Matemática II Ingeniería Civil HUMBERTO GALVEZ Junio – 2015. 1
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Matemática II Ingeniería Civil
HUMBERTO GALVEZJunio – 2015.
Definición: Una función G es una antiderivada de f en
un intervalo I si G'(x) = f(x) para toda x en I.
Ejemplos: Determine las anti derivadas de las
siguientes funciones
ANTIDERIVADAS
Msc. Yober Oblitas Díaz
23)() xxfa 3)() xfb
xxfc 2cos)() xexfd 23)()
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la
antiderivada más general de f en I es:
F (x)+ C
donde C es una constante arbitraria.
TEOREMA
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Definición: El conjunto de todas las antiderivadas se denomina: la Integral Indefinida de f respecto a x, denotada por:
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Msc. Yober Oblitas Díaz
CxFdxxf )()(
Diferencial de x
Símbolo de Integral
Función integrando
Una antiderivada de f
Constante de integración
Ejemplos: Determine las integrales indefinidas de las siguientes funciones.
PROPIEDADES
dxxgxfa )]()([)
ctekdxxfkdxxfkb ,)()(.)
IxcxGdxxfc ,)()()
dxxsenxa )52() 2
dxe
xxb x3
121
)
dxexc x )823cos3() 2
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Sea u = u(x) una función integrable, entonces:
FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
cxdx)1
1,1
)21
ncnx
dxxn
n
cea
dxe axax 1)4
caxa
dxaxsen )cos(1
)()5
caxsena
dxax )(1
)cos()6
caxLna
dxaxtg )(sec1
)()7
caxtga
dxax )(1
)(sec)8 2
cuLnudu
)()9
ca
uArctg
aua
du 1)10
22
cau
auLnaau
du
2
1)3
22
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A. Integración por Sustitución o Cambio de Variable.
Si u = g(x) es una función diferenciable entonces.
Ejemplos : Determine las siguientes integrales
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
duufdxxgxgf )()()]([
dxxxxLn
2
2
1)1(3
)4
dxesene xx )24()3
dxxx
x14
1)1 4
3
1)2
2x
xdx
dxxe
senxex
x
cos)5
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B. INTEGRACIÓN POR PARTES Consideremos u = u(x) y v = v(x) dos funciones diferenciables en la variable
x entonces su producto también es diferenciable. Es decir:
A la expresión (*) se denomina formula de integración por partes
(*)
)(
)(
)(
vduuvudv
vduuvdudv
vduuvdudv
vduudvuvd
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Determine las siguientes integrales indefinidas
Ejemplos
xdxx 3cos)1
xarctgxdx)5
xdxarccos)4
xdxsene x 4)6 3
dxexx x)173()2 2
xdxLnx 23)3
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C) INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
A) Integrales del tipo: donde
CASOI: “m” o “n” es impar y positivo
Si m es impar, separe un factor de senx. Luego reemplace cualquier factor de sen²x por 1- cos²x y haga la sustitución u = cosx.
Si n es impar, separe un factor de cosx. Luego reemplace cualquier factor de cos²x por 1- sen²x y haga la sustitución u = senx.
EJEMPLOS: Calcular las siguientes integrales
xdxxsen nm cos. Znm ,
xdxxsena 54 cos. ) xdxsenxb 3.cos )
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Caso II: m y n son pares y positivos o nulos. En este caso puede utilizar
las identidades.
Con el fin de reducir las potencias en el integrando.
Ejemplos: Calcular
2
2cos12 AAsen
2
2cos1cos2 A
A
dxxsena 4 )(
xdxsenxb 24 .cos)(
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B) Integrales del tipo: donde
CASO I: Si m impar y positivo. Separa un factor de secx.tgx. Luego reemplace cualquier factor de tg²x por sec²x - 1 y haga la sustitución u = secx.
Ejemplo: Calcular
CASO II: Si n es par, separe un factor de sec²x. Luego reemplace cualquier sec²x por 1+ tg²x y haga la sustitución u = tgx.
Ejemplo: Calcular
xdxxtg nm sec. Znm ,
xdxxtg 35 sec.
xdxxtg 46 sec.
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C) Integrales del Tipo: donde
Estas integrales se tratan de forma similar a las del tipo anterior.
