Pareto
Un rezultat (x0,y0) este optim Pareto (sau dominant sau neinferior) dacă NU există alt rezultat (x,y) unde: Ambii jucători au un profit mai mare
x > x0 şi y > y0
Un jucător are profit mai mare iar celălalt are acelaşi profit x > x0 şi y = y0 , sau
x = x0 şi y > y0
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Optimalitatea Pareto
Un rezultat este optim Pareto dacă este:
mai bun sau la fel decât alt rezultat din toate punctele de vedere
şi
mai bun strict din cel puţin un punct de vedere
101 Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
102
Stări optime Pareto
Într-o stare optimă Pareto, jucătorii nu au motivaţia de a devia în coaliţie
De exemplu: dilema inculpaţilor
Ambii jucători au profit mai mare împreună dacă ambii neagă
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
103
Interpretare
Optimalitatea Pareto înseamnă o situaţie mai bună pentru cel puţin un jucător fără a dezavantaja niciun alt jucător
Optimalitatea Pareto nu înseamnă „egalitate” De exemplu împărţirea unui tort între 3 persoane A, B, C
A ia 70%, B ia 30%, C nu ia nimic
Această stare este un echilibru optim Pareto, deoarece pentru a-i da lui C ceva, A sau B ar trebui să renunţe la ceva
Totuşi, implică alocarea tuturor resurselor O stare în care A ia 50%, B ia 30% şi C nu ia nimic nu este
optimă Pareto
C poate lua 20% fără a-i afecta pe A sau B
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
104
Aplicaţii ale optimalităţii Pareto
Probleme de optimizare
Traficul în reţele de calculatoare
Planificarea task-urilor
Planificarea producţiei
Proiectarea componentelor
Procesele de reacţii chimice
Economie
Analiza eficienţei de piaţă
Îmbunătăţirea sistemului de impozitare
Etc.
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
105
Concluzii
Reţelele bayesiene asigură un mod concis de a reprezenta relaţiile de independenţă condiţională într-un domeniu şi de a face inferenţe
Teoria Dempster-Shafer combină surse de evidenţe posibil contradictorii. Se face o distincţie între probabilitatea unei propoziţii dată fiind o evidenţă incertă şi probabilitatea unei propoziţii în lipsa oricărei evidenţe
Teoria jocurilor studiază în mod abstract interacţiunile multipersonale, furnizând o metodă de modelare a comportamentului agenţilor raţionali
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm