Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
1
II.
MODELADO DE PROCESOS QUMICOS.
Dependiendo del proceso al que sirven, existen diferentes y muy
variados tipos de modelos. Bsicamente, un modelo es: La
representacin matemtica de un fenmeno o conjunto de ellos.
Dependiendo del conocimiento de las interacciones causa-efecto, los
modelos pueden ser clasificados como: Modelos estructurales.
Modelos determinsticos. Modelos empricos. Modelos aleatorios.
Modelos estructurales La relacin estructural (topolgica) entre
las variables no concierne la relacin funcional. Ejemplo:
Evaporador de doble efecto2 1
Si
C2
B2 F CF TF B2 C1
& C1 = f1 (C1 , h1 , F , C F ) & C 2 = f 2 (C1 , C 2 ,
h1 , B1 ) & h1 = f 3 (C1 , h1 , F , TF , S i )
C1 = Concentracin en el primer efecto. C 2 =Concentracin en el
segundo efecto.
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
2
h1 =Entalpa en el segundo efecto. F =Alimento. C F =Concentraron
en el alimento. TF =Temperatura del alimento. S =Flujo de vapor.
B1, 2 =Flujo de salida en el primero y segundo efecto.
& C1 & C2 & h1
C1 x x x
C2 x
h1 x x x
F x x
CF x
TF
S
B1 x
B2
x
x
Grafica resultante
C1
C2
h1
F
TF
CF
Si
B1
B2
La matriz estructural en la grafica directa indica si una
variable afecta a otra variable. El modelado estructural no puede
ser usado para diseo cuantitativo, solo para decisiones
estructurales y topolgicas. Modelos Deterministicos Basados en las
leyes fsicas conocidas a travs de: - Balances de energa, masa y
momentum. - Equilibrio termodinmico. - Velocidades cinticas. -
Parmetros completamente conocidos (cualitativamente). Bsicamente
existen 3 tipos de modelos deterministicos. - Ecuaciones
diferenciales ordinarias (EDO). - Ecuaciones diferenciales
parciales (EDP).
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
3
-
Ecuaciones integro-diferenciales.
Dependiendo de la naturaleza cambiante o no de los estados de un
sistema podemos hablar de: - Modelos dinmicos ( dx 0, x 0 ) dt t d
( ) = 0, ( ) = 0 ), representados por - Modelos estticos ( dt t
ecuaciones algebraicas.
Principio general de Conservacin. Para una especie A (masa,
energa o momentum)
Tasa Tasa de acumulacin = entrada de A de A
-
Tasa de salida de A
Tasa de + produccin de A
Tasa de consumo de A
Ecuaciones Constitutivas Son las expresiones explicitas,
expresadas como descripciones matemticas de las que aparecen en las
ecuaciones de balance, y estn basadas en leyes fsicas y qumicas.
Tales ecuaciones incluyen: 1) Ecuaciones de las propiedades de la
materia.Son las definiciones bsicas de masa, momentum y energa en
trminos de propiedades fsicas tales como densidad, capacidad
calorfica, concentracin, temperatura, etc. 2) Ecuaciones de
transporte.Ley de Newton de la viscosidad (transferencia de
momentum). Ley de Fourier (transferencia de calor). Ley de Fick de
la difusin (transferencia de masa). 3) Velocidades de Reaccin
(Cintica Qumica).Ley de accin de masas. Expresin de Arrhenius. 4)
Relaciones Termodinmicas.Ecuaciones de estado (ley de gases
ideales, ecuaciones de VDW, etc.). Modelos Estocsticos Se usan para
corregir el conocimiento incompleto del modelo, de los parmetros o
bien para compensar el ruido en las mediciones.
CLASIFICACIN DE VARIABLES EN UN PROCESO
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
4
Estados (X). Variables que describen un sistema. Se entiende por
sistema el conjunto de modelo + proceso real que el modelo
representa. Manipulaciones (m),(u). Entradas de un sistema.
Perturbaciones (d), (u). Variables consideradas (o parcialmente
consideradas) en el modelo y que afectan el sistema. Mediciones o
variables medibles (y). Salidas. Mediciones o variables no medibles
(z). Salidas. Ejemplo: Reactor continuo y agitado ( CSTR )
qi , CAi, Ti qc , Tci Tc
q , CA, T.
