,Iii' - Naslovnica | PMF · ,Iii'--Problemska nastava Zdravko Kurnik, Zagreb ilji! Suvremena metodika nastave matemati-ke ukazuje na razne mogucnosti za rjesava-nje jednog od najvainijih

,Iii' --Problemskanastava

Zdravko Kurnik, Zagreb

ilji!

Suvremena metodika nastave matemati-

ke ukazuje na razne mogucnosti za rjesava-nje jednog od najvainijih pitanja suvremenenastave matematike, pitanja razvoja stvara-lackog miSljenja i stvaralackih sposobnostiucenika.

Vaine elemente rjesavanja ovog pitanjanastavnik matematike moZe naci veC u sa-mim naeelima nastave matematike, zatim u

nastavnim i znanstvenim metodama koje seprimjenjuju u nastavnom procesu, a rjesenjatreba traiiti i u izboru postojeCih nastavnihsustava. To su: predavacka nastava, demon-straciona nastava. heuristicka nastava, prog-ramirana nastava, egzemplama nastava, pro-blemska nastava, mentorska nastava i dr.

Sva su nacela usko povezana, sve na-stavne metode i svi nastavni sustavi imajusvoje mjesto u nastavi. Medutim, za nasta-vu ,matematike i rjesavanje navectenog pita-nja posebno su vaini nacelo problemnosti iproblemska nastava. Nacelo problemnosti,koje se primjereno i u punoj mjeri ostvarujeupravo u problemskoj nastavi, opisano je u

proslom broju ~-a (v. [9]). Ovdje ce biti

vise rijeei 0 samom nastavnom sustavu.

Osnovu za primjenu problemske nastave

daju tri vaina pojma: problem, problemska

situacija i nacelo problemnosti. Opisimo jos

na poeetku prva dva pojma.

Problem i problemska situacija

U mnogim djelatnostima Ijudi svakod-nevno dolaze u razlicite problemske situacijesa stanovitim proturjeenostima koje morajuznati i umjeti razrijesiti. Takoder svakod-nevno nicu novi problemi, takoda ta rijecljudima i nije vise strana. Pridaju joj mnogaznacenja.

Rijec problem izvomo je grckog porijek-la i znaCi: teorijslw ili prakticno pitanje Iwjetreba rije!iiti, spomo pitanje, te!ilwca, tei.akzadatak, zadaca uopce, zagonetka.

Problemske situacije i problemi pojav-ljuju se i u skoli, ali nas posebno zanimajuone problemske situacije koje u nastavnom

196 ~~ ~ 15,2002

>,,'...1

.F

11

j

Ij~

procesu stvara sam nastavnik matematike sposve odreoenim ciljem. Taj cilj je povisenjeefikasnosti nastave matematike i podizanjerazine matematickog obrazovanja ucenika.

Pred nastavnikom je obrada nekog prob-lema. On treba najprije pobuditi interes stva-ranjem problemske situacije koja je primjere-na predznanju i sposobnostima ucenika. Tose moze uciniti na sljedece nacine:

I. Nastavnik jasno i precizno postavljaproblem ucenicima.

II. Nastavnik stvara situaciju u kojoj seod ucenika zahtijeva da sami shvate i formu-liraju problem koji se u toj situaciji nalazi.

III. Nastavnik stvara situaciju s vise ilimanje jasno naznacenim problem om koji ti-jekom analize treba ucenike dovesti do novogproblema, koji je on predvidio.

IV. Nastavnik stvara situaciju s vise ilimanje jasno naznacenim problemom koji ti-jekom analize ucenike dovodi do novog pro-blema, koji on nije u potpunosti predvidio.

Prvi nacin je najjednostavniji, u ostalimima vise nepoznanica, a posebno je vrijedanposljednji nacin stvaranja problemske situa-cije, jer je u njoj bar jedna komponenta ne-poznata i samom nastavniku, a rad ucenika jekreativan i stvaralacki.

Ovdje je dobro podsjetiti se da problems-ka situacija ima iste komponente kao i mate-maticki zadatak: objekti, poznate i nepoznateveliCine, uvjeti, svojstva, odnosi, veze, faze idr. (v. [6]).

