INTEGRALNI RAČUN - fsb.unizg.hr · INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić [email protected] 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN

Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa

Lucija Mijić

[email protected]

17. veljače 2011.

Pogledajmo

Predstavimo gornju sumu sa

Dodamo još jedan

Dobivamo pravokutnik sa kvadrata.

Odnosno

Za naći ovu sumu koristimo kvadre.

Na kraju od njih šest dobivamo

Dakle,

Ako je konstantna funkcija

znamo da dano područje ima površinu, odnosno baza puta visina

tj. .

Neka je dana funkcija f na segmentu [a,b] i realan broj Δx > 0,

gdje Δx koristimo u podjeli segmenta [a,b] na podsegmente.

Za svaki podsegment nacrtamo pravokutnik visine f(xi).

Površina pravokutnika iznosi f(xi)·Δx.

Koristimo oznaku za sumu površina pravokutnika.

Drugim riječima,

Definicija Kažemo da je funkcija f definirana na [a,b] integrabilna, ako je

konačan i uvijek ima isti standardni dio za svaki pozitivan

infinitezimal dx.

Definicija Ako je f integrabilna na [a,b] definiramo integral od f na [a,b]

kao gdje je dx pozitivan infinitezimal. Integral od f na [a,b]

označavamo sa

.

Definicija Ako je f integrabilna i ne negativna na [a,b] definiramo

površinu ispod grafa funkcije f izmeĎu a i b kao

.

Teorem Ako je f neprekidna na [a,b] tada je konačan za svaki

infinitezimal dx>0.

Dokaz Kako je f neprekidna slijedi f je omeĎena odnosno postoji realan

broj r > 0 takav da vrijedi

Jasno da onda za svaki realan Δx vrijedi

Kako je ovo istina za bilo koji realan broj Δx to je istina i za sve

hiperrealne dx:

Dakle, je konačan za svaki infinitezimal dx>0. ■

Teorem Ako je f neprekidna na [a,b] tada ima isti standardni

dio za svaki infinitezimal dx > 0.

Dokaz Za danu funkciju f svaki Δx definira novu funkciju. Ova nova

funkcija je upravo ona koja definira vrhove pravokutnika baze Δx kojima

smo aproksimirali površinu ispod grafa funkcije f izmeĎu a i b.

Označimo ovu novu funkciju sa fΔx.. Slijedi

.

Nadalje, za dva realna broja Δx1 i Δx2 imat ćemo dvije različite

pravokutne aproksimacije.

i dvije različite stepenaste funkcije fΔx1 i fΔx2.

Za dane Δx1 i Δx2 neka diff(Δx1, Δx2) označava maksimalnu razliku

izmeĎu njih, odnosno maksimalnu vrijednost od

.

Kako

označava osjenčani dio izmeĎu dviju stepenastih funkcija, to vrijedi

,

dakle,

,

Budući da ovo vrijedi za realne Δx1, Δx2 to vrijedi i za hiperrealne

dx1 i dx2:

.

Nadalje uočimo da postoje hiperrealni brojevi c i d takvi da je c ≈ d

.

Neka je e = c.

Tada kako je f neprekidna na [a,b], f(e)≈ f(c) i f(e)≈ f(d) dakle f(c)≈ f(d)

odnosno je infinitezimalan.

Dakle,

je infinitezimalan, stoga

Kako su dx1 i dx2 bili proizvoljni pozitivni infinitezimali dokaz je gotov.■

Zadatak Izračunajte

Uzmimo

. Tada

Kako je ovo istina u to vrijedi i u , odnosno

Stoga,

Zadatak Izračunajte

Uzmimo

. Tada

Kako je ovo istina u to vrijedi i u , odnosno

Stoga,

Zadatak Izračunajte

Pogledajmo prvo površinu osjenčanog dijela. Ona iznosi

Uzimajući

dobivamo

.

Pogledajmo pravokutnik osnovice 4 i visine

Dobivamo

Zadatak Dokažite

gdje je

Primjer Neka je

Pokažimo da

ne postoji.

Ako je racionalan tada je svaki racionalan te

Ako je iracionalan tada je svaki iracionalan te

Stoga ako je dx racionalan infinitezimal tada

a ako je dx iracionalan infinitezimal tada je

budući je

Kako

zavisi o dx funkcija f nije integrabilna na [0,1].

Zadatak NaĎite površinu područja omeĎenog grafom funkcije

i osi x.

Uzmimo

. Tada

Kako je ovo istina u to vrijedi i u , odnosno

Stoga,

Primjer Neka je

f je prekidna u 2 budući je za svaki

infinitezimal . S druge strane,

Ako vrijedi tada je

Ako je tada

Ili ako je tada

U oba slučaja

Stoga, ako je dx infinitezimalan

pa je

S obzirom da je

uvijek konstantan za različite dx slijedi da je f integrabilna funkcija.

Zadatak Dokažite da za sve neprekidne funkcije f i g te vrijedi

Za svaki vrijedi

i

Zbrojimo ih i dobivamo

Kako ovo vrijedi za sve realne to vrijedi i za hiperrealne dx:

Odnosno

Definicija Ako je f integrabilna na [a,b], gdje je b < a definiramo

Teorem Ako je f neprekidna na [d,e] te a, b, c , tada vrijedi

Dokaz Postoji šest slučajeva za razmotriti:

(1) a ≤ c ≤ b

(2) a ≤ b ≤ c

(3) b ≤ a ≤ c

(4) b ≤ c ≤ a

(5) c ≤ b ≤ a

(6) c ≤ a ≤ b

Kako je f neprekidna možemo odabrati bilo koji dx. Odaberimo

gdje je N beskonačan prirodan broj. Naime ako je n konačan i

odmah vidimo

Dakle,

odnosno

. ■

Zadatak Razmotrite ostale slučajeve prethodnog teorema.

Za slučaj (2) a ≤ b ≤ c vrijedi

Stoga,

pa dobivamo

Definicija Neka je g neprekidna funkcija. Kažemo da je funkcija H

primitivna funkcija od g ako vrijedi

Teorem Neka je proizvoljan i g neprekidna funkcija. Tada vrijedi:

H je primitivna funkcija od g ako i samo ako je

, za

neku konstantu k.

Dokaz Neka je

. G je primitivna funkcija od g. Ako je

H bilo koja funkcija za koju vrijedi za neki k, tada za

bilo koje a i b vrijedi

Dakle, H je primitivna.

Obratno, ako je H primitivna funkcija od g tada

Prema tome .

Ako uzmemo dobivamo . ■

Primjer Uzmimo konstantnu funkciju .

Kako je

slijedi je primitivna funkcija od f.

Primjer

Izračunajmo

Odaberimo

Pa za

odnosno

Dakle

je primitivna funkcija od f.

Zadatak Odredite primitivnu funkciju od .

Izračunajmo

Odaberimo

Pa za

odnosno

Dakle

je primitivna funkcija od f.

Zadatak Odredite primitivnu funkciju od .

Izračunajmo

Odaberimo

Pa za

odnosno

Dakle

je primitivna funkcija od f.

Zadatak Odredite primitivnu funkciju od .

Kako je

dobivamo

Dakle

je primitivna funkcija od f.