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INSTITUCIÓN EDUCATIVA STELLA VÉLEZ LONDOÑO (ANTES INSTITUCIÓN
EDUCATIVA SAÚL LONDOÑO LONDOÑO)
(RESOLUCIÓN 07027 AGOSTO 12 DE 2009)
Calle 48DD Nº 99D – 118, TELEFONO: 492 27 68 - 492 75 13
Calle 48 DD Nº 99 F 99, Teléfono 4927192
Asignatura: Matemáticas Periodo: 2
Temática: Funciones trigonométricas Semana 1 y 2
Actividad #: 1- Signos de las funciones trigonométricas
Total horas: 8
Indicador (es) de desempeño:
Representa gráficamente las funciones trigonométricas y
determina el dominio, rango, gráfica, período, desfasamiento y
amplitud de cada una de ellas.
Desarrollo temático: Las funciones trigonométricas ya vistas en
el primer periodo (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante) tiene comportamientos propios de una función, por lo
tanto, los podemos representar gráficamente. Sin embargo antes de
realizar este análisis gráfico es necesario mirar el comportamiento
del signo en cada uno de los cuadrantes del plano cartesiano para
que así, al momento de graficar se tenga un mayor manejo de sus
componentes gráficos. Para realizar este análisis de sus signos
planteemos el siguiente plano cartesiano:
Identifiquemos el 1er cuadrante en la esquina superior derecha,
el 2do cuadrante en la esquina superior izquierda, el 3er cuadrante
en la esquina inferior izquierda y el 4to cuadrante en la esquina
inferior derecha. También podemos concluir que:
- Para el 1er cuadrante X y Y son positivos
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- Para el 2do cuadrante X es negativo y Y es positivo - Para el
3er cuadrante tanto X como Y son negativos - Para el 4to cuadrante
X es positivo pero Y es negativo
ANÁLISIS PRIMER CUADRANTE Ahora generemos un punto en la
circunferencia unitaria que se encuentre en el primer cuadrante
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Ahora formemos un triángulo rectángulo
Si sabemos que en la circunferencia unitaria las razones
trigonométricas son: Sen(X) = Cateto opuesto Cos(X) = Cateto
adyacente Tan(X) = Cateto opuesto/Cateto adyacente Manejaremos “X”
como ángulo de referencia por facilidad. Deduzcamos cómo se
comportan seno, coseno y tangente en el primer cuadrante
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- Para seno observamos que su razón trigonométrica es cateto
opuesto, por lo que el
cateto opuesto está ubicado en el eje positivo Y. Por lo tanto,
seno en el 1er cuadrante es positivo
- Para coseno observamos que su razón trigonométrica es cateto
adyacente y éste está ubicado en el eje positivo horizontal, por lo
tanto, coseno en el 1er cuadrante es positivo
- Para tangente observamos que su razón trigonométrica es
opuesto/adyacente y vemos que cada uno de ellos son positivos, por
lo tanto (+) / (+) y esto da positivo. Por lo tanto tangente para
el 1er cuadrante es positivo
ANÁLISIS SEGUNDO CUADRANTE Realizando el mismo procedimiento del
análisis del primer cuadrante, ahora generamos un triángulo
rectángulo en el segundo cuadrante
Deduzcamos cómo se comportan seno, coseno y tangente en el
segundo cuadrante
- Para seno observamos que su razón trigonométrica es cateto
opuesto, por lo que el cateto opuesto está ubicado en el eje
positivo Y. Por lo tanto, seno en el 2do cuadrante es positivo
- Para coseno observamos que su razón trigonométrica es cateto
adyacente y éste está ubicado en el eje negativo X, por lo tanto,
coseno en el 2do cuadrante es negativo
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- Para tangente observamos que su razón trigonométrica es
opuesto/adyacente y vemos que seno es positivo pero coseno es
negativo, por lo tanto (+) / (-) y esto da negativo. Por lo tanto,
tangente para el 2do cuadrante es positivo
Vea el video del siguiente link como apoyo a las temáticas
vistas y además, apoyese en él para realizar la actividad de
aplicación https://www.youtube.com/watch?v=LdBi_u2V2c8
Actividades de aplicación: 1) Pase al cuaderno toda la teoría
vista 2) De acuerdo a los análisis explicados de las funciones
trigonométricas en el primer y
segundo cuadrante, realice los análisis del tercer y cuarto
cuadrante, con sus respectivas gráficas en el cuaderno.