Problemska nastava

Problemske situacije i problemi s kojimace se novi narastaji mladih sresti u zivotu isvom radu stavljaju skolu pred ozbiljan zada-tak da ucenike primjereno pripremi za takavrad. Nije dovoljno sarno prenosenje odre-denih znanja ucenicima, pa ni snalazenje u

problemskim situacijama i uocavanje i for-muliranje problema, veCje potrebno ucenikeosposobiti za rjesavanjc problema. Kako topostici? Najbolji odgovor na ovo pitanje jeposeban nastavni sustav - problcmska nas-tava.

Ideja problemske nastave, ucenja putemrjesavanja problema, nije nova, ali je ona unastavnoj prabi prilicno zapostavljena. 00-miniraju slabiji nastavni sustavi, znanje senajcesce pasivno usvaja a ne aktivno osva-ja. Suvremena nastava matematike postavljau tom pogledu jace zahtjeve. Na nastavnomsatu ucenici trebaju aktivno i samostalno ra-diti, istraiivati, rjesavati probleme za koje jepotrebno pokazivanje njihovih razlicitih ma-tematickih sposobnosti.

Problemska nastava je suvremen, ali visinastavni sustav. Ta Cinjenica odmah upozo-rava da je on tezi i ucenicima i nastavnicimamatematike od drugih nastavnih sustava.

Ucenicima je on tez.akzato sto samostal-no rjesavanje problema nije ni jednostavno,ni lako. To se najbolje vidi na matematic-kim natjecanjima gdje se cesto i nasi naj-bolji ucenici ne snalaze dobro u rjesavanjunestandardnih i problemskih zad<ltaka. Pr-va bitna pretpostavka za uspjesnu primjenuproblemske nastave je da su ucenici prim-jercno osposobljeni za uIllni rad (pravilanizbor izvora za proucavanje, izdvajanje pot-rebnih teorijskih cinjenica, misaono proradi-vanje, postavljanje i provjeravanje hipoteza,jezicno oblikovanje i zapis rezultata rada idr.). Sposobnost umnog rada postize se pos-tupno. Ona se razvija i u drugim nastavnimsustavima (misaono pracenje u predavackojnastavi, misaono vooenje u heuristickoj na-stavi, samostalni rad u programiranoj nasta-vi), ali se tek u problemskoj nastavi postizenajpovoljniji razvoj. Zato tu nastavu trebaprimjenjivati na svim razinama matematic-kog obrazovanja, uvazavajuci pri tome dob,psihicki razvoj i stvame matematicke sposob-nosti ucenika.

~ 15,2002 .~~ 197

Iako se poucavanje nastavnika matema-tike u probIemskoj nastavi znatno smanjuje,ovaj nastavni sustav relativno je teiak i zanastavnika. Uloga nastavnika u njemu sasto-ji se u savjetovanju i pomaganju ucenikapriizboru izvora, ukazivanju na potrebne teorijs-ke Cinjenice i zavrSnoj raspravi 0 rezultatimasamostalnog rada ucenika. Tu se mogu po-javiti i postavke ucenika koje nastavnik nijepredvidio. Na takvu situaciju on mora bitipripravan. Zato je druga bitna pretpostavkaza primjenu problemske nastave dobra 05-posobljenost nastavnika rna tcmatikc.

",II

Metodika organizacije problemskenastave

S obzirom na znacajke problemske nas-tave i teiinu koju ona nosi, metodika nastavematematike razradila je sljedeeu shemu naosnovi koje se oblikuje i priprema nastavnisat u ovom nastavnom sustavu:

1. Stvaranje nastavne problemske situa-cije. Cilj nastavnika je bu<!enje interesa uce-nika za novi nastavni sadriaj i motiviranjepotrebe njegove obrade. Koji ce oblik prob-lernske situacije on odabrati, ovisi 0 predzna-nju i matematickirn sposobnostima ucenika.

2. Postavljanje problema koji nice iz da-ne problemske situacije.

3. Proucavanje uvjeta. Ucenici trebajuanalizirati problemsku situaciju i otkriti nacinrjeSavanja postavljenog problema. Pretpos-tavlja se da dobro znaju teorijske cinjenicepotrebne za to rjeSavanje.

4. RjeSavanje postavljenog problema..""Ovoje najslo~ef1iji dio u Citavom procesu. U

njemu se detaljno ostvaruje zamisljeni nacinrjeSavanja i utvr<!uje ispravnost svakog pro-vedenog koraka. Rjesavanje ucenici u praviluizvode samostalno. Nastavnik sarno usmje-rava rad, a rjede navodi na ideju.