Estados: H, CA, T Perturbaciones: qi , CAi, Ti Manipulaciones:
qc , Tci, q Medibles. H, T No medibles: CA En General:
z = f ( x, u , d ) &Para un proceso general se tiene:
x = f ( x, u , d ) & y = f ( x, u , d ) &
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
5
Perturbaciones medibles
Perturbaciones No medibles
Perturbaciones No medibles
PROCESO
Mediciones
Salidas No medibles
Si el sistema es lineal.
& x = A x + Bu + C d + w1
y = C x + wzw1 = Ruido blanco para compensar el conocimiento
incompleto de A , B y C . w z = Para compensar lo incierto de las
mediciones.Ejemplo: Reactor biolgico monosustrato-monobiomasa.
F, Sin
F, S, X, Productos (P)
S, X
Suponer que solo se mide X Reaccin:S X +P
S Sustrato X Biomasa
Balance de masa para biomasa
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
6
X =Balance de masa para sustrato
F X + X V
S=
F in F S S kX V V
k Coeficiente de rendimiento.
=
max Sks + S
Ecuacin de Monod
Todo esto nos lleva a:
1 D 0 X 0 & X = x + + in k 0 D S DS
donde D =
F V
escrita de otra forma
& x = C f (x ) + A x + bcon la salida:
1 0 X y= 0 0 S Estados: X , S Manipulaciones: D Perturbaciones:
S in Salidas medibles: X Salidas no medibles: S, P
MODELADO TERICO DE PROCESOSPaso1. Definicin del Proceso Se debe
tener en cuenta que es imposible representar todos los aspectos de
un proceso fsico. De hecho siempre es posible obtener diferentes
modelos para un mismo proceso. As, como primer paso se debe
responder las siguientes preguntas bsicas.
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
7
1.- A que propsito servir este modelo? 2.- Qu tan simple o
complejo debe ser el modelo? 3.- Qu aspectos del proceso deben ser
considerados relevantes y por lo tanto ser considerados por el
modelo? 4.- Qu tan extensos son los principios fundamentales de
estos aspectos en relacin al conocimiento del proceso? 5.- Cunto
tiempo se requiere/tiene para completar el modelo? 6.- Hiptesis
sobre el proceso? 7.- 8.- Paso 2. Formulacin del modelo. Una vez
contestadas estas preguntas se procede a aplicar los balances y
ecuaciones constitutivas. Paso 3. Estimacin de Parmetros. Un modelo
no se puede considerar completo hasta no identificar correctamente
TODOS los parmetros involucrados en el modelo. Para ellos existen 3
funciones bsicas: a) Literatura. b) Experimentos independientes
relacionados en principios fundamentales. c) Experimentos
relacionados especficamente con el proceso en cuestin. Paso 4.
Validacin del modelo. El modelo debe ser comparado con juegos de
datos de otros que los usados para estimar los parmetros. Si el
modelo no representa aceptablemente estos nuevos datos, se deben
repetir todos los pasos anteriores.
ESTIMACIN DE PARMETROS EN MODELOS TERICOS.Para propsitos de
estimacin de parmetros, un modelo terico de cualquier proceso puede
ser representado por:
= f ( z, )
(1)
donde: n es el vector de salida del proceso real que pueden ser
medidas.
z m es el vector de variables independientes que pueden ser
especificadas para cada experimento o que son conocidas
precisamente (entradas). p vector de parmetros desconocidos.Notar
que si f es una funcin lineal con respecto al vector , entonces se
dice que el modelo es lineal en los parmetros. Esto no
necesariamente significa que el modelo sea lineal en trminos de las
variables del proceso (estados).
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
8
Para estimar p parmetros es necesario desarrollar al menos
experimentos. As, el resultado de cada experimento puede
representarse como:
n p
(k ) = f ( z (k ), ); k=1,2,,n
(2)
Si incluimos los errores de medicin tenemos
y (k ) = (k ) = f ( z (k ), ) + (k ); k=1,2,,n
(3)
MNIMOS CUADRADOS Es el criterio mas usado para obtener estimados
ptimos de los parmetros no conocidos de un modelo. El problema de
mnimos cuadrados puede ser representado con el problema de
optimizacin.