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Caso I: Integrando que contiene un término de la forma:
hacer :
Ejemplos: Calcular
xdxxctg nm csc. Znm ,
0 ,22 aua
2,
2 ,
asenu
dx
x
xa
29
1 ) 2425
)xx
dxb
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Caso II: Integrando que contiene un término de la forma:
Hacer :
Ejemplos: Calcular
Caso III: Integrando que contiene un término de la forma:
Hacer:
Ejemplos: Calcular
0 ,22 aua
2,
2 ,
atgu
dx
xx
xa
22
23 )
2 2/52
2
)49( )
x
dxxb
0 ,22 aau
2
3,
2,0 ,sec
au
x
dxxa
36 )
2
2/32 )9( )
xx
dxb
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Caso I: Todos los factores del Q(x) son lineales y ninguno se repite.
Entonces:
Donde Ai son constantes reales por determinar.
Ejemplos: Calcular
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES EMPLEANDO FRACCIONES PARCIALES
)())(()( 2211 nn bxabxabxaxQ
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP
22
2
11
1
)(
)(
dxxxx
xa
6
1 )
23
dxxxx
xb
)2)(1(
24 )
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Caso II: Todos los factores del Q(x) son lineales y algunos se repiten.
Entonces:
Donde Ci son constantes a determinar
Ejemplos: Calcular
nbaxxQ )()(
nn
bax
C
bax
C
bax
C
xQ
xP
)()()(
)(2
21
dx
xx
xxa
2
2
)1(
354 )
dyyyy
yyb
44
8112 )
23
2
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Caso III: Todos los factores del Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno se repiten.
Al factor cuadrático del denominador le corresponde la fracción parcial de la forma :
Ejemplos: Calcular
Caso III: Todos los factores del Q(x) son cuadráticos y algunos se repiten. Si la fracción es:
cbxax 2
cbxax
nmx
2
dx
xx
xxa
3
2 252 )
dx
xx
xxxb
23
2 )
24
23
nn
n cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
)()()(
)(2
222
222
112
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DEFINICION:
Si f es continua en [a,b] y G(x) es una antiderivada de f. Entonces
Ejemplos:
1) Calcula
2) Si la velocidad de un paracaidista esta dado por
Para los primeros 5 segundos de un salto, calcule la distancia recorrida.
b
a
aGbGdxxf )()()(
e
1
Lnxdx
smetv t /)1(30)(
LA INTEGRAL DEFINIDA
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Cuando f y g son integrables, la integral definida satisface las siguientes reglas.
1) Orden de integración:
2) Intervalo de ancho cero:
3) Múltiplo constante:
4) Suma y Diferencia:
5) Aditividad:
PROPIEDADES
b
a
,)()(a
b
badxxfdxxf
a
a
dxxf 0)(
b
a
b
a
ctekdxxfkdxxkf )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
b
a
c
a
c
b
dxxfdxxfdxxf )()()(
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SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (TFC)
Si f es continua en [a,b] y F(x) es una antiderivada de f. Entonces
Ejemplos:
1) Calcula
2) Si la velocidad de un paracaidista esta dado por
Para los primeros 5 segundos de un salto, calcule la distancia recorrida.
b
a
aFbFdxxf )()()(
e
1
Lnxdx
smetv t /)1(30)(
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ÁREA DE REGIONES PLANAS
CASO I: Consideremos una función continua en el intervalo [a,b] y además . El área de la región R limitada por la curva el eje X y las rectas verticales x = a y x = b esta dado por la expresión:
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
)(xfy ],[ ,0)( baxxf
)(xfy
b
a
dxxfRA )()(
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Ejemplos:
1) Calculemos el área de la región R limitada por las graficas de:
2) Calculemos el área de la región R limitada por las graficas de:
.0 ,5 ,0 ,9
61
2
xxyxx
y
. ,0 , exyLnxy
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CASO II: Consideremos dos funciones continuas en el intervalo [a,b] tal que . El área de la región R limitada por las curvas y las rectas verticales x = a y x = b esta dado por la expresión:
gf ,],[ ),()( baxxgxf
)( ),( xgyxfy
b
a
dxxgxfRA )]()([)(
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Ejemplos:
1) Determina el área de la región R limitada por las graficas de las ecuaciones:
2) Calcular el área de la región R señalada en la figura adjunta.
3) Calcular el área de la región R limitada por las graficas de las ecuaciones:
02 ,06 22 yxxyxx
2 ,2 xyxy
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