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Ingeniera Econmica
Prof. Alejandro Concha A. Depto.de Ingeniera Industrial
Proyectos, Recursos y Decisiones Econmicas Las mediciones en
unidades monetarias
El Concepto de Valor de Dinero en el Tiempo Factores de
equivalencia
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Orgenes de la Ingeniera Econmica
Pionero: Arthur M. Wellington, ingeniero civil norteamericano de
finales del siglo diecinueve;
incorpor el rol del anlisis econmico en proyectos de
ingeniera;
area de inters: construccin de ferrocarriles. Escribi el
texto:
" Economic Theory of the Location of Railways" (1878; enlarged
ed., 1887)
Seguido por otras contribuciones que enfatizaron en tcnicas
relacionadas con las finanzas y las matemticas.
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Pasos del proceso de toma de decisiones
1. Reconocimiento de Problema. 2. Desarrollo de las alternativas
factibles. 3. Desarrollo de los flujos de caja de cada alternativa.
4. Seleccin de un criterio ( o criterios). 5. Analisis y comparacin
de las alternativas Evaluacin
ex-ante). 6. Seleccin de la alternativa preferida. 7.
Seguimiento del desempeo y resultados post-
evaluacin.
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Principios de la Ingeniera Econmica
1. Desarrollar Alternativas; 2. Centrar atencin en las
Diferencias; 3. Usar un Punto de Vista Consistente; 4. Usar una
Unidad de Medida Comn; 5. Considerar Todos los Criterios
Relevantes; 6. Hacer Explcita la Incertidumbre; 7. Reconsiderar las
Decisiones
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La diversidad de elementos utilizados en un proyectos, lleva
necesariamente a medirlos en una unidad de medida comn, la unidad
monetaria. Debido al fenmeno inflacionario, debemos utilizar dos
tipos de denominaciones de los flujos y cantidades de dinero: -
Flujos o Cantidades Nominales - Flujos o Cantidades Reales.
LAS MEDICIONES EN UNIDADES MONETARIAS
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Para relacionar un flujo o cantidad nominal con real, se
utilizan los ndices de precio. Un ndice de precio es un nmero cuya
magnitud vara proporcionalmente al precio de los bienes que
representa. Ejemplo: Indice de Precios al Consumidor (IPC) Qu
bienes representa?. Aquellos que consume un consumidor
representativo de la poblacin. Otros ejemplos: IPPetroleo,
IPArtista, IPVivienda, IPAcciones, IPProductos orgnicos,
IPTransporte Aereo, IPAcero, IP al Productor. Prof. Alejandro
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LAS MEDICIONES EN UNIDADES MONETARIAS
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Para realizar conversiones de precio, se tiene la siguiente
expresin: Precio ($t) = ( Precio($0) / IP0 )* IPt donde:
Precio($0): Cifra en moneda del tiempo 0 de referencia. Precio
($t): Cifra en moneda del tiempo t
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LAS MEDICIONES EN UNIDADES MONETARIAS
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Ejercicio: Convierta los siguientes montos de dinero expresados
en pesos de cada poca, en una misma unidad monetaria. La tabla
muestra las remuneraciones medias (nominales) a Diciembre de cada
ao, del sector Transporte y Telecomunicaciones. Fuente: Anuarios de
INE.
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Ao Profesionales Tecnicos 1993 $ 642.714 $ 406.225 1994 $
727.024 $ 459.142 1995 $ 753.087 $ 503.431 1996 $ 829.233 $ 539.440
1997 $ 875.774 $ 580.697 1998 $ 1.062.651 $ 642.194 1999 $
1.138.109 $ 685.351 2000 $ 1.189.344 $ 761.410 2001 $ 1.260.644 $
822.086 2002 $ 1.327.284 $ 783.445 2003 $ 1.342.989 $ 809.209 2004
$ 1.366.751 $ 802.918
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Ao Octubre Noviembre Diciembre
1990 47,0967119 47,5121574 47,76013661991 55,4700332 55,982094
56,67128271992 62,9222891 63,8208109 63,8658981993 71,4759589
71,5371486 71,67885091994 77,40491450 77,8718882 78,09088271995
84,1905253 84,2517149 84,4932531996 89,4174101 89,771666
90,096937301997 95,2819555 95,4107758 95,54281671998 99,397765
99,4943802 1001999 101,87 102,04 102,312000 106,46 106,82
106,942001 110,11 110,10 109,762002 113,46 113,36 112,862003 114,79
114,44 114,072004 116,98 117,28 116,842005 121,82 121,53 121,12
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LAS MEDICIONES EN UNIDADES MONETARIAS
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Qu ha pasado con las variaciones reales de las remuneraciones a
travs del tiempo? Calcule la variacin mensual de IPC para un mes
cualquiera. Calcule la variacin anual a partir de las variaciones
mensuales.
