Integral Lipat Tiga

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

[MA1124] KALKULUS II

Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga pada BalokIntegral Lipat Tiga pada Balok

z

∆∆∆∆xk

∆∆∆∆yk

1. Partisi balok B menjadi n bagian;

B1, B2, …, Bk, …, Bn

Definisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari Bk

2. Ambil

3. Bentuk jumlah Riemann

)z,y,x( kkk

B

Bk ∆∆∆∆zk

kkkk B)z,y,x( ∈

∑ ∆n

V)z,y,x(f

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

2

x

y

4. Jika ||∆||� 0 diperoleh limit jumlah Riemann

Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis

k

n

1kkkk

0V)z,y,x(flim ∆∑

=→∆

∑=

∆1k

kkkk V)z,y,x(f

k

n

1kkkk

0B

V)z,y,x(flimdV)z,y,x(f ∆= ∑∫∫∫=→∆

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

∆vk = ∆xk ∆yk ∆zk �dV = dx dy dz

Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

∫∫∫∫∫∫ =BB

dzdydx)z,y,x(fdV)z,y,x(f


3

ContohContoh

∫∫∫B

dVyzx2Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran

B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2}

Jawab.

∫∫∫ dVyzx2 dzdydxyzx∫ ∫ ∫=2 1 2

2


4

∫∫∫B

dVyzx dzdydxyzx∫ ∫ ∫=1 0 1

dzdyxyz∫ ∫

=2

1

1

0

2

1

3

3

1

dzyz∫

=2

1

1

0

2

2

1

3

7

2

1

2

2

1

6

7

= z4

7=

Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangSembarang

� Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

z

B

∫∫∫S

2 dVyzxHitung , Jika S benda padat sembarang


5

x

y

z

S

(gb. 1)

Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)Sembarang (2)

� Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ1(x,y) dan z=ψ2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

z

S

z=ψ2(x,y)

z=ψ1(x,y)


6

� Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S

∫ ∫ ∫∫∫∫ =b

a

x

x

yx

yxS

dxdydzzyxfdVzyxf

)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

),,(),,(φ

φ

ψ

ψ

∫∫∫S

dVzyxf ),,(x

y

Sxyb

a

y=φ2(x)y=φ1(x)

(gb. 2)

ContohContoh

∫∫∫S

dVzyxf ),,(Hitung dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda

padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 danbidang-bidang z = 0, y=x, y=0

y=0

y=xz=2–½ x2z Jawab.

Dari gambar terlihat bahwa


7

y=0

x

ySxy

Sxy = proyeksi S pada XOY(segitiga)

Dari gambar terlihat bahwa

S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x0≤z≤ 2 – ½x2}

2

0 Sehingga,

∫∫∫S

dVxyz2 ∫ ∫ ∫−

=2

0 0

2

12

0

2

2x

x

dxdydzxyz

∫ ∫−

=2

0 0

2

12

0

22xx

dxdyzxy

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

∫ ∫

−=2

0 0

2

2

2

12

x

dxdyxxy

∫

+−=2

0 0

242

2

1

4

124 dxyxxx

x

∫

+−=2

753

8

12 dxxxx


8

∫

+−=0

82 dxxxx

2

0

864

64

1

6

1

2

1xxx +−=

3

44

3

328 =+−=

LatihanLatihan

∫∫∫S

dVz1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang

dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabungx2 + z2 = 1.

2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan


9

tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.c. x2 = y, z2 =y, y = 1.d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.

∫ ∫ ∫π

++2/

0

z

0

y

0

dxdydz)zyxsin(4. Hitung

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)dan Bola)

θθθθ r

z

P(r,θθθθ,z)

x

y

z

θθθθ r

z

P(ρρρρ,θθθθ,φφφφ)

x

y

z

φφφφρρρρ

Syarat & hubungan dg KartesiusSyarat & hubungan dg Kartesius

Koordinat Tabung Koordinat Bola


10

Syarat & hubungan dg Kartesiusr ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 π

x = r cos θy = r sin θz = zr2 = x2 + y2

Syarat & hubungan dg Kartesius

ρ ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 π, 0 ≤≤≤≤ φ ≤≤≤≤ πx = r cos θr = ρ sin φy = r sin θr = ρ sin φz = ρ cos φx2 + y2 + z2 = ρ2

} x = ρ cos θ sin φ

} y = ρ sin θ sin φ

Jika D benda pejal punya sumbu simetri �� Koordinat TabungJika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik �� Koordinat Bola

ContohContoh

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4

z

4

D dalam koordinat:

a. Cartesius:

Jawab.