Estrategia y parámetros de evaluación: - Elaboración de los
análisis - Elaboración de cada una de los planos cartesianos
https://www.youtube.com/watch?v=LdBi_u2V2c8
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Asignatura: Matemáticas Periodo: 2
Temática: Funciones trigonométricas Semana 3
Actividad #: 2 – Gráfica de la función seno Total horas: 4
Indicador (es) de desempeño:
Representa gráficamente las funciones trigonométricas y
determina el dominio, rango, gráfica, período, desfasamiento y
amplitud de cada una de ellas.
Desarrollo temático: Trigonometría, que en términos generales se
define como el estudio de las razones trigonométricas: seno,
coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Se encuentra
presente en los demás campos de la matemática y se aplica en
cualquier situación donde se requiere usar medidas de precisión.
Cuando hablamos de una función, ésta representa una ley de
correspondencia que se da entre una variable independiente hacia la
variable dependiente. De acuerdo a lo anterior una función
trigonométrica describe la relación que existe entre su ángulo con
sus lados, en la que hay una variable independiente θ y una
variable dependiente y. Esta variable dependiente depende del tipo
de función a la que haga referencia, como se mencionó anteriormente
existen 6 funciones trigonométricas, cada una con comportamientos
propios, unos mas distantes que otros. FUNCIÓN SENO La gráfica de
una función seno, se describe como una onda (llamada onda
sinusoidal) en la que el valor máximo en el eje y es 1 y el valor
mínimo es -1 (observe en la gráfica como la onda sube y baja hasta
dichos valores). Es importante mencionar que la onda sinusoidal es
infinita, por lo tanto la onda de la imagen se extiende
infinitamente sobre el eje x (o teta) “el dominio de la función
seno , f (t) = sen (t), es el conjunto de todos los números reales
(-ꝏ, ꝏ ), y que su contradominio es el intervalo [-1,1]. La gráfica
de una función periódica se obtiene con facilidad trazando
repetidamente un ciclo de su gráfica.” (Álgebra, trigonometría y
geometría analítica, pág. 397)
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Figura 1 - Gráfica de la función Seno
Figura 2 - Gráfica seno con 1 ciclo
Para mayor comprensión en su elaboración observe el siguiente
video https://www.youtube.com/watch?v=n-Pivhz2kJk
Actividades de aplicación: - Elabore en una hoja milimetrada la
gráfica seno, en la que en el eje del ángulo (el
horizontal) se exprese tanto en sistema sexagesimal como cíclico
- Una vez realizada la gráfica, describa como sus palabras, que
forma y comportamiento
presenta la función seno. Este análisis preséntelo en el adverso
de la hora milimetrada
Estrategia y parámetros de evaluación: - Precisión de la gráfica
- Ángulos correctos - Presentación de ángulos en el sistema cíclico
- Presentación de ángulos en el sistema sexagesimal
https://www.youtube.com/watch?v=n-Pivhz2kJk
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Asignatura: Matemáticas Periodo: 2
Temática: Funciones trigonométricas Semana 4
Actividad #: 3 – Gráfica de la función coseno Total horas: 4
Indicador (es) de desempeño:
Representa gráficamente las funciones trigonométricas y
determina el dominio, rango, gráfica, período, desfasamiento y
amplitud de cada una de ellas.
Desarrollo temático: FUNCIÓN COSENO Cuando hablamos de la
función coseno, debemos tener en cuenta todos los datos de la
función seno, puesto que Coseno presenta las mismas características
de la función anterior y su gráfica es la misma, pero con un
desfase de 90° por lo que en el origen la función no arranca desde
cero, sino desde 1, guardando las mismas proporciones en su
crecimiento y decrecimiento pero siempre en todos los puntos con el
mismo desfase: Figura 1 - Gráfica seno con 1 ciclo
Observemos que “un ciclo” de la función seno (en rojo) se da
entre 0 y 2π. Ahora analicemos la función coseno:
Figura 1 - Gráfica coseno con 1 ciclo
Claramente se evidencia el “un ciclo” de la función coseno (en
rojo) se da entre 0 y 2π, pero a diferencia de seno, no inicia
desde cero, si no que inicia desde 1. A este acontecimiento se
le
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llama un desfase, puesto que seno, llegará a 1, cuando su ángulo
sea π/2. Por lo tanto Seno y coseno serán la misma gráfica pero con
un desfase de π/2 Observe el video del siguiente link y siga
detalladamente la explicación:
https://www.youtube.com/watch?v=YhJ2z1mELy4
Actividades de aplicación: - Elabore en una hoja milimetrada la
gráfica coseno, en la que en el eje del ángulo (el
horizontal) se exprese tanto en sistema sexagesimal como cíclico
- Una vez realizada la gráfica, describa como sus palabras, que
forma y comportamiento
presenta la función coseno. Este análisis preséntelo en el
adverso de la hora milimetrada
Estrategia y parámetros de evaluación: - Precisión de la gráfica
- Ángulos correctos - Presentación de ángulos en el sistema cíclico
- Presentación de ángulos en el sistema sexagesimal
https://www.youtube.com/watch?v=YhJ2z1mELy4
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Temática: Funciones trigonométricas Semana 5 y 6
Actividad #: 4 – Gráfica de la función tangente, cotangente,
secante y cosecante
Total horas: 8
Indicador (es) de desempeño:
Representa gráficamente las funciones trigonométricas y
determina el dominio, rango, gráfica, período, desfasamiento y
amplitud de cada una de ellas.
Desarrollo temático: FUNCIÓN TANGENTE La función tangente a
diferencia de las funciones seno y coseno, presenta un
comportamiento bastante diferente, la función tangente si bien es
infinita a lo largo del eje x, también es infinita en el eje Y,
puesto que la función sigue aumentando su valor cada vez más, a
medida que se acerque a la asíntota (línea puntuada roja) Una
asíntota sin indeterminaciones en la función, lo que genera que
moldea la función y por lo general una función (la línea azul) no
podrá tocarla ni traspasarla, causando ese “moldeo” en la función.
Figura 2 - Gráfica Tangente
Fuente: Álgebra, trigonometría y geometría analítica, pág.
406)
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A continuación visualice el video en el siguiente link:
https://www.youtube.com/watch?v=HTKL-kdOz7Y A continuación observe
el video, donde podrá analizar como graficar todas las funciones:
https://www.youtube.com/watch?v=t9zCHC4zsHY Es importante hablar de
las otras 3 funciones trigonométricas: cotangente, secante y
cosecante. Denominadas como las inversas multiplicativas de seno,
coseno y tangente. Estas tres gráficas representan los valores
inversos (1/f(x)) de las tres funciones seno, coseno y tangente.
Obteniendo los siguientes esquemas: FUNCIÓN COTANGENTE
Una vez conocemos las gráficas de la función cotangente, vea el
siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=yZaa7FUwqr4
https://www.youtube.com/watch?v=HTKL-kdOz7Yhttps://www.youtube.com/watch?v=t9zCHC4zsHYhttps://www.youtube.com/watch?v=yZaa7FUwqr4
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FUNCIÓN SECANTE
Una vez conocemos las gráficas de la función cotangente, vea el
siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=JaScqsumtOM FUNCIÓN
COSECANTE
https://www.youtube.com/watch?v=JaScqsumtOM
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Una vez conocemos las gráficas de la función cotangente, vea el
siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=ilKiDeuyEXs
Actividades de aplicación: - Elabore en una hoja milimetrada la
gráfica tangente, en la que en el eje del ángulo (el
horizontal) se exprese tanto en sistema sexagesimal como cíclico
- Una vez realizada la gráfica, describa como sus palabras, que
forma y comportamiento
presenta la función tangente. Este análisis preséntelo en el
adverso de la hora milimetrada
- Elabore en 3 hojas milimetradas las funciones cotangente,
secante y cosecante, una en cada hoja.
Estrategia y parámetros de evaluación: - Precisión de la gráfica
- Ángulos correctos - Presentación de ángulos en el sistema cíclico
- Presentación de ángulos en el sistema sexagesimal
https://www.youtube.com/watch?v=ilKiDeuyEXs