5. Razmatranje dobivenog rjesenja i is-kazivanje novog znanja.

6. Proucavanje dobivenog rjesenja i tra-zenje drugih nacina rjesavanja.

7. Proucavanje mogucih prosirenja i po-opCenja postavljenog problema.

8. Zakljucci izvrsenog rada. Dijalogucenika i nastavnika. Razmatranje mogue-nosti primjene novog znanja.

Ovu shemu ne treba shvatiti kruto, vec

kao dinamican proces koji se moze djelomi-ce mijenjati od problema do problema. Nekikoraci mogu se objediniti, a neki ponekad iispustiti.

Svi matematicKi sadrzaji nose u sebi sta-novitu problemnost. Zato je moguce pri obra-di svakog sadrZaja stvoriti najprije prikladnuproblemsku situaciju i ucenike staviti predneki problem. Haee Ii se u daljnjem raduproblem u potpunosti obra<!ivati primjenomproblemske nastave ili ce se rad kombinirati sdrugim oblicima i nastavnim metodama, ovi-si 0 tezini matematickog sadrZaja, uzrastu ipredznanju ucenika i umjesnosti nastavnika.Vee sarno postavljanje problemske situacijena jedan od gore navedenih nacina znaCi do-bar pocetak.

U [9] opisani su nacini postavljanja ra-zlicitih problemskih situacija pri obradi dvi-ju nastavnih jedinica, Pitagorinog poucka (8.razred OS) i svojstava rjesenja kvadratne jed-nadzbe (2. razred SS).

Problemska nastava primjerenija je vi-sem uzrastu ucenika, ali moguca je njezinaprimjena i ranije. Evo primjera.

Primjer 1. Zbroj kulova u Irokulu.1) U nekim udzbenicima ova nastavna

jedinica odmah pocinje preciznim postavlje-njem problema:

"PokaZimo da je zbroj kutova u trokutujednak 180°."

Slijedi izrada donjeg pomocnog crteiai dokaz zasnovan na odnosu kutova uz pre-sjeenicu paralelnih pravaca. Ovaj postupaknije najbolje motiviran i ucenici su pri obradipaSlVnl.

198 ~~ ~ 15,2002

'I,;'

fl,~'I".t',"

1

')';.

'i.,

.j;:

c

7\~

A B

2) Ucitelj moze problem sku situacijuprodubiti na temelju cinjenica da ucenici zna-

ju da su sva cetiri kuta pravokutnika prava ida visina jednakokracnog trokuta dijeli kutuz isti vrh na dva jednaka dijela. Sada stvaraovu problemsku situaciju:

"Promatrajte pravokutni ijednakokracnitrok!lt. Nadite zbrojeve kutova u tim trokuti-ma i ispitajte sto se moze reci 0 zbroju kutovau bilo kojem trokutu."

Tesko da bi ucenici sestog razreda moglipotpuno samostalno razrijesiti ovu problems-ku situaciju. Zato je ovdje od problemske na-stave pogodnija heuristicka nastava. Heuris-ticka nastava je jednostavniji nastavni sustav,zasniva se na aktivnosti ucenika i vodenjunastavnika, a sadrZi i elemente problemskenastave.

c

B

~' a !C A A

Ucitelj ce vodenjem navesti ucenike dau prvom koraku pravokutni trokut nadopu-ne do pravokutnika, uoce par paralelnih pra-vaca i njihovu presjeenicu te kutove uz njui zakljuce da je zbroj k.lItova u pravokut-nom trokutu jednak 180° (0: + {3 = 90°,0: + (3 + 90° = 180°).

Sljedeei korak je promatranje jednakok-racnog trokuta. Visina toga trokuta dijeli ga

na dva sukladna pravokutna trokuta. To zna-

Ci da se moze primijeniti prethodni rezultat

i daei do zakljucka da je i U' svakom jedna-

kokracnom trokutu zbroj kutova jednak 1800

(0:+ r = 90°.20:+ y = 180°).2Kao treCi korak ucenici mogu promatrati

konkretan trokut i pomaeu kutomjera odredi-ti njegove kutove. Ustanovili bi da je i zbrojnjegovih kutova 180°.

Na temelju provedenih koraka ucenicidolaze do tvrdnje:

Zbroj kulova u svakom Irokulu jednak je180°.

