INFORME Sobre Sólidos de Revolución

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

SLIDOS DE REVOLUCIN

CURSO : ANLISIS MATEMTICO II

DOCENTE : ING. HORACIO URTEAGA BECERRA

ESTUDIANTES:

CHUQUIRUNA CHVEZ MARVICK ALAIN

RAMIREZ CHVEZ ANTONY

SOLANO VARGAS DIEGO RENATO

VASQUEZ VSQUEZ HARLYN YEYSON

CAJAMARCA, MAYO DEL 2015

SLIDOS DE REVOLUCIN ING. CIVIL

ANLISIS MATEMTICO II Pgina 1

INTRODUCCIN

Un slido de revolucin es una figura slida obtenida como producto de la rotacin de una

regin plana alrededor de una recta cualquiera que est contenida en el mismo plano. Una

superficie de revolucin es la superficie exterior de un slido de revolucin, es decir, encierra

una porcin del espacio dentro de s.

En trminos ms formales, si tenemos dos funciones cuya grfica est en el plano,

obtendremos lo que se denomina un slido de revolucin al rotar la grfica de la regin plana

encerrada por dichas funciones alrededor de una recta dada (por lo general paralela a uno de

los ejes del plano cartesiano).

Empleando el clculo integral es posible calcular el volumen de superficies de este tipo.

Sabemos que la integral es una suma continua con infinitos sumandos, y a travs de la

definicin de Riemann entendemos que se trabaja siempre con elementos de tamao

infinitesimal (los diferenciales, el que aparece en el smbolo de integracin).

En el presente informe tiene como objetivo mostrar al lector las aplicaciones de la integral

definida para el clculo de volmenes de slidos de revolucin, se presentan ejemplos usando

el mtodo de la corteza cilndrica, anillo circular, y disco circular, as como sus respectivas

grficas.

OBJETIVOS

UTILIZAR LOS SOFTWARES (AUTOCAD, DERIVE 6, EXCEL) PARA EL DIBUJO DE LOS

SLIDOS AS COMO DETERMINAR LOS VOLUMENES DE LOS SLIDOS.

APLICAR LOS CONOCIMIENTOS PARA EL CLCULO DE LOS VOLUMENES DE LOS

SLIDOS DE REVOLUCIN MEDIANTE LOS MTODOS APRENDIDOS PREVIAMENTE EN

CLASE.

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ANLISIS MATEMTICO II Pgina 2

PROBLEMA 1.- Hallar el volumen del solido de revolucin generado al rotar la regin

de la funcin: = + , el eje x y la recta = alrededor de =

SOLUCION:

i. GRFICA DE LA REGIN R.

R= {(, )/ 1 1 0 3 + 1}

Grafica N1

= 3 + 1

= 1

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ANLISIS MATEMTICO II Pgina 3

ii. GRAFICA DEL SOLIDO EN AUTOCAD

iii. VOLUMEN DEL SOLDO (MTODO DE LA CORTEZA CILNDRICA).

= 2(1 )

Entonces

= (1 )(1 + 3)1

1

= 2 (1 + 3 ^41

1

)

= 2 [ +4

4

2

2

5

5]

1

1

= 2(8

5)

=16

53

Grafica N2

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ANLISIS MATEMTICO II Pgina 4

PROBLEMA 2.- Dada la regin = {(, )/(|| )}

a) El volumen del solido cuando gira alrededor del eje y

b) El volumen del solido cuando gira alrededor del eje y=-2

SOLUCION:

a)

i. Hallando puntos de la curva:

ii. Grfica en el derive 6

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ANLISIS MATEMTICO II Pgina 5

iii. Slido de revolucin en autocad

iv. VOLUMEN DEL SOLDO (MTODO DE LA CORTEZA CILNDRICA).

= = 2 ()( 2 || + 6)

= 2 32

0

2 + 6

= 2 [4

4

3

3+

62

2]

20

= 2 [4 8

3+ 12]

= 2 [16

3]

=32

3 3

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ANLISIS MATEMTICO II Pgina 6

b)

i. Slido de revolucin en autocad

ii. VOLUMEN DEL SOLDO (MTODO DEL ANILLO CIRCULAR).

= {(2 + 2)2 (2 + 1)

2}

1 = 2

2 = 4 2

= {(6 2)2 (||)2}

= {36 132 + 4}

= 2 (4 2

0

132 + 36)

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ANLISIS MATEMTICO II Pgina 7

= 2 [5

5

133

3+ 36]

20

= 2 [656

15]=

1312

15 3

PROBLEMA 3.- Hallar el volumen del solido de revolucin generado al rotar la superficie

limitada por:

= ; =

; = +

Alrededor del eje x=8.

Solucin:

i. Hallando puntos de interseccin(utilizando derive 6):

1 = 2

Tenemos:

X=-1

1 = 3

Tenemos:

2 = 3

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ANLISIS MATEMTICO II Pgina 8

Tenemos:

ii. Grfica:

Hallando puntos de la curva 1: Grafica N1

iii. Grafica en el derive:

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iv. Grafica del solido generado por la superficie limitada en AUTOCAD:

v. Volumen del solido: V=V1+V2

dV1=2*(8-x)*(y1-y2)dx

dV2=2*(8-x)*(y3-y2)dx

vi. Integrando:

2 = 2 (8 )(3

2+

1

2

2

1

)

Usando derive6: 2 = 603/20 unid3

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CONCLUSIONES

Aprendimos a utilizar los softwares( AutoCAD, derive6, Excel)

Reforzamos nuestros conocimientos aprendidos previamente en clase, para el clculo de volmenes utilizando los diferentes mtodos.