Integrales racionales (Mtodo de Hermite)El mtodo deHermitees
tambin para integrales en la forma de fraccin:
donde el grado de p(x) es inferior al grado de q(x). Suele
utilizarse cuando el grado de multiplicidad de los factores es
alto, sobre todo el de los factores complejos, lo que en el caso
del mtodo general nos obliga a realizar integrales extremadamente
largas. Al igual queenel mtodo general, en elmtodo de Hermitese
comienza por descomponer en factores irreducibles el
polinomioq(x):
Entonces segn lafrmula de Hermitese tiene:
dondees el polinomio formado por los mismos factores queq(x)pero
elevados todos aun grado menos, es decir:
mientras quees un polinomio con coeficientes indeterminados y de
grado inferior en 1 al grado de. (Observe que en el mtodo de
Hermite, los factores dentro de las integrales siempre vienen
elevados a 1, lo cual facilita mucho la integracin. Lo que se
convierte en ms laborioso es el clculo de todos los coeficientes
indeterminados)Ejemplo 17: Hallemos por el mtodo de Hermite la
integral:
Solucin: El denominadorq(x) ya aparece descompuesto en
factores:
ahora restando 1 al exponente de cada factor hallamos:
(x- 2) elevado a 0 equivale a launidad, por tanto,es un
polinomio de grado 3, lo que significa queha de ser un polinomio de
grado 2 (inferior en 1 al grado de, como se ha dicho):
De esta manera la frmula de Hermite para esta integral es:
y ahora slo nos queda determinar los coeficientes indeterminados
A, B, C, D y E. Para ello sederivan ambos miembros, teniendo en
cuenta que la derivada de una integral es la funcin integrando:
A continuacin ponemos el denominador comn en el miembro de la
derecha, ese denominador debe coincidirsiemprecon el del miembro de
la izquierda. Estos denominadores se cancelan:
En esta expresin podemos ir dando distintos valores ax, por
ejemplo, six=2obtenemos inmediatamenteE = 7.Sucesivamente
consideramos los valoresx=0, x=1, x=-1, x=3, nos resultan las
ecuaciones:
que junto aE=7, forman un sistema cuya solucin es:A = 7,B =
-21/2,C = 31/6,D = 7,E = 7.Por lo tanto la integral buscada es:
Ejemplo 18: Hallemos por el mtodo de Hermite la integral:
Solucin: El denominadorq(x) ya aparece descompuesto en factores
(observe que el segundo factor es complejo), por tanto restando 1 a
cada exponente obtenemos:
es un polinomio de grado 2,y la integral puede ser expresada
as:
Ahora derivamos ambos miembros:
A continuacin, pondramos denominador comn en el miembro de la
derecha, obtendramos un sistema con los coeficientes, etc., etc. Se
puede comprobar que estos coeficientes tienen los valores:A = -1/4,
B = 0, C = 1/4, M = -1/4, N = -3/4.Por lo tanto,
la primera integral del miembro de la derecha es ln |x|,
mientras que la segunda la hacemos abajo:
y en la ltima integral hacemosx+1= t, y segn latabla de
integrales, comprobamos que se trata del arctgx. En definitiva:
Ejercicios para el alumno: El alumno deber comprobar los
resultados de las dos integrales siguientes:
Ejercicios Resueltos
Resolviendo el Sistema
Solucin de la Integral Por Fracciones Parciales
Entonces
Resolviendo elSistemaMetodo de Sustitucion
Autor:Cliffor Jerry Herrera Castrillo
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