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LAS MEDICIONES EN UNIDADES MONETARIAS
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EL CONCEPTO DE VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Si el dinero se utiliza en un uso productivo (se invierte),
puede generar ms dinero o riqueza. Lo anterior significa que una
misma cantidad de dinero no tiene la misma utilidad para un
inversionista si no se encuentra en el mismo momento. Qu prefiere?
$0 1.000.000 ahora o $0 1.000.000 dentro de 2 aos ms? Porqu?
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El inters es la manifestacin del valor del dinero en el tiempo.
El inters es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la
cantidad original. Esta diferencia puede ser ganada o pagada,
dependiendo si la persona ahorra o pide prestado. inters acumulado
por u de tiempo Tasa de inters (%) =
----------------------------------------- x100 monto original
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EL CONCEPTO DE VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
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Tasa de inters
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Tasas de Inters Factores de equivalencia
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Inters Simple e Inters Compuesto
Para varios perodos de tiempo, las definiciones de inters simple
e inters compuesto se tornan importantes. El inters simple se
calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando
cualquier inters generado en los perodos de inters precedentes. Se
calcula de la siguiente forma: Inters=(Principal)(n de
perodos)(tasa de inters s) donde la tasa de inters s se expresa en
forma decimal.
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Inters Simple e Inters Compuesto
En el caso del inters compuesto, el inters generado durante cada
perodo de inters se calcula sobre el principal ms el monto total
del inters acumulado en todos los perodos anteriores. El inters
para un perodo se calcula: Inters=(Principal+intereses
acumulados)(tasa de inters)
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Prstamo con 5% anual de inters simple
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Prstamo con 5% anual de inters compuesto
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Inters Compuesto e Inters Simple
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Inters Efectivo e Inters Corriente
El inters efectivo es la ganancia o pago que efectivamente
corresponde al perodo de tiempo sobre el cual est expresada la
tasa. Ej.: Cuando expresamos i = 5% anual, es lo efectivo que
ocurrir cada ao. En el mbito financiero, en muchas ocasiones la
capitalizacin (la agregacin o pago de intereses al principal)
ocurre en perodos que son menores al ao, y como se acostumbra a
tomar el perodo elemental de 1 ao para la definicin de tasas,
entonces existe la definicin de inters corriente.
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Inters Efectivo e Inters Corriente
La tasa de inters corriente se define como: ic = ippc x Npc
donde: ippc : tasa de inters efectiva por perodo de capitalizacin.
Npc : Nmero de perodos de capitalizacin en 1 ao Ej.: ippc = 1% ,
Npc = 4 (trimestres) entonces: ic = 4% al ao.
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Inters Efectivo e Inters Corriente
En el ejemplo, si calculamos la tasa efectiva en el ao,
tendremos: 1+ i = (1 + ic / Npc ) Npc i = (1 + ic / Npc ) Npc - 1
Si calculamos: i = (1+ 0,04/4)4 - 1 i = 0,0406 o i = 4,06% anual En
este caso, la definicin de la tasa corriente sera: i = 4% al ao
capitalizable trimestralmente
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Inters Efectivo e Inters Corriente
En general, la relacin entre una tasa de inters efectiva anual i
y una tasa corriente anual ic es: i = (1 + ic / Npc ) Npc - 1
Mientras mayor sea el nmero de perodos de capitalizacin en 1 ao,
mayor ser la diferencia entre la tasa efectiva y la tasa corriente.
Es importante, entonces, que cuando trabajemos con tasa de inters
estar con la certeza que es la tasa efectiva y no otra que induzca
a errores.
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Inters Efectivo e Inters Corriente
En sntesis, las distintas tasa de inters que distinguiremos en
nuestro caso son: - Tasa de inters simple (s) - Tasa de inters
compuesto (i) - Tasa de inters corriente (ic ) - Tasa de inters
efectivo (i) Pero, adems, debe tenerse presente que cada una de
estas tasas puede corresponder a casos reales y casos nominales.
Eso depende de la naturaleza de los flujos que se estn
considerando.
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Factores de equivalencia
En primer lugar, es necesario considerar la forma cmo se
representan los proyectos de inversin para su anlisis.
Lo que vemos, es una escala de tiempo, parte fundamental, pues
todos los proyectos son una secuencia de hechos que ocurren a lo
largo del tiempo. En esa escala se representan los perodos
elementales (en general 1 ao) y se enumeran a partir del momento 0
o referencia.