Dokaz tece kao u I), ali se i on moze po-boljsati tako da se ucenike misaono vodi dasami dodu do pomaenog crteia. Nema sum-nje daje ovaj drugi nacin obrade mnogo boJjiza razvoj misljenja ucenika ovog uzrasta.

** *

U srednjoj skoli problemska nastava mo-ze se cesce primjenjivati. Ucenici su zreliji,imaju veee predznanje, no ni tu stvaranje pro-blemskih situacija nije uvijek lako. Primjenace biti uspjesnija ako se nova problemska si-tuacija dade povezati s nekom ranije razma-tranom problemskom situacijom.. Posebnojako sredstvo povezivanjajeanalogija. Pog-ledajmo to u sljedeeem primjeru.

B

Primjer 2. Elipsa i hiperbola.

abrade ovih nastavnih jedinica u treeemrazredu srednje skole imaju mnogo slicnos-ti. Zato nakon obrade elipse ucenici moguuz malu pomae nastavnika neke cinjenice 0hiperboli samostalno izvesti.

a) Slicne su vec i same definicije krivu-lja:

Neka su F, i Fz dvije cvrste toeke ravni-ne i 2a pozitivan realan broj veei od IF,Fzl.Skup svih toeaka ravnine za koje je zbroj uda-ljenosti od toeaka F, i Fz stalan i jednak 2azove se elipsa.

Neka su F, i Fz dvije cvrste toeke ravni-ne i 2a pozitivan realan broj manji od IF, Fz[.Skup svih toeaka ravnine za koje je apsolutna

M~ 15,2002 ~~ 199

I'I

\

,i

I

I

iII

[I

,i

vrijednost razlike udaljenosti od tocaka FI iF2 stalna i jednak 2a zove se hiperbola.

Za sarnostalni rad ucenika pogodna jekonstrukcija hiperbole.I,

b) Kako se izvodi jednadzba elipse?Elipsa se smjesta u koordinatni sustav takoda joj je srediSte 0 u ishodistu koordinatnogsustava, a osi na koordinatnim osima.

Prema definiciji elipse. za udaljenosti rli r2 bilo koje njezine tocke T(x. y) od ZaristaFI (-e, 0) i F2(e, 0) vrijedi

rl + r2 = 20.

,.,d'

odnosno

J(x+e )2+(y -0)2 + V(x- e)2+ (y -0) 2=2a.

Iz ove jednakosti izvodi se jednadzba elipseu obliku b2 x2 + a2y2 = a2 b2.

5asvim analogno izvodi se jednadzba hi-perbole b2x2 - a2y2 = a2b2. Zato izvcx!enjejednadZbe hiperbole nastavnik moze posta vi-ti kao problemsku situaciju koju. poznavajuCipostupak izvcx!enjajednadzbe elipse. ucenicimogu i znaju samostalno razrijesiti.

c) Uvjet diranja pravca y = kx + I i elip-se b2x2 + a2y2 = a2b2 dobiva se rjesavanjemtog sustavajednadZbi uz zahtjev daje presjekkrivulja jedna tocka. Rezultat je jednakost~k2+b2=P.

5asvim analogno izvodi se uvjet diranja~~ - !J2= P pravca y = kx + I i hiperboleb2~ - ~l = a2b2, sto znaCi da je i izvo-denje toga uvjeta pogodno za samostalni raduCeuika.

d) JednadZba b2xxo - a2yyo = a2b2 tan-

gente na hiperbolu b2x2 - a2y2 = a2b2 u nje-noj tocki To(xo, Yo) izvodi se analogno kaojednadzba b2xxO + a2yyo = a2b2 tangente

na elipsu b2x2 + a2y2 = a2b2 u njenoj tocki

To(xo. Yo), Dakle. i taj je odjeljak pogodanza primjenu problemske nastave.

* * *

Evo jos nekih tema iz skolske matemati-

ke koje su u potpunosti ili djelomicno pogod-

ne za obradu primjenom problemske nastave:

(05) Djeljivost prirodnih brojeva. zb-roj kutova u trokutu, rjdavanje sustava dvi-je jednadibe s dvije nepoznanice, dijagonalen-terokuta, zbroj kutova n-terokuta, Talesovpoucak, kvadriranje i njegova svojstva, karje-novanje i njegova svojstva. Pitagorin poucak.primjena Pitagorina pouc'Ka.

