INTEGRAL PERMUKAAN

INTEGRAL PERMUKAAN

INTEGRAL LUAS Diberikan permukaan S

dalam ruang, untuk S yang terbuka (bermuka dua), vektor tegak lurus S memiliki dua arah, arah positif dan negatif

Sebuah vektor satuan n disebarang titik dari S disebut satuan normal positif jika arahnya keatas dalam kasus ini.

DS1

n

Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat dibayangkan adanya sebuah vektor permukaan dS yang besarnya sama dengan dS dan arahnya sama dengan n (normal) sehingga vektor permukaan dS adalah :

dS = n dS

DS1

n

Sehingga integral permukaan (fluks) akibat sebuah skalar fungsi (medan vektor Q) pada sebuah permukaan S adalah :

SS

dSnQdQ .S.

Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat dua dari proyeksinya.

y

x

z

D S

D D1

D D3

D D2

k n

k n D maka

xy)bidang pada (Proyeksi k n kS D

xz)bidang pada (Proyeksi j n jS D

yz) bidang pada (Proyeksi i n iS D: dimana

)kD( )jD( )iD( S:koordinat bidang dalamkan diproyeksidapat S

n S

3

3

2

1

321

D

D

DDD

DDD

DDD

DDDDD

DD

dydxS

S

S

S

S

Misalkan Sampel mempunyai proyeksi R pada bidang xy, xz dan yz maka integral permukaan :

RS

RS

RS

indydznQdSnQ

jndxdznQdSnQ

kndxdynQdSnQ

y

x

z

D S

D D1

D D3

D D2

Untuk permukaan f(x,y,z)=C, maka f merupakan vektor tegak lurus permukaan f(x,y,z)=C

ffn

kzfj

yfi

xffk

zj

yix

f

Contoh

Hitunglah integral permukaan dengan Q = xy i - x2 j + (x+z) k dan S adalah bagian bidang 2x + 2y + z = 6 yang terletak dikuadran pertama

y

x

z

6

3

3

n

dS

622 zyx

x

y

3

3

0

dxdy

xy 3

RS

SS

kndxdyyxxxydSnQ

dSyxxxydSnQ

PermukaanIntegral

yxxxyzxxxynQ

kjikzxjxixynQ

kjikjin

kjizyx

622231

622231

:

622231)(22

31

)31

32

32())( (

31

32

32

122

2222)622( S

:adalah S pada Normal

2

2

22

2

222

427)62(

6222

316222

31

622231

30

3

0

222

3

0

3

0

2

2

2

dxyyxyyxxy

dydxyxxxy

dxdyyxxxy

kndxdyyxxxydSnA

x

x

y

R

RS

x

y

3

3

0

dxdy

xy 3

INTEGRAL VOLUME

Integral Volume (ruang) akibat sebuah medan(A) pada sebuah permukaan tertutup didalam ruang yang menutupi sebuah volume V adalah :

dxdy dz RV

AdVA

DzDx

Dy

x

y

z

Contoh

Diberikan A = 45 x2y dan V merupakan volume ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang 4x + 2y + z = 8, x=0 y=0 z=0 hitunglah integral volumenya

y

x

z

8

2

4

dxyxyxx

dydxyxyxx

dydxyxyx

dydxyzx

dzdydxyx

dzdydxyxdVA

x

x

x

x

y

x

x

y

yx

x

x

y

x

x

y

yx

z

VV

24

0

2

0

3222

2

0

24

0

222

2

0

24

0

2

2480

22

0

24

0

22

0

24

0

248

0

2

)32)2(2( 45

)2)48(( 45

)248( 45

45

45

45

y

x

z

8

2

4

128)24(3145

))24(32)24)(2(2( 45

)32)2(2( 45

2

0

32

2

0

3222

24

0

2

0

3222

dxxx

dxxxxxx

dxyxyxxdVA

x

x

xV