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Factores de equivalencia
En segundo lugar, los flujos de caja (o de efectivo) se
representan en el momento en que ocurren.
Estos flujos pueden ser positivos (ingresos) o negativos
(egresos). Se indican como un vector, teniendo una cierta longitud
y sentido.
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Factores de equivalencia
Primera situacin: Si hoy da pedimos un prstamo de $ 2.000,
otorgado a una tasa efectiva (compuesta) de 10% anual, y la
devolvemos en 5 aos ms, cuanto sera la cifra a devolver? P:
Cantidad Presente. F: Cantidad Futura.
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Factores de equivalencia
Si calculamos perodo a perodo lo que deberamos pagar al trmino
de cada uno, tendremos: Para el primer ao: F1 = P + P i = P(1+i)
F2= F1 (1+i) = P(1+i)(1+i) = P (1+i)2 F3 = F2 (1+i) = P (1+i)2
(1+i) = P (1+i)3 .............
F5 = P (1+i)5 F5 = 2.000 (1+0,1)5 = 3.221
Generalizando: Fn = P (1+i)n
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As, hemos encontrado un primer factor de equivalencia, que se
representa como: (F/P, i, n) cuya expresin es (1+i)n
donde se lee: Una cantidad futura F a partir de una cantidad
presente P, dada una tasa efectiva por perodo i y para n perodos de
tiempo Ahora, podemos decir, en el caso particular del ejemplo, que
una cantidad P=$2.000 es equivalente a una cantidad futura de F= $
3.221
Factores de equivalencia
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En el ejemplo, P=$2.000 es equivalente a una cantidad futura de
F= $3.221 Preguntas: Cuanto es el inters en los 5 aos? Es inters
real o nominal?
Factores de equivalencia
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El inters es $ 3.221 - $ 2.000 = $ 1.221 Es nominal o real?.
Depende en qu moneda estamos expresando las cifras. Si nos dijeran
que la tasa i= 10% anual es real, en qu moneda queda expresada la
cantidad futura F=$3.221 ? En la misma moneda de la cantidad
presente, es decir, $0 Entonces, F= $0 3.221 y el inters (real) es
$0 1.221 que se est pagando al final del ao 5
Factores de equivalencia
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Situacin inversa: Qu cantidad presente es equivalente a tener
una cantidad de $3.221 al cabo de 5 aos? Queda claro que este
clculo es inverso al anterior, es decir: P = F5 (1/(1+i)5) =
F5(1+i)-5 En este caso, encontramos otro factor que se representa
como: (P/F, i, n)
Factores de equivalencia
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Las respuestas a las anteriores interrogantes, se pueden
responder usando la nomenclatura ya conocida. En el caso de
resolver qu cantidad futura F es equivalente a la cantidad P=
$2.000, simplemente podemos expresar como: F = $2.000 (F/P, 10%, 5)
F= $ 3.211
Factores de equivalencia
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Relacin entre tasa de inters real y tasa de inters nominal.
Factores de equivalencia
Supongamos que tenemos un proyecto de 1 ao, que consiste en
invertir $ 1.000 (de hoy) a una tasa de inters real ir y existiendo
una tasa de inflacin en el ao de t.
1 ao 0
$0 1.000
F = ?
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Relacin entre tasa de inters real y tasa de inters nominal.
Si trabajamos en trminos nominales, los $0 1.000 corresponde en
moneda de 1 ao ms a: $0 1.000 (1 + t) Si a este monto, le agregamos
los intereses reales que se obtienen en 1 ao a contar de hoy,
tenemos: F1 = $0 1.000 (1 + t) (1 + ir) Trabajando directamente con
tasa de inters nominal, lo anterior equivaldra a escribir:
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Relacin entre tasa de inters real y tasa de inters nominal.
F1 = $0 1.000 (1 + in) Por lo tanto, tenemos que: (1 + in) = (1
+ t) (1 + ir) De lo cual despejamos in in = (1 + t) (1 + ir) - 1 o
bien in = t + ir + irt (expresados en decimales)
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Supongamos ahora que queremos conocer, al solicitar un Prstamo
ahora de P = $2.000, otorgado a un 10% real anual y a devolver en
10 cuotas iguales a pagar al trmino de cada ao. Cual sera el monto
de cada cuota?
Factores de equivalencia
P
0 1 2 3 9 10 aos A? A? A? A? A?
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Este clculo se hara haciendo la siguiente igualdad: P =
A(1/(1+i)1) + A(1/(1+i)2) + A(1/(1+i)3) ....... + A(1/(1+i)10) Es
decir, estamos sumando todos los equivalentes presentes de cada una
de las cuotas anuales. P/(1+i) = A ( 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + 1/(1+i)4
+ ..... + 1/(1+i)9 )
Factores de equivalencia
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Restando la segunda igualdad a la primera, y acomodando los
trminos, queda lo siguiente:
Factores de equivalencia
P = A (1+i)10 -1
i(1+i)10
Lo que permite entonces calcular A despejando:
A = P i(1+i)10
(1+i)10 -1
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Lo que, generalizando esta expresin, se llega a:
Factores de equivalencia
Este factor (entre parntesis) se representa por el smbolo:
i(1+i)n A = P (1+i)n -1
(A/P, i, n) es i(1+i)n (1+i)n -1
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La situacin inversa, es decir, conocida una serie de cuotas
iguales futuras, cual es la cantidad presente equivalente? Se
resuelve mediante el factor siguiente:
Factores de equivalencia
0 1 2 3 9 10 aos A A A A A
P?
(P/A, i, n) es (1+i)n -1
i(1+i)n
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Factores de equivalencia
En este caso, se trata de encontrar la equivalencia entre una
serie de pagos iguales conocida y una cantidad futura. El factor
correspondiente sera:
0 1 2 3 9 10 aos A A A A A
F?
(1+i)n -1
i (F/A, i, n) es
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La situacin inversa a lo anterior, es decir encontrar la
equivalencia entre una cantidad futura conocida y una serie de
pagos iguales, se resuelve con el uso del factor siguiente:
Factores de equivalencia
i
(1+i)n -1 (A/F, i, n) es
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COMPARACION CON VIDAS DISTINTAS
Ejemplo: Ud. maneja su vehculo 15.000 km al ao. Qu tipo
de neumtico le convendra comprar a su vehculo? Existen dos
modelos:
El neumtico A que cuesta $65.000 y puede recorrer hasta 60.000
kms.
El neumtico B que cuesta $85.000 y puede recorrer hasta 90.000
kms.
Su tasa de descuento es de 20% anual. Fundamente su respuesta
mediante clculos, utilice distintos mtodos de comparacin.
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Existen 2 situaciones que se dan con cierta frecuencia y para
las cuales se ha desarrollado los factores adecuados para facilitar
su clculo Gradiente Aritmtico: Corresponde a aquella situacin en
que un flujo futuro vara por un monto constante respecto al flujo
del perodo anterior. Por lo que podemos tener una serie de flujos
que va incrementando o disminuyendo en forma proporcional al nmero
de perodos de tiempo que transcurre.
Factores de equivalencia
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Gradiente Geomtrico: Corresponde a aquella situacin en que un
flujo futuro vara en una proporcin constante respecto al flujo del
perodo anterior. Por lo que podemos tener una serie de flujos que
va incrementando o disminuyendo a una tasa constante.
Factores de equivalencia
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Factores de equivalencia
0 1 2 3 9 10 aos
A A+G A+2G
A+(n-2)G A+(n-1)G
Esta serie se puede descomponer en dos series parciales: - Una
serie de flujos uniformes A. - Una serie de gradientes, cuyo primer
flujo se encuentra al final del ao 2.
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Factores de equivalencia
0 1 2 3 9 10 aos
G 2G (n-2)G
(n-1)G
0 1 2 3 9 10 aos
A A A A A
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Factores de equivalencia
La serie de gradientes puede transformarse a una serie de flujos
uniforme A1 mediante el siguiente factor:
(A/G, i, n) = 1 n
i (1+i)n-1 -
La serie original se transforma finalmente en una serie de
flujos uniforme, sumando ambas componentes A+A1
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Factores de equivalencia
En cuanto a la serie con gradiente geomtrico, se tiene las
siguientes expresiones para el clculo de un monto presente
equivalente, cuando g=i
Donde i es la tasa de inters efectiva y g es la tasa de variacin
anual de los flujos (tasa de gradiente).
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111( / , , , )
ngiP A g i n
i g
+ + =+
-
Factores de equivalencia
Cuando i y g son iguales, esta expresin se reduce a:
P = A n
1 + i g=i
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Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva
3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva
6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva
9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva
12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de
diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero
de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva
20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de
diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero
de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva
28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de
diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero
de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva
36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de
diapositiva 39Nmero de diapositiva 40Nmero de diapositiva 41Nmero
de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Nmero de diapositiva
44COMPARACION CON VIDAS DISTINTASNmero de diapositiva 46Nmero de
diapositiva 47Nmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49Nmero
de diapositiva 50Nmero de diapositiva 51Nmero de diapositiva 52