(55) Povrsina trokuta i Heronova for-mula. teorellli 0 slicnosti trokuta, analitic'K.a

fonnula za povrsinu trokuta. svojstva poten-cija, rastavljanje polinollla na faktore, svoj-Stva karijena, svojstva rjdenja kvadratnejednadibe, bikvadratna jednadiba, kvadrat-nafimkcija f(x) = ax2, grafinverznefunkci-je, teiisnice i teiiste trokuta. udaljenost toc'K.eod pravca. adicioni teorellli, Newtonova bi-

nOlllnafOn/wla, aritmetic'K.iniz. geollletrijskiniz, geometrijski red, pravila deriviranja, de-rivaeije elementarnih funkeija.

Obrada tih tema bit ce uspjeSnijaako sepoznaju i u nastavimatematikecesceprimje-njuju znanstveni postupci kao sto su analiza,analogija. indukcija i generalizacija (v. [1].[2]. [3]. [4]).

Ako se vee problemska nastava ne moze.

zbog svoje slozenosti i tezine. primjenjivatipri obradi dobrog dijela nastavnih saddaja.pozeljno je da nastavnik matematike ucenici-

ma. ili bar naprednijim ucenicima. cesce pos-

tavlja problernske zadatke i njeguje stvaranjerazlicitih problemskih situacija. Razrnotrirno

podrobnije jedan takav problernski zadatak.

Primjer 3, Pravokutniei zadanog opse-ga.

Gdje je tu problem? On se pojavljuje

onog trenutka kad se osim opsega u razmat-

ranje uzrne i povrsina pravokutnika. Tada se

prirodno narneee pitanje: ako je opseg pravo-kutnika cvrst broj. sto se moze reei 0 povrsinipravokutnika?

1) ImajuCi na umu gomje pitanje. nastav-nik postavlja sljedecu problemsku situaciju:

"Prornatrajte skup pravokutnika zada-nog opsega 0, 5vaki od njih ima i odreaenupovrsinu P. Ispitajte odnos velicina 0 i P,"

200 ~ ~ 15.2002

1~I

ii1;

,~

~

5to sve nastavnik ovdje predviaa? Naj-

prije. nastavnik ocekuje da razrjeSavanje ove

problemske situacije njegovi ucenici pocnupromatranjem konkretnih slucajeva pravo-

kutnika i da ce se meau njima nalaziti i kva-

drat. Rezultat treba biti tvrdnja koja izraZava

ekstremalno svojstvo kvadrata. Zatim. znaju-Ci da se tvrdnja moze dokazati na vise nacina

i da se u jednom dokazu pojavljuje i dodatniproblem koji treba posebno razmotriti. na-

stavnik ocekuje od ucenika pri dokazivanju

tvrdnje razlicite ideje i kreativnost. Na kraju.ne treba zanemariti cinjenicu da neki ucenici

mogu krenuti i putem poopCavanja ove prob-lemske situacije. Pogledajmo redom korake

misaonog procesa.

a) Neka je konkretno opseg pravokutni-

ka 0 = 12 i duljine stranica nekoliko pravo-

k'k

' .. 7. 5utm a s tlm opsegom I 15. 2 14. - 1 -.

2 21 . 17 8. 22

T d..

- 1 -. - 1-. a a su povrsll1etIh pravo-3 3 5 535 17 176

kutnika 5. 8. -. -. -. S druge strane.4 9 25duljina stranice kvadrata s opsegom 12 jed-naka je 3. a njegova povrsina 9. UsporedeIi se dobivene povrsine. odmah se vidi da jepovrsina kvadrata najveea. To je za ucenikavaZan trenutak. trenutak "otkrica", Oni sudoW do nove spoznajekoja se moze izreei uobliku tvrdnju:

Od svih pravokutnika zadanog opseganajveCu povrsinuima kvadrat.

b) Prvi dokaz. Neka su a i b duljinestranica pravokutnika. Tada je 0 = 2a + 2b.a njegova povrsina PI je PI = ab. Duljina

stranice kvadrata koji ima isti opseg jedna-

k ,O. v' 00aJe -. a nJegovapovrsll1aP2 = - . - =4 4 4

(~)2 = ca:2br = (a:bf,5ada se vidi da je za dokaz tvrdnje pot-

. ,. . a + brebna veza lzmedu antmetlcke sredll1e-

2i geornetrijske sredine .j(Jj pozitivnih realnihbrojeva a i b.

