´ Indice Newton-Raphson Secante Steffesen M´ etodos Num´ ericos: Newton-Raphson, Secante y Steffensen Baltodano Guzm´ an Bismark A90736 Villalobos Bogantes Carlos B 17658 17 de enero de 2014 Baltodano Guzm´ an Bismark A90736 Villalobos Bogantes Carlos B 17658 M´ etodos Num´ ericos: Newton-Raphson, Secante y Steffensen
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Baltodano Guzman Bismark A90736Villalobos Bogantes Carlos B 17658
17 de enero de 2014
Baltodano Guzman Bismark A90736 Villalobos Bogantes Carlos B 17658Metodos Numericos: Newton-Raphson, Secante y Steffensen
IndiceNewton-Raphson
SecanteSteffesen
1 Newton-Raphsonexplicacion, planteo y desarrollo
2 Secanteexplicacion, planteo y desarrollo
3 Steffesenexplicacion, planteo y desarrollo
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explicacion, planteo y desarrollo
Explicacion
¿Que es?Es una tecnica numerica para resolver raıces f(x)=0, la cualpermite lograr una convergencia mas rapida que las queofrecen otros tipos de iteracion funcional
¿su base?se basa en polinomios de taylor.
Considere el primer polinomio de Taylor para f(x) expandidoalrededor de p0 y evaluado en x=p.
f (p) = f (p0) + (p − p0)f ′(p0) + (p−p0)22 f ′′(ε(p))
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Explicacion
Donde ε(p) esta entre p y p0. Dado que f(p)=0 esta ecuacionda como resultado.0 = f (p0) + (p − p0)f ′(p0) + (p−p0)2
2 f ′′(ε(p))
El metodo de Newton se obtiene suponiendo que, como|p − p0| es tan pequeno, el termino que contiene (p − p0)2 esmucho menor y que0 ≈ f (p0) + (p − p0)f ′(p0)
Despejando p de esta ecuacion obtenemos:p ≈ p0 − f (p0)
f ′(p0)≡ p1
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Explicacion
Esto nos prepara para introducir el metodo de Newton, el cualcomienza con una aproximacion inicial p0 y genera la sucesion{pn}∞n=0 , definida por:
p0 ≈ pn − f (pn−1)f ′(pn−1)
,≥ 1
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Explicacion
Graficamente tenemos lo siguiente:
Figura: Grafico 1
newton.pngBaltodano Guzman Bismark A90736 Villalobos Bogantes Carlos B 17658Metodos Numericos: Newton-Raphson, Secante y Steffensen
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MetodoM: Algoritmo de Newton-Raphson
ENTRADA aproximacion inicial p0; tolerancia Tol; numero deiteraciones N0.SALIDA solucion aproximada p o mensaje de fracaso.
Paso 7 SALIDA (’El metodo fracos despues de N0 iteraciones, N0=’, N0)
;(Procedimiento terminado sin exito.)
PARAR
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Ejemplo
Aproxime con Newton-Raphson hasta alcanzar una Tol menora 10−4 tome p0 =11.1 con (cos(−8x) +
√2x − 5)=0.
paso 1: derivar a (cos(−8x) +√
2x − 5)como sigue;cos(−8x) +
√2x − 5)=0
sin(−8x) ∗ −8 + 12(2x)
−12 ∗ 2
8 sin(−8x) + 1
(2x)12
paso 2:calcular p1= p0− f (p0)f ′(p0)
= 11,1− f (11,1)f ′(11,1)=p1 = 11,1668
p2= p1 − f (p1)f ′(p1)
=p2 = 11,1570
|11,15− 11,16| < 0,0001=0, 00984 < 0,0001 no es menor.
p3= p2 − f (p2)f ′(p2)
= p3 = 11,1570
|11,1570− 11,1569| < 0,0001=0, 0000932 < 0,0001 si esmenor, por lo tanto p3 es la aproximacion buscada.
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Explicacion
Su origen: esta tecnica nace de una modificacion que se leaplica al metodo de Newton-Raphson, esto debido a lanecesidad de conocer el valor de la derivada de f en cadaaproximacion y el costo asociado en calculos aritmeticos quese requiere.
por lo cual se plantea la modificacion siguiente para eliminarla derivada del metodo:
por definicion, lımx→pn−1
(f (x)− f (pn−1)
x − pn−1),si pn−2 esta cerca de
pn−1 , entonces f’(pn−1) ≈ f (pn−2)−f (pn−1)(pn−2−pn−1)
= f (pn−1)−f (pn−2)(pn−1−pn−2)
,
al aplicar esta aproximacion para f’(pn−1) en la formula de
Newton, se obtiene pn = pn−1 = f (pn−1)−(pn−1−pn−2)(f (pn−1)−f (pn−2))
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Graficamente tenemos lo siguiente:
Figura: Grafico 2
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Metodo: Algoritmo de Secante
ENTRADA aproximacion iniciales p0,p1; tolerancia Tol; numero deiteraciones N0.SALIDA solucion aproximada p o mensaje de fracaso.
Paso 1 tome i=2,q0=f(p0),q1=f(p1).
Paso 2 Mietras i=< N0 haga pasos 3-6.
Paso 3 tome p=p1 - q1(p1-p0)/(q1-q0). (Calcule pi)
|11,1− 11,22| < 0,01=0, 12 < 0,01 no es menor.p3= p2 − f (p2) p2−p1
f (p2)−f (p1)) = 11,1527
|11,22− 11,15| < 0,01=0,0717 < 0,01 no es menor.p4= p3 − f (p3) p3−p2
f (p3)−f (p2) = 11,1568
|11,1527− 11,1568| < 0,01=0,004017 < 0,01 si es menor, porlo tanto p4 es la aproximacion buscada.
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Explicacion
Introduccion sobre Analisis de error (orden de convergencia) yconvergencia Acelerada.
Analisis de error: Sea xn una sucesion que converge a x1 sedenota en xn − x , n > 0, donde ese llama la sucesion de loserrores, si existen α y δ en R+.
convergencia Acelerada: Convergencia acelerada Dada unasucesion linealmente convergente esta se puede acelerar a unaconvergencia cuadratica, por medio de un metodo llamada ∆2
de Aitken.
A partir del metodo ∆2 de Aitken podemos calcular laconvergencia del metodo de punto fijo y generar un nuevometodo conocido como el metodo de Steffensen.xn+2 = xn − (f (xn+1)−xn)2
f (xn+2−2f (xn+1)+xn
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Metodo: Algoritmo de Steffensen
ENTRADA aproximacion inicial p0; tolerancia Tol; numero deiteraciones N0.SALIDA solucion aproximada p o mensaje de fracaso.