16.1 Integral Lipat-Dua Atas Persegi Panjang Integral Riemann
untuk fungsi satu peubah telah diperkenalkan pada kalkulus 1. Ingat
bahwa kita membentuk suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi
selang yang bagian panjangnya xk, dimana k = 1,2,3,,n, mengambil
sebuah titik contoh berikut:k
dari selang bagian ke-k, dan kemudian untuk penulisannya
sebagai
Dari penjelasan diatas, kita akan memperoleh cara yang sama
untuk mendefinisikan integral untuk fungsi dua peubah. Tetapkan R
merupakan suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar
sumbu-sumbu koordinat, yakni ambil:
Bentuk suatu partisi dari P dari R dengan memakai sarana berupa
garis-garis sejajar sumbu x dan y (seperti gambar1). Ini membagi R
menjadi beberapa persegi panjang kecil, semuanya n-buah, yang kita
tunjukkan dengan Rk, dengan k =1,2,3, ,n. Tetapkan xk dan yk adalah
panjang sisi Rk dan Ak = xkyk adalah luasnya. Pada Rk, ambil sebuah
titik yaitu ( ) dan bentuk penjumlahan Riemann, yaitu:
Gambar 1, gambar 2, gambar 3
yang berpadanan ( jika f(x,y) 0) dengan jumlah volume dari
n-kotak ( gambar 2 dan gambar 3). Dengan membuat partisi semakin
lama semakin halus dengan cara
sedemikian sehingga semua Rk menjadi lebih kecil, akan menuju ke
konsep yang kita inginkan. Kita siap untuk sebuah definisi formal.
Dengan menggunakan cara penulisan yang diperkenalkan diatas, dengan
ketentuan tambahan bahwa norma dari partisi P yang dinyatakan oleh
adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap
persegi panjang bagian dalam partisi. Definisi (Integral Lipat
Dua). Andaikan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada
suatu persegi panjang tertutup R. Jika : .
ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut
yang disebut integral lipat dua f pada R, diberikan oleh : ,
Ingat bahwa jika f (x,y) 0, maka kurva y =
menyatakan luas daerah dibawah
antara a dan b. Dalam cara yang serupa, jika f (x,y) 0 maka
menyatakan volume benda pejal dibawah permukaan z = f (x,y) dan
diatas persegi panjang R (gambar 4). Nyatakan integral ini
sebagai definisi volume benda pejal.Gambar 4
PERTANYAAN KEUJUDAN:
Apakah semua fungsi dua peubah dapat diintegralkan pada suatu
persegi panjang R yang diberikan??? Jawabannya adalah Tidak semua
fungsi dua peubah dapat diintegralkan pada suatu persegi panjang R
yang diberikan. Alasannya sama seperti kasus pada integral satu
peubah, dimana f terbatas pada [a,b]. Fungsi-fungsi yang dapat
terintegralkan pada setiap selang tertutup [a,b] yaitu:1. Fungsi
polinomial
2. Fungsi sinus dan kosinus3. Fungsi rasional, asalkan selang
[a,b] tidak mengandung titik-
titik yang mengakibatkan penyebut 0. Berikut ini merupakan
contoh suatu fungsi yang tidak dapat diintegralkan:
Penyelesaian: tidak akan dapat diintegralkan pada sebarang
persegi panjang yang memotong parabola y = x2 Teorema A (Teorema
keterintegralan). Jika f terbatas pada suatu persegi panjang
tertutup R dan jika f kontinu disana, kecuali pada sejumlah
terhingga kurva mulus, maka f dapat terintegralkan pada R. dalam
hal khusus, jika f kontinu pada selang R, maka f dapat
diintegralkan disana.
Sebagai akibatnya, hampir semua fungsi biasa (asalkan mereka
terbatas) dapat diintegralkan pada setiap persegi panjang.
Misalnya,
Buktinya:
adalah dapat diintegralkan pada setiap persegi panjang. Fungsi
tangga dari gambar 5 dapat diintegralkan pada R karena
ketakkontinuannya terjadi sepanjang dua ruas garis.Gambar 5 Gambar
6
SIFAT SIFAT INTEGRAL LIPAT DUA Integral lipat dua hampir
mewarisi semua sifat-sifat tunggal. 1. Integral lipat dua adalah
linear, yaitu: (a) Bukti :
(b) Bukti :
2. Integral lipat dua adalah aditif pada persegi panjang (gambar
6) yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis.
Bukti:3. Sifat pembanding berlaku. Jika f(x,y) g(x,y) untuk
semua (x,y) di R maka:
Bukti : Diketahui f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R dan untuk
tiap-tiap k anggaplahk
sebagai titik contoh pada selang bagian ke-k di R. Kita
dapat
menyimpulkan secara berurutan bahwa:
Semua sifat-sifat ini berlaku pada himpunan-himpunan yang lebih
umum daripada persegi panjang. Tetapi ia merupakan bahan yang akan
kita tinjau di integral lipat dua atas daerah bukan persegi
panjang. PERHITUNGAN INTEGRAL LIPAT DUA Topik ini akan mendapat
perhatian utama dalam materi mengenai integral lipat dua
berikutnya, dimana kita akan mengembangkan suatu cara yang ampuh
untuk perhitungan integral lipat dua. Tetapi kita telah sanggup
menghitung beberapa integral dan kita dapat mengaproksimasi yang
lainnya. Pertama-tama perhatikan bahwa jika f(x,y) = 1 pada R, maka
integral lipat dua merupakan luas R, sehingga:
Contoh 1. Andaikan f berupa fungsi dengan nilai f(x,y) yaitu
sebagai berikut:
Hitunglah Penyelesaian:
dengan R = {(x,y) : 1 x 4, 0 y 2}.
Dari suatu fungsi diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persegi
panjang R1, R2, dan R3 sebagai berikut: R1 = {(x,y) : 1 x 3, 0 y 1}
R2 = {(x,y) : 1 x 3, 1 y 2} R3 = {(x,y) : 3 x 4, 0 y 2} Kemudian
dengan menggunakan sifat penjumlahan dari integral lipat dua, kita
peroleh :
= 2 A(R1) + 1 A(R2) + 3 A(R3) =2x2+1x2+3x2 =4+2+6 = 12 Contoh 2
: R = {(x,y) : 0 x 4, 0 y 2}