Ucenici naslucuju da vrijedi pomoenatvrdnja:

Za pozitivne realne brojeve a i b arit-metie'K.ai geometrijska sredina povezane sunejednakoscu

a + b > v;b.2 -

Ukoliko oni ovu cinjenicu poznaju. mogu ad-mah prijeci na dokaz prve tvrdnje. a ako im

je ona nepoznata. onda je trebaju shvatiti kao

novj problem. U tom slucaju nuzno jc pro-

vesti dokazivanje te tvrdnje (v. [4]).

Dokaz prve tvrdnje tada tde ovako:

a+b r-; (a+b

)2

->vab =- - >ab2 - 2-

=- (~r 2:ab =- P22:PI.

c) Drugi dOkaz. Sasvim bi bilo prirodnoda ucenici krenu ovim smjerom:

Neka je x duljina jedne stranice pravo-kutnika opsega O. Duljina druge stranicc je

0 :x. .tada - - x. Za povr'lI1u P doblva se2

P=x(~-x )=-x2+~x=-(x-~r+ ~:.

P v'P

. . - . 02 k .ovrsll1a Je naJveca.1to -. a'o Je. 16

x = ~. A to je duljina stranice kvadrata4opsegaO.

Ucenici srednje skole ovdje prepoznajukvadratnufunkciju i tvrdnju dokazuju traZc-njern maksimumate funkcije.

d) TreCidokal. QoIajdokaz osniva sena primjeni metode razlikovanja slucajeva.Neka su a i b duljinc stranica pravokutnika.

Vrijedijednakost a + b = ~. Za velicinu a2

mogu se razlikovatitri slucaja: 0 < a < ~.40 0 0

a = 4' 4 < a < Z''U prvom slucaju postoji pozitivni broj x

kd'O .

bO.

ta av a Je a = - - x. pa JC = - + x 14 4v' k

.k P 02 2povrsll1apravo utm -a = - - x .16

~ 15.2002 ~~ 201

U drugom slucaju je i b = ~, pa je402

P=-.16

U tretem slucaju postoji pozitivnibrojytak d . 0 .

b0 .

av a Je a = - + y, paJe = - - Y 14 4

povrSina pravok.lItnika P = 02 - y2.16. Vidi se da je povrSina P najveta u dru-

gom slucaju, a to je upravo slucaj kvadrata.2) Nastavnik moze prema potrebi pojed-

nostavniti problemsku situaciju na pocetkutako da odmah iskaze tvrdnju:

Od svih pravokutnika zadanog opseganajveCu povrIinu ima kvadrat.

Nakon toga ucenicima preostaje dokazi tvrdnjei od njih se opet moguocekivatikora-

>,11ci b), c) i d)~ U praksi je ovakav pristup cesci.To je steta, jer su koraci kao sto je korak a)vaini u procesu spoznaje.

3) Napredniji ucenici mogu se prisjetilida pravokutnik i kvadrat u ravnini imaju svo-je analogone kvadar i kocku u prostoru. Tadanije daleko pomisao da oni sami stvore novuproblemsku situaciju:

"Promatrajmo skup kvadara u prostoruzadanog oplosja O. SvaJd od njih ima i odre-deni obujam V. Treba ispitati odnos veliCinaOi V."

Iii konkretnije:"Razmotrimo tvrdnju: od svih kvadara

zadanog oplosja najveti obujam ima kocka."Vet fonnuliranje ove tvrdnje primjenom

analogije vrijedno je za razvoj matematickogmisljenja ucenika. Sve dodatno sto bi ucenicijos mogli izvesti ukazivalo bi na njihovo brzonapredovanje.

Nesto kao zakljucci

,i Ii

Nastavni sat nije uspjesan u suvreme-nom smislu ako na njemu ucenici ne rade

aktivno i samostalno, ako ne rjdavaju prob-Ierne. Ovaj zahtjev primjereno se ostvaruje uproblemskoj nastavi.

Problemska nastava ima niz dobrih stra-

ria. lzdvajamo one najbolje: veca mOlivira-nost ucenika, primjerena mogucnost surad-nje, istraiivacki pristup rjesavanja problema,razvoj kritickog misljenja, bolje shvacanje bi-ti i zakonitosti, povecanje kolicine znanja,stecena znanja su trajnija, veca primjenjivoststecenih znanja.

Problemska nastava je zahtjevan nastav-ni sustav. Zbog slozenosti i ldine za njezinuprimjenu treba vise vremena. Zalo je razum-Ijivo da se problemska nastava n" moze pri-mjenjivati na svakom nastavnom satu, vec jeza tu svrhu potrebno naciniti uzi i primjereniizbor matemalickih sadrZaja, a za obradu tihsadrZaja i vrsnu pripremu.

Rjesavanje problemskih zadataka dobarje nacin postupnog uvodenja problemske na-stave u nastavu matematike.

Literatura

[I) Z. Kumik, Analiza, Matemalika i skala 2 (1999),54-64.

[2] Z. Kumik, Analogija, Matematika i skala 3(2000), 101-109.

[3] Z. Kumik, Generalizacija, Matematika i skala 4(2000), 147-154.

[4] Z. Kumik, Indukcija, Matematika i skala 5(2000), 197-203.

[5] Z. Kumik, Suvremena metodika i nastava.mate-matike, Zbomik radava 1. kangresa nastavnikamalematike Republike Hrvatske, Zagreb 2000,187-201.

[6) Z. Kumik. Ma/ematic"kizada/ak, Matematika iskala 7 (2000), 51-58.

[7] Z. Kumik, Matematic"kesposobnos/i, Matemati-ka i skala 10 (2001),195-199.

[8] Z. Kumik, Naeelo znanstvenosti, Malematika iskala 13 (2002), 102-106.

[9] Z. Kumik, Naee/o problemnosti, Matematika iskala 14 (2002), 148-152.

[10] S. Medved, Problemska nas/ava, diplomski rad,Zagreb 1996.

[II) V. A. Oganesjan i dr., Metodika prepodavani-ja matematiki v srednej skale, Prosvescenije,Maskva 1980.

[121Standardi za nas/avu matematike, Matkina bibli-ateka, HMD i V. gimnazija. Zagreb 2000.

202 ~ ~ 15,2002

;11.

'

.

"

114\"

~t !:;,..,

'I

I

i

J

,..- ~

Nadopuna tetraedra

Branimir Dakic, Zagreb

Trostrana piramida je geometrijsko tije-10analogno trokutu u ravnini. Postoje mnogelijepe usporedbe ovih geometrijskih Figura ione su vrlo poticajne i uvjerljive za postavlja-nje i provjeravanje raznih tvrdnji 0 trostranojpiramidi koje su motivirane tocnim i vec do-kazanim analognimtvrdnjama za trokul '.

Vet i u samoj deFiniciji trokuta i tros-trane piramide nalazimo smisao za njihovopovezivanje. Trokut je najmanji konveksniskup ravnine koji sadrZi tri nekolineame toc-ke. Atrostranapiramidaje najmanji konvek-sni skup (trodirnenzionalnog) prostora kojisadrZi cetiri nekomplaname tocke.

No analogije izmedu trokuta i trostra-ne piramide ne sastoje se sarno u poopCenjuizvjesnih Cinjenica vcc su ponekad analognii postupci kojima se koristimo pri provjeritvrdnji. Ovdje cemo opisati jedan takav po:stupak u kojem se rjesavanje nekog zadatkavezanog uz trostranu piramidu provodi do-punom piramide. Ta je zamisao motiviranadopunom trokuta do paralelograma kojom serjesavaju razni zadaci vezani uz trokut (vidi

~14).

Zadatak 1. Kolikaje duljina polumjerasfere opisane pravilnoj trostranoj piramidi?

Uzmimo da su duljine svih bridova pira-

mide jednake a. Promatra se presjek te pira-mide ravninom koja prolazi jednim bocnimbridom (CV) ivisinom piramide (VO), gdjeje 0 noziste te visine na strani 6ABC pira-mide. Neka je S srediste opisane sfere danojpiramidi. Tadaje duljina polumjera sfere jed-naka r = Isq = ISVI.

v

B

Trokut 6SCV je jednakokracan, tocka Ppoloviste je njegove osnovice CV. Iz slicnostitrokuta 60CV i 6SPV postavljamo razmjer10VI : ICVI = IPVI: ISVI.

Kako je ICOI = V3a, ondaje 10VI=3aV6 .

1od. "

-, pa se lZ pret 1 nog razmJera doblJe3

V6r=-a.4

. B. Dakic. Ma/ema/iCki pa/ioplikum. Skolska knjiga. Zagreb. 1995.

~15,2002 ~ 203