min S ( ) = [ (k )]T [ (k )]k =1
N
(4)
A partir de (3) tenemosmin S ( ) = min [ y (k ) f ( z (k ), )]T
[ y (k ) f ( z (k ), )] k =1 N
(5)
En ocasiones es necesario asignar mas peso a ciertas mediciones
precisas y menos peso a otras. As, tenemos el mtodo de MNIMOS
CUADRADOS PESADOS, que puede ser representado como:
min S ( ) = min [ y (k ) f ( z (k ), )]T W (k )[ y (k ) f ( z (k
), )] k =1
N
(6)
donde la matriz peso W (k ) nxn refleja la precisin de varias
mediciones. y (1) f ( z (1), ) (1) y (2) f ( z (2), ) (2) . . . = +
. . . . . . y ( N ) f ( z ( N ), ) ( N )
(7)
Caso lineal (mnimos cuadrados lineales)
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
9
Si F es lineal en los parmetros, entonces (7) se puede
representar como:Y = X +
La idea es entonces minimizar el vector de errores
min E E = min[(Y X )]T [(Y X )]T
(8)
En general de requiere que:[(Y X )]T [(Y X )] = 0
lo cual implica que(Y X ) = 0
Y = X
X Y = X XT T
= ( X T X ) 1 X T Y
=estimado
(9)
Caso no lineal Lo mas usado es utilizar mtodos numricos.
Estimacin de parmetros en EDOs por mtodos numricos. Considerar
que nuestro modelo tiene la forma general:d = f ( , z , , t )
dt
(10)
yk
k=1,2,,N
donde f () es un vector de funciones no lineales en los
argumentos indicados y y k es el k-simo juego de datos obtenidos
como salidas en la k-sima corrida. Algoritmo general
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
10
1) Iniciar con 0 = (0) (estimado inicial). 2) Integrar (10) para
obtener . 3) Evaluar la funcin de suma de cuadrados del error.
s j = s ( j ) = [ y k k ( j )]T [ y k k ( j )]k =1
N
(11)
4) Actualizar el estimado j
j +1
5) Repetir el paso 2) e iterar para obtener s j +1 6) Continuar
hasta que ( s j +1 s j ) CC parmetro de tolerancia
Notar que el procedimiento general esta basado en encontrar un
estado pdimensional del vector de parmetros , para localizar el
mnimo global de superficie s ( ) . Las tcnicas ms populares para
efectuar el proceso (4) son los mtodos de gradiente.
MTODO DE GRADIENTE En forma general se tiene
j +1 = j gdonde
(matriz)
g
(escalar) (vector gradiente de las superficies)
gi =
s i
Los diferentes mtodos dependen de la eleccin de y .
MTODO DE LA MXIMA PENDIENTE
=1, = I
(convergencia muy lenta)
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
11
NEWTON-RAPHSON
=1, = H 1donde
H
1
=
2s i j
(matriz Hessiana)
Trabaja bien cerca del mnimo pero en general no garantiza que en
cada paso
s ( j +1 ) < s( j )
MTODO DE LEUENBERG-MARQUARDT
=1, = ( H + k I ) 1donde k es un escalar que puede cambiar en el
curso de la optimizacin.
OTROS MTODOS SQP (Sequential Quadratic Programming).
Ejemplo: Una placa caliente con temperatura inicial To es puesta
a enfriar en una atmsfera calmada con temperatura constante Ta.
Desarrolle un modelo para describir el cambio de temperatura en la
placa y describa un mtodo para encontrar los parmetros del modelo.
Solucin: Balance de energa
dQ d (mC p T ) = = UA(T Ta ) dt dtintegrando (12) tenemos
(12)
T Ta = mC dtp
dT
UA
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
12
cuya solucin es
T Ta UAt ln = To Ta mC psi se hace k =
(13)
UA mCp
(14)
y reacomodando tenemos
T = Ta + (To Ta )e ktnotar que la expresin anterior es no lineal
en k, sin embargo a partir de (13) podemos escribir
=
T Ta = e kt To Ta
ln( ) = ktque ya no es lineal en , pero ahora es lineal en k. Se
debe de tomar datos experimentales
ln( ) M
t M
en forma matricial tenemos ln 1 t1 1 ln t 2 2 ( k ) + 2 = M M M
ln n t n n
Y = X + Resolver para k con mnimos cuadrados Despus con A, m, C
p conocidos, usar (14) para obtener U
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
13
Ejemplo: Ray (Ray W. H. Advanced Process Control, Butter Worths,
Boston 1989) muestra que el calentamiento de un cilindro metlico
puede ser modelado por la ecuacin:
T k T = r t r r r donde T = T C T = tiempo r = radio del
cilindro k = difusividad trmica del material
(15)
En estado estacionario se obtuvieron los siguientes datos: r
(cm) T C 0.6 18.6 0.8 19.8 1.2 21.8 1.6 23.2 1.8 23.6 2.0 24 2.2
24.8 2.4 25.6
Encuentre y caracterice (estime los parmetros) de la solucin en
estado estacionario del modelo (15) usando los datos anteriores.
Solucin: En estado estacionario tenemos
0=
k T r r r r T r r r
0=
Resolviendo tenemos:T = C1 ln r + C 2
(16)
Notar que la solucin en estado estacionario (16) es no lineal en
r pero es lineal en los parmetros desconocidos C1 y C2 . Con los
datos del problema podemos escribir en forma matricial.
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II1 1 1 2 1 1 C1 + 1 C 2 1 1 1 8
14
18.6 0.51089 19.8 0.2331 21.8 0.1823 23.2 = 0.2170 23.6 0.5878
24.0 0.6931 24.8 0.7885 25.6 0.8755
Resolviendo con = ( X T X ) 1 X T Y
obtenemos C1 4.8505 = C 2 20.939
La solucin completa en estado estacionario es:T = 4.8505 ln r +
20.939
MODELOS EMPRICOS E IDENTIFICACIN DE PROCESOS El sistema es
tratado como si fuera una caja negra y la informacin experimental
es recolectada a partir a la respuesta a un estimulo externo es
usada para inferir (identificar) lo que sucede dentro de la caja.
Por lo tanto ningn conocimiento acerca de la naturaleza del proceso
problema es necesario (aunque puede ayudar). As, la identificacin
de procesos concierne la construccin del modelo, estrictamente a
partir de los experimentos del tipo entrada-salida, sin recurrir a
ninguna ley respecto a la naturaleza fundamental y/o propiedades
del sistema. Las entradas tpicas usadas en el diseo de experimentos
para la identificacin de un proceso son:-
Escaln Impulsos Pulso (rectangular o arbitrario) Funciones
peridicas (senos, cosenos) Ruido blanco
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
15
Los modelos candidatos ms usuales son: Tipo de Representacin en
el dominio del Representacin en Parmetros modelo tiempo el dominio
de Laplace k , 1er dy y(s) k + y = ku (t ) = g ( s) = Orden dt u (
s) s + 1 er s k , , 1 con dy ke g (s) = retardo dt + y = ku (t )U
(t ) s + 1 do 2 2 k k , 1 , 2 dy d y g ( s) = + y = ku (t ) 2 2 + 2
Orden ( 1 s + 1)( 2 s + 1) dt dt 2do con dy d2y 2 2 + 2 + y = ku (t
)U (t ) retardo dt dt nico cero, 2 polos con retardog ( s) = g ( s)
= ke s ( 1 s + 1)( 2 s + 1) k (s + 1)e s ( 1 s + 1)( 2 s + 1) k , ,
1 , 2 k , , , 1 , 2
-
Procedimiento general: 1. Efectuar una serie exhaustiva de
experimentos usando algn tipo de entrada conocida para obtener la
respuesta del sistema a tal entrada. 2. Representar los datos en
formas clsicas. - Graficas y vs. t - Diagramas de Bode - Etc. 3.
Proponer un modelo candidato. 4. Estimar los parmetros del modelo
candidato. 5. Validacin.
ALGUNOS TIPS RECORDATORIOS Para entradas del tipo escaln de
magnitud unitaria.
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
16
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
17
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
18
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
19
En cuanto a la respuesta a la frecuencia-
La presencia de un trmino de retardo origina que el ngulo de
fase , decrece montonamente a medida que la frecuencia aumenta.
Primer orden 90 a medida que Segundo orden 180 a medida que El
valor asinttico de aumenta en 90 en un sistema con PRP con respecto
al mismo sistema sin ceros. El valor asinttico de disminuye en 90
con respecto al mismo sistema sin ceros.
-
-
Ejemplo: Un sistema de orden desconocido (pero mayor a 1) exhibe
la siguiente respuesta a un cambio en escaln unitario.
Proponer un modelo y descubrir un mtodo para encontrar los
parmetros del sistema.
Control Avanzado de Procesos
Capitulo II
20
Solucin: Sabemos que un sistema de orden N puede ser
representado por un primer orden con retardo. La grafica justifica
esta hiptesis, por lo tanto proponemos
para nuestro caso u=1
dy + y = ku (t )U (t ) dt
dy + y = kU (t ) dt
Integrando esta ecuacin obtenemos
0 t