11

x

yrθθθθ2

2

a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4}

24 x−

b. Tabung:

D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π/2, 0≤z≤4}

0

x2+y2=4

ContohContoh

2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.

z

2

D dalam koordinat:

a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 24 x−

Jawab.

2

ρρρρ

224 yxz −−=


12

x

yrθθθθ2

2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ }

24 x−

b. Bola

D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2, 0≤θ ≤ π/2}

ρρρρ

224 yx −−0

Penggantian Peubah dalam Integral Penggantian Peubah dalam Integral Lipat TigaLipat Tiga

Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)

maka:

dimana

∫∫∫∫∫∫ =DD

dwdvdu)w,v,u(J))w,v,u(p),w,v,u(n),w,v,u(m(fdzdydx)z,y,x(f

xxx ∂∂∂


13

dimana

wz

vz

uz

wy

vy

uy

wx

vx

ux

)w,v,u(J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Jacobian

Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius ��TabungTabung

x = r cos θy = r sin θz = z

Matriks Jacobiannya:

xxx ∂∂∂


14

rsinrcosr

100

0cosrsin

0sinrcos

zzz

rz

zyy

ry

zxx

rx

)w,v,u(J 22 =θ+θ=θθθ−θ

=

∂∂

θ∂∂

∂∂

∂∂

θ∂∂

∂∂

∂∂

θ∂∂

∂∂

=

∫∫∫∫∫∫ θθθ=DD

dzddrr)z,sinr,cosr(fdzdydx)z,y,x(f

Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius ��BolaBola

x = ρ cos θ sin φy = ρ sin θ sin φz = ρ cos φMatriks Jacobiannya:

∂∂∂ xxx


15

φρφ

θφρθφρθφθφρθφρθφ

φθρ

φθρ

φθρsin

10cos

sincoscossinsinsin

coscossinsincossin

),,( 2−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

zzz

yyy

xxx

wvuJ

∫∫∫∫∫∫ φθρφρφρθφρθφρ=D

2

D

dddsin)cos,sinsin,cossin(fdzdydx)z,y,x(f

Contoh (Tabung)Contoh (Tabung)

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloidz = x2 + y2 dan z = 4.

Z

z = 4

Jawab.

Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah:

S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , 24 x−24 x−−


16

x

y S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , x2 + y2 ≤ z ≤ 4}

24 x−24 x−−

Dalam koordinat tabung:

S={(r,θ,z)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π , r2 ≤ z ≤ 4}

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

∫ ∫ ∫=2

0

2

0

4

2

π

θr

drddzr∫∫∫=S

dVV 1

Sxy

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

∫ ∫ ∫=2

0

2

0

4

2

π

θr

drddzrV

∫ ∫=2

0

2

0

4

2

π

θ drdzrr

( )∫ −=2

2

0

24 drrrπθ


17

( )∫0

0

0

242

4

122

−= rrπ π8=

Jadi volume benda pejalnya adalah 8π

Contoh (bola)Contoh (bola)

2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I

z

2

2

ρρρρ

224 yxz −−= D dalam koordinat:

a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 24 x−

Jawab.


18

x

yθθθθ2

2ρρρρ

0D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,

0≤z≤ }

24 x−

b. Bola:

D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2, 0≤θ ≤ π/2}

224 yx −−

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

∫ ∫ ∫=2/

0

2/

0

2

0

2 sinπ π

θφρφρ ddd∫∫∫=S

dVV 1

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

∫ ∫ ∫=2/

0

2/

0

2

0

2 sinπ π

θφρφρ dddV

∫ ∫

=2/

0

2/

0

2

0

3

3

1sin

π π

θρφ drd

( )∫ −=2/ 2/

cos3

8π π

θφ d


19

( )∫ −=0 0

cos3

θφ d

( ) 2/

03

8 πθ= π3

4=

Jadi volume benda pejalnya adalah 4π/3

ContohContoh

∫∫∫D

2 dVx1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi

z =9 – x2 – y2 dan bidang xy.

2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi

bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4.

3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh


20

3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z.

4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid

z = x2 + y2 dan bidang z =4.

5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola

x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secaramenyamping oleh tabung x2+y2=4.

LatihanLatihan

6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola

x2+ y2+ z2 = 9, di luar kerucut 22 yxz +=

dan di atas bidang xy.

( )∫ ∫ ∫− −−

++3 9 9

2/3222

2 22x yx

dxdzdyzyx7. Hitung


21

∫ ∫ ∫− −− −−−3 9 92 22x yx

∫ ∫ ∫−

+3

0

9

0

2

0

22

2x

dxdydzyx8. Hitung

∫ ∫ ∫− −−

−−2

0

4

0

4

0

22

2 22

4x yx

dxdzdyyxz9. Hitung

Integral Lipat Tiga

Documents