Il Principio dei Lavori Virtuali - people.unica.it€¦ · Pkm P3 + Pf P3 jm+f Pjm P3 − PT P3 ‘m−T P‘m P3 P3 l 4 l 6. PL P3 +p(z)=0 Pf P3 +q(z)=0 PT P3 −T(z)=0 Si ricorda

Il Principio dei Lavori Virtuali

Considerazioni introduttive

• L’applicazione del Principio dei Lavori Virtuali (PLV nel seguito) ha il fine di determinaredeterminaredeterminaredeterminarelalalala condizionecondizionecondizionecondizione didididi equilibrioequilibrioequilibrioequilibrio attraverso la connessione tra posizione (cinematica) e campi diforza applicati.

• Si tratta, di fatto, di un principio di tipo energeticoenergeticoenergeticoenergetico.... Fa parte di quella categoria di principienergetici che indicano che i sistemi evolvono nel senso di minimizzare l’energia associataad ogni stato di possibile configurazione.

SpostamentiSpostamentiSpostamentiSpostamenti virtualivirtualivirtualivirtualiDato un qualunque sistema, generalmente vincolato, gligligliglispostamentispostamentispostamentispostamenti virtualivirtualivirtualivirtuali rappresentanorappresentanorappresentanorappresentano tuttituttituttitutti iiii possibilipossibilipossibilipossibili statistatistatistati((((deformazionideformazionideformazionideformazioni)))) chechecheche nonnonnonnon violinoviolinoviolinoviolino lalalala compatibilitàcompatibilitàcompatibilitàcompatibilità deideideideivincolivincolivincolivincoli. In genere si considerano tali spostamentispostamentispostamentispostamentiinfinitesimiinfinitesimiinfinitesimiinfinitesimi, ossia come piccole perturbazioni rispettoallo stato inizialeSpostamento infinitesimo compatibile con i vincoli ereversibile

Considerazioni introduttive

PrendiamoPrendiamoPrendiamoPrendiamo inininin esameesameesameesame ilililil casocasocasocaso delladelladelladella travetravetravetrave incastrataincastrataincastrataincastrata adadadadunaunaunauna estremitàestremitàestremitàestremità

• Gli spostamentispostamentispostamentispostamenti realirealirealireali della trave originati dalla presenza della forza esterna F possonoessere calcolati attraverso l’equazione della linea elastica. Essi sono tutti diretti verso ilbasso.

• Tuttavia è possibile tracciare una deformatadeformatadeformatadeformata ““““virtualevirtualevirtualevirtuale”””” che è ancora compatibile con Ivincoli, ma I cui punti subiscono spostamenti verso l’alto e verso il basso. Quindi essa nonè in relazione con il carico applicato

• Il lavoro compiuto dalle forze agenti sul sistema per uno spostamento virtuale prende ilnome di lavorolavorolavorolavoro virtualevirtualevirtualevirtuale

• Il PLV esamina la condizione in cui si trova il sistema immaginando che esso possa subireuna variazione di configurazione a seguito di spostamenti virtuali, e valuta il lavoro delleforze agenti per tali spostamenti virtuali,,,, ossiaossiaossiaossia ilililil lavorolavorolavorolavoro virtualevirtualevirtualevirtuale

Considerazioni introduttive

• Se le forze agenti non hanno possibilità di compiere lavoro virtuale positivo, laconfigurazione è di equilibrio

• Viceversa, se la configurazione è di equilibrio, non è possibile discostarsene facendocompiere alle forze agenti lavoro virtuale positivo

• LaLaLaLa formulazioneformulazioneformulazioneformulazione originariaoriginariaoriginariaoriginaria deldeldeldel PLVPLVPLVPLV sisisisi devedevedevedeve aaaa LagrangeLagrangeLagrangeLagrange eeee recitarecitarecitarecita“Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di ogni sistema materiale a

vincoli perfetti è che sia uguale a zero il valore virtuale delle forze attive per il più genericospostamento virtuale”oppure (formulazione alternativa)

“Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema materiale sia in equilibrio, èche sia nullo il lavoro virtuale delle forze attive associato a qualunque spostamento virtualecompatibile”In pratica il principio asserisce che ad un sistema perfettamente equilibrato e nella suadeformazione vera, se si perturba infinitesimamente la sua condizione, le forze esterneapplicate non compiono lavoro – il sistema non cambia stato energetico – L’energia totale è inuna condizione di stazionarietà.

Campi di applicabilità del PLV

• A corpi rigidi o deformabilideformabilideformabilideformabili• A strutture staticamentestaticamentestaticamentestaticamente determinatedeterminatedeterminatedeterminate oooo indeterminateindeterminateindeterminateindeterminate (iso, iper, ipostatiche o labili)• In presenza di non linearità di forze o spostamenti• In presenza di vincoli cedevoli – ossia vincoli con rigidezza finita• In presenza di effetti legati alle dilatazioni termiche• In presenza di stati di tensioni residue – ossia tensioni interne alla strutturaTuttavia noi considereremo solo l’applicazione a travi staticamente determinate e non masempre in regimeregimeregimeregime elasticoelasticoelasticoelastico linearelinearelinearelineare. Saranno presi in considerazione casi con cedimentivincolari e carichi dovuti a gradienti termici. In particolare applicheremo il PLV per• CalcolareCalcolareCalcolareCalcolare lelelele reazionireazionireazionireazioni neineineinei vincolivincolivincolivincoli didididi sistemisistemisistemisistemi iperstaticiiperstaticiiperstaticiiperstatici (in questo caso si considera il corpo

come deformabile e anche gli sforzi compiono lavoro virtuale)• StudiareStudiareStudiareStudiare lelelele deformazionideformazionideformazionideformazioni elasticheelasticheelasticheelastiche perperperper sistemisistemisistemisistemi isostaticiisostaticiisostaticiisostatici eeee iperstaticiiperstaticiiperstaticiiperstatici (anche in questo caso

si considera il corpo come deformabile e anche gli sforzi compiono lavoro virtuale)

PLV per strutture deformabili

La distribuzione degli sforzi che agiscono su unagenerica porzione della trave è data dallasovrapposizionesovrapposizionesovrapposizionesovrapposizione delledelledelledelle distribuzionidistribuzionidistribuzionidistribuzioni deglideglideglidegli sforzisforzisforzisforziderivanti dall’azione assiale, dal taglio, dalmomento flettente dal momento torcente.

Consideriamo la trave in figura: ad essasono applicati carichi concentrati,distribuiti, momenti flettenti e momentitorcenti

Sotto l’azione dei carichi applicati, la struttura è in equilibrio, quindi la distribuzione deglisforzi all’interno della struttura è tale per cui ogni concio di trave di lunghezza dz è inequilibrioSupponiamoSupponiamoSupponiamoSupponiamo oraoraoraora didididi imporreimporreimporreimporre allaallaallaalla travetravetravetrave unaunaunauna deformatadeformatadeformatadeformata virtualevirtualevirtualevirtuale, tale cioè che coinvolga solospostamenti infinitesimi compatibili con i vincoli e reversibili.

Consideriamo un tronco finito P1P2 della trave34 > 36

P1

P1’

P2

P2’

78 3 = : 3 ;8 + = 3 >8

y

z

z1z2

36 ≥ 034 ≤ C

0 ≤ 36 < 34 ≤ C

Inifinitesimalità degli spostamenti: gli spostamenti non modificano di molto la posizione delle forze, che possono considerarsi applicate alla configurazione indeformata.

Lavoro virtuale delle forze interne

PLV per strutture deformabili

Si indichino con Fi le forze esterne agenti sulla trave e con ∆i le proiezioni, secondola direzione e il verso della forza, degli spostamenti del loro punto di applicazione.Il lavoro delle forze esterne è allora espresso da:

SupponiamoSupponiamoSupponiamoSupponiamo oraoraoraora didididi imporreimporreimporreimporre allaallaallaallatravetravetravetrave unaunaunauna deformatadeformatadeformatadeformata virtualevirtualevirtualevirtuale, talecioè che coinvolga solo spostamentiinfinitesimi compatibili con ivincoli e reversibili.

Si indichino poi con Ni le risultanti delle azioni interne e con δi i corrispondentispostamenti virtuali. Il lavoro virtuale interno è espresso dalla relazione:

CF = G HI · ΔII

CI = G LI · MII

Lavoro virtuale delle forze esterne

Se il carico esterno è una forzaforzaforzaforza, il lavoro virtualeè dato dal prodottoprodottoprodottoprodotto scalarescalarescalarescalare delladelladelladella forzaforzaforzaforza perperperper lolololospostamentospostamentospostamentospostamento del suo punto di applicazione pereffetto della deformazione virtuale

IlIlIlIl lavorolavorolavorolavoro delledelledelledelle forzeforzeforzeforze esterneesterneesterneesterne èèèè ilililil lavorolavorolavorolavoro compiutocompiutocompiutocompiuto dalledalledalledalle forzeforzeforzeforze esterneesterneesterneesterne applicateapplicateapplicateapplicate allaallaallaallastrutturastrutturastrutturastruttura durantedurantedurantedurante lolololo spostamentospostamentospostamentospostamento virtualevirtualevirtualevirtuale

Se il carico esterno è una coppiacoppiacoppiacoppia, il lavoro virtuale èdato dal prodottoprodottoprodottoprodotto scalarescalarescalarescalare delladelladelladella coppiacoppiacoppiacoppia perperperper lalalalarotazionerotazionerotazionerotazione del suo punto di applicazione per effettodella deformazione virtuale

Se il carico esterno è un caricocaricocaricocarico distribuitodistribuitodistribuitodistribuito, il calcolo del lavoro compiuto si traducenella valutazione di un integrale esteso alla lunghezza dell’elemento su cui agisce ilcarico distribuito stesso, ma in pratica la valutazione di questo integrale non ènecessaria

CFNO = G HI · ΔII

PCFNO,Q = HI · PRI

PCFNO,S = TI · PUI

CFNO = G HI · PRII + G TI · PUII

Lavoro virtuale delle forze interne

IlIlIlIl lavorolavorolavorolavoro delledelledelledelle azioniazioniazioniazioni interneinterneinterneinterne èèèè funzionefunzionefunzionefunzione delladelladelladella deformazionedeformazionedeformazionedeformazione subitasubitasubitasubita dall’elementodall’elementodall’elementodall’elemento durantedurantedurantedurante lolololospostamentospostamentospostamentospostamento virtualevirtualevirtualevirtuale In figura sono rappresentate le

possibili deformazioni virtuali delgenerico elemento di lunghezzainiziale dx. Si vuole valutare il lavorodelle forze interne sull’elementoconsiderato per le quattrodeformazioni virtuali illustrate

Lavoro delle forze interne per lo spostamento virtuale dδSullo spostamento virtuale dζ lavora solo l’azione interna Nmentre le altre azioni presenti non compiono lavoro

Lavoro delle forze interne per la rotazione virtuale dφSulla rotazione virtuale d φ lavora solo l’azione interna diflessione M

Lavoro delle forze interne per lo spostamento trasversalevirtuale dη. Sullo spostamento virtuale dλ lavora solo l’azionedi taglio T. (nota: dλ=γdz essendo γ fattore di taglio

Lavoro delle forze interne per la rotazione virtuale tra duesezioni dφ. Sulla rotazione virtuale dφ lavora solo l’azioneinterna di momento torcente Mt

(PCI)[ = NP\

(PCI)] = TP^

(PCI)S = −TP`

(PCI)SO = TPU

Lavoro virtuale delle forze interne

Il lavoro dLi complessivamente compiuto dalle azioni interne sull’elementino dz,pertanto, risulta esserePCI = (PCI)[+(PCI)]+(PCI)S+(PCI)SaPCI = NP\ + TP^ − TP` + TOPU

N, M, T e Mt sono le risultanti delle azioni interne reali nella struttura originati daicarichi applicati, mentre dδ, dθ, dλ e dφ sono gli spostamenti interni generalizzatiassociati alla deformazione virtuale.

(PCI)S = −TP` (PCI)SO = TOPUP\ = bP3 Pc = ^P3 P` = −dP3 PU = ΦP3

PCI = Lb + fg + Td + TOΦ P3PCI = LbP3 + fgP3 + TdP3 + TOΦP3

CI = h Lb + fg + Td + TOΦ P3

Il lavoro Li compiuto dalle azioniinterne sulla struttura sarà datodall’integrale

(PCI)[ = NP\ (PCI)] = TP^

Si mostra che, sotto le condizioni di• sistema equilibrato di forze• infinitesimalità, congruenza, compatibilità con i vincoli, del sistema di

spostamentiil lavoro totale esterno uguale al lavoro totale internolavoro totale esterno uguale al lavoro totale internolavoro totale esterno uguale al lavoro totale internolavoro totale esterno uguale al lavoro totale interno

Principio dei Lavori Virtuali

Si consideri la generica struttura soggetta a vincoli e carichi esterni, ed una deformata virtuale (non legata ai carichi esterni).

Inifinitesimalità degli spostamenti: gli spostamenti non modificano di molto la posizione delle forze, che possono considerarsi applicate alla configurazione indeformata.

0 ≤ 36 < 34 ≤ C

34 > 3636 ≥ 034 ≤ C

Consideriamo un tronco di trave finito compreso tra i punti P1 e P2.Su di esso agiscono le forze esterne f(z) e le azioni agenti sulle sezioni in P1 e P2:N1, T1, M1, N2, T2, M2 (per semplicità, nella trattazione non si terrà conto del momento torcente)

Principio dei Lavori Virtuali

Di seguito si indicheranno con N, T, M le azioni interne REALI generate dalle forze esterne.Con gli apici si indicheranno le grandezze (spostamenti, azioni interne) relative alla deformazione VIRTUALE (fittizia).Nella configurazione deformata, il punto P1 si porterà in P1’ ed il punto P2 in P2’.Gli spostamenti v’, w’ e ϕ’ dei due punti sono rappresentati in figura.

Sul tronco di trave compreso tra P1 e P2 . Su di esso agiscono le forze esterne f(z) e le azioni agenti sulle sezioni in P1 e P2.Scriviamo il lavoro compiuto dalle forze esterne (lavoro esterno)…

Lavoro virtuale delle forze esterne

Scriviamo l’espressione per ilLavoro esterno Lavoro esterno Lavoro esterno Lavoro esterno (si noti che in P1’ il lavoro è negativo):

CF = i :j1 + =k1 P3l4l6 + L2km2 + f2jm2 − T2`m2 − (L1km1 + f1jm1 − T1`m1)Gli ultimi 6 termini equivalgono a Lkm + fjm − T`m 64

CF = h :j′ + =k′ P3l4

l6+ Lkm + fjm − T`m 64

CF = h :j′ + =k′ + P(Lkm)

P3 +P(fjm)

P3 −P(T`m)

P3 P3l4

l6

Lavoro virtuale delle forze esterne

previa derivazione, si possono portare dentro l’integrale

Sviluppando le derivate si trova…CF = h :(3)j′ + =(3)k′ + PLP3 km + L

PkmP3 +

PfP3 jm + f

PjmP3 −

PTP3 `m − T

P`mP3 P3

l4l6

PLP3 + p(z) = 0PfP3 + q(z) = 0

PTP3 − T(z) = 0

Si ricorda che consideriamo un sistema di forze equilibrato ed un sistema di spostamenti virtuali congruente:

Sistema equilibrato in forma forte, rappresenta l’equilibrio per ogni elementino del tronco di trave.

Lavoro virtuale delle forze interne

Pj′P3 = `′ + g′Pk′P3 = b′

P`′P3 = −d′

Congruenza ed infinitesimalitàdegli spostamenti virtuali

CF = h :(3)j′ + =(3)k′ + PLP3 km + LPkmP3 +

PfP3 jm + f

PjmP3 −

PTP3 `m − T

P`mP3 P3

l4l6

PLP3 + p(z) = 0

PfP3 + q(z) = 0

PTP3 − T(z) = 0

Pj′P3 = `′ + g′

CF = h L Pkm

P3 + fPjmP3 −

PTP3 `m − T

P`mP3 P3

l4l6

CF = h L Pkm

P3 + f(`m + gm ) − f`m − TP`mP3 P3

l4l6

Ricordando che e che si trova

Lavoro virtuale delle forze esterne

P`′P3 = −d′

CF = h L Pkm

P3 + fgm − TP`mP3 P3

l4l6

Pc′P3 = g′

CF = h Lb′ + fgm + Td′ P3l4

l6= CI

PkmP3 = b′

Infine, ricordando che

Lavoro virtuale delle forze esterne

Quindi si trova:

E sostituendo nell’espressione precedente si ottiene:

Ovvero, il lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interneil lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interneil lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interneil lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interne

CF = h Lb′ + fgm + Td′ P3l4

l6= CI

Lavoro virtuale delle forze interne

P\m = bmP3 P^m = gmP3 P`′ = −dmP3 PU′ = ΦmP3

b′ = L′st g′ =uf′vt d′ =

T′sw Φ′ =

TO′vxy

PCI = N L′st P3 + Tuf′vt P3 + T

T′sw P3 + T

TO′vxy P3

Sostituendo nell’espressione del lavoro infinitesimo dLi si trova:

AbbiamoAbbiamoAbbiamoAbbiamo vistovistovistovisto chechecheche ilililil lavorolavorolavorolavoro esternoesternoesternoesterno èèèè ugualeugualeugualeuguale alalalal lavorolavorolavorolavoro internointernointernointerno.... VediamoVediamoVediamoVediamo oraoraoraora comecomecomecomearrivarearrivarearrivarearrivare aaaa scriverescriverescriverescrivere unununun sistemasistemasistemasistema didididi equazioniequazioniequazioniequazioni utileutileutileutile perperperper lalalala risoluzionerisoluzionerisoluzionerisoluzione didididi problemiproblemiproblemiproblemi praticipraticipraticipratici....SimbologiaSimbologiaSimbologiaSimbologia::::• Con N, M e T(V) indicheremo le azioni interne riferite alla struttura REALE• Con N’, M’ e T’ (V’) indicheremo le azioni interne della struttura FITTIZIASi ricordi che:

TrazioneTrazioneTrazioneTrazione FlessioneFlessioneFlessioneFlessioneTaglioTaglioTaglioTaglio TorsioneTorsioneTorsioneTorsione

Lavoro virtuale delle forze interne

Per ottenere il lavoro Li complessivamente svolto sulla struttura occorre integrare

CI = h PCI = h N L′st + Tuf′vt + T

T′sw + T{

TO′vxy P3

l4

l6

Facciamo ora alcune considerazioni sulla struttura reale, sui carichi agenti su di essa, e sulle azioni interne che ne derivano.In generale, si consideri una struttura sulla quale agiscono m carichi, e sia Li il generico carico agente.Per effetto di tali carichi, nella struttura si genera una distribuzione delle azioni interne che, nella generica sezione identificata dalla coordinata z può essere espressa genericamente come: N(z), T(z), M(z), Mt(z).Poiché si sta considerando il problema elastico-lineare e soggetto a spostamenti infinitesimi, la generica azione interna può essere espressa come la somma dei contributi attribuibili a ciascun carico.Pertanto, ad esempio, per l’azione normale, si può scrivere:

Poiché si sta considerando il problema elastico-lineare e soggetto a spostamenti infinitesimi, la generica azione interna può essere espressa come la somma dei contributi attribuibili a ciascun carico.Pertanto, ad esempio, per l’azione normale, si può scrivere:

N z = n6(z) · L6 + n4(z) · L4+ ⋯ + n(z) · L= G n(3) · L

6

Dove Li è il generico carico agente sulla struttura, ed ni il coefficiente di proporzionalità tra il carico i-esimo ed relativo contributo Ni all’azione normale N(z).Analogamente, per il taglio, momento flettente e momento torcente si può scrivere:

T z = G tL

6M z = G mL

6M z = G mL

6

N z = N6(z) + N4(z) + ⋯ + N(z) = G N(3)

6

Lavoro virtuale delle forze interne

Consideriamo il caso in cui la struttura sia n volte iperstatica e soggetta a p carichi esterni. Come visto in precedenza, per risolvere il problema è possibile associare alla sistema iperstatico un sistema equivalente costituito da una struttura isostatica soggetta ai medesimi carichi esterni e ad n forze che rappresentano l’azione dei vincoli sovrabbondanti soppressi.Indicando con Le il generico carico esterno e con X la generica iperstatica, si ha la seguente situazione:

Lavoro virtuale delle forze interne

mCarichi complessivamente agenti LLLLkkkk

pCarichi esterni

(noti) LLLLejejejejn

iperstatiche(da determinare) XXXXiiii

m=p+n

Analogamente, per il taglio, momento flettente e momento torcente, si ha:

le azioni interne possono quindi essere scritte nella forma:

N z = G n(3) · L

6= G nLF

y

6+ G nX

I6= n + G nX

I6

T z = t + G tX

I6

n = G nLFy

I6

M z = m + G mX

I6M z = m + G mX

6

Lavoro virtuale delle forze interne

mmmmcarichi agenti, LLLLkkkk

nnnniperstatiche, XXXXiiii

ppppCarichi esterni, LLLLejejejej m=p+n

dove si è posto:

CI = h PCI = h N L′st + Tuf′vt + T

T′sw + T

TO′vxy P3

l4

l6

b′ = n + ∑ nXI6

st

Assumiamo come deformazioni virtuali quelle reali:

g′ = u(t+ ∑ tXI6 )

vt

d′ = m + ∑ mXI6

swΦ′ = m + ∑ mX

6vxy

Torniamo all’espressione del lavoro interno

Lavoro virtuale delle forze interne

Se si considera la struttura isostatica associata come soggetta ai soli carichi esterni Lej, le azioni interne sarebbero date da:

Analogamente, se si considera la struttura isostatica associata come soggetta alla solasolasolasolaiperstatica Xi, le relative azioni interne sono:

N z = G(n(3) · LF)y

6= n(3) T z = G(t(3) · LF)

y

6= t(3)

M z = G(m(3) · LF)y

6= m(3) M z = G(m(3) · LF)

6= mO(3)

T z = t 3 · X

M z = m(z) · XM z = m(z) · X

N z = n 3 · X

Lavoro virtuale delle forze interne

Si consideri la struttura isostatica associata e si applichi principio dei lavori virtuali n volte, per ciascuna delle quali si facciano le seguenti assunzioni:• il sistema di forze sistema di forze sistema di forze sistema di forze sia dato dalla sola iperstatica h-esima di valore unitariodi valore unitariodi valore unitariodi valore unitario• il sistema di spostamenti sistema di spostamenti sistema di spostamenti sistema di spostamenti sia il sistema di spostamenti reali.sistema di forze:

f′ z = t 3 · X = t

M′ z = m(z) · X= mM′ z = m(z) · X= m

N′ z = n 3 · X = n 3 · 1 = n

sistema di spostamenti: b = n + ∑ nX

I6st

g = u(t+ ∑ tXI6 )

vt

d = m + ∑ mXI6

swΦ = m + ∑ mX

6vxy

Lavoro virtuale delle forze interne

Lavoro esterno.L’unica forza agente sulla i-esima struttura fittizia associata è l’iperstatica Xi. Pertanto il lavoro esterno associato sarà pari al valore dell’iperstatica per lo spostamento del punto di applicazione di quest’ultima.Se l’iperstatica h-esima è una coppia, lo spostamento sarà una rotazione.

L = X · δ

Successivamente, nella formulazione delle equazioni di muller-Breslau, il lavoro sarà genericamente indicato con η.In particolare, il lavoro esterno relativo all’azione della i-esima iperstatica sarà indicato con:

η = X · δ

Lavoro virtuale delle forze interne

Il lavoro interno elementare relativo alla iperstatica h-esima sarà:dL = N′εdz + T′γdz + M′κdz + M′Φdz

dL = N′ n + ∑ nXI6

st dz + T′u(t+ ∑ tIXI6 )

vt dz + M′m + ∑ mXI6

sw dz + M′m + ∑ mIX6

vxy dz

dL = n n +∑ nX6st dz + t

u(t+ ∑ tXII6 )vt dz + m

m + ∑ mXI6sw dz + m

m + ∑ mIX6vxy dz

dL = nnst + uttvt +

mmsw +

mmvxy dz +

n ∑ nXI6st + u

t ∑ tXII6vt +

m ∑ mIXI6sw +

m ∑ mIX6vxy dz

L = h dL = h nnst + uttvt +

mmsw +

mmvxy dz + h

n ∑ nXI6st + u

t ∑ tXII6vt +

m ∑ mIXI6sw +

m ∑ mIX6vxy dz

L = h nnst + uttvt +

mmsw +

mmvxy dz + h

∑ nnIXII6st + u

∑ ttXII6vt +

∑ mmXI6sw +

∑ mmIX6vxy dz

L = h nnst + uttvt +

mmsw +

mmvxy dz + G X h

nnst + u

ttIvt +

mmIsw +

mmIvxy dz

I6

^I = h Ist + u{{Ivt +

Isw +

OOIvxy P3^ = h

st + u

{{vt +

sw +

OOvxy P3

Lavoro virtuale delle forze interne

Per ottenere il lavoro totale integriamo sul tratto (finito) di struttura

Poniamo:

Ricordando che per il teorema dei lavori virtuali, il lavoro interno è uguale al lavoro esterno, si può scrivere:

CFNO, = CIO, CFNO, = ^ = · M

^I = h Ist + u{I{vt +

Isw +

OIOvxy P3

^I = h Ist + u{{Ivt +

Isw +

OOIvxy P3

CIO, = ^ + ^I

^ = ^ + G ^II

I6

^666 + ^644 + ⋯ + ^6 = ^6 − ^6^466 + ^444 + ⋯ + ^4 = ^4 − ^4….^66 + ^44 + ⋯ + ^ = ^ − ^

Il risultato è un sistema lineare di n equazioni in n incognite.I coefficienti si determinano sulla base delle iperstatiche unitarie agenti sugli schemi isostatici associati.Solamente i termini ηi0 dipendono dal carico (n0, t0, m0, mt0).La matrice del sistema è simmetrica, ηij = ηji (ninj = njni, etc)

Lavoro virtuale delle forze interne

Quindi, applicando il PLV n volte (una volta per ciascuna iperstatica